В. М. Азарсков, д-р техн наук Л. С. Житецький, канд техн наук О. А. Сущенко icon

В. М. Азарсков, д-р техн наук Л. С. Житецький, канд техн наук О. А. Сущенко




Скачати 159.38 Kb.
НазваВ. М. Азарсков, д-р техн наук Л. С. Житецький, канд техн наук О. А. Сущенко
Дата16.08.2012
Розмір159.38 Kb.
ТипДокументи



I SSN 1813–1166. Вісник НАУ. 2005. №1

УДК 681.513

В.М. Азарсков, д-р техн. наук

Л.С. Житецький, канд. техн. наук

О.А. Сущенко, канд. техн. наук

АДАПТИВНЕ УПРАВЛІННЯ ДИНАМІЧНИМ ОБ’ЄКТОМ
ЗА НАЯВНОСТІ НЕРЕГУЛЯРНИХ ЗБУРЕНЬ
НА ОСНОВІ МЕТОДІВ ПОТОЧНОЇ ФУНКЦІОНАЛЬНОЇ ІДЕНТИФІКАЦІЇ

Інститут електроніки та систем управління НАУ, e-mail fsu@nau.edu.ua

Розглянуто два типи адаптивних систем управління, які містять ідентифікатор у контурі зворотного зв’язку. На відміну від систем типу I, в яких здійснюється неавтономне поточне оцінювання невідомих параметрів об’єкта, у системах типу II вводиться режим автономної ідентифікації на початковій стадії адаптації. Встановлено деякі властивості цих типів систем. Наведено їх порівняльну оцінку.

Вступ


Побудова ефективних систем автоматичного управління в умовах постійно діючих збурень, передусім оптимальних систем стабілізації, потребує, як відомо [1], повної інформації про структуру і значення параметрів об’єкта. Між тим у практичному плані відносно рідко зустрічаються випадки, коли в розпорядженні конструктора системи апріорі є така інформація. У цих випадках цілком природним є використання ідентифікаційного підходу, згідно з яким параметри регулятора визначаються параметрами моделі об’єкта, що знаходяться тим чи іншим шляхом на основі обробки доступних для вимірювання вхідних даних і вихідних сигналів об’єкта. Такий підхід пропонується, зокрема в книзі [1], в якій розглядається ситуація, коли неконтрольовані збурення мають стохастичну природу. Але розроблені в праці [1] алгоритми ідентифікації є порівняно складними і потребують певного часу для збору необхідних даних. Крім того, використання згаданих алгоритмів може не привести до бажаних результатів, якщо збурення належать до так званих нерегулярних (нестохастичних) сигналів.

Інший клас алгоритмів ідентифікації складають рекурентні алгоритми поточного оцінювання [2], до яких належать, зокрема, відомі алгоритми методу найменших квадратів та стохастичної апроксимації. На жаль, вони виявляються непридатними при так званих нерегулярних збуреннях, коли вони, залишаючись випадковими, мають нестохастичну природу [2]. До того ж деяким з таких алгоритмів, а саме алгоритмам стохастичної апроксимації притаманна практично досить низька швидкість збіжності.

У статті [2] були запропоновані алгоритми адаптивної ідентифікації дискретних динамічних об’єктів, які в кожний дискретний момент часу дозволяють отримувати поточні оцінки невідомих параметрів об’єкта в умовах нерегулярного збурення. Якщо ці оцінки використовувати безпосередньо для формування управляючих дій, то таким чином вдається побудувати замкнені адаптивні системи управління, здатні за певних припущень забезпечити в асимптотиці довільний показник субоптимальності в умовах обмеженості за рівнем нерегулярного збурення [3].

Особливістю таких систем є те, що досягнення наперед заданого показника якості їх функ-ціонування принципово не потребує асимптот-тично точних оцінок невідомих параметрів об’єкта. Отримання таких оцінок за наявності нерегулярного збурення за даними вимірювань принципово неможливе [3; 4]. У цьому зв’язку рекурентні алгоритми оцінювання доречно розглядати як алгоритми так званої функціональної ідентифікації [3].

Теорія адаптивних систем управління, що
містять ідентифікатор в ланцюзі зворотного зв’язку, протягом останніх двох десятиріч знайшла суттєвий розвиток в багатьох працях вітчизняних і зарубіжних вчених і узагальнена в монографіях [3–7].

У рамках ідентифікаційного підходу до задачі побудови цього класу систем розроблені методи й алгоритми точкового [2; 4; 6] та множинного [5] поточного оцінювання невідомих параметрів об’єкта. Зокрема, цей підхід дістав свій розвиток при розв’язанні задачі адаптивного управління дискретним динамічним об’єктом в умовах до-вільного (не обов’язково стохастичного) неконтрольованого збурення з обмеженою швидкістю зміни [8]. Синтезований у праці [8] алгоритм адаптивної ідентифікації являє собою скінченнозбіжну рекурентну процедуру точкового оцінювання одного з тих класів, які розглядаються в статті [2].

Недолік класичних методів синтезу адаптивних регуляторів, які базуються на ідентифікаційному підході, полягає в тому, що формування управляючих дій із використанням, принаймні, точкових оцінок не виключає можливості появи досить значних за абсолютною величиною похибок управління на початковому етапі адаптації, коли поточні оцінки можуть ще бути дуже далекими від істинних значень параметрів об’єкта. Для запобігання виникнення таких похибок на цьому етапі пропонується вводити режим автономної ідентифікації (навчання моделі), перекладаючи функцію управління від адаптивного до звичайного регулятора, який необхідно передбачити в структурі системи управління [9].

Ідея “обережного” підключення адаптивного регулятора з застосуванням указаного прийому була запропонована в праці [10] під час розв’язання конкретної технічної задачі стабілізації температурного режиму паросилового агрегату, тоді як теоретичне обґрунтування цього прийому вперше дано в згаданій роботі [9].

У даній роботі порівнюються властивості адаптивних систем управління двох типів, а саме системи, в якій функціональна ідентифікація відбувається в неадаптивному режимі протягом всього часу [8], і системи, в якій передбачається перехід від автономного режиму ідентифікації на початковій її стадії до неавтономного режиму на заключній стадії [9].
^

Постановка задачі


Нехай вимагається стабілізувати на заданому рівні вихідну змінну лінійного дискретного динамічного об’єкта, що описується ска-лярним різницевим рівнянням

, (1)

де – вихідна змінна, яка доступна для вимірювання в кожний -й дискретний момент часу; – управляюча дія, яка подається на вхід об’єкта в той самий момент часу; – неконтрольоване адитивне зовнішнє збурення; – оператор зсуву на один такт назад, який для довільного визначається так: .

У формулі (1)

(2)

являють собою це поліноми відносно комплексного змінного деякого ступеня .

Розглядається ситуація, коли вектор параметрів об’єкта

, (3)

компоненти якого є коефіцієнти поліномів , у виразах (2), апріорі невідомі; відомо тільки, що , тобто об’єкт (1) не містить чистого запізнювання, і, крім того, є міні-мальнофазовим:

.

Припускається, що – довільна (нерегулярна) послідовність збурень з обмеженою
швидкістю зміни за один такт:

, (4)

де – величина, що вважається апріорі
відомою.

Ураховуючи вирази (2), (3), перепишемо рівняння (1) у регресійній формі

, (5)

де – вектор фазових змінних.

З рівняння (5) випливає, що

, (6)

де , а позначає прирощення збурення на -му такті, точна верхня межа якого за модулем відповідно до обмеження (4) визначається нерівністю

.

Оскільки змінна недоступна для вимірювання, то, як показано в праці [9], рівняння моделі об’єкта, в якій всі змінні можуть бути виміряні, згідно з рівнянням (6) доцільно записати у вигляді

. (7)

де – вихідні змінні моделі; –вектор деяких оцінок складових невідомого .

.

Позначимо через вектор оцінок невідомих параметрів об’єкта, який повинен уточнюватися на кожному -му такті на основі певного алгоритму адаптивної ідентифікації моделі (7), тобто:

.

Поклавши у вираз (7) , отримаємо рівняння моделі з поточними параметрами , , які повинні у разі необхідності коректуватися на черговому -му такті, у вигляді

. (8)

Тоді похибка ідентифікації

,

зумовлена наявністю неконтрольованого збурення і того, що , згідно з виразом (8) визначається за формулою

, (9)

де .

Як алгоритм адаптивної ідентифікації візьмемо одну з відомих [2; 3] рекурентних процедур корекції вектора в рівнянні (8), яку в символічній формі можна подати так:

. (10)

Це означає, що корекцію вектора потрібно здійснювати лише тоді, коли поточна похибка ідентифікації за модулем перевищить певний поріг , який повинен задовольняти вимогу

. (11)

Згідно з працями [9; 10] існують, щонайменше, два можливі напрями організації адаптивного управління об’єктом (1) з використанням алгоритму поточної ідентифікації (10).

Перший напрям зводиться до вибору на кожному -му такті управляючої дії за правилом [9]

, (12)

де – вихідний сигнал адаптивного регулятора, що формується на основі поточної оцінки , яка генерується алгоритмом (10):

...

; (13)

en – похибка управління:

. (14)

Для здійснення адаптивного управління в другому напрямі конструктору системи необхідно мати у своєму розпорядженні звичайний (стандартний) регулятор, зокрема, ПІД-регулятор, на який замість адаптивного регулятора слід покласти функцію управління на початковій стадії адаптації параметрів , моделі (8) до невідомих параметрів об’єкта (1), коли похибка ідентифікації може ще набагато перевищувати за модулем величину [9]. При цьому потрібно ще знати деяку оцінку зверху

(15)

на абсолютну величину похибки управління за умови, що протягом деякого числа тактів, яке задовольняє вимогу:

,

управляюча дія на відміну від правила (12) визначається за правилом

, (16)

де – вихід звичайного регулятора.

При виконанні правила (16) ідентифікація моделі (8) згідно з тим самим алгоритмом (10) повинна відбуватись в автономному режимі.

Задача полягає в тому, щоб провести порів-няльне дослідження адаптивних систем управління об’єктом (1), в яких ідентифікація його моделі (8) здійснюється в неавтономному і автономному режимах за алгоритмом (10), побудованим у формі відомої рекурентної процедури

(18)

В алгоритмі (17) – коефіцієнт, який до-вільно вибирається з умови

(18)

таким чином, щоб на кожному -му такті виконати вимогу

; (19)

– евклідова норма вектора.

Системи адаптивного управління

з ідентифікатором в ланцюзі

зворотного зв’язку

Структурна схема системи управління, яка містить адаптивний регулятор, здатний формувати управляючі дії за законом (12) – (14), використовуючи поточні оцінки , що генеруються алгоритмом адаптації (17)–(19), зображена на рис. 1.



Рис. 1. Структурна схема адаптивної системи управління з ідентифікатором, що функціонує в неавтономному режимі


Це є класична система, в якій адаптація параметрів моделі (8) здійснюється в неавтономному режимі. Цю систему назвемо системою типу І. Щоб реалізувати ідею автономної ідентифікації тієї ж самої моделі (8) на початковому етапі
адаптації, алгоритм управління об’єктом (1) необхідно доповнити певним правилом переходу від одного режиму функціонування системи до іншого, ввівши характеристичну (індикаторну) функцію , яка приймає два значення: , якщо в -й момент часу система повинна функціонувати в автономному режимі, і , якщо у відповідний момент її потрібно перевести в неавтономний режим функціонування. Поклавши , цю функцію визначимо так:



де – поточне число тактів після останньої корекції вектора за алгоритмом (17); – довільне число, яке встановлюється конструктором системи з умови ; – величина, яка фігурує в співвідношенні (15).

Тоді сам алгоритм управління з врахуванням правила (16) набуває вигляду:

(20)

Алгоритм управління (20) разом з рівняннями (13), (17)–(19) описує адаптивний регулятор повністю.

На рис. 2 зображена структурна схема адаптивної системи управління, що реалізує алгоритм (20). Таку систему доречно назвати системою типу ІІ.



Рис. 2. Структурна схема адаптивної системи управління з ідентифікатором, в якій передбачається зміна режимів функціонування
^
Порівняльна оцінка властивостей

систем типу І і ІІ

В умовах допущень, сформульованих у постановці задачі відносно об’єкта (1) та збурення , в системі типу І забезпечується виконання вимоги [8]

(21)

при довільному значенні числа , яке задовольняє співвідношення (11). У тих самих умовах вимога (21) виконується в системі типу ІІ [9]. Це означає, що системам обох типів притаманна властивість асимптотичної субоптимальності: гранична нерівність (21) забезпечується при будь-якому показнику субоптимальності [3].

Згідно з працями [8; 9] послідовність векторів оцінок невідомих параметрів об’єкта (1), що генерується алгоритмом поточної адаптивної ідентифікації (17) у кожній із систем двох типів, збігається до деякої своєї межі

, (22)

де – випадковий вектор при будь-якому початковому векторі , якщо тільки вибрати таким, що . Алгоритм (17) є скінченнозбіжним: існує деяке ви-падкове число таке, що

. (23)

Таким чином, межа (22) неодмінно досягається за скінченну кількість тактів , що є
спільною властивістю систем типів І і ІІ. При цьому відповідно до закону управління (13), на який після остаточного припинення режиму автономної ідентифікації обов’язково переходить система типу ІІ [9], з урахуванням властивості (23) формування управляючих дій для всіх буде відбуватися за формулою



. (24)

Оскільки властивість (24) означає, що при , а похибка ідентифікації в неавтономному режимі збігається, як відомо
[8; 9], з похибкою управління (з точністю до знака), тобто

, (25)

то управління (24) за визначенням (14) змінної забезпечує обмеженість виходу об’єкта :

.

У системі типу І співвідношення (25) неодмінно виконується для всіх , [9], тоді як в системі типу ІІ (на відміну від системи типу І), воно не виконується при , коли процес ідентифікації відбувається в автономному режимі.

Для експериментального дослідження особливості систем типів І і ІІ проводилось їх комп’ютерне моделювання за однакових умов, наведених у праці [9], а саме при ; ; ; ; . Був вибраний такий початковий вектор параметрів моделі (8) обох систем: . Як і в праці [9], послідовність збурень моделювалася згідно з різницевим рівнянням у формі

,

де – послідовність псевдовипадкових незалежних змінних, рівномірно розподілених у діапазоні .

Функцію стандартного регулятора було покладено на дискретний ПІД-регулятор, вихідний сигнал якого для кожного визначався рівнянням [9]

;

де ; .

Результати модельних експериментів при за умов, коли , , показано на рис. 3, 4.



Рис. 3. Вихід об’єкта в умовах модельних

експериментів при :

1 – у системі типу І; 2 – у системі типу ІІ

Моделювання адаптивних систем управління типів І і ІІ підтвердило, що кожного разу, коли відбувається корекція вектора , невід’ємна скалярна функція

, (26)

що активно експлуатується в книзі [3] як функція Ляпунова алгоритму адаптації (17) при обґрунтуванні його скінченної збіжності, завжди зменшується [8; 9]:

. (27)

Хоча така корекція згідно з функціями (26), (27) вказує на наближення вектора до , але це зовсім не означає, що одночасно повинні виконуватись нерівності

,

і

, ,

тобто, що виконання умови (27) повинно обов’язково супроводжуватися зменшенням абсолютної величини похибки оцінювання кожного параметра. У цьому можна переконатися, розглядаючи результати моделювання процесів адаптації моделі (8) в системі типу І (рис. 4, г, д) та в системі типу ІІ (рис. 4, з, u).

Як видно з порівняння рис. 4, в, ж, сталий режим стабілізації виходу об’єкта на заданому рівні , коли похибка остаточно залишається обмеженою в інтервалі

,

наступає значно пізніше в системі типу ІІ, ніж в системі типу І. У той самий час на початку процесу ідентифікації ця похибка за модулем здатна досягати значного рівня, який може набагато перевищувати не тільки число , але і число , якщо адаптивну систему будувати за схемою
рис. 1, тоді як в побудованій за схемою рис. 2 змінну протягом усього часу функціонування такої системи вдається зберігати в прийнятних межах (рис. 3).

Під час проведення модельних експериментів виявилось, що відносно невелике збільшення числа призводить до суттєвого збільшення трива-лості перехідного процесу, коли режим автономної ідентифікації остаточно ще не припинився. Зокрема, моделювання показало, що при система типу ІІ остаточно переходить в неавтономний режим на 792 такті (рис. 4, е, є, ж, з, и), а при такий перехід відбувається вже на 3228-му такті.

Звертає на себе увагу та обставина, що при будь-якому достатньо великому значенні числа немає жодних підстав сподіватися на цілковите завершення процесу адаптивної ідентифікації в автономному режимі, оскільки на разі невідомі ознаки, які б вказували на повне припинення корекції вектора за алгоритмом (17), якщо вони взагалі існують. Проте навіть у тому випадку, коли б існування таких ознак було б встановлено, не слід очікувати, що в автономному режимі вдалося би здійснити функціональну ідентифікацію об’єкта (1). Таку гарантію, як показано в праці [9], можна дати лише після остаточного переходу системи в неавтономний режим.





а

б





в

г





д

е





є

ж





з

и

Рис. 4. Результати моделювання адаптивної системи управління:

а, б, в, г, д – тип I; е, є, ж, з, и – тип II


Висновки

Процеси поточного оцінювання невідомих параметрів об’єкта за скінченне число тактів завершуються функціональною ідентифікацією його моделі незалежно від того, чи будується адаптивна система управління як система типу І, чи як система типу ІІ. Між тим в умовах прийнятих припущень відносно неконтрольованого збурення немає гарантії, що така ідентифікація відбудеться в автономному режимі функціонування системи типу ІІ (при будь-якій заздалегідь встановленій конструктором тривалості часу, протягом якого в цьому режимі припиняється корекція параметрів моделі).

Адаптивним системам управління типу І слід віддавати перевагу тоді, коли вимагається забезпечити відносно короткий перехідний процес, незважаючи на величину похибки управління протягом цього процесу. Якщо ж поява значних похибок управління недопустима, рекомендується використання адаптивних систем типу ІІ. При цьому попереджується, що перехідний процес, протягом якого повинна відбуватися адаптивна ідентифікація моделі в автономному режимі, може, взагалі кажучи, суттєво затягнутися.
^
Список літератури

1. Блохин Л.Н. Оптимальные системы стабилизации. – К.: Технiка, 1982. – 144 с.

2. Тимофеев А.В. Рекуррентные конечно-сходя-щиеся алгоритмы адаптивной идентификации дискретных динамических объектов //Изв. АН СССР. Техн. кибернетика.– 1973. – № 6. – С. 206–113.

3. Фомин В.Н., Фрадков А.Л., Якубович В.А. Адаптивное управление динамическими объектами.– М.: Наука, 1981. – 448 с.

4. Срагович В.Г. Адаптивное управление. – М.: Наука, 1981. – 384 с.

5. Кунцевич В.М., Лычак М.М. Синтез оптимальных и адаптивных систем управления: Игровой подход. – К.: Наук. думка, 1985. – 248 с.

6. Landau I.D., Lozano R., M'Saad M. Adaptive control. – London: Springer, 1997. – 562 p.

7. Азарсков В.Н., Блохин Л.Н., Житецкий Л.С., Куссуль Н.Н. Робастные методы оценивания, идентификации и адаптивного управления. – К.: НАУ, 2004. – 500 с.

8. Житецкий Л.С. Развитие метода рекуррентных конечно-сходящихся алгоритмов для решения задачи адаптивной стабилизации линейного дискретного динамического объекта // Кибернетика и вычисл. техника. – 1983. – Вып. 60. – С. 17–22.

9. Азарсков В.М., Житецький Л.С, Сущенко О.А. Розвиток ідентифікаційного підходу до задачі адаптивної стабілізації дискретного динамічного об’єкта при нерегулярному збуренні // Вісн. НАУ. – 2004.– №1. – С. 35–39.

10. Zhiteckij L.S., Skurikhin V.I, Procenko N.M., Sapunova N.A. Adaptive robust and careful control applied to steam temperature regulation of a thermal power plant // Proc. of the 13th IFAC World Congr. – San Francisco, USA, 30th Jun. – 5th Jul., 1996. – 1996. – О. – P. 115–120.

Стаття надійшла до редакції 10.12.04.

В.Н. Азарсков, Л.С. Житецкий, О.А. Сущенко

Адаптивное управление динамическим объектом при наличии нерегулярных возмущений на основе методов текущей функциональной идентификации его модели в автономном и неавтономном
режимах

Рассмотрено два типа адаптивных систем управления, содержащих идентификатор в контуре обратной связи. В отличие от систем I типа, в которых осуществляется неавтономное текущее оценивание неизвестных параметров объекта, в системах II типа вводится режим автономной идентификации на начальной стадии адаптации. Установлены некоторые свойства этих типов систем. Приведена их сравнительная оценка.

V.M. Azarskov, L.S. Zhiteckij, O.A. Sushchenko

Adaptive control of dynamic plant in the presence of irregular disturbances based on methods for current functional identification its model in off-line and on-line modes

The two types of adaptive control systems containing an identifier in feedback circuit are considered. In contrast to the system of the first type, in which the on-line current estimation of unknown plant parameters is implemented, the off-line mode is introduced in the systems of the second type at an initial stage of adaptation. Some features of these types of systems are established. Their comparative evaluation is given.

Схожі:

В. М. Азарсков, д-р техн наук Л. С. Житецький, канд техн наук О. А. Сущенко iconВ. М. Азарсков, д-р техн наук Л. С. Житецький, канд техн наук О. А. Сущенко
Під-регулятор І адаптивний регулятор, де використовуються поточні оцінки невідомих параметрів об’єкта. Для зменшення помилки системи...
В. М. Азарсков, д-р техн наук Л. С. Житецький, канд техн наук О. А. Сущенко iconГосударственный стандарт союза сср конструкции и изделия железобетонные радиационный метод определения толщины защитного слоя бетона, размеров и расположения
Л. Г. Родэ, канд техн наук; В. А. Клевцов, д-р техн наук; Ю. К. Матвеев; И. С. Лифанов; В. А. Воробьев, д-р техн наук; Н. В. Михайлова,...
В. М. Азарсков, д-р техн наук Л. С. Житецький, канд техн наук О. А. Сущенко iconСтроительные нормы и правила отопление, вентиляция и кондиционирование сниП 04. 05-91*
Ссср (д-р техн наук Е. Е. Карпис, М. В. Шувалова), вниипо мвд СССР (канд техн наук И. И. Ильминский), мниитэп (канд техн наук М....
В. М. Азарсков, д-р техн наук Л. С. Житецький, канд техн наук О. А. Сущенко iconПо делам строительства москва разработан министерством промышленности строительных материалов СССР исполнители
В. А. Лопатин, канд техн наук; Н. Н. Бородина, канд техн наук; Т. А. Мелькумова; В. И. Голикова; Л. Г. Грызлова, канд техн наук;...
В. М. Азарсков, д-р техн наук Л. С. Житецький, канд техн наук О. А. Сущенко iconГосударственный стандарт союза сср трапы чугунные эмалированные технические условия гост 1811-81
О. П. Михеев, канд техн наук (руководитель темы); В. И. Фельдман, канд техн наук; В. И. Горбунов, канд техн наук
В. М. Азарсков, д-р техн наук Л. С. Житецький, канд техн наук О. А. Сущенко iconГосударственный стандарт союза сср трубы чугунные канализационные и фасонные части к ним сортамент гост 6942. 1-80
О. П. Михеев, канд техн наук (руководитель темы); В. И. Фельдман, канд., техн наук; В. Н. Бехалов, канд техн наук
В. М. Азарсков, д-р техн наук Л. С. Житецький, канд техн наук О. А. Сущенко iconГосударственный стандарт союза сср трубы чугунные канализационные и фасонные части к ним отводы конструкция и размеры гост 6942. 9-80
О. П. Михеев, канд техн наук (руководитель темы); В. И. Фельдман, канд., техн наук; В. Н. Бехалов, канд техн наук
В. М. Азарсков, д-р техн наук Л. С. Житецький, канд техн наук О. А. Сущенко iconТрубы чугунные канализационные и фасонные части к ним. Раструбы и хвостовики фасонных частей типы, конструкции и размеры гост 6942. 2-80
О. П. Михеев, канд техн наук (руководитель темы); В. И. Фельдман, канд техн наук; В. Н. Бехалов, канд техн наук
В. М. Азарсков, д-р техн наук Л. С. Житецький, канд техн наук О. А. Сущенко iconТрубы чугунные канализационные и фасонные части к ним. Крестовины прямые со смещенной осью отвода конструкция и размеры гост 6942. 19-80
О. П. Михеев, канд техн наук (руководитель темы); В. И. Фельдман, канд техн наук; В. Н. Бехалов, канд техн наук
В. М. Азарсков, д-р техн наук Л. С. Житецький, канд техн наук О. А. Сущенко iconГосударственный стандарт союза сср трубы чугунные канализационные и фасонные части к ним. Ревизии конструкция и размеры гост 6942. 24-80
О. П. Михеев, канд техн наук (руководитель темы); В. И. Фельдман, канд техн наук; В. Н. Бехалов, канд техн наук
Додайте кнопку на своєму сайті:
Документи


База даних захищена авторським правом ©zavantag.com 2000-2013
При копіюванні матеріалу обов'язкове зазначення активного посилання відкритою для індексації.
звернутися до адміністрації
Документи