9. Метод граничних елементів icon

9. Метод граничних елементів




Скачати 64.71 Kb.
Назва9. Метод граничних елементів
Дата14.09.2012
Розмір64.71 Kb.
ТипДокументи

9. Метод граничних елементів.


Для розв’язку ряда задач достатньо визначити шукані величини тільки на межі досліджуваної області, що знижує розмірність розглядуваних задач.

Одним з найбільш широко використаних чисельних методів, що дозволяють вирішити дану проблему, є МГЕ, суть якого полягає у слідуючому.

Нехай U0 – точний розв’язок рівняння Лапласа на області


, (2.1)


що задовольняє граничним умовам.


(2.2)


( – повна межа розглядуваної області ).

Точний розв’язок U0 може бути знайдено тільки для небагатьох (до того ж простих) випадків, тому, як правило, розв’язок треба апроксимувати. Отже, отримаємо наближений вираз для функції U, тобто розв’язок, підстановка якого в (2.1) і (2.2) порушить указані рівності:


(2.3)


де .

Таким чином, для розглядуваної області та її межи можна визначити функції помилок


(2.4)


Тепер головне завдання – зробити ці помилки якнайменшими як у розглядуваній області, так і на межі. Для цього розподілимо функцію помилок наступним чином згідно з [1]:


, (2.5)


де – вагова функція;


. (2.6)


Співвідношення (2.5) можна записати в іншому вигляді, використовуючи вираз (2.4):


. (2.7)


Вагова функція – повинна бути неперервною разом зі своїми другими похідними та задовольняти рівнянню


(2.8)


на всій площині .


Інтегруючи співвідношення (2.7) два рази за частинами та враховуючи (2.8), отримаємо


. (2.9)


Тут і – шукані, а і – задані.

Якщо контур розбити на скінчене число граничних елементів K1+K2, тобто


,


причому на кожному елементі Ui і qj вважаємо постійними , то рівняння (2.9) матиме вигляд


. (2.10)


В якості вагової функції розглянемо фундаментальний розв’язок рівняння Лапласа


. (2.11)


Оскільки рівняння (2.10) однорідне, коефіцієнт перед логарифмом можна відкинути. Координати джерела обираємо не на контурі, а на відстані на зовнішній нормалі, де d – довжина елемента.

Координати джерела можна обчислити за формулами


(2.12)





Підставляючи вагову функцію (2.11) у (2.10), отримаємо систему лінійних алгебраїчних рівнянь, коефіцієнти якої є криволінійні інтеграли першого роду, обчислювані для кожного елемента.

Для обчислення значення U у внутрішній точці i області використовується співвідношення [1]


, (2.13)


яке зв’язує значення функції U в точці i зі значенням q і U на межі .

У формулі (2.13) – задані, q, U – знайдені величини, а – фундаментальний розв’язок (2.11), в якому за джерело береться внутрішня точка .

Примітка. Для визначення і , де n – нормаль до кола, можна отримати формули для двох випадків.


  1. Коли нормаль направлена до центру кола, рівняння кола (тут (a, b) – координати центру, R – радіус кола) перепишемо у вигляді


;


знаходимо





складемо допоміжну функцію








.

Тоді






  1. Якщо нормаль направлена від центру, рівняння кола запишеться





Подальші міркування аналогічні наведеним у п. 1.

Отримаємо





Приклад 2.1. Розглянемо задачу теплопровідності для контура (мал. 2.1), де на сторонах L1, L2, L4, L5 – задана температура, а на сторонах L3, L6 – задано тепловий потік.

Математична формуліровка задачі має

вигляд

y

2 L2

L3 L1

1 L4 L6

0 1 L5 3 4 x

Мал. 2.1



Тоді за контур приймаємо суму L1+L2+L4+L5, а за контур - суму L3+L6 . Граничне рівняння має вигляд




(*)


Враховуючи


,


отримаємо


;







^

Враховуючи отримані формули, маємо










У формулі (*) інтеграли – це криволінійні інтеграли першого роду, тобто для їх обчислення необхідно перейти до функції однієї змінної, а межі інтегрування завжди мають бути від меншої до більшої, незалежно від напрямку контура. У цьому випадку граничне рівняння буде мати вигляд








(2.14)


Тут U3, U6 – шукані значення температури на ділянках L3, L6; q1, q2, q4, q5 – шукане значення потоку на ділянках L1, L2, L4, L5.

Випишемо рівняння ділянок контура та координати джерел:


для

для

для

для

для

для

Використовуючи (2.11), випишемо вагові функції для кожної ділянки контура:


(2.15)












Підставляючи вагові функції (2.15) послідовно у (2.14), отримаємо систему лінійних алгебраїчних рівнянь.

Наприклад, для





маємо







Інтеграли обчислюються за допомогою програмного забезпечення Mathcad.

Аналогічно знаходимо значення інших інтегралів:


I12=1,915q2; I13= -0.284U3; I14=1.729q4; I15=3.946q5; I16=1.107U6;

I17=1.448; I18=0.64; I19=0.157; I1 10= -1.884; I1 11= -0.017.

Сума І17+І18+І19+І1 10+І1 11 – є вільним членом першого рівняння системи.

Таким чином, визначені коефіцієнти першого рівняння.

Виконавши ті ж самі дії для , отримаємо систему рівнянь





Розв’язавши цю систему за допомогою програмного забезпечення Mathcad або методом Гауса на ЄОМ, отримаємо


(2.14)

Для обчислення значення U у внутрішній точці скористаємося формулою (2.13):


.


Координати точки Р використовуємо в якості координат джерела. Тоді вагова функція





Згідно з (2.14) співвідношення (2.13) для даної задачі запишеться у такому вигляді









або








. (2.16)

У (2.16) підставимо вагову функцію та її частинні похідні і обчислимо інтеграли за допомогою програмного забезпечення Mathcad.






Примітка. Розв’язок даної задачі можна перевірити методом поділення змінних. Достатня кількість однорідних граничних умов дозволяє використати цей метод.

Схожі:

9. Метод граничних елементів iconЗавдання Метод граничних елементів
...
9. Метод граничних елементів iconПро формування граничних критеріїв технічного стану будівельних конструкцій І елементів

9. Метод граничних елементів iconМетод скінченних елементів у задачах дослідження неоднорідного анізотропного ґрунтового півпростору
Отримано основні співвідношення методу скінченних елементів з використанням моментної схеми скінченних елементів
9. Метод граничних елементів iconЗадача для рівняння Мал. 1 1) має назву задачі Діріхлє
Мета типового завдання з дисципліни “Рівняння математичної фізики” – прищепити навички: застосування методу граничних елементів (мге)...
9. Метод граничних елементів iconМіністерство освіти І науки України Сумський державний університет
П 12 Метод скінченних елементів в задачах коливань механічних систем: Навчальний посібник.– Суми: Вид-во СумДУ, 2007.–180с
9. Метод граничних елементів iconЛекція 5 Методи одержання моделей елементів
Еом. Тому моделювання елементів виконується, як правило, фахівцями конкретних технічних галузей за допомогою традиційних засобів...
9. Метод граничних елементів iconАкадемія міського господарства методичні вказівки
«Метод скінчених елементів» курсу Будівельна механіка (для студентів 3 курсу денної І заочної форм навчання бакалаврів за напрямом...
9. Метод граничних елементів iconПитання для усного складання модуля-1 з «Медичної хімії» для студентів 1-го курсу спеціальності «Стоматологія»
Типові хімічні властивості елементів та їх сполук (реакції без зміни ступеня окиснення, зі зміною ступеня окиснення). Зв’язок між...
9. Метод граничних елементів iconФільтраційна консолідація ґрунтового масиву в основі гідротехнічної споруди за наявності перенесення солей
Для чисельного розв’язування відповідної двовимірної задачі запропоновано використати метод скінченних елементів. Досліджено задачу...
9. Метод граничних елементів iconТеоретичні питання з курсу „Аналітична геометрія та лінійна алгебра
Системи лінійних рівнянь. Основні означення. Методи розв’язування (метод Крамера, метод Гауса, матричний метод). Приклади
Додайте кнопку на своєму сайті:
Документи


База даних захищена авторським правом ©zavantag.com 2000-2013
При копіюванні матеріалу обов'язкове зазначення активного посилання відкритою для індексації.
звернутися до адміністрації
Документи