Теория вероятностей icon

Теория вероятностей




НазваТеория вероятностей
Сторінка1/9
Дата11.06.2012
Розмір1.2 Mb.
ТипУчебное пособие
  1   2   3   4   5   6   7   8   9


МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ


ХАРЬКОВСКАЯ НАЦИОНАЛЬНАЯ АКАДЕМИЯ

ГОРОДСКОГО ХОЗЯЙСТВА


А.И.Колосов,

Ю.Е.Печенежский,

С.А.Станишевский


ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА


Учебное пособие


(для студентов факультетов последипломного образования

и заочного обучения)


Харьков – ХНАГХ – 2008


УДК 519.2


Колосов А.И., Печенежский Ю.Е., Станишевский С.А. Теория вероятностей и математическая статистика. Учебное пособие. – Харьков: ХНАГХ, 2008. – 52 с.


Рецензент: Н.П. Данилевский


В пособии изложены краткие теоретические сведения по теории вероятностей и математической статистике, приведены образцы решения задач с рисунками, даны контрольные задания и список рекомендованной литературы.

Пособие предназначено для студентов факультетов последипломного образования и заочного обучения по направлениям подготовки: «Экономика и предпринимательство», «Менеджмент и администрирование», «Электротехника и электромеханика», «Строительство и архитектура».


Печатается по решению Ученого совета ХНАГХ,


протокол № 5 от 28.12.2007 г.


ПРЕДИСЛОВИЕ


Учебное пособие написано в соответствии с программой по теории вероятностей и математической статистике, утвержденной Министерством образования и науки Украины, которая ориентирована на студентов факультетов последипломного образования и заочного обучения.

Пособие содержит краткие теоретические сведения, методические указания, список литературы и рекомендации, которыми студентам советуют воспользоваться при изучении курса.

Чтобы помочь студенту овладеть практической частью курса, в каждом разделе даётся подробное решение типовых задач.

Приведенные примеры не только иллюстрируют соответствующие теоретические вопросы программы, но и являются образцами для решения задач контрольной работы. При её выполнении и оформлении необходимо придерживаться следующих правил:

  • в заголовке контрольной работы должны быть четко написаны фамилия студента и его инициалы;

  • номер зачетной книжки и соответствующего варианта;

  • дата отсылки работы в академию;

  • работу выполняют в отдельной тетради, оставляя на каждой странице поле для пометок рецензента;

  • задачи, их условия и решения следует располагать в том порядке, в котором они даны в задании;

  • решение задачи должно сопровождаться необходимыми краткими объяс­нениями и ссылками на теоретические положения.

Получив прорецензированную контрольную работу, студент дол­жен в кратчайший срок исправить помеченные рецензентом ошибки, если таковые есть, выполнить все его предложения и вернуть её преподавателю перед сдачей зачета или экзамена.

^ 1. ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ


В разделе элементарной математики, который называется комбинаторикой, решаются некоторые задачи, связанные с рассмотрением конечных целочисленных множеств, состоящих из положительных элементов, и составлением различных комбинаций из элементов этих множеств. Например, если взять 10 различных цифр 0, 1, 2, 3, ... , 9 и составлять из них комбинации, то будем получать различные числа, например, 345, 534, 1036, 5671, 45 и т. п.

Видно, что некоторые из таких комбинаций отличаются только порядком цифр (например, 345 и 534), другие — входящими в них цифрами (например, 1036 и 5672), третьи — числом цифр (например, 345 и 45).

Таким образом, полученные комбинации удовлетворяют различным условиям. В зависимости от правил их составления можно выделить три типа комбинаций: перестановки, размещения, сочетания.


1.1. Перестановки


^ Комбинации из n элементов, отличающиеся друг от друга только их порядком, называются перестановками.

Перестановки обозначаются символом Рn, где n — число элементов, входящих в каждую перестановку.

Пример. Пусть даны три буквы: А, В, С. Составим все возможные комбинации из этих букв: АВС; АСВ; ВСА; ВАС; CAB; CBA; (всего 6 комбинаций). Видно, что они отличаются друг от друга только порядком расположения букв.

Действительно, на первое место в комбинации (перестановке) можно поставить три буквы. На второе место уже можно поставить только две буквы из трех (одна заняла первое место), а на третьем окажется только одна из оставшихся. Значит, 3 · 2 · 1 = 6 = P3 , но1·2·3=3!. Пришли к известному в математике понятию факториала.

Произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно называют n-факториалом и пишут:

n!= 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 · ... · (n - 1) · n , при этом считая 0! = 1 и .

Основное свойство факториала: (n + 1)! = (n +1) · n!

Число перестановок вычисляем по формуле

Рn = n! (1.1)

Так, число перестановок из трех элементов составляет Р3 = 3! = 3 · 2 · 1 = 6, что совпадает с результатом рассмотренного выше примера.


1.2. Размещения


Комбинации из n элементов по m отличающихся друг от друга или самими элементами или их порядком, называются размещениями.

Размещения обозначаются символом: . Число размещений можно вычислить по формуле:

, где 0 m n; m, n є N. (1.2)


Пример. Пусть имеются четыре буквы А, В, С, D. Составив все комби­нации только из двух букв, получим:

АВ, AC, AD;

ВА, ВС, BD;

СА, СВ, CD;

DA, DB, DC.

Они отличаются или буквами, или их порядком.

По формуле (1.2) , что совпадает с результатом приведенного примера. Тут каждая строка соответствует одной из всех имеющихся букв (n=4), а число столбцов соответствует остальным буквам, (n-1=3) , всего имеется 4 3=12 различных комбинаций.

Формулу (1.2) можно записать в факториальной форме:

. (1.3)

Основные свойства размещений: 1) ; 2)


1.3. Сочетания


Комбинации из n элементов по m, отличающихся друг от друга по крайней мере хотя бы одним элементом ( m, nN; n m), называются сочетаниями.

Сочетания обозначаются символом: . Число сочетаний можно вычислить по формуле:

. (1.4)

Основные свойства сочетаний:

; .


Пример. Из четырех различных букв А, В, С и D по две можно составить следующие комбинации: АВ, AC,AD, ВС, BD, CD. Значит, число сочетаний из четырех элементов по два равно 6. Это кратко записывается так: .

Замечание. При решении задач комбинаторики часто используются два общих правила:

Правило суммы. Если некоторый объект А можно выбрать способами, а объект ^ В способами (не такими, как А), то объект «или А, или В», можно выбрать способами.

^ Правило произведения. Если некоторый объект А можно выбрать способами, а после такого выбора другой объект В можно выбрать (независимо от выбора объекта А) способами, то пару объектов А и В можно выбрать способами.


1.4. Упражнения


1. Сколько разных вариантов хоккейной команды можно составить из 9 нападающих, 5 защитников и 3 вратарей, если в состав команды должно войти 3 нападающих, 2 защитника и 1 вратарь?

Решение. Из 9 нападающих можно выбрать троих разными способами. Из 5 защитников можно выбрать двух разными способами. Из 3 вратарей можно выбрать одного способами. Комбинируя каждую тройку нападающих с парой защитников, получаем разных команд без вратарей. Комбинируя эти команды с каждым из вратарей, имеем



разных команд.


2. Из 10 студентов назначают двух дежурных. Сколькими способами можно это сделать, если:

1) один из назначенных становится старшим;

2) старших нет?

Решение. Ясно, что если один из студентов - старший, то существен порядок ( в ведомости дежурных старший, например, ставится на первое место) и искомое количество способов равно числу размещений из 10 элементов по 2, т.е. 10 · 9=90. Следовательно, дежурных можно назначить ^ 90 способами. Если же старших нет, то порядок записи безразличен и искомое количество способов равно числу сочетаний из 10 элементов по 2, т.е. .

Ответ: 1) 90; 2) 45.


3. В каждый из ящиков может быть положен любой из шаров. Сколько есть вариантов такого распределения?

Решение. Первый шар может быть положен в любой из ящиков, т.е. способами. Аналогично существует вариантов для второго, третьего … -го шара. Так как распределения независимы друг от друга, то применяя правило произведения, имеем

?

вариантов распределения.


^ 2. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ


Теория вероятностей — это математическая наука, которая изучает массовые явления.

Массовым называют такое явление, которое свойственно большому количеству равноправных объектов. Под равноправными объектами понимают результаты исследований в различных отраслях естествознания и техники, которые повторяются при одинаковых условиях.


^ 2.1. Основные определения


Опытом (или исследованием, наблюдением) называ­ется осуществление какого-нибудь определенного комплекса условий, который может быть повторен сколько угодно раз.

Событием называется явление, о котором можно говорить, что оно осуществляется или не осуществ­ляется во время проведения опыта.

Достоверным называют событие А, которое обязательно происходит при опыте.

Пример. В урне имеются только белые шары. Тогда извлечение белого шара при однократном вынимании из урны происходит с необходимостью и поэтому является достоверным.

Невозможным называют событие А, которое заведомо не может произойти при опыте.

^ Пример. Извлечение черного шара из урны, в которой находятся только белые.

Случайным называется событие, которое в результате опыта может произойти или не произойти.

Пример. При бросании игральной кости появление грани с номером 6 будет случайным событием, ибо при бросании могут появляться грани и с другими номерами.

Несовместными называются события, появление одного из которых исключает возможность появления другого при том же испытании.

Пример. Бросим один раз монету. Появление герба исключает появление цифры. Поэтому события «появился герб» и «появилась цифра» — несовме­стные.

Совместными называются события, появление одного из которых не исключает возможность появления другого при том же испытании.

Пример. Появление определенного номера на гранях (числа очков) при одновременном бросании двух игральных костей правильной формы.

^ Единственно возможными называются события, если при испытании одно из них и только одно произойдет обязательно.

Пример. Из урны, где имеются белые и черные шары, будем извлекать два шара. Обязательно произойдет одно и лишь одно из таких событий: «оба шара будут белыми», «оба шара будут черными», «один из шаров будет белым, а другой — черным».

Равновозможными называют события, если при испытании появление любого из них не более возможное, чем появление другого.

Пример. В урне имеется 5 шаров различного цвета (пусть это будут красный, желтый, голубой, зеленый и белый шары). При извлечении одного из них у нас нет оснований считать, что появление желтого шара более возможно, чем появление шара другого цвета. Появление каждого из шаров в этом случае — события равновозможные.

Противоположными называются два несовместимых и единственно возможных события. Их обозначают через А и .

Пример. Попадание и промах при выстреле; появление четного и нечетного номера при бро­сании игральной кости.

Благоприятствующим называется испытание, при котором наступает событие А.

Вероятностью события А называют отношение числа благоприятствующих этому событию испытаний к общему числу всех возможных испытаний.

Пусть п ? число всех возможных испытаний, а m—число испытаний, благоприятствующих событию А. Обозначив вероятность события А через Р(А), будем иметь:

Р(А)=m/n. (2.1)

Эту величину называют классической вероятностью.

Пример. Появление грани с четным номером при бросании игральной кости. Этому событию (обозначим его через A) благоприятствуют появление грани с номером 2, с номером 4 и с номером 6. Поэтому по формуле (2.1) Р(А) =3/6=1/2.

Вероятность достоверного события равна единице, поскольку такому событию благоприятствуют все возможные испытания.

Пример. В урне содержится 9 белых шаров. Вероятность извлечь белый шар равна: Р(А)=9/9=1. Данному событию благоприятствуют все 9 возможных испытаний.

Вероятность невозможного события равна нулю, так как невозможному событию не благоприятствует ни одно из возможных испытаний.

Таким образом, вероятность Р(А) любого события А удовлетво­ряет соотношению:

0?Р(А)?1. (2.2)

Вероятность противополож­ного события . Действительно, если событию А из всех п испытаний благоприятствуют т, то ему неблагоприятствуют пт испытаний (они благоприятствуют событию ). Поэтому

(2.3)

Сумма вероятностей противоположных событий равна единице. Следствие из (2.3).

Относительной частотой события А называют отно­шение числа опытов, при которых оно наступает, к общему числу опытов. Обозначив ее через W(А), будем иметь:

W(A) = m/n. (2.4)

Пример. Из 100 деталей отделом технического контроля забраковано 5, то

W(A) =5/100=0,05.

При небольшом количестве опытов относительная частота собы­тия носит, вообще говоря, случайный характер. Наблюдения показали, что с увеличением числа опытов относительная частота события обнаруживает свойство устойчивости: она все меньше отклоняется от некоторого постоянного числа.

^ Пример. Многократное бросание монеты. Частота появления герба незначительно отклоняется от числа 0,5 — вероятности этого события.

Эту постоянную называют статистической вероятностью события, а за ее приближенное значение берут относительную частоту события при достаточно большом числе испытаний.

Заметим, что классическое определение вероятности не требует фактического проведения испытаний, тогда как статистическое определение предусматривает их выполнение.

Суммой событий А + В называется событие (A или В), состоящее в наступлении хотя бы одного из них.

Произведением событий АВ называется событие (A и B), состоящее в их совместном наступлении.

Условной называется вероятность события A, вычисленная в предположении, что событие ^ В уже наступило. Обозначается: РВ(А) или Р(А/В).

Независимыми называются два события, если вероятность появления одного из них не зависит от появле­ния или непоявления другого.

^ Теорема сложения: Вероятность наступления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме их вероятностей без вероятности их совместного наступления.

Р(А+В) = Р (А) + Р (В) — Р (АВ). (2.6)

Теорема умножения. Вероятность совместного появления двух событий А и В равна произведению вероятности А на услов­ную вероятность В, в предположении, что событие А уже наступило:

Р(АВ) = Р(А) · Р(В/A). (2.7)

Если события А и В независимые, то Р (В/А) = Р (В) и

Р(АВ) =Р(A) · Р(В). (2.8)

Теорему умножения можно обобщить и на случай большего числа событий. Например, для трёх событий будем иметь:

Р (AВС) = Р (АВ) · Р (С/АВ) = Р (А) · Р (В/А) · Р(С/АВ).

Следствие из теоремы сложения. Вероятность наступления одного из двух независимых событий равна сумме вероятностей этих событий:

Р(А+В)=Р(А)+Р(В). (2.9)

Полная вероятность события В, которое может наступить лишь тогда, когда наступит одно из n независимых событий А1, А2, .... Аn, которые образуют полную группу, и вычисляется по формуле:

Р(В) = Р(А1) · Р(В/А1) + Р(А2) · Р(В/А2) +... + Р(Аn) · Р(В/Аn) = Р∙(Ak) P(B/Ak). (2.10)

Вероятность появления события , при котором наступило событие , вычисляется по формуле Бейеса:

, (i = 1, 2, … n). (2.11)

Несколько событий образуют полную группу, если появление хотя бы одного из них является достоверным событием.

  1   2   3   4   5   6   7   8   9

Схожі:

Теория вероятностей iconI. теория вероятностей
Теория вероятностей это математическая наука, изучающая закономерности в случайных событиях
Теория вероятностей iconI. теория вероятностей
Теория вероятностей это математическая наука, изучающая закономерности в случайных событиях
Теория вероятностей iconКонтрольные вопросы по курсу "теория вероятностей и математическая статистика" теория вероятностей
Что такое элементарное событие, поле событий? Какие бывают операции и отношение между событиями?
Теория вероятностей iconКонспект лекций по курсу "Теория вероятностей и математическая статистика"
Теория вероятностей это математическая наука, изучающая закономерности в случайных событиях
Теория вероятностей iconКонтрольные вопросы по дисциплине " теория вероятностей и математическая статистика"
Консультации по курсу “Теория вероятностей и математическая статистика” проводятся: каждый вторник, среда с 15. 00-16. 30
Теория вероятностей iconОсновы теории вероятностей
Теория вероятностей это математическая наука, изучающая закономерности в случайных событиях
Теория вероятностей iconОсновы теории вероятностей
Теория вероятностей это математическая наука, изучающая закономерности в случайных событиях
Теория вероятностей icon2 Основные понятия теории вероятностей и математической статистики
И если выбранная ими специальность была связана с техническими терминами то естественно в этом образовании было уделено внимание...
Теория вероятностей iconДокументи
1. /Теория вероятностей Вентцель Е.С.djvu
Теория вероятностей iconДокументи
1. /Теория вероятностей Вентцель Е.С.djvu
Додайте кнопку на своєму сайті:
Документи


База даних захищена авторським правом ©zavantag.com 2000-2013
При копіюванні матеріалу обов'язкове зазначення активного посилання відкритою для індексації.
звернутися до адміністрації
Документи