Фізико-математичні науки icon

Фізико-математичні науки




Скачати 106.34 Kb.
НазваФізико-математичні науки
Дата16.08.2012
Розмір106.34 Kb.
ТипДокументи



I SSN 1813–1166. Вісник НАУ. 2004. №4

фізико-математичні науки

УДК 517. 5


1В. К. Репета, канд. фіз.-мат. наук

2Л.А. Репета, канд. фіз.-мат. наук


НАБЛИЖЕННЯ ФУНКЦІЙ КЛАСІВОПЕРАТОРАМИ СТЕКЛОВА

1Інститут комп’ютерних технологій НАУ, e-mail: iit@nau.edu.ua

2Національний технічний університет України “Київський політехнічний інститут”

Досліджено поведінку верхніх меж відхилень – диференційовних функцій від операторів Стеклова як окремого випадку операторів вигляду в інтегральній метриці за допомогою інтегральних зображень цих відхилень від лінійних операторів.
Вступ

У теорії наближення функцій важливе місце займає задача наближення функцій заданого класу за допомогою фіксованого лінійного методу, що визначається нескінченною трикутною матрицею чисел

.

Суть її полягає у дослідженні величини

,

де – поліном, породжений деяким лінійним методом підсумовування рядів Фур’є; – нормований простір; – заданий клас функцій.

На початку ХХ ст. С.Б. Бернштейн запропонував побудувати теорію наближення функцій, заданих на всій осі, яка вміщує теорію наближення періодичних функцій. Завдяки цій ідеї обидві теорії розвиваються і сьогодні, збагачуючи і доповнюючи одна одну.

Перші результати, що стосуються оцінок верхніх меж відхилень сум Фур’є від заданих не-перервних функцій були отримані А. Лебегом у 1909 р., який довів, що

,

де– найкраще наближення функції тригонометричними поліномами порядку, який не перевищує у рівномірній метриці.

У 1935 р. А.М. Колмогоров встановив, що при справедлива рівність



,

де– частинні суми Фур’є; – клас

-періодичних функцій , які мають абсолютно неперервнупохідну, таку, що .

Дослідження були продовжені В.Т. Пінкевичем і С.М. Нікольським, які узагальнили результати А.М. Колмогорова на більш широкі класи: та .

Ці дослідження поклали початок новому напряму в теорії наближення функцій.
^
Постановка проблеми

У 1988 р. О.І. Степанцем уведені нові класи функцій [1; 2]. Для цих класів О.І. Сте-панцем було встановлено низку структурних та апроксимативних властивостей та знайдено зв’язок між множинами і множинами періодичних функцій .

Подальші дослідження верхніх меж відхилень



пов’язані з заміною поліномів деякими аналогами лінійних методів підсумовування.

Наближення класів у рівномірній метриці за допомогою так званих операторів Зиг-мунда, Стеклова, Рогозинського вивчав М.Г. Дзі-містарішвілі [3].

Поведінка верхніх меж відхилень функцій класів від операторів вигляду у рівномірній метриці вивчалась у працях [4; 5].

Мета дослідження – вивчення наближення функцій класів в інтегральній метриці за допомогою операторів Стеклова як частинного випадку операторів вигляду .
^

Означення та допоміжні твердження


Будемо користуватись означеннями і позна-ченнями, уведеними О.І. Степанцем.

Нехай, – множина функцій , заданих на всій дійсній осі Р, які мають скінченну норму , де

для

і , тобто .

Функцію визначено так, що для вона опукла вниз і зникає на нескінченності. Множину таких функцій позначено через . На проміжку функцію довизначено довільним чином, але так, щоб вона була неперервною для , , а її похідна мала обмежену варіацію на проміжку . Множину таких функцій позначено через .

Крім того, через позначено множину функцій, що задовольняють умову

.

Множина неоднорідна за швидкістю спа-дання до нуля її елементів. Тому О.І. Степанцем [1; 2] з неї виділено підмножини ,, і показано, що для функцій справедливі співвідношення

,; .

Для функцій , де справедлива нерівність

, .

Для функцій виконується співвідно-шення

,

де – деяка функція, що монотонно спадає до нуля.

Для вивчення апроксимативних властивостей

функцій класів і у працях [4; 5] використано оператори

,

які визначає сім’я функцій , неперерв- них для і залежних від дійсного пара-метра , де

.

Функції називають -похідними
функції.

Класи визначено так:

,

де .

Нехай і перетворення Фур’є функції

сумовне на Р, функція неперервна для .

Нехай функція



сумовна для, де– деяке число. Тоді



майже у кожній точці .

Наведемо допоміжні твердження [3].

Лема 1. Нехай функції неперервні для і збігаються інтеграли

.

Тоді справедлива рівність

.

Лема 2. Для функції і її сумовного пере-творення Фур’є

()

при справедлива рівність

,

де і

.

З цих лем випливає, що верхні межі відхилень і можуть відріз-нятися одна від одної на величину, не більшу за порядком ніж

.

Тому має місце співвідношення . (1)

Співвідношення (1) дозволяє узагальнити результати, одержані для класів і операторів Стеклова, для класів.

Розглянемо поведінку верхніх меж відхилень для випад-ку .

Оператори, що задані співвідношенням ,

назвемо операторами Стеклова.

Оператори задає сім’я неперервних для функцій, де



Метод Стеклова є насиченим і має порядок насичення .

Покладемо

,.

Задані так функції задовольняють вимоги:

1. Функції , тобто – неперервні для , монотонно не спадають, ,– неперервні для .

2. Функції, тобто для вони неперервні і обмежені разом з похідними другого порядку, , .

З властивостей функції випливає, що справедлива рівність

,

де .

При такому заданні функцій та
видно, що оператори Стеклова є операторами вигляду . Тому до них можна застосувати ті самі міркування, що і при дослідженні операторів .
^

Виведення основних результатів


Розглянемо випадок , оскільки при цьому відсутні інтеграли вигляду. Зауважимо, що для ,

.

Тоді за умови, що , .

Теорема 1. Нехай , , ,

не змінює знак на відрізку . Функція– опукла вгору або вниз і не спадає для . Тоді для справедлива рівність

.

Доведення. Виберемо функцію таким чином

(2)

У теоремі 1 [4] доведено сумовність і показано, що для . Звідси випливає сумовність функції для .

Розглянемо величину, інтегруючи двічі частинами і враховуючи, що


,

маємо













.

Розглянемо кожен доданок окремо.

З урахуванням того, що функція не спадає для та , маємо

;;





;

.

Остаточно маємо

. (3)

Враховуючи співвідношення (1) і (3), одержуємо твердження теореми.

Розглянемо більш загальний випадок.

Теорема 2. Нехай,. Функ- ція – монотонна для та опукла вгору або вниз. Тоді для справедлива рівність



.

Доведення. Нехай функцію задано співвідношенням (2). У праці [4] показано су-мовність функції , причому доведено, що для . Отже, для
функція сумовна.

У тій самій праці було отримано оцінку



. (4)

Ця оцінка справедлива і для операторів Стеклова як операторів вигляду.

Оцінку величини легко отримати, ви-користовуючи ті самі міркування, що й у теоремі 1.

Оскільки функція монотонна, то

. (5)

Порівнюючи співвідношення (4), (5), бачимо, що порядок величини менший, ніж порядок залишкового члена співвідношення (4).

З урахуванням рівності (1) та вибором функцій , одержуємо твердження теореми 2.

Теорема 3. Нехай (тобто для всіх справедлива нерівність), . Функція – монотонна для та опукла вгору або вниз. Тоді для справедлива рівність



.

Для , ця рівність забезпечує розв’язання задачі Колмогорова-Нікольського за таких умов:

1.,

для .

2. .

3. , .

Доведення цього твердження наводити не будемо, проте зауважимо, що воно повторює доведення відповідного твердження з праці [5].

Висновки


Вивчено наближення операторами Стеклова функцій класів . Одержано оцінки верхніх меж відхилень і , що у деяких важливих випадках є асимптотичними рівностями.

Наведено умови, за яких асимптотична рівність для функцій і операторів Стеклова забезпечує розв’язок задачі Колмогорова–Нікольського.

Аналогічні результати можна отримати без використання операторів вигляду , що знач-но ускладнить розв’язання поставленої задачі.

Наведені методи вивчення наближень функцій класів в інтегральній метриці можуть бути застосовані також для операторів Зигмунда та Рогозинського.
^

Список літератури


1.  Степанец А.И. Приближение целыми функциями в равномерной метрике / Приближение целыми функциями на действительной оси. – К., 1988. – С. 3–41. – (Препр. / АН УССР. Ин-т математики; 88.27).

2. Степанец А.И. Классы функций, заданных на действительной оси, и их приближения целыми функциями // Укр. мат. журн. – 1990. – 41, № 1. –
С. 102–112.

3. Дзимистаришвили М. Г. Приближение клас-сов в метрике // Гармонический анализ и развитие аппроксимационных методов. – К.:
Ин-т математики АН УССР, 1989. – С. 52–54.

4. Репета Л. А. Приближение классов функций операторами вида // Ряды Фурье: теория и приложения. – К.: Ин-т математики
АН Украины, 1992. – С. 105–111.

5. Репета Л. А. Приближение классов непре-рывных функций операторами вида // Наближення класів неперервних функцій, заданих на дійсній осі. – К., 1994. – С. 16–35. – (Препр. / АН України. Ін-т математики; 94.5).

6. Новиков О. А. Приближение классов непре-рывных периодических функций линейными методами. – К., 1991. – С. 3–38. (Препр./ АН УССР. Ин-т математики; 91.21).

Стаття надійшла до редакції 06.10.04.

В. К. Репета, Л. А. Репета

Приближение функций классов операторами Стеклова

Исследовано поведение верхних граней уклонений -дифференцируемых функций от опера-торов Стеклова как частного случая операторов вида в интегральной метрике с помощью інте-гральных представлений этих уклонений от линейных операторов.

V. K. Repeta, L. A. Repeta

The approximation of the functions from the classes by Steklov’s operators

The behavior of the upper bounds of the deviations of the -varied functions of Steklov’s operators, which are the particular case of the operators of the form in the integral metric, was investigated using the integral representation of those deviations from the linear operators.

Схожі:

Фізико-математичні науки iconНауковий вісник вну імені Лесі Українки”
Журнал має такі розділи: “Фізико-математичні науки”, “Хімічні науки”, “Біологічні науки”, “Фізична культура і спорт”, “Географічні...
Фізико-математичні науки iconСтруктурно-логічна схема підготовки фахівця галузь знань: 0402 Фізико-математичні науки Напрям підготовки: 040201 “Математика*”
Узагальнений об’єкт діяльності: кількісні співвідношення І просторові форми дійсного світу, математичні структури; людина, як соціальна...
Фізико-математичні науки iconМіністерсво освіти І науки, молоді та спорту україни миколаївський національний університет
Галузі знань: 0203 Гуманітарні науки; 0101 Педагогічна освіта; 0301 Соціально-політичні науки; 0401 Природничі науки; 0402 Фізико-математичні...
Фізико-математичні науки iconКондакова Світлана Віталіївна
Доцента кафедри математичного аналізу та диференціальних рівнянь, фізико-математичні науки
Фізико-математичні науки iconДеканов Станіслав Якович
Доцент кафедри математичного аналізу та диференціальних рівнянь, фізико-математичні науки
Фізико-математичні науки iconКолесник Тамара Всеволодівна
Професор кафедри математичного аналізу та диференціальних рівнянь, фізико-математичні науки
Фізико-математичні науки iconШатковська Катерина Валеріївна
Асистент кафери математичного аналізу та диференціальних рівнянь, фізико-математичні науки
Фізико-математичні науки iconПідченко Юрій Петрович
Професор кафедри математичного аналізу та диференціальних рівнянь, фізико-математичні науки
Фізико-математичні науки iconЗалізко Василь Дмитрович
Старший викладач кафедри математичного аналізу та диференціальних рівнянь, фізико-математичні науки
Фізико-математичні науки iconПояснювальна записка програма вступного випробування "Комплексний екзамен з фаху" базується на освітньо-професійній програмі та освітньо-кваліфікаційній характеристиці підготовки фахівців за освітньо-кваліфікаційним рівнем "спеціаліст" галузі знань 0402 Фізико-математичні науки спеціальності 0402010
Ю. В. Теплінський, професор кафедри диференціальних рівнянь І прикладної математики, доктор фізико-математичних наук, професор
Фізико-математичні науки icon01. 01. 01 Математичний аналіз (фізико -математичні науки) київ 2004
Зв’язок між інтегралами Рімана та Лебега. Нерівності Гельдера та Міньковського. Класи lp І їх повнота. Теорема Лузвіна І егорова....
Додайте кнопку на своєму сайті:
Документи


База даних захищена авторським правом ©zavantag.com 2000-2013
При копіюванні матеріалу обов'язкове зазначення активного посилання відкритою для індексації.
звернутися до адміністрації
Документи