Методичні вказівки щодо виконання лабораторної роботи з курсу \"економетрія\" на тему \"системи одночасних регресій\" для студентів денної та заочної форм навчання icon

Методичні вказівки щодо виконання лабораторної роботи з курсу "економетрія" на тему "системи одночасних регресій" для студентів денної та заочної форм навчання




Скачати 447.28 Kb.
НазваМетодичні вказівки щодо виконання лабораторної роботи з курсу "економетрія" на тему "системи одночасних регресій" для студентів денної та заочної форм навчання
Сторінка3/6
Дата07.10.2012
Розмір447.28 Kb.
ТипМетодичні вказівки
1   2   3   4   5   6

^ 3.5. НМНК у матричній формі для системи двох регресій


Запишемо систему одночасних рівнянь у матричній формі.

Якщо ввести такі позначення:

- матриця параметрів при ендогенних величинах,

- матриця параметрів при екзогенних величинах структурної форми системи регресій,

- вектор-стовпець ендогенних величин,

- вектор-стовпець екзогенних величин,

- вектор-стовпець відхилень,

то систему одночасних регресій у структурній формі можна записати в матричній формі

(3.5)

Для переходу від структурної форми до прогнозної помножимо зліва рівняння в матричній формі (3.5.) на матрицю, обернену до матриці :



Якщо позначити матрицю через матрицю , то отримаємо таку прогнозну систему регресії в матричному вигляді:

, де

Після оцінки параметрів матриці прогнозної форми методом найменших квадратів з матричного рівняння



знаходимо оцінки параметрів матриць та .

Оскільки матриця , то матричне рівняння матиме вигляд

.

Розписавши добуток матриць, отримаємо шість рівнянь:

(3.6)


Ця система рівнянь еквівалентна системі рівнянь (3.3), а тому має той самий розв’язок (3.4)


^ 3.6. НМНК для системи двох регресій з центрованими величинами


Ураховуючи той факт, що середні величини задовольняють регресію

(3.7)

отримаємо регресію для центрованих величин. Для цього від рівняння регресії (1.1) віднімемо (1.7) і т.д.

Система регресій для центрованих величин набуде вигляду

(3.8)

Ця система одночасних регресій пов’язує центровані величини



та у ній відсутні вільні змінні.

Використовуючи ЗЖВ, перейдемо від структурної форми до прогнозної форми системи регресій. Симплекс-таблиця системи регресій має вигляд
















О1=

-1





0

1

0

О2=



-1

0



0

1


Після двох кроків ЗЖВ отримаємо таку симплекс-таблицю системи двох регресій у прогнозній формі:
































Таким чином, прогнозна форма системи регресій буде мати чотири параметри:

(3.9)

Якщо статистичні дані розглядаються за к періодів, то суміщена симплекс-таблиця системи нормальних рівнянь матиме вигляд:










1

0

0

1

0=









0=










Якщо ввести такі позначення





і , то після двох кроків ЗЖВ отримаємо оцінки параметрів матриці :




















Після цього з рівності параметрів прогнозної форми системи регресій отримаємо систему чотирьох рівнянь:

(3.10)

Розв’язавши систему рівнянь, знайдемо:

(3.11)

Формули оцінок параметрів структурної системи регресій, виражені через оцінки параметрів прогнозної форми регресій для центрованих і нецентрованих величин, співпадають (3.4), (3.11).

Відрізняються вони тільки тим, що в регресії з центрованими екзогенними та ендогенними величинами відсутні вільні члени як у структурній, так і в прогнозній формах.

Для оцінювання значення прогнозу ендогенних величин за заданими екзогенними величинами центруємо значення ендогенних величин і підставляємо в прогнозну форму регресії з центрованими величинами. Після визначення центрованих прогнозних значень ендогенних величин до них додаємо середні значення цих величин. Або записуємо прогнозну форму з урахуванням центрованих величин:



і перетворюємо, розкривши дужки:



де

Аналогічним чином можна перетворити структурну центровану систему регресій на структурну систему регресій:

де


^ 3.7. Непрямий метод найменших квадратів для системи з n регресій


Розглянемо повну економетричну модель. Система регресій називається повною, якщо:

  1. вона має стільки регресій, скільки в ній ендогенних величин;

  2. вона має всі змінні, які мають суттєвий вплив на сумісно залежні ендогенні величини;

  3. визначник матриці, складеної з коефіцієнтів при ендогенних величинах системи регресій у структурній формі, відмінний від нуля, тобто систему можна розв’язати відносно ендогенних величин.

Нехай повна система регресій структурної форми має n ендогеннних величин та m екзогенних величин

(3.12)

Для оцінки параметрів наведеної системи регресій можна застосувати НМНК, якщо вона ідентифікована.

Економетрична модель буде ідентифікованою, якщо буде ідентифікованою кожна регресія розглянутої системи регресій. Якщо i-та регресія складається з ендогенних величин і екзогенних величин, то ця регресія ідентифікована за умови

або

Припустимо, система ідентифікована. Для оцінювання параметрів цієї системи регресій можна застосувати непрямий метод найменших квадратів. Запишемо систему регресій у матричній формі. Нехай






Тоді система регресій (3.12) запишеться у вигляді:

(3.13)

Якщо визначник , то систему регресій можна розв’язати відносно ендогенних величин, тобто привести до прогнозної форми:

(3.14)

Для оцінки параметрів структурної системи регресій (3.14) для кожної з системи регресій застосовується МНК. Сумісна симплекс-таблиця системи нормальних рівнянь матиме вигляд:

0...0......0...0......0...0....................................0...0......1
(3.15)

1


...


1





...

Якщо вибрати діагональні елементі за розв’язувальні елементи, то після кроків ЗЖВ отримаємо розв’язок.


...

...

...

...






Наведена сумісна симплекс-таблиця системи нормальних рівнянь (3.15) дозволяє розв’язати одним циклом ( кроків) ЗЖВ усі системи нормальних рівнянь. Після оцінювання параметрів наведеної прогнозної форми (3.14) визначаються оцінки параметрів структурної системи регресій (3.12). Для цього розглянемо матричну форму системи регресій (3.13). Помножимо цю систему зліва на матрицю :



Якщо позначити , отримаємо прогнозну форму систем регресій .

У матричному рівнянні відомі оцінки параметрів матриці і невідомі оцінки параметрів матриць і . Якщо система регресій ідентифікована, то параметри матриць і однозначно визначаються через параметри матриці із системи рівнянь:



Якщо система ідентифікована, то на частину параметрів матриць і накладені обмеження.


^ 3.8. Двокроковий метод найменших квадратів


У тих випадках, коли система одночасних регресій не ідентифікована, розроблені методи оцінювання параметрів, які враховують багатосторонні зв’язки залежних величин.

Один з таких методів є двокроковий метод найменших квадратів (ДМНК), який є аналогією оцінювання параметрів рекурсивної моделі.

Розглядаємо структурну систему регресій:

(3.16)


На основі статистичних даних потрібно оцінити параметри не ідентифікованої структурної системи регресій.

Для зручності викладання запишемо систему (3.16) у матричній формі: . Позначення матриць і векторів співпадає з позначеннями в попередньому параграфі.

Припустимо, що , тоді систему можна подати в наведеній формі

, або ,

де

Матрицю можна записати в розгорнутому вигляді




^ 3.9. Алгоритм двокрокового МНК


Перший крок ДМНК


  1. Записується наведена форма структурних рівнянь

.

  1. Використовуючи МНК для кожної з регресій, отримаємо оцінки елементів матриці .

Для розв’язування системи нормальних рівнянь будемо використовувати ЗЖВ.

Системи нормальних рівнянь для наведеної форми подамо у вигляді сумісної симплекс-таблиці.








...

...


...

...



1


1



...




1

......

0...0

......

0...0

.....................

...

.........

0...0

Якщо , то після кроків ЗЖВ над симплекс-таблицею з розвязувальними діагональними елементами знайдемо матрицю оцінок параметрів















Другий крок ДМНК


  1. Використовуючи матрицю спостережень над екзогенними величинами



і матрицю оцінок параметрів , за формулою знаходимо матрицю розрахункових значень ендогенних величин



4.Приймаючи величини , які знаходяться справа в системі регресій (3.16) перевизначеними, після заміни їх на знаходять МНК оцінки параметрів для кожної регресії окремо.

Після знаходження матриці складаємо таку систему регресій

(3.17)

5.Для оцінки матриць і до кожного з рівнянь (3.17) застосовується МНК, наприклад, для першої регресії система нормальних рівнянь у формі симплекс-таблиці має вигляд

......1




......

0=

0=к





...





...





.....................

...

.........

0=

......

0=

...

...

...

...

...

...

...

...

...

0=





...





...






Якщо визначник матриці при невідомих параметрах не дорівнює нулю, то після кроків ЗЖВ з діагональними розв’язувальними елементами отримаємо оцінки параметрів першої регресії.

Якщо позначити через матрицю, отриману з матриці ви кресленням першого стовпця, а через , то, використовуючи матричне позначення, симплекс-таблицю для оцінки параметрів першої регресії запишемо у вигляді:






1







Аналогічним чином складається симплекс таблиця системи нормальних рівнянь для i-ї регресії.

Якщо позначити через матрицю, отриману з матриці викресленням і-го стовпця, а , то, використовуючи матричні позначення, симплекс-таблицю системи нормальних рівнянь і-ї регресії запишемо у вигляді:







1







Позначимо блочну матрицю як



Якщо визначник цієї матриці не дорівнює нулю , то після кроків ЗЖВ отримаємо розв’язок системи нормальних рівнянь і-ї регресії








1









^ 3.10 Модифікований двокроковий метод найменших квадратів (МДМНК)


Розглянутий у [1] двокроковий метод найменших квадратів, побудований за аналогією рекурсивної системи регресії, має той недолік, що передвизначені величини отримуються з прогнозної форми, відхилення яких є перетвореними відносно до відхилень у структурній формі системи регресій. Розглянемо модифікований двокроковий метод найменших квадратів, алгоритм якого складається з двох кроків: 1-й крок полягає в оцінюванні параметрів МНК матриці наведеної системи регресій; 2-й крок полягає в оцінці МНК параметрів при ендогенних величинах системи регресій у наведеній формі з величинами, які являють собою відхилення ендогенних величин відносно розрахункових значень цих величин, отриманих на першому кроці. На основі оцінених параметрів двох матриць знаходяться параметри (елементи) третьої матриці.


^ Оцінювання параметрів системи двох регресій модифікованим

двокроковим методом найменших квдаратів


Розглянемо систему двох взаємозалежних систем регресій:

Ця система регресій не ідентифікована, тому для оцінювання параметрів не можна використовувати непрямий метод найменших квадратів. Якщо , то для оцінювання параметрів перетворимо структурну систему регресій до прогнозної форми і знайдемо оцінки параметрів МНК.

Проблема визначення оцінок параметрів структурної форми полягає в переході від прогнозної форми до структурної.

Простежимо перехід від структурної до прогнозної форми. Для цього запишемо систему регресій у вигляді симплекс-таблиці:









1










-1









(3.18)





-1












1   2   3   4   5   6

Схожі:

Методичні вказівки щодо виконання лабораторної роботи з курсу \"економетрія\" на тему \"системи одночасних регресій\" для студентів денної та заочної форм навчання iconМетодичні вказівки щодо виконання практичних занять
Методичні вказівки щодо самостійної роботи з курсу “Управлінські інформаційні системи в аналізі та аудиті” для студентів денної та...
Методичні вказівки щодо виконання лабораторної роботи з курсу \"економетрія\" на тему \"системи одночасних регресій\" для студентів денної та заочної форм навчання iconМетодичні вказівки щодо виконання лабораторної роботи з навчальної дисципліни " фізика " " визначення роботи виходу електрона"
Методичні вказівки щодо виконання лабораторної роботи з навчальної дисципліни “Фізика” “Визначення роботи виходу електрона” ( розділ...
Методичні вказівки щодо виконання лабораторної роботи з курсу \"економетрія\" на тему \"системи одночасних регресій\" для студентів денної та заочної форм навчання iconМетодичні вказівки щодо виконання лабораторної роботи з навчальної дисципліни " фізика " "вивчення електричних властивостей сегнетоелектриків"
Методичні вказівки щодо виконання лабораторної роботи з навчальної дисципліни “Фізика” “Вивчення електричних властивостей сегнетоелектриків...
Методичні вказівки щодо виконання лабораторної роботи з курсу \"економетрія\" на тему \"системи одночасних регресій\" для студентів денної та заочної форм навчання iconМетодичні вказівки щодо виконання лабораторної роботи з навчальної дисципліни " фізика " "вивчення магнітних властивостей феромагнетиків"
Методичні вказівки щодо виконання лабораторної роботи з навчальної дисципліни “Фізика” “Вивчення магнітних властивостей феромагнетиків”...
Методичні вказівки щодо виконання лабораторної роботи з курсу \"економетрія\" на тему \"системи одночасних регресій\" для студентів денної та заочної форм навчання iconРоботи
Методичні вказівки щодо виконання лабораторної роботи з навчальної дисципліни “Фізика” “Визначення періоду дифракційної ґратки” (розділ...
Методичні вказівки щодо виконання лабораторної роботи з курсу \"економетрія\" на тему \"системи одночасних регресій\" для студентів денної та заочної форм навчання iconМетодичні вказівки щодо виконання лабораторної роботи з навчальної дисципліни " фізика " "дослідження електростатичних полів методом зонда"
Методичні вказівки щодо виконання лабораторної роботи з навчальної дисципліни “Фізика” “Дослідження електростатичних полів методом...
Методичні вказівки щодо виконання лабораторної роботи з курсу \"економетрія\" на тему \"системи одночасних регресій\" для студентів денної та заочної форм навчання iconМетодичні вказівки щодо виконання лабораторної роботи з навчальної дисципліни " фізика " "визначення ємності конденсатора мостовою схемою"
Методичні вказівки щодо виконання лабораторної роботи з навчальної дисципліни “Фізика “ “Визначення ємності конденсатора мостовою...
Методичні вказівки щодо виконання лабораторної роботи з курсу \"економетрія\" на тему \"системи одночасних регресій\" для студентів денної та заочної форм навчання iconМетодичні вказівки щодо виконання лабораторної роботи з навчальної дисципліни " фізика " "визначення показника заломлення рідини рефрактометром"
Методичні вказівки щодо виконання лабораторної роботи з навчальної дисципліни “Фізика” “Визначення показника заломлення рідини рефрактометром”...
Методичні вказівки щодо виконання лабораторної роботи з курсу \"економетрія\" на тему \"системи одночасних регресій\" для студентів денної та заочної форм навчання iconМетодичні вказівки щодо виконання лабораторної роботи з навчальної дисципліни " фізика " " дослідження дифракції світла на вузькій щілині "
Методичні вказівки щодо виконання лабораторної роботи з навчальної дисципліни “Фізика” “Дослідження дифракції світла на вузькій щілині”...
Методичні вказівки щодо виконання лабораторної роботи з курсу \"економетрія\" на тему \"системи одночасних регресій\" для студентів денної та заочної форм навчання iconРоботи
Методичні вказівки щодо виконання лабораторної роботи з навчальної дисципліни “Фізика” “Перевірка закону Малюса й визначення ступеня...
Додайте кнопку на своєму сайті:
Документи


База даних захищена авторським правом ©zavantag.com 2000-2013
При копіюванні матеріалу обов'язкове зазначення активного посилання відкритою для індексації.
звернутися до адміністрації
Документи