Метод скінченних елементів у задачах дослідження неоднорідного анізотропного ґрунтового півпростору icon

Метод скінченних елементів у задачах дослідження неоднорідного анізотропного ґрунтового півпростору




Скачати 240.27 Kb.
НазваМетод скінченних елементів у задачах дослідження неоднорідного анізотропного ґрунтового півпростору
Дата16.08.2012
Розмір240.27 Kb.
ТипЗадача



I SSN 1813–1166. Вісник НАУ. 2004. №4

УДК 539.3:624.071:624.04

В.К. Цихановський, д-р техн. наук

В.А. Соколовська

МЕТОД СКІНЧЕННИХ ЕЛЕМЕНТІВ У ЗАДАЧАХ ДОСЛІДЖЕННЯ


НЕОДНОРІДНОГО АНІЗОТРОПНОГО ҐРУНТОВОГО ПІВПРОСТОРУ

Інститут екології та дизайну НАУ, e-mail: raa-nau@.ukr.net

Наведено методику дослідження пружного ґрунтового півпростору як розвиток існуючої теорії лінійно деформованого ґрунту за рахунок використання методології нелінійного пружно-пластичного деформування твердого тіла. Отримано основні співвідношення методу скінченних елементів з використанням моментної схеми скінченних елементів.

Вступ

Задача розрахунку огороджуючих конструкцій глибоких котлованів пов’язана з визначенням напружено-деформованого стану і стійкості ґрунтового масиву, який підпирається цими конструкціями. Вважаючи довжину котловану на порядок більшою за його глибину, розглянемо плоску задачу теорії пружності про взаємодію огороджуючої конструкції (підпірної стінки) з ґрунтовим масивом.

У загальному випадку, при врахуванні об’ємних сил, розподілених по всьому плоскому півпростору, і поверхневих розподілених (смугових) та зосереджених сил, прикладених до меж півпростору, а також з урахуванням неоднорідності і анізотропності багатошарового ґрунтового масиву задача не має аналітичного розв’язку. У цьому випадку найбільш доцільно використовувати числові методи розрахунків при дискретному моделюванні ґрунтового півпростору.

^ Постановка завдання

Пропонується використання одного із ефективних сіткових методів – методу скінченних елементів (СЕ) [1; 2]. У постановці завдання при моделюванні півпростору передбачається істотна неоднорідність шарів ґрунтів, а також наявність вкраплень, які моделюють елементи огороджуючих конструкцій, що обумовлює наявність концентрації напружень і необхідність дослідження півпростору в граничному стані. Оцінка напруженого стану півпростору передбачає зіставлення результатів розрахунку з граничнодопустимими деформаціями і переміщеннями, тобто можливі локальні зони втрати стійкості і розвитку пластичних деформацій.

Отже, розглядається математична модель плоскої задачі нелінійно деформівного твердого тіла з урахуванням геометричної та фізичної нелінійності і використанням співвідношень моментної схеми скінченних елементів (МССЕ) [3; 4] при полілінійній апроксимації функцій переміщень [5; 6].
^
Основні рівняння нелінійної механіки

суцільного середовища в приростах

Розглянемо вихідні співвідношення МССЕ, що побудовані на основі механіки суцільного середовища із застосуванням співвідношень нелінійної теорії пружності і пластичності в при-ростах деформацій [7]. Використання теорії пружності при розв’язанні задач механіки ґрунтів забезпечує достатньо точний опис напружень і деформацій ґрунтового півпростору в граничному і позаграничному станах [8; 9; 10], при цьому фізико-механічні характеристики мають бути адекватні дійсним фізико-механічним властивостям ґрунтів.

У запропонованій модифікації застосування теорії пружності у приростах [11] знайдені су-марні напруження на попередньому кроці ітераційного нелінійного процесу деформування, що використовуються як початкові в наступному кроці подовження (навантаження) розв’язку задачі:

.

Тоді перший принцип віртуальної роботи для статичних задач в актуальній конфігурації тривимірного твердого тіла можна записати у виг-ляді [11]:

(1)

де компоненти другого тензора початкових напружень Піола–Кірхгофа [12]; компо-ненти приростів другого тензора напружень
Піола–Кірхгофа; варіації коваріантних компонент приростів тензора скінченних деформацій Коші–Гріна [12]; компоненти узагальнених векторів об’ємних і поверхневих сил, що діють на тіло і віднесені до початкової конфігурації; варіації компонент вектора при-ростів переміщень (у глобальному декартовому базисі).

Виходячи із положень теорії пружності у приростах і використовуючи співвідношення інтегрального закону стану [11; 13; 14], маємо:

(2)

де – компоненти тензора пружності твердого тіла.

Варіаційне рівняння (2) описує рівновагу елементарного об’єму будь-якого суцільного середовища, незалежно від його фізичних властивостей. Розглянемо спочатку тільки пружний стан лінійно деформованого тіла.

Вибрана механічна модель твердого тіла відображає його пружні властивості, а залежності між складовими приростів скінченних деформацій і складовими напружень є лінійними.

Отже, використовуємо узагальнений закон Гука, поширений на область скінченних деформацій.

У деяких літературних джерелах цей закон відомий під назвами Каппуса, Сетха та ін. [12; 15]. Вважатимемо його узагальненим законом Гука за аналогією з працею [16] у рамках інтегрального закону стану [11; 14], що описує залежності між приростами скінченних деформацій та приростами напружень.

Для плоскої задачі нелінійної теорії пружності варіаційне рівняння (1) буде мати вигляд:



(3)

де компоненти тензорів перетворення афінних місцевих координат початкової та кінцевої конфігурацій:

.

Варіаційне рівняння (3) справедливе для розв’язання плоских задач нелінійної теорії пружності (плоский напружений стан і плоска де-формація).
^
Співвідношення моментної схеми

скінченних елементів

для плоского півпростору

Подамо дискретну модель ґрунтового пів-простору одиничної товщини набором двовимірних чотирикутних криволінійних СЕ (у загальному випадку), у кожний із яких уведено місцевий косокутний базис з початком у центрі СЕ
(рис. 1). Як невідомі візьмемо вузлові переміщення СЕ в глобальній системі координат (рис. 1).

Зміна переміщень у межах СЕ визначається полілінійними функціями двох координат ло-кальної поверхні ґрунтового півпростору

; (4)

,

де – умовні лагранжеві координати (рис. 1); – вузлові переміщення.

Апроксимація переміщень у межах СЕ та
функція форми збігаються так, що СЕ, який використовується, є ізопараметричним [1].

У моментній схемі СЕ виконується розкладання функцій деформацій і напружень у ряд Маклорена в центрі СЕ [6]:

; (5)

, (6)

де

(7)

(8)

(9)

Враховуючи вирази (5)–(9), варіацію енергії деформації двовимірного СЕ можна записати у вигляді:



, (10)



Рис. 1. Схема двовимірного чотирикутного

скінченного елемента

де

; . (11)

Після інтегрування рівняння (10) отримаємо:

. (12)

Підставивши вирази (11) в рівняння (12) та виконавши деякі перетворення, отримаємо:



де – коефіцієнти нелінійної матриці реакцій:

;

.

Із віртуальної роботи зовнішніх поверхневих сил СЕ

.

Вважаючи, що компоненти вектора узагальнених поверхневих сил у межах СЕ виражаються через вузлові значення за полілінійним законом аналогічно рівняння (4), після інтегрування
одержимо:



де – коефіцієнти повного вектора узагальнених вузлових рівномірно розподілених по-верхневих сил:

.

Систему нелінійних рівнянь рівноваги скінченно елементної моделі плоского півпростору отримаємо з виразу варіації повної потенціальної енергії для одного СЕ

,

які додаємо за всіма елементами дискретної моделі півпростору:

. (13)

Перейшовши від додавання за елементами до додавання за вузлами з формули (13), маємо:

.

Через незалежність варіацій переміщень отримуємо систему нелінійних рівнянь рівноваги

.

Співвідношення рівнянь стану

Система нелінійних рівнянь рівноваги скінченно-елементної моделі півпростору справедлива при розв’язанні плоских задач нелінійної теорії пружності [12; 17]. Результати розв’язання задач плоского напруженого стану і плоскої деформації залежать від фізико-механічних характеристик матеріалу, що використовується [17].

Для ізотропного твердого тіла маємо:

– у разі плоского напруженого стану:





(14)

(15)

– на випадок плоскої деформації:





(16)

;

. (17)

Формули (14), (15) зберігають свій вигляд, якщо ввести нові пружні технічні сталі твердого тіла



які обчислюються за формулами [17]:



Для ортотропного твердого деформовного тіла тензор напружень обчислюється, як і для ізотропного тіла, за формулою (14).

Компоненти обчислюються з використанням афінного перетворення з недеформованого базису [6] у деформований:

,

,

де – компоненти тензора пружності у базисі ортотропії; – базис ортотропії.

Для плоскої деформації з умов (16), (17) отримаємо

;

;

;

;

;

;

;

.

Відповідно до праці [16] маємо дев’ять незалежних технічних констант:

.

Залежні коефіцієнти Пуассона визначаються із термодинамічних обмежень [16]:



Значення компонент на випадок плоского напруженого стану наведені в праці [6].

Запропонована методика дослідження ґрунтового півпростору на основі співвідношень нелінійної теорії пружності передбачає визначення величини другого критичного навантаження, при якому у ґрунті виникають суцільні ділянки граничного напруженого стану. Для описування процесу розвитку зсувних деформацій ґрунту використовується критерій пластичної течії
Мізеса у формі [5; 18; 19]:



або

(18)

де – тензор-девіатор напружень у деформованому базисі:

;

;

,

– інтенсивність напружень.

Остаточно вираз (18) набуде вигляду:

.

Якщо головні напруження відомі, то у разі плоскої деформації будемо мати





Дотримуючись асоціативного закону текучості (висновок Мізеса), вводимо коефіцієнт про-порційності [6]



Остаточно задача на врахування пластичної текучості в алгоритмі методу послідовних навантажень зводиться до корекції тензора пружності:

,

де



Тоді

;

;







h – функція зміцнення.

Для ідеальнопластичного середовища з фіксованою поверхнею текучості (для ґрунту) маємо:





Замість функції зміцнення h може бути використана константа

.

Для доведення вірогідності наведеної вище методики дослідження пружного півпростору було розв’язано низку тестових та контрольних задач з механіки ґрунтів, приклади деяких з них подані нижче.
^
Чисельні дослідження збіжності

моментної схеми скінченних елементів

в задачах механіки ґрунтів

Розглянемо класичну задачу про розподіл напружень у лінійно деформованому масиві. Задача зведена до плоскої (плоска деформація), тобто до визначення такого стану, коли напруження розподілені в одній площині (випадок, що відповідає розподілу напружень під підошвою стрічкових фундаментів, підпірних стінок, насипів та інших захисних споруд).

У разі смугового навантаження на одиничну пластинку аналітичний розв’язок задачі визначення розподілу напружень виконувався вченими А. Лявом, Н. Герсевановим, В. Флоріним та ін. [8]. При цьому були отримані спрощені до практичного використання табульовані формули з визначення стискаючих, розпірних (нормальних) і зсувних напружень.

Для порівняння та аналізу результатів, що отримані при чисельному розрахунку з використанням розробленої методики, була побудована дискретна модель для плоского півпростору з розмірами регулярної сіткової області – М2 х М3 (19х30), деяке згущення її зроблено в області розміщення смугового навантаження величиною q=0,6МПа. Наведемо значення деяких параметрів розрахункової схеми (рис. 2):

– ширина смугового навантаження b=2 м;

– розмір розрахункової частини півпростору (з урахуванням однієї площини симетрії) 5х13 м;

– фізико-механічні характеристики ґрунтового масиву (однорідний, ізотропний): модуль
пружності (загальний модуль деформації)
Е=50 МПа, коефіцієнт Пуассона (параметр поперечної деформації) v=0,33.

Граничні умови розрахункової схеми такі:
накладені в’язі типу повзун (рис. 2) за другим напрямком глобальної системи координат у площині симетрії і площині бічної грані розрахункового фрагменту; анало-гічні в’язі за третім напрямком глобальної системи координат, накладені у нижній площині півпростору; накладені в’язі у всіх вузлах дискретної моделі на переміщення за нормаллю до площини півпростору (за першим напрямком глобальної системи координат).

Для плоскої задачі, що розглядається, компоненти тензора напружень – не залежать від фізико-механічних характеристик лінійно деформованого півпростору у вибраних межах навантаження, коли відсутні області плас-тичної деформації і максимальне переміщення у центрі смугового навантаження дорівнює 0,04 м, тобто все навантаження передається на скелет ґрунту і визначене напруження за розв’язками теорії пружності буде задавати з необхідною точністю дійсну величину кінцевих повних напружень у ґрунті від дії зовнішнього навантаження [8].



Рис. 2. Розрахункова схема півпростору зі

смуговим навантаженням

Після розв’язання системи рівноваги скінченно елементної моделі розрахункового фрагменту півпростору (система містить 19х30х6=3420 рівнянь без урахувань накладених в’язів) отримані результати напружено-деформованого стану для всієї дискретної моделі.

Значення максимальних напружень у СЕ за лінією симетрії (центр смугового навантаження) зведено у табл. 1 і порівнюються із наведеними відповідними значеннями аналітичного розв’язку задачі А. Л’ява [8; 10].

Таблиця 1


Значення нормальних напружень на площині

симетрії під центром смугового навантаження




Но-мер

СЕ

МПа

По-хибка

за А.Лявом [10]

МССЕ

0,375

989

0,89/5,34

5,31

0,56

0,625

913

0,752/4,51

4,38

2,88

0,875

837

0,618/3/71

3,58

3,50

1,125

799

0,513/3,08

2,97

3,57

1,375

761

0,438/2,63

2,52

4,18

1,625

723

0,378/2,27

2,18

3,96

2,125

647

0,298/1,79

1,76

1,68

3,125

495

0,205/1,23

1,25

-1,63

4,125

313

0,165/1,0

1,11

-11,0

5,125

191

0,125/0,75

0,95

-33,3

Таблиця 2


^ Значення нормальних напружень на площині симетрії в нестискуваному шарі ґрунту,

що залягає на скельній основі на глибині h



h = b1

h = 2b1

h = 5b1

h = h = 13b1

за

К.Є. Єгоровим [8]


за МССЕ

за

К.Є. Єгоро-вим [8]


за МССЕ

за

К.Є. Єгоро-вим [8]


за МССЕ

за

К.Є. Єгоро-вим [8]


за МССЕ

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0

1,022

1,0

0,76

0,77

0,36

0,34

0,21

0,166

0,2

1,023

1,0

0,78

0,8

0,37

0,38

0,29

0,196

0,4

1,024

1,02

0,84

0,88

0,44

0,45

0,38

0,273

0,6

1,02

1,02

0,92

0,91

0,57

0,60

0,53

0,39

0,8

1,009

1,0

0,99

0,99

0,82

0,92

0,8

0,65

1,0

1,0

1,0

1,0

1,0

1,0

1,0

1,0

0,98







З порівняння видно, що по всій координатній лінії , починаючи з верхньої граничної площини півпростору, напруження, одержані за МССЕ, відрізняються від аналітичних значень у межах 0,6-4% за виключенням у СЕ, що примикають до жорстко закріпленої межі дискретної моделі півпростору, яка за аналітичним розв’язком сягає нескінченності.

За результатами одержаних чисельних розв’язків побудовані ізолінії напружень для півпростору у межах відносних значень за інтенсивністю смугового навантаження – 0,2–0,8 q.

Ці ізолінії напружень стиску практично збігаються з ізолініями напружень стиску аналітичного розв’язку задачі, що наведений у праці [8]. Відповідно до інших компонент тензора напружень і спостерігається подібний збіг.

З використанням тієї самої дискретної моделі розв’язана тестова задача розподілу напружень у кінцевому шарі ґрунту, коли характеристики деформівності ґрунту різні, або у разі спирання шару ґрунту обмеженої товщини на жорстку нестискувану основу (скелю).

Чисельно-аналітичний розв’язок цієї задачі одержали вчені І. Совінц, Е. Девіс і Г. Тейлор, К.Є. Єгоров, М.І. Горбунов-Посадов та ін.[8]. Для розв’язання цієї задачі з використанням МССЕ за запропонованою методикою побудовано декілька розрахункових схем на основі однієї дискретної моделі, що показана на рис. 2.

Для кожної запропонованої схеми запроваджувалася розрахункова глибина жорсткої основи – h=b1, h=2b1, h=5b1 і (за МССЕ h=13b1), відповідні позначки міжшарових меж на рис. 2. Одержані чисельні результати розв’язків цієї задачі за МССЕ для нормальних напружень у частках від інтенсивності навантаження q зведені у табл. 2 і порівнюються з наведеними аналітичними результатами, що одержав К. Єгоров [8].

Ці результати добре узгоджуються.

Результати розв’язків другої тестової задачі класичної механіки ґрунтів свідчать, що навіть у разі дії гнучкого рівномірно розподіленого смугоподібного навантаження за вертикальною віссю центру цього навантаження також спостерігається концентрація стискувальних нормальних напружень, особливо при глибині жорсткої основи .

На основі скінченноелементної моделі розглянутої плоскої задачі теорії пружності, що наведена на рис. 2, також розв’язана класична тестова задача механіки ґрунтів про дослідження впливу фізичних властивостей різних шарів
ґрунту на розподіл напружень між ними.

К.Є. Єгоров на основі рівняння одержаного Маргером [10] вивів аналітичне рівняння у формі комплексних змінних для розв’язку задачі про розподіл напружень під гнучким стрічковим фундаментом (плоска задача зі смугоподібним навантаженням) в основі, що складається з двох шарів ґрунту: верхнього товщиною h і підстеляючого нижнього шару, значно більшої товщини, ніж верхні.

Фізичні властивості двошарової основи можуть бути охарактеризовані параметром

,

де – модулі пружності та коефіцієнти Пуассона для кожного з шарів ґрунту.

На основі дискретної моделі (рис. 2) були одержані декілька розрахункових схем, що відрізнялися співвідношенням параметрів шарів (v=1, 5, 10, 15) при різних рівнях контактної площини цих шарів – h/b1 =1; 2; 3,33; 5 (табл. 3).


^ Таблиця 3

Значення максимальних напружень у двошаровій основі на межі їх контакту






v = 1

v = 5

v = 10

v = 15

за

К.Є. Єгоровим [8]


за МССЕ

за

К.Є. Єгоро-вим [8]


за МССЕ

за

К.Є. Єгоро-вим [8]


за МССЕ

за

К.Є. Єгоро-вим [8]


за МССЕ

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0

1,0

1,0

1,

1,0

1,0

1,0

1,0

1,0

0,5

1,02

1,002

0,95

0,85

0,87

0,78

0,82

0,71

1,0

0,9

0,84

0,69

0,68

0,58

0,50

0,52

0,45

2,0

0,6

0,606

0,41

0,39

0,33

0,31

0,29

0,27

3,33

0,39

0,44

0,26

0,24

0,20

0,21

0,18

0,19

5,0

0,27

0,26

0,17

0,20

0,15

0,18

0,12

0,17



Для кожної комбінації цих параметрів побудовані відповідні розрахункові схеми задачі та отримані відповідні розв’язки напружено-деформованого стану дослідження двошарового півпростору.

Результати розв’язання задач за МССЕ, зведені у табл. 3, порівнюються з результатами
К.Э. Єгорова [8], отриманими аналітичним методом. З табл. 3, де значення максимальних нормальних напружень наведені у частках від інтенсивності навантаження q, видно, що чисельні і аналітичні розв’язки добре узгоджуються.
Висновки

Наведена методика дослідження ґрунтового півпростору, що може знаходитись, відповідно до задач міцності і стійкості, у граничному стані з розвитком зсувних та пластичних деформацій, розроблена на основі використання співвідношень нелінійної теорії пружності для плоских задач механіки ґрунтів.

Достовірність методики доведено на результатах чисельних розв’язків класичних тестових задач механіки ґрунтів.

Отримані основні співвідношення МСЕ для дослідження ґрунтових півпросторів у разі плоскої деформації, що виникає у подовжених під-пірних ґрунтових насипах та інших конструкціях захисних споруд. На основі найбільш ефективної моментної схеми СЕ для плоского чотирикутного СЕ одержані вирази нелінійної матриці реакції та лінеаризованої матриці жорсткості з урахуванням асоціативного закону пластичної течії.

Таким чином, запропонована методика і її чисельна реалізація на основі МССЕ забезпечує вірогідні результати розв’язків задач механіки ґрунтів з урахуванням неоднорідних нашарувань півпростору. Якщо фізико-механічні характеристики ізотропного, або ортотропного суцільного тіла (ґрунту) дуже відрізняються, допускається можливість широкого моделювання граничних умов – природних і спеціальних із впливом будь-якого спектра об’ємних та поверхневих навантажень, а також врахуванням порожнин і будь-яких включень, зумовлених елементами конструкції фундаментів і захисних споруд.

Наведена методика розрахунку ґрунтового півпростору при його взаємодії з елементами підземних конструкцій може застосовуватись під час досліджень підпірних стінок, насипів, а також захисних споруд котлованів суттєвої довжини при статичному навантаженні.
Список літератури

1. Зенкевич О.К. Метод конечных элементов в технике. – М.: Мир, 1975. – 541 с.

2.  Метод конечных элементов / П.М. Варвак, И.М. Бузун, А.С. Городецкий и др.// Под ред. П.М. Варвака. – К.: Вища шк., 1981. – 176 с.

3. Баженов В.А., Сахаров А.С., Цыхановский В.К. Моментная схема метода конечных элементов в задачах нелинейной механики сплошной среды // Прикладная механика. – К.: Ин-т. механіки. НАН Украины, – 2002. – Т. 38(48), №6, июль. – С. 24–63.

4. Сахаров А.С. Моментная схема конечных элементов (МСКЭ) с учетом жестких смещений // Сопротивление материалов и теория сооружений. – К.: Будівельник, 1974. – Вып. 24. – С.147– 156.

5. Метод конечных элементов в механике твердых тел / Под общ. ред. А.С. Сахарова, И. Альтенбаха. – К.: Вища шк. Голов. изд-во, 1982. – 480 с.

6. Баженов В.А., Цихановський В.К., Кислоокий В.М. Метод скінченних елементів у задачах нелінійного деформування тонких та м’яких оболонок. –К.: КНУБА, 2000. – 386 с.

7. Поздеев А.А., Трусов П. В., Няшин Ю.И. Большие упругопластические деформации: теория, алгоритмы, приложения. – М.: Наука, 1986. – 345 с.

8. Цытович Н.А. Механика грунтов. – М.: Гос. изд-во лит. по стр-ву, архит. строит. материалам. 1963. – 636 с.

9. Цытович Н.А., Тер-Мартиросян З.Г. Основы прикладной геомеханики в строительстве. – М.: Высш. шк., 1981. – 317 с.

10. Харр М.Е. Основы теоретической механики грун- тов. –М.: Изд-во лит. по строительству, 1971. – 320 с.

11. Васидзу К. Вариационные методы в теории уп-ругости и пластичности. – М.: Мир, 1987. – 542 с.

12. Лурье А.И. Нелинейная теория упругости. – М.: Наука. Глав. ред. физ.-мат. лит., 1980. – 512 с.

13. Оден Дж. Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред. – М.: Мир, 1976. – 464 с.

14. Цыхановский В.К. Интегральный закон состояния нелинейно-упругих мягких оболочек. – К.: 1981. – 50 с. – Деп. в УкрНИИНТИ 16.06.81, №2832.

15. Фрей О., Тростель Р. Пневматические строительные конструкции. – М.: Стройиздат, 1967. –320 с.

16. Лехницкий С.Г. Теория упругости анизотропного тела. – М.: Наука. Глав. ред. физ-мат. лит., 1977. – 415 с.

17. Самуль В.И. Основы теории упругости и плас- тичности. – М.: Высш. шк., 1970. – 200 с.

18. Прагер В. Введение в механику сплошных сред. – М.: Изд-во иностр. лит., 1963. – 312 с.

19. Толоконников О.Л., Маркин А.А., Астанов В.Ф. Свойства материалов при конечном пластическом деформировании // Прочность материалов и элементов конструкций при сложном напряженном состоянии: Тез. докл. – К.: 1984. – С. 57–58.

Стаття надійшла до редакції 03.11.04.

В.К. Цыхановский, В.А. Соколовская

Метод конечных элементов в задачах исследования неоднородного анизотропного грунтового полупространства

Приведена методика исследования упругого грунтового полупространства как развитие существующей теории линейно деформированного грунта за счет использования методологии нелинейного упруго-пластического деформирования твердого тела. Получены основные соотношения метода конечных элементов с использованием моментной схемы конечних элементов.

V.К. Zyhanovsky, V.А. Sokolovska

Method of finite elements in tasks of investigation non-homogeneous unisotropic soil half-space

The methodology investigation of elastic soil half-space was reduced in the article, what is developing real theory half-space of expense of utilization theory non-linear elastic-plastic of deformation solid body.

Fpplicationof the principal correlationsof method finite elements with utilization of momental scheme of finite elements.

Схожі:

Метод скінченних елементів у задачах дослідження неоднорідного анізотропного ґрунтового півпростору iconМіністерство освіти І науки України Сумський державний університет
П 12 Метод скінченних елементів в задачах коливань механічних систем: Навчальний посібник.– Суми: Вид-во СумДУ, 2007.–180с
Метод скінченних елементів у задачах дослідження неоднорідного анізотропного ґрунтового півпростору iconФільтраційна консолідація ґрунтового масиву в основі гідротехнічної споруди за наявності перенесення солей
Для чисельного розв’язування відповідної двовимірної задачі запропоновано використати метод скінченних елементів. Досліджено задачу...
Метод скінченних елементів у задачах дослідження неоднорідного анізотропного ґрунтового півпростору iconЯ. В. Радецька
Запропоновано алгоритм розрахунку пружно-деформованого стану методом скінченних елементів та визначення довговічності І залишкового...
Метод скінченних елементів у задачах дослідження неоднорідного анізотропного ґрунтового півпростору iconА. В. Загорулько
На прикладі двовимірної і тривимірної задач теорії пружності викладено теорію одного з найпоширеніших методів розв’язання задач механіки...
Метод скінченних елементів у задачах дослідження неоднорідного анізотропного ґрунтового півпростору iconЯ. О. Слободян, канд техн наук 2А. В. Гузь
Ліра. Наведено оцінка похибки лінійного розрахунку порівняно з результатами розв’язання нелінійної задачі кроковим методом послідовного...
Метод скінченних елементів у задачах дослідження неоднорідного анізотропного ґрунтового півпростору iconАдаптивні апроксимації методу скінченних елементів для задач еластостатики
За фіксованого вибору класу апроксимацій для зміщень ця схема дає змогу керувати локальним згущенням/розрідженням тріангуляції для...
Метод скінченних елементів у задачах дослідження неоднорідного анізотропного ґрунтового півпростору iconМетодичні вказівки до лабораторної роботи «дилатометричний метод дослідження властивостей металів»
Методичні вказівки до виконання лабораторної роботи «Дилатометричний метод дослідження властивостей металів» з курсу «Фізичні властивості...
Метод скінченних елементів у задачах дослідження неоднорідного анізотропного ґрунтового півпростору iconВісник львів. Ун-ту visnyk LVIV univ сер прикл матем. інформ. Ser. Appl. Math. Comp. Sci
За допомогою варіаційної постановки задачі та методу скінченних елементів обчислено власні значення, власні функції та відповідні...
Метод скінченних елементів у задачах дослідження неоднорідного анізотропного ґрунтового півпростору iconТеории мгновенной мощности в задачах управления качеством электроэнергии в системах электропривода с емкостными накопителями
Метод IX, Iy теории мгновенной мощности в задачах управления качеством электроэнергии в системах электропривода
Метод скінченних елементів у задачах дослідження неоднорідного анізотропного ґрунтового півпростору iconТематичний план практичих занять
...
Додайте кнопку на своєму сайті:
Документи


База даних захищена авторським правом ©zavantag.com 2000-2013
При копіюванні матеріалу обов'язкове зазначення активного посилання відкритою для індексації.
звернутися до адміністрації
Документи