Министерство образования и науки украины национальная металлургическая академия украины и. Ю. Наумова, А. П. Иванова сопротивление материалов часть III icon

Министерство образования и науки украины национальная металлургическая академия украины и. Ю. Наумова, А. П. Иванова сопротивление материалов часть III




НазваМинистерство образования и науки украины национальная металлургическая академия украины и. Ю. Наумова, А. П. Иванова сопротивление материалов часть III
Сторінка4/5
Дата26.06.2012
Розмір0.56 Mb.
ТипДокументи
1   2   3   4   5

Прямоугольное сечение (рис. 1.14).

Прямоугольное сечение располагаем так, чтобы оси и совпадали с осями симметрии, и большему изгибающему моменту соответствовал больший момент сопротивления. При таком расположении сечения моменты сопротивления и моменты инерции имеют вид

, , (1.99)

, ,

Определяем положение нейтральной линии согласно (1.95)

,

откуда

.

На максимальном удалении от нейтральной линии находятся точки 1 и 2. Максимальное напряжение на растяжение в точке 1, на сжатие – в точке 2. В силу двойной симметрии сечения эти напряжения по абсолютной величине равны и условие прочности для пластического материала имеет вид

,

или

,

откуда

. (1.100)

Из (1.99) с учетом (1.100) находим

, .

При этом моменты инерции согласно (1.99) принимают значения

, .

Для круглого сечения (рис. 1.15), ввиду его осевой симметрии, реализуется плоский изгиб под действием результирующего изгибающего момента

.

При этом, поскольку моменты инерции равны

,

формула для определения положения нейтральной оси (1.95) принимает вид

,

откуда

.

Здесь силовая линия и нейтральная перпендикулярны и опасная точка 1 находится на поверхности круглого сечения в точке пересечения с линией действия .

Условие прочности как при плоском изгибе

, (1.101)

где - осевой момент сопротивления круглого сечения

,

Из условия прочности (1.101) находим

. (1.102)

Из (1.102)

.

Для определения полного прогиба сечения балки прямоугольного поперечного сечения сначала найдем прогибы в плоскостях и с помощью метода начальных параметров.

Плоскость .

Универсальное уравнение упругой линии балки:

,

где - жесткость сечения при изгибе балки вокруг оси , , - прогиб и угол поворота в защемлении

, , . (1.103)

В сечении :

, (1.104)

Из (1.104) с учетом (1.103) находим

. (1.105)

Плоскость .

Универсальное уравнение упругой линии балки:

,

где - жесткость сечения при изгибе балки вокруг оси , , - прогиб и угол поворота в защемлении

, , . (1.106)

В сечении :



. (1.107)

Из (1.107) с учетом (1.106) находим

. (1.108)

Согласно (1.98) с учетом (1.105), (1.108)

.

1.6. Изгиб с растяжением-сжатием. Внецентренное растяжение-сжатие

При изгибе с растяжением-сжатием в общем случае в поперечных сечениях возникают изгибающие моменты и , поперечные силы и , а также продольная сила (рис. 1.16).



Рис. 1.16

Нормальное напряжение в произвольной точке сечения определяются формулой (1.4).Пренебрегая касательными напряжениями от поперечных сил и , можно считать, что напряженное состояние в опасной точке линейно, следовательно, условия прочности будут иметь вид

для хрупкого материала

, ; (1.109)

для пластического материала

. (1.110)

Если сечение имеет 2 оси симметрии и выступающие углы, то опасной будет одна из угловых точек:

. (1.111)

В случае плоского изгиба в главной плоскости с растяжением-сжатием 3-х членная формула превращается в 2-х членную.

. (1.112)

Формулы (1.111), (1.112) применяют при расчете на прочность плоских рам и арок малой кривизны, нагруженных в своей плоскости.

Внецентренное растяжение-сжатие прямого бруса – частный случай сложного изгиба с растяжением-сжатием, при котором брус растягивается силами, параллельными оси бруса, так что их равнодействующая (сила ) не совпадает с осью бруса, а проходит через точку , называемую полюсом силы (рис. 1.17). - главные центральные оси, - координаты точки приложения силы, - расстояние от точки приложения силы до оси (эксцентриситет).

Рис. 1.17

Для определения напряжения в сечении приводим силу к центру тяжести с моментом вокруг оси и моментом вокруг оси . Затем методом сечений находим внутренние силовые факторы

, , . (1.113)

Подставляя (1.113) в (1.4) получим

. (1.114)

Вводя радиусы инерции

,

перепишем (1.114) в виде

. (1.115)

Для нахождения опасных точек сечения следует построить нейтральную ось и найти точки наиболее удаленные от нее, которые и будут опасными точками.

Уравнение нейтральной оси с учетом (1.115) имеет вид

. (1.116)

Для построения нейтральной оси находим отрезки , , отсекаемые ею на осях , , полагая последовательно , (рис. 1.18)

, . (1.117)

Точки 1 и 2 наиболее удалены от нейтральной оси. В точке 1 наибольшее растяжение. В точке 2 – наибольшее сжатие. Эпюра напряжений на рисунке 1.18. Максимальные напряжения принимают значение

,

Условия прочности имеют вид (1.109), (1.110).

Рис.1.18

В зависимости от положения точки приложения силы положение нейтральной линии меняется. Нейтральная линия может пересекать сечение, разделяя его на растянутую и сжатую области, может касаться сечения, а может и быть вне сечения (рис. 1.19). В последних двух случаях напряжения во всем сечении не меняют знак. Представляет интерес установить область приложений силы , при которых нормальные напряжения по всему поперечному сечению будут одного знака. Такая область называется ядром сечения. Она обладает следующими свойствами.

  1. Если сила , приложена внутри ядра сечения, то напряжение во всем поперечном сечении имеет один и тот же знак.

  2. Если сила приложена на границе ядра сечения, то нейтральная линия касается самого сечения.

  3. Если нейтральная линия (н.л.) поворачивается вокруг некоторого центра, то точка приложения силы движется по прямой.



Рис. 1.19

Итак, для построения ядра сечения необходимо:

- определить геометрические характеристики сечения: площадь, осевые моменты инерции, радиусы инерции;

- провести положения нейтральной линии, совпадающие со сторонами сечения, касающиеся выступающих точек или являющиеся касательными к сечению.

Найдем ядра сечения для прямоугольника и круга.

^ Прямоугольное сечение (рис 1.20).

Площадь сечения

.

Осевые моменты инерции относительно осей симметрии ,

, .

Квадраты осевых радиусов инерции

, .

При совмещении нейтральной линии со стороной отрезки, отсекаемые нейтральной линией на осях , принимают значения

, .

Тогда из формул (1.117) находим координаты точки приложения силы , (точка 2)

, .

При совмещении нейтральной линии со стороной


Рис.1.20

, .

, .

При совмещении нейтральной линии со стороной

, .

, .

При совмещении нейтральной линии со стороной

, .

, .

При повороте нейтральной линии вокруг точки , точка приложения силы движется по отрезку прямой, соединяющей точки 1 и 2. Это следует из уравнения (1.116), поскольку при подстановке в него вместо , координаты точки , получим уравнение прямой в отрезках относительно , вида

.

При повороте нейтральной линии вокруг точек , , получаем соответственно уравнения

,

,

.

Таким образом, ядром сечения для прямоугольника является ромб с длиной стороны

.

Круглое сечение диаметра (рис. 1.21).

В круге все центральные оси – главные. Поэтому при касании нейтральной линии I-I в любой точке контура круга, точка приложения силы лежит на диаметре, проходящем через эту точку и цент круга. Найдем эту точку для нейтральной линии I-I.

Рис. 1.21

Площадь круга

.

Осевой момент инерции

.

Квадрат радиуса инерции



Точка касания круга нейтральной линией I-I имеет координаты

, .

При этом точка приложения силы имеет координаты

, .

Таким образом, в силу осевой симметрии сечения ядро сечения будет также кругом с радиусом .

В качестве примера рассмотрим внецентренное растяжение чугунного короткого стержня силой (рис. 1.22). При заданных размерах , допускаемых напряжениях на растяжение и на сжатие требуется определить допускаемую нагрузку .


Рис. 1.22

Решение.

Сечение состоит из прямоугольника и треугольника. Определяем цент тяжести сечения. Поскольку сечение имеет ось симметрии, целесообразно выбрать вспомогательные оси , следующим образом: ось направляем по оси симметрии, ось совпадает с главной центральной осью прямоугольника . , - центральные оси треугольника: совпадает с осью , параллельно оси и основанию треугольника.

Координаты центра тяжести , .

Поскольку - ось симметрии

, , (1.118)

где

, - координаты центров тяжести прямоугольника и треугольника во вспомогательных осях

, , (1.119)

, , - площади прямоугольника, треугольника и общая площадь соответственно

, , . (1.120)

Подставляя (1.119), (1.120) в (1.118) получаем

, , (1.122)

, - осевые моменты инерции относительно оси прямоугольника и треугольника соответственно

, , (1.123)

Подставляя (1.122), (1.123) в (1.121) получаем

, .

Определяем квадраты радиусов инерции

, .

Находим отрезки , , отсекаемые нейтральной линией на осях ,

, ,

где , координаты точки приложения силы в осях ,

, .

Проведем нейтральную линию (рис. 1.22) и получим выражения напряжений в угловых точках

, , , , , (1.124)

где

, , , , , , , , , - координаты точек 1, 2, 3, 4, 5 в осях , соответственно

, , , , , .

Из соотношений (1.124) видно, что

, .

Тогда условия прочности

, ,

откуда допускаемые силы в этих точках будут

=, =. Допускаемая нагрузка для всего сечения

.


^ 1.7. Изгиб с кручением

1   2   3   4   5

Схожі:

Министерство образования и науки украины национальная металлургическая академия украины и. Ю. Наумова, А. П. Иванова сопротивление материалов часть III iconМинистерство образования и науки украины национальная металлургическая академия украины и. Ю. Наумова, А. П. Иванова сопротивление материалов часть IV
Наумова И. Ю., Иванова А. П. Сопротивление материалов. Часть IV: Учеб пособие. Днепропетровск: нметАУ, 2010. – 70 с
Министерство образования и науки украины национальная металлургическая академия украины и. Ю. Наумова, А. П. Иванова сопротивление материалов часть III iconМинистерство образования и науки украины национальная металлургическая академия украины и. Ю. Наумова, А. П. Иванова сопротивление материалов часть II
Наумова И. Ю., Иванова А. П. Сопротивление материалов. Часть II: Учеб пособие. Днепропетровск: нметАУ, 2007. – 56 с
Министерство образования и науки украины национальная металлургическая академия украины и. Ю. Наумова, А. П. Иванова сопротивление материалов часть III iconМинистерство образования и науки, молодежи и спорта украины национальная металлургическая академия украины
Гичёв Ю. А. Источники теплоснабжения промышленных предприятий. Часть І: Конспект лекций: Днепропетровск: нметАУ, 2011. – 52 с
Министерство образования и науки украины национальная металлургическая академия украины и. Ю. Наумова, А. П. Иванова сопротивление материалов часть III iconМинистерство образования и науки, молодежи и спорта украины национальная металлургическая академия украины
Гичёв Ю. А. Источники теплоснабжения промышленных предприятий. Часть І: Конспект лекций: Днепропетровск: нметАУ, 2011. – 52 с
Министерство образования и науки украины национальная металлургическая академия украины и. Ю. Наумова, А. П. Иванова сопротивление материалов часть III iconМинистерство образования и науки украины министерство промышленной политики украины национальная металлургическая академия Украины – Государственный институт подготовки и переподготовки кадров промышленности (гипопром) Под редакцией профессора Шестопалова Г.
move to 0-16320291
Министерство образования и науки украины национальная металлургическая академия украины и. Ю. Наумова, А. П. Иванова сопротивление материалов часть III iconМинистерство образования и науки украины министерство промышленной политики украины учебно-научный комплекс «Национальная металлургическая академия Украины Государственный институт подготовки и переподготовки кадров промышленности (гипопром)» Под редакцией профессора Шестопалова Г.
move to 0-3612123
Министерство образования и науки украины национальная металлургическая академия украины и. Ю. Наумова, А. П. Иванова сопротивление материалов часть III iconМинистерство образования и науки украины министерство промышленной политики украины национальная металлургическая академия Украины – Государственный институт подготовки и переподготовки кадров промышленности (гипопром) Под редакцией профессора Шестопалова Г.
Социология. Курс лекций // Шестопалов Г. Г., Амельченко А. Е., Куревина Т. В., Лагута Л. Н под ред проф Г. Г. Шестопалова. – Днепропетровск:...
Министерство образования и науки украины национальная металлургическая академия украины и. Ю. Наумова, А. П. Иванова сопротивление материалов часть III iconМинистерство образования и науки украины национальная металлургическая академия украины
Целью контрольной работы является комплексное освоение студентами совокупности двух важных разделов планирования деятельности предприятия:...
Министерство образования и науки украины национальная металлургическая академия украины и. Ю. Наумова, А. П. Иванова сопротивление материалов часть III iconМинистерство образования и науки украины институт инновационных технологий и содержания образования мон украины петровская академия наук и искусств (Санкт Петербург) университет менеджмента образования апн украины научно-методический комплекс
Коммунальное учреждение «Запорожская областная академия последипломного педагогического образования»
Министерство образования и науки украины национальная металлургическая академия украины и. Ю. Наумова, А. П. Иванова сопротивление материалов часть III iconМинистерство образования и науки украины харьковская национальная академия городского хозяйства
«Электромеханика» специальности “Электромеханические системы автоматизации и электропривод”
Додайте кнопку на своєму сайті:
Документи


База даних захищена авторським правом ©zavantag.com 2000-2013
При копіюванні матеріалу обов'язкове зазначення активного посилання відкритою для індексації.
звернутися до адміністрації
Документи