6. Повздовжні коливання стержня або поперечні коливання струни icon

6. Повздовжні коливання стержня або поперечні коливання струни




Назва6. Повздовжні коливання стержня або поперечні коливання струни
Дата14.09.2012
Розмір31.6 Kb.
ТипЗадача

6.Повздовжні коливання стержня або поперечні коливання струни.

Задача. Знайти закон повздовжнього коливання тонкого пружного стержня, лівий кінець якого закріплений, а правий - вільний. Початковий розподіл переміщень вздовж стержня показано на малюнку N.


Функція задана формулами


. (6.1)


Початкова швидкість точок стержня дорівнює нулю:


. (6.2)


Повздовжні коливання стержня описуються рівнянням


, (6.3)


причому у відповідності з заданими граничними умовами


. (6.4)


Таким чином задача зводиться до рішення диференціального рівняння (6.3) при граничних (6.4) і початкових (6.1) – (6.2) умовах.

Для зручності подальших викладок перейдемо до безрозмірних величин:


. (6.5)


Якщо в умові задана початкова швидкість, то перехід до безрозмірного переміщення здійснюється за формулою


.


Враховуючи що


. (6.6)

Рівняння (6.3) і умови (6.1), (6.2), (6.4) перепишемо у вигляді


, (6.7)


(6.8)


,

. (6.9)


Розв’язок рівняння (6.7)


. (6.10)


Підставляючи (6.10) у (6.7), одержимо


, (6.11)


.


Остання рівність можлива лише у тому випадку, коли обидві частини не залежать від і , тобто вони – постійні. Позначимо цю сталу через . Тоді з рівності (6.11) одержимо два звичайних диференціальних рівняння:


(6.12)


(6.13)


Розв’язав ці рівняння, і підставив висліди в (6.10), одержимо


, (6.14)


де - довільні сталі.

Одержали загальний розв’язок рівняння (6.7).

Для знаходження частинного розв’язку з граничних та початкових умов визначимо константи.

Застосовуючи першу граничну умову з здачі Штурма-Ліувіля, одержимо


(6.15)


Для застосування другої граничної умови знайдемо частинну похідну





Отже, власними функціями будуть





Підставляючи одержані результати в (6.10), знаходимо частинні розв’язки рівняння (6.7), які задовольняють крайовим умовам (6.9).

При цьому кожному значенню буде відповідати розв’язок


. (6.16)


Сума розв’язків (6.16) також буде розв’язком рівняння (6.7), тому що (6.7) лінійне й однорідне:


(6.17)


Нехай , а , тоді формула (6.17) буде


, (6.18)


Для визначення констант і використаємо початкові умови (6.8).

Для застосування другої початкової умови знайдемо частинну похідну:




(6.19)


.


Одержали ; тоді


. (6.20)

Для знаходження використаємо останню початкову умову, з якої виходить


.


Остання формула показує, що постійні – це коефіцієнти розкладання функції у ряд Фур’є за синусами у проміжку . Таким чином,


.


Підставляючи вираз (6.8) для функції під інтеграл, одержуємо


.


Зробивши необхідні обчислення, маємо

(6.21)


Підставляючи (6.21) у (6.20), запишемо остаточно розв’язок задачі




(6.22)


Зауваження. Якщо початкова швидкість відмінна від нуля, то у формулі (6.19) необхідно ввести позначення


(6.23)


Далі вираховуємо коефіцієнт ряду Фур’є





де - початкова швидкість.

Для того, щоб підставити у формулу (6.18), треба скористатися співвідношенням





Нехай змінюється від 0 до 1 з кроком 0.2, а - від 0 до 1 з кроком 0.25.






Мал.6.1

Схожі:

6. Повздовжні коливання стержня або поперечні коливання струни iconЗавдання Повздовжні коливання стержня або поперечні коливання струни
Записати в аналітичному вигляді показаний на відповідному малюнку початковий розподіл переміщень або швидкості точок струни
6. Повздовжні коливання стержня або поперечні коливання струни iconОснови біологічної фізики” ( Дисципліна: Медична та біологічна фізика ) 2012 / 2013 навч рік
Механічні коливання. Характеристики механічних коливань. Гармонічні коливання (рівняння, закон, графік). Згасаючі коливання (рівняння,...
6. Повздовжні коливання стержня або поперечні коливання струни icon«затверджую» Ректор С. В. Савченко 2012 р. Програма
Механічні коливання. Вільні І вимушені коливання, гармонійний осцилятор. Коливання при наявності тертя. Резонанс
6. Повздовжні коливання стержня або поперечні коливання струни iconРозділ механічні коливання І хвилі
Коливання називаються гармонічними якщо величина, що коливається, змінюється в часі за косинусоїдальним (синусоїдальним) законом
6. Повздовжні коливання стержня або поперечні коливання струни iconПитання для підготовки до модульного контролю з фізики в гр. Ра-11-1-2 2-го курсу фекі
Механічні вільні загасаючі коливання. Рівняння коливань, коефіцієнт загасання. Аперіодичні загасаючі коливання
6. Повздовжні коливання стержня або поперечні коливання струни iconТема 10. Економічні коливання. Безробіття
Термін "діловий цикл" має певні недоліки. Він передбачає, що економічні коливання відбуваються регулярно І їх можна прогнозувати....
6. Повздовжні коливання стержня або поперечні коливання струни iconНеоборотного процесу є гальмування тіла під дією сили тертя. Всі процеси, які супроводжуються тертям, є необоротними. Усі реальні процеси є необоротними
Прикладом оборотного процесу є незатухаючі коливання тіла, підвішеного у вакуумі на абсолютно пружній пружині. Механічні коливання...
6. Повздовжні коливання стержня або поперечні коливання струни icon117. Вивчення затухаючих коливань та визначення логарифмічного дек­ремента затухання коливань фізичного маятника методом порівняння
Яких приводить до зменшення енергії системи. Якщо втрати енергії не поповню­ються за рахунок роботи зовнішніх сил, коливання затухають....
6. Повздовжні коливання стержня або поперечні коливання струни iconМетодичні вказівки до лабораторного практикуму з фізики Розділ „коливання та хвилі частина 1 Для студентів інженерно-технічних спеціальностей
Методичні вказівки до лабораторного практикуму з фізики розділ „Коливання та хвилі”. Частина Для студентів інженерно-технічних спеціальностей...
6. Повздовжні коливання стержня або поперечні коливання струни iconМетодичні вказівки до лабораторного практикуму з фізики Розділ „коливання та хвилі частина 2 Для студентів інженерно-технічних спеціальностей
Методичні вказівки до лабораторного практикуму з фізики розділ „Коливання та хвилі”. Частина Для студентів інженерно-технічних спеціальностей...
Додайте кнопку на своєму сайті:
Документи


База даних захищена авторським правом ©zavantag.com 2000-2013
При копіюванні матеріалу обов'язкове зазначення активного посилання відкритою для індексації.
звернутися до адміністрації
Документи