7. Стаціонарний розподіл тепла у платівці. (Задача Діріхлє у прямокутнику для рівняння Лапласа) icon

7. Стаціонарний розподіл тепла у платівці. (Задача Діріхлє у прямокутнику для рівняння Лапласа)




Скачати 32.15 Kb.
Назва7. Стаціонарний розподіл тепла у платівці. (Задача Діріхлє у прямокутнику для рівняння Лапласа)
Дата14.09.2012
Розмір32.15 Kb.
ТипЗадача

7. Стаціонарний розподіл тепла у платівці.

(Задача Діріхлє у прямокутнику для рівняння Лапласа).


Задача. Встановити стаціонарний розподіл температури у квадратній платівці, якщо дві бічні сторони платівки теплоізольовані, на третій стороні температура дорівнює нулю, а на четвертій – температура змінюється за графіком, який показано на малюнку N, де .


Математично ця задача зводиться до розв’язку рівняння Лапласа:


. (7.1)


Складемо тепер граничні умови.
















0

Мал. 7.2.


По-перше, на малюнку 7.2 оберемо направлення і позначимо кожну зі сторін: . Те, що дві сторони платівки теплоізольовані значить, що течія (похідна у напрямку нормалі) на цих сторонах дорівнює нулю.

Нагадаємо, що похідна від функції у напрямку нормалі – це


. (7.2)


Згідно умови задачі та формули (7.2) на ділянках і маємо:


(7.3)


На ділянках буде


(7.4)


(7.5)


Використовуємо заміну





Для зручності подальших викладок опустимо індекси, тоді рівняння (7.1) і умови (7.3) – (7.5) перетворяться у


(7.6)


(7.7)

(7.8)

(7.9)


Розв’язок одержаної задачі будемо шукати у вигляді


(7.10)


Підставляючи (7.10) у (7.6) та розподіляючи змінні





прийдемо до двох звичайних диференціальних рівнянь





Розв’язки цих рівнянь підставимо в (7.10), тоді


(7.11)


Зауваження. Одна з констант розв’язку (7.11) та власні значення повинні знаходитись з однорідних граничних умов. Отже, після розподілу змінних, знак у береться такий, щоб кругові тригонометричні функції були з тією фіксованою змінною, з якою на паралельних сторонах є однорідні граничні умови.

Отож використаємо граничні умови





Для цього знайдемо від похідну





Тоді маємо систему





а з першого рівняння , але , оскільки у противному випадку одержимо тривіальний розв’язок.

З рівняння знаходимо власні значення:





Таким чином, маємо набір власних значень і для кожного з них відповідно свій розв’язок :





Використовуючи принцип суперпозиції, маємо


(7.12)


Для знаходження і скористуємося рештою граничних умов, тобто





Для цього знайдемо частинну похідну від (7.12)







Ця рівність виконується тільки у випадку, коли коефіцієнти одержаного ряду Фур’є будуть дорівнювати нулю, отже





Зробимо деякі перетворення





а





але





Отож





Зважаючи на отримане співвідношення, розв’язок (7.12) перепишемо





Нарешті





Позначимо


. (7.13)


Коефіцієнт ряду Фур’є обчислюється за формулою





Отже





Після виконання необхідних обчислень, одержимо





Тоді з (7.13)


.


Таким чином, розв’язок (7.12) остаточно буде




. (7.14)

Зауваження. При знаходженні розв’зків диференціального рівняння





їх можливо знайти у вигляді гіперболічних функцій


.


Тоді


.


Далі будемо використовувати граничні умови, враховуючи,що


.


Нехай і змінюються від 0 до 1 з кроком 0.2.






Мал.7.1

Схожі:

7. Стаціонарний розподіл тепла у платівці. (Задача Діріхлє у прямокутнику для рівняння Лапласа) iconЗавдання Стаціонарний розподіл тепла у платівці
Записати у аналітичному вигляді показний на відповідному малюнку початковий розподіл тепла в квадратній плівці
7. Стаціонарний розподіл тепла у платівці. (Задача Діріхлє у прямокутнику для рівняння Лапласа) iconЛабораторна робота №9 розв’ зок задачі дирихле для рівняння лапласа методом сіток
Завдання. Знайти наближений розв’язок задачі Дирихле для рівняння Лапласа в квадраті
7. Стаціонарний розподіл тепла у платівці. (Задача Діріхлє у прямокутнику для рівняння Лапласа) iconЗадача для рівняння Мал. 1 1) має назву задачі Діріхлє
Мета типового завдання з дисципліни “Рівняння математичної фізики” – прищепити навички: застосування методу граничних елементів (мге)...
7. Стаціонарний розподіл тепла у платівці. (Задача Діріхлє у прямокутнику для рівняння Лапласа) iconЗадача для рівняння (1) полягає в знаходженні функції, котра всередині відрізка [a,b] задовольняє рівняння (1), а на його кінцях лінійні крайові умови
Наближене розв’язування лінійної крайової задачі для звичайних диференціальних рівнянь
7. Стаціонарний розподіл тепла у платівці. (Задача Діріхлє у прямокутнику для рівняння Лапласа) icon4. Поширення тепла у стержні
Задача. Нехай на лівому кінці стержня з теплоізольованою бічною поверхнею підтримується постійна температура, яка дорівнює 2 одиницям,...
7. Стаціонарний розподіл тепла у платівці. (Задача Діріхлє у прямокутнику для рівняння Лапласа) iconРозподіл навчальних годин з дисципліни «Поверхневі явища»
Рівняння Ленгмюра. Адсорбція на межі поділу газ – рідина. Поверхневий натяг, його зв'язок з адсорбцією. Рівняння Гіббса, Шишковського....
7. Стаціонарний розподіл тепла у платівці. (Задача Діріхлє у прямокутнику для рівняння Лапласа) iconРозподіл навчальних годин з дисципліни «Поверхневі явища»
Рівняння Ленгмюра. Адсорбція на межі поділу газ – рідина. Поверхневий натяг, його зв'язок з адсорбцією. Рівняння Гіббса, Шишковського....
7. Стаціонарний розподіл тепла у платівці. (Задача Діріхлє у прямокутнику для рівняння Лапласа) icon7. Лінійні диференціальні рівняння другого порядку
Яке рівняння називається характеристичним для лінійного однорідного диференціального рівняння зі сталими коефіцієнтами?
7. Стаціонарний розподіл тепла у платівці. (Задача Діріхлє у прямокутнику для рівняння Лапласа) iconМіністерство освіти І науки, молоді та спорту україни
Загальний вигляд рівняння динаміки сак. Однорідне рівняння. Одержання характеристичного рівняння підстановкою Ейлера. Корені характеристичного...
7. Стаціонарний розподіл тепла у платівці. (Задача Діріхлє у прямокутнику для рівняння Лапласа) iconПитання з дисциплини «дослідження операцій»
Розподіл капіталовкладень між підприємствами; постановка задачі, функціональні рівняння
Додайте кнопку на своєму сайті:
Документи


База даних захищена авторським правом ©zavantag.com 2000-2013
При копіюванні матеріалу обов'язкове зазначення активного посилання відкритою для індексації.
звернутися до адміністрації
Документи