Министерство образования и науки украины национальная металлургическая академия украины и. Ю. Наумова, А. П. Иванова сопротивление материалов часть III icon

Министерство образования и науки украины национальная металлургическая академия украины и. Ю. Наумова, А. П. Иванова сопротивление материалов часть III




НазваМинистерство образования и науки украины национальная металлургическая академия украины и. Ю. Наумова, А. П. Иванова сопротивление материалов часть III
Сторінка3/5
Дата26.06.2012
Розмір0.56 Mb.
ТипДокументи
1   2   3   4   5
проверочный расчет с размерами сечения (1.27) при остальных исходных данных (1.12) с учетом нормальных напряжений от продольного усилия и касательных напряжений от поперечных усилий, в опасных точках.

Точка 1.

Нормальное напряжение

, (1.28)

где

площадь поперечного сечения

, (1.29)

осевые моменты сопротивления

, . (1.30)

Тогда с учетом (1.29), (1.30) и исходных данных (1.12) вычисляем

=, (1.31)

=, (1.32)

=, (1.33)

Подставляя (1.31) – (1.33) в (1.28) получаем

- условие прочности удовлетворяется.

Точка 2

Нормальное напряжение

, (1.34)

Касательное напряжение

, (1.35)

где

- касательное напряжение от кручения

, (1.36)

, (1.37)

подставляя (1.37) в (1.36) получаем

=, (1.38)

- касательное напряжение от поперечной силы

=. (1.39)

Подставляя (1.39), (1.38) в (1.35) находим

.

Эквивалентное напряжение по третьей теории прочности



на

%%%<5%,

что допустимо.

Точка 3

Нормальное напряжение

, (1.40)

Касательное напряжение

(1.41)

состоит из касательного напряжения от кручения на середине короткой стороны

(1.42)

и касательного напряжения от поперечной силы

=. (1.43)

Подставляя (1.42), (1.43) в (1.41) находим

. (1.44)

Эквивалентное напряжение по третьей теории прочности



Таким образом, для всего сечения условие прочности выполняется(в точке 2 перенапряжение составляет 3.19%, что допустимо).

Расчет на грузоподъемность. При заданных размерах конструкции и заданном допускаемом напряжении (1.27), (1.12) найдем допускаемую нагрузку исходя из третьей теории прочности. Будем определять допускаемую силу в каждой опасной точке.

Точка 1.

Условие прочности с учетом выражения согласно (1.28) имеет вид

,

откуда получаем условие на нагрузку

.

Учитывая значения , , , , согласно (1.29), (1.30), (1.12) получим



Таким образом, допускаемая нагрузка для точки 1

.

Точка 2.

Согласно (1.34) нормальное напряжение с учетом значений (1.29), (1.30) выражается через силу следующим образом

,

Касательное напряжение выражается через силу согласно (1.35) - (1.37), (1.39) в виде



Тогда по третьей теории условие прочности

,

откуда



Допускаемая нагрузка для точки 2

.

Точка 3.

Согласно (1.40), (1.29) нормальное напряжение выражается через силу следующим образом



Касательное напряжение согласно (1.41) - (1.42), (1.43) будет



По третьей теории условие прочности

,

откуда



Допускаемая нагрузка для точки 3

.


Допускаемая нагрузка для всего сечения наименьшая из трех допускаемых нагрузок для каждой точки в отдельности

.

Коробчатое тонкостенное сечение

Рассмотрим тонкостенное коробчатое сечение со сторонами срединного сечения и и толщиной стенки . Здесь, как и в прямоугольном сечении, главные центральные оси инерции являются осями симметрии. Располагаем сечение так, чтобы оси симметрии совпадали с осями , и большему изгибающему моменту соответствовал больший момент сопротивления (рис. 1.7).

Нормальные напряжения распределены по сечению так же как и в прямоугольном сечении. Касательные напряжения от кручения распределяются равномерно по толщине стенки и определяются по формуле Бредта


Рис. 1.7

,

где

- площадь, ограничиваемая средней линией сечения.

Опасной точкой будет окрестность точки 1. Приведем примеры проектировочного и проверочного расчетов.

^ Проектировочный расчет.

Подберем размеры сечения, исходя из третьей теории прочности пренебрегая нормальными напряжениями от продольных усилий при следующих исходных данных

, , , . (1.45)

Исходя из условия прочности

, (1.46)

где

, , (1.47)

, -моменты сопротивления относительно осей и соответственно, - момент сопротивления кручению

, , . (1.48)

Подставляя (1.47) в (1.46) получаем

,

или

, (1.49)

При заданных значениях и выражения (1.48) примут вид

, , (1.50)

и тогда

, . (1.51)

Подставляя (1.51) в (1.49) получаем

,

откуда осевой момент сопротивления

=. (1.52)

Из (1.52) с учетом (1.50) находим

. (1.53)

Тогда в соответствии с (1.45)

, . (1.54)

Проверочный расчет. К исходным данным (1.45) добавляем размеры сечения (1.54) и проверяем опасные точки, учитывая нормальные напряжениями от продольных усилий в точке 1. Следует также проверить точку 2, в которой кроме учета нормального напряжения от продольного усилия следует учесть и касательное напряжение от поперечного усилия .

Точка 1.

Нормальное напряжение

, (1.55)

где - площадь поперечного сечения

. (1.56)

Согласно(1.50) с учетом (1.53) моменты сопротивления принимают значения

, , . (1.57)

Нормальные напряжения от каждого силового фактора с учетом (1.56), (1.57) принимают значения

, (1.58) .

Подставляя (1.58) в (1.55), получаем

.

Касательное напряжение здесь только от кручения. Согласно(1.47) с учетом (1.57)

,

Эквивалентное напряжение по третьей теории прочности

,

Эквивалентное напряжение превышает допускаемое напряжении на

%%%<5%,

что допустимо

Точка 2

Нормальные напряжения

, (1.59)

где

, - координаты точки 2, - осевой момент инерции

(1.60)

Напряжения от каждого силового фактора в отдельности

, , . (1.61)

Подставляя (1.61) в (1.59) получаем

.

Касательное напряжение

(1.62)

Касательное напряжение от крутящего момента одинаково по всему сечению



Касательное напряжение от поперечной силы вычисляется по формуле Д. И. Журавского

, (1.63)

где

. (1.64)

Подставляя (1.64), (1.60), (1.54) в (1.63) получаем

. (1.65)

Тогда с учетом (1.65), (1.62) принимает значение



Эквивалентное напряжение по третьей теории прочности

,

Эквивалентное напряжение превышает допускаемое напряжении на

%%%<5%,

что допустимо

Таким образом, условие прочности в сечении выполняется.

^ Круглое и кольцевое сечения.

Для стержней круглого или кольцевого сечения точки, одновременно

находящейся на максимальном удалении от осей и , как это имеет место для прямоугольного и коробчатого сечений, нет. Ввиду круговой симметрии моменты




Рис. 1.8 Рис 1.9

инерции относительно любой центральной оси одинаковы. Поэтому, удобно два изгибающих момента заменить их геометрической суммой

(1.66)

и рассмотреть плоский изгиб под действием .

Максимальные нормальные напряжения действуют на поверхности круглого сечения в точке пересечения круга с плоскостью действия суммарного изгибающего момента (рис. 1.8, 1.9)

, (1.67)

где

- площадь сечения, - освой момент сопротивления

- для круглого сечения

, ; (1.68)

- для кольцевого сечения

, . (1.69)

Максимальные касательные напряжения от кручения на поверхности круга или на внешней поверхности кольца, в частности, в точке 1

, (1.70)

где

- полярный момент сопротивления

- для круглого сечения

, (1.71)

- для кольцевого сечения

. (1.72)

Максимальные касательные напряжения , от поперечных сил , расположены на уровне осей и соответственно и определяются по формулам:

- для круглого сечения

, , (1.73)

- для кольцевого сечения

, ,

- для тонкостенного кольца

, ,

Следовательно, в точке 1 действуют одновременно максимальные нормальные напряжения от изгиба и касательные от кручения. При подборе сечения из пластического материала используем третью или четвертую теории прочности. Для упрощения расчетов также пренебрегаем нормальными напряжениями от продольной силы и касательными напряжениями от поперечных сил.

По третьей теории

. (1.74)

По четвертой теории

. (1.75)

Согласно формул (1.68), (1.69), (1.71), (1.72)

. (1.76)

Тогда с учетом (1.76) условия прочности (1.74), (1.75) примут вид

, (1.77)

,

где

, - расчетные моменты по третьей и четвертой теориям прочности соответственно

, (1.78)

.

Исходя из третьей теории прочности, подберем круглое (рис. 1.8) и кольцевое (рис. 1.9) сечения для ломаного бруса, изображенного на рисунке 2 при исходных данных (1.12) полагая дополнительно для кольцевого сечения

. (1.79)

Из условия прочности (1.77) осевой момент сопротивления

, (1.80)

где согласно (1.78), (1.11), (1.12)

. (1.81)

Подставляя (1.81) в (1.80) с учетом (1.12) получаем

. (1.126)

Для круглого сечения согласно (1.68)

, (1.82)

и соответственно

. (1.83)

Для кольцевого сечения выражения (1.69) можно представить в виде

, (1.84)

. (1.85)

Из (1.85) с учетом (1.82) находим



Тогда согласно (1.84) и (1.79)

, . (1.86)

Оценим теперь влияние нормальных напряжений от продольных усилий и касательных напряжений , от поперечных сил , для круглого сечения.

Нормальное напряжение вычисляем согласно (1.67), (1.66), (1.11), (1.12), (1.82)

,

,

.

Касательное напряжение состоит из касательного напряжения от кручения и касательного напряжения от поперечних сил

. (1.87)

Касательное напряжение от кручения вычисляем согласно (1.70) с учетом (1.11), (1.12), (1.76), (1.82)

. (1.88)

Касательное напряжение от поперечних сил в точке 1 можно с запасом подсчитать по формуле

. (1.89)

Согласно (1.73), (1.11), (1.12)

, (1.90)

, (1.91)

Подставляем (1.91), (1.90) в (1.89) получаем

. (1.92)

Тогда согласно (1.87) с учетом (1.92), (1.88) будет

.

Эквивалентное напряжение по третьей теории прочности

.

превышает на

%%%<5%,

что допустимо.

Сравнивая площади прямоугольного (1.29), коробчатого (1.56), круглого (1.83) и кольцевого (1.86) сечений видим, что наиболее экономичным в данном примере является коробчатое сечение.

Частными случаями сложного сопротивления являются: сложный и косой изгиб; изгиб с растяжением (сжатием), внецентренное растяжение (сжатие); изгиб с кручением.


    1. ^ Сложный и косой изгиб


Сложный и косой изгиб – сочетание двух плоских изгибов. Сложный изгиб (неплоский) вызывается силами и моментами, расположенными в разных плоскостях, проходящих через ось балки (рис. 1.10).

Косой изгиб вызывается нагрузками, действующими в одной плоскости, не совпадающей ни с одной из главных плоскостей инерции балки (рис. 1.1).

Расчет при сложном и косом изгибе производится по одному алгоритму. Изгиб приводится к двум плоским изгибам путем разложения нагрузок, действующих в произвольных продольных силовых плоскостях на составляющие, расположенные в главных плоскостях и . Оси и - главные оси инерции сечения (рис. 1.10, 1.11). В поперечном сечении в общем случае возникают четыре внутренних силовых фактора:, , , (, ). При расчете на прочность касательными напряжениями обычно пренебрегают. Нормальные напряжения вычисляются по формуле (1.2) при

. (1.93)

Рис. 1.10 Рис. 1.11


Уравнение нейтральной линии (1.5) в данном случае

, (1.94)

представляет собой уравнение прямой, проходящей через начало координат (центр тяжести сечения). Если через обозначить (рис. 1.12) угол между этой прямой и положительным направлением оси , то уравнение (1.94) можно записать в виде

. (1.95)

Если - результирующий вектор – момент, составляющий угол (угол наклона силовой линии) с осью в данном сечении, то

, (1.96)

и тогда уравнение нейтральной линии примет вид

.

Рис. 1.12


Если , то , то есть при сложном или косом изгибе нейтральная и силовая линии в общем случае не перпендикулярны, как это имеет место при плоском изгибе.

В случае косого изгиба угол постоянный по всей длине балки, то есть силовые линии образуют силовую плоскость. Поэтому, если по всей длине балки, то постоянным будет и угол , то есть изогнутая ось балки – плоская кривая.

В случае сложного изгиба угол меняется по длине балки и, следовательно, изогнутая ось балки – пространственная кривая.

При косом изгибе поскольку угол постоянный по всей длине балки нормальные напряжения (1.93) с учетом (1.96) представимы в виде

.

Проверка прочности производится в тех сечениях, где изгибающие моменты одновременно велики (таких сечений может быть несколько). В опасном сечении опасные точки будут на наибольшем удалении от нейтральной линии. Например, на рисунке 1.12 этими точками будут и

,



и условия прочности будут иметь вид

для хрупкого материала

, ;

для пластического материала

.

Перемещения также определяются исходя из принципа независимости действия сил. Определяются прогибы , в направлении осей и от плоских изгибов исходя из дифференциальных уравнений прогибов в плоскостях , соответственно

, . (1.97)

Из уравнений (1.97) определяются прогибы , непосредственным интегрированием, либо по методу начальных параметров, либо энергетическим методом.

Значение полного прогиба определяется как геометрическая сумма прогибов ,

. (1.98)

Рассмотрим пример.

Пусть стальная балка (модуль Юнга постоянного поперечного сечения нагружена, как показано на рисунке 1.13

, , , , , , .

Из условия прочности подобрать прямоугольное сечение с отношением сторон , найти прогиб сечения , подобрать круглое сечение.

Рис. 1.13

Решение.

Раскладываем нагрузки на главные плоскости , .

В плоскости действуют: распределенная нагрузка , сосредоточенная сила , в защемлении сила реакции , и реактивный момент

, , , .

В плоскости действуют: сосредоточенный момент , сосредоточенная сила , в защемлении сила реакции , и реактивный момент

, , , .

Строим эпюры изгибающих моментов и (рис. 1.13)

-ый участок ():

,

, ;

, ,.

-ой участок ():; ; ;

; ; .

Из эпюр и (рис. 1.13) видно, что опасное сечение – защемление. В этом сечении , (берем моменты со знаком “+” поскольку они вызывают в первой четверти растяжение). Подбираем прямоугольное и круглое сечения.


Рис. 1.14 Рис. 1.15

1   2   3   4   5

Схожі:

Министерство образования и науки украины национальная металлургическая академия украины и. Ю. Наумова, А. П. Иванова сопротивление материалов часть III iconМинистерство образования и науки украины национальная металлургическая академия украины и. Ю. Наумова, А. П. Иванова сопротивление материалов часть IV
Наумова И. Ю., Иванова А. П. Сопротивление материалов. Часть IV: Учеб пособие. Днепропетровск: нметАУ, 2010. – 70 с
Министерство образования и науки украины национальная металлургическая академия украины и. Ю. Наумова, А. П. Иванова сопротивление материалов часть III iconМинистерство образования и науки украины национальная металлургическая академия украины и. Ю. Наумова, А. П. Иванова сопротивление материалов часть II
Наумова И. Ю., Иванова А. П. Сопротивление материалов. Часть II: Учеб пособие. Днепропетровск: нметАУ, 2007. – 56 с
Министерство образования и науки украины национальная металлургическая академия украины и. Ю. Наумова, А. П. Иванова сопротивление материалов часть III iconМинистерство образования и науки, молодежи и спорта украины национальная металлургическая академия украины
Гичёв Ю. А. Источники теплоснабжения промышленных предприятий. Часть І: Конспект лекций: Днепропетровск: нметАУ, 2011. – 52 с
Министерство образования и науки украины национальная металлургическая академия украины и. Ю. Наумова, А. П. Иванова сопротивление материалов часть III iconМинистерство образования и науки, молодежи и спорта украины национальная металлургическая академия украины
Гичёв Ю. А. Источники теплоснабжения промышленных предприятий. Часть І: Конспект лекций: Днепропетровск: нметАУ, 2011. – 52 с
Министерство образования и науки украины национальная металлургическая академия украины и. Ю. Наумова, А. П. Иванова сопротивление материалов часть III iconМинистерство образования и науки украины министерство промышленной политики украины национальная металлургическая академия Украины – Государственный институт подготовки и переподготовки кадров промышленности (гипопром) Под редакцией профессора Шестопалова Г.
move to 0-16320291
Министерство образования и науки украины национальная металлургическая академия украины и. Ю. Наумова, А. П. Иванова сопротивление материалов часть III iconМинистерство образования и науки украины министерство промышленной политики украины учебно-научный комплекс «Национальная металлургическая академия Украины Государственный институт подготовки и переподготовки кадров промышленности (гипопром)» Под редакцией профессора Шестопалова Г.
move to 0-3612123
Министерство образования и науки украины национальная металлургическая академия украины и. Ю. Наумова, А. П. Иванова сопротивление материалов часть III iconМинистерство образования и науки украины министерство промышленной политики украины национальная металлургическая академия Украины – Государственный институт подготовки и переподготовки кадров промышленности (гипопром) Под редакцией профессора Шестопалова Г.
Социология. Курс лекций // Шестопалов Г. Г., Амельченко А. Е., Куревина Т. В., Лагута Л. Н под ред проф Г. Г. Шестопалова. – Днепропетровск:...
Министерство образования и науки украины национальная металлургическая академия украины и. Ю. Наумова, А. П. Иванова сопротивление материалов часть III iconМинистерство образования и науки украины национальная металлургическая академия украины
Целью контрольной работы является комплексное освоение студентами совокупности двух важных разделов планирования деятельности предприятия:...
Министерство образования и науки украины национальная металлургическая академия украины и. Ю. Наумова, А. П. Иванова сопротивление материалов часть III iconМинистерство образования и науки украины институт инновационных технологий и содержания образования мон украины петровская академия наук и искусств (Санкт Петербург) университет менеджмента образования апн украины научно-методический комплекс
Коммунальное учреждение «Запорожская областная академия последипломного педагогического образования»
Министерство образования и науки украины национальная металлургическая академия украины и. Ю. Наумова, А. П. Иванова сопротивление материалов часть III iconМинистерство образования и науки украины харьковская национальная академия городского хозяйства
«Электромеханика» специальности “Электромеханические системы автоматизации и электропривод”
Додайте кнопку на своєму сайті:
Документи


База даних захищена авторським правом ©zavantag.com 2000-2013
При копіюванні матеріалу обов'язкове зазначення активного посилання відкритою для індексації.
звернутися до адміністрації
Документи