Розміру називається сукупність елементів icon

Розміру називається сукупність елементів




Скачати 323.89 Kb.
НазваРозміру називається сукупність елементів
Сторінка1/4
Дата11.06.2012
Розмір323.89 Kb.
ТипДокументи
  1   2   3   4

Вступ


Розв’язання задач з вищої математики часто пов’язано з багатьма складностями. Відомо, що при самостійному розв’язуванні задач студентам потрібні постійні консультації щодо способів їх розв’язування, оскільки знайти шлях до розв’язування задачі без допомоги викладача або відповідного підручника студентові не під силу. Допомогти студентам заочної форми навчання подолати ці складності, навчити їх застосовувати теоретичні знання до розв’язування задач - основне призначення цього методичного видання.

Метою видання є надання допомоги студентам у отриманні навичок з розв’язування типових задач, користуючись наведеними теоремами та формулами, а також детально розібраними прикладами. Там, де це можливо, задачі класифікувалися за темами. До кожного нового типу подано задачі з розв’язуванням і кілька задач того самого типу для самостійного опрацювання.



  1. Матриці і операції над ними. Визначники матриць. Властивості визначників. Обернена матриця.

Матрицею розміру називається сукупність елементівaij, розміщених у вигляді прямокутної таблиці, що має m рядків і n стовпців:

або .


Перший індекс кожного елемента вказує на номер рядка, в якому цей елемент розміщений, другий – на номер стовпця. Матриці позначають прописними буквами латинського алфавіту: А, В, C,….Уживають також більш компактний запис А=(аij)mn.

Матриця називається числовою, якщо її елементи аij – числа; функціональною, якщо аijфункції. Ми будемо розглядати, в основному, числові матриці.

Кажуть, що матриці А і В мають однакові розміри, якщо у них однакова кількість рядків і однакова кількість стовпців. Матриці А і В вважаються рівними між собою, якщо вони мають однакові розміри, а їхні елементи, що знаходяться на однакових місцях, рівні між собою.

Матриця, у якої кількість рядків дорівнює кількості стовпців (тобто m = n), називається квадратною матрицею порядку n. Квадратна матриця порядку n має вигляд:

.


Елементи а11, a22,…,ann утворюють головну діагональ матриці, а елементи a1n, a2(n-1),…,an1побічну.

Деякі квадратні матриці мають власні назви. Зокрема, до них відносяться нульова, діагональна та одинична матриці.

Нульовою називається матриця, всі елементи якої - нулі.

Якщо всі елементи матриці, окрім розташованих на головній діагоналі, дорівнюють нулю, то в цьому випадку матриця називається діагональною.

Якщо всі елементи діагональної матриці дорівнюють одиниці, то вона називається одиничною матрицею. Одинична матриця має вигляд:


.


Матрицю, яку одержують із матриці А заміною її рядків відповідними стовпцями, називають транспонованою і позначають АТ. Транспонована матриця має вигляд:

.


Сумою (різницею) матриць А і В називається матриця С, елементи якої сij=aij+bij (сij=aij-bij), де aij і bijвідповідно елементи матриць А і В. При цьому пишуть С = А + В.

Додавати або віднімати можна тільки матриці однакових розмірів.

Добутком матриці А на число ? називається матриця С такого ж розміру, елементи якої сij= ? aij, де aij – елементи матриці А, тобто при множенні матриці на число (числа на матрицю) треба всі елементи матриці помножити на це число. При цьому пишуть С = ? А.

Для довільних матриць А, В, С однакових розмірів і довільних чисел ? та ? справджуються рівності:


А + В = В + А;

(А + В) +С = А + (В + С);

?(А + В) = ?А + ?В;

(? + ? )А = ? А + ? А;

(? ? )А = ? (? А).


Добутком матриці на матрицю називається матриця , елементи якої, де aik, bkj – елементи матриць А і В. Зауважимо, що перемножувати можна тільки ті матриці, в яких кількість стовпців першої матриці дорівнює кількості рядків другої. З існування добутку АВ не означає, що існує добуток ВА.

Якщо АВ = ВА , то матриці А і В називаються комутативними.

Визначником другого порядку квадратної матриці називається число

Визначником третього порядку квадратної матриці називається число:





Д


ля обчислення визначників третього порядку існує правило трикутника, яке схематично можна зобразити так:

Аналогічно для квадратної матриці А n-го порядку можна розглянути її визначник n-го порядку. Визначник матриці А часто позначають det A.

Мінором Мij елемента аij називається визначник, який дістають з визначника матриці А викреслюванням i-го рядка та j-го стовпця.

Алгебричним доповненням Аij елемента аij називається відповідний мінор, взятий зі знаком «плюс», якщо сума його індексів парна, і зі знаком «мінус», якщо сума його індексів непарна .

Визначник вищого порядку можна обчислити за допомогою визначників нижчого порядку розкладом за елементами якогось рядка або стовпця. Зокрема, для визначників третього порядку маємо:

.


Визначник дорівнює сумі добутків елементів деякого рядка ( стовпця ) на їх алгебричні доповнення.

^ Основні властивості визначників.

  1. Значення визначника не змінюється, якщо його рядки замінити відповідними стовпцями, а стовпці – рядками.

  2. Перестановка двох рядків (стовпців) визначника рівносильна множенню його на –1.

  3. Якщо визначник має два однакових рядка (стовпця), то він дорівнює нулю.

  4. Якщо всі елементи якого-небудь рядка (стовпця) визначника містять спільний множник, то його можна винести за знак визначника.

  5. Якщо всі елементи деякого рядка (стовпця) визначника дорівнюють нулю, то і сам визначник дорівнює нулю.

  6. Якщо відповідні елементи двох рядків (стовпців) визначника пропорційні, то визначник дорівнює нулю.

  7. Якщо кожний елемент деякого рядка (стовпця) визначника є сумою двох доданків, то визначник дорівнює сумі двох визначників, у яких один у згаданому рядку (стовпці) має перші з заданих доданків, а інший – другі; елементи, що знаходяться на решті місць, у всіх трьох визначниках одні й ті самі. Записується ця властивість таким чином:


.


  1. Якщо до елементів деякого рядка (стовпця) визначника додати відповідні елементи іншого рядка (стовпця), помножені на довільний спільний множник, то значення визначника при цьому не зміниться.

Матриця А-1 називається оберненою до квадратної матриці А, якщо добуток цих матриць дорівнює одиничній матриці, тобто АА-1-1А=Е.

Обернена матриця існує для всякої квадратної матриці А, яка є невиродженою, тобто коли визначник матриці detA ? 0.

Алгоритм знаходження оберненої матриці:

  1. Обчислити визначник матриці А. Якщо detA ? 0, то матриця А має обернену, в іншому випадку оберненої матриці не існує.

  2. Обчислити алгебричні доповнення Аij елементів матриці А.

  3. Визначити обернену матрицю за формулою:


.

Зразки розв’язування задач.

1.Знайти матрицю С=2А-3В, якщо і .



Розв’язання:

Користуючись означеннями операцій множення матриці на число та додавання матриць, послідовно знаходимо:


, ,


2.Для матриць і обчислити АТТ.



Розв’язання:

, ,


.
^

3.Для заданих матриць обчислити АВ і ВА, якщо це можливо:

  1. , ; б) , .


Розв’язання:

а) Оскільки задано матриці А2Ч2 і В2Ч2, то можна визначити добутки АВ та ВА. Отже,


;

;

АВ=ВА.

б) Оскільки кількість стовпців матриці А не дорівнює кількості рядків матриці В то добутку АВ не існує. Проте можна обчислити добуток ВА.


.
^

4.Обчислити визначники:


а) ; б) ; в) .

Розв’язання:

а


) Використовуючи формулу для обчислення визначника другого порядку, маємо:

б) .

в) Користуючись правилом трикутника, знаходимо:


^

5.Обчислити визначник , розклавши його за елементами першого рядка.


Розв’язання:



^

6.Обчислити визначник, спочатку спростивши його: .


Розв’язання:

Додамо перший рядок до третього рядка , потім помножимо перший рядок на –2 і додамо його до другого рядка і отримаємо визначник, в якому елементи . Отриманий визначник розкладаємо за елементами першого стовпця:


7.Знайти матрицю, обернену до матриці і перевірити, чи справджуються рівності .



Розв’язання:

Знайдемо визначник матриці: .Оскільки , обернена матриця існує. Знаходимо алгебричні доповнення :А11 = 3, А12= -1, А21 = -2, А22 = 1. Тоді обернена матриця буде мати вигляд:

.


Перевіримо, чи виконуються рівності :


;


.

Отже .

Завдання для самостійної роботи.

1.Для матриць і обчислити АТ-3В, АВ, ВА, АВ+Е.




^

2.Обчислити визначники:


а) , б) , в) , г).

^

3.Обчислити визначник матриці, яка є добутком двох заданих матриць:



, .

^

4.Серед заданих матриць знайти невироджену:




а) , б) , в) .

^

5.Для заданої матриці знайти обернену: .



6. Перемножити матриці:


.


7. Обчислити:





2. Системи лінійних рівнянь. Формули Крамера. Розв’язування систем лінійних рівнянь матричним методом

Системою m лінійних рівнянь з n змінними x1, x2, …, xn називається система, яка має наступний вигляд:


де аij – коефіцієнти при змінних; bi - вільні члени,

Упорядкована сукупність чисел , називається розв’язком системи, якщо при заміні х1 на а1 , х2 на а2 , … , хn на аn у кожному рівнянні системи дістанемо n правильних числових рівностей.

Система, що має розв’язок, називається сумісною. Система, яка не має жодного розв’язку, називається несумісною. Система з єдиним розв’язком називається визначеною, а з більшим числом розв’язків – невизначаною.

Система двох лінійних рівнянь з двома змінними має вигляд:


(2.1)


а систему трьох лінійних рівнянь з трьома змінними записують у вигляді:


(2.2)


Метод Крамера. Цей метод розв’язування систем лінійних рівнянь зводиться до обчислення визначників. Так, розв’язок системи (2.1) можна знайти за формулами Крамера:



де за умови, що


- називається визначником системи (2.1), а - визначники, які дістають з визначника заміною першого, другого стовпців відповідно стовпцем вільних членів.

Формули Крамера для системи (2.2) мають вигляд:

,

де - визначник системи (2.2) , а


визначники, які


дістають з визначника заміною першого, другого і третього стовпців відповідно стовпцем вільних членів.

Системи (2.1) і (2.2) мають:

а) єдиний розв’язок, коли ;

б) безліч розв’язків, коли

в) не мати жодного розв’язку, коли і хоча б один із визначників відмінний від нуля.

Матричний метод роз’язання лінійних систем.


Нехай дано систему:


Розглянемо три матриці:





Перша матриця називається матрицею симтеми, друга матрицею-стовпцем змінних, третя – матрицею-стовпцем вільних членів. Тоді систему можна записати у матричному вигляді: . Якщо матриця системи рівнянь невироджена , то розв’язок системи знаходимо у вигляді , або




Зразки розв’язування задач.
^

1.Розв’язати системи рівнянь за формулами Крамера:






Розв’язання:

  1. Заходимо визначник системи


, тому система має єдиний розв’язок . Знаходимо


.


За формулами Крамера , маємо:




б) Знаходимо визначник системи:





Система має єдиний розв’язок.

Знаходимо





За формулами Крамера, маємо:


^

2.Дослідити на сумісність системи лінійних рівнянь та знайти їх розв’язок у випадку сумісності:



а) б)


Розв’язання:

  1. Обчислемо визначник системи:





Визначник системи дорівнює нулю. Система або має безліч розв’язків, або не має жодного розв’язку. Знаходимо










Оскільки, , то система сумісна і невизначена. Для знаходження всіх розв’язків, відкидаємо третє рівняння, а рівняння , що залишилися, записуємо у вигляді:




Розв’язуємо отриману систему за формулами Крамера:








;





б) , тому що другий і третій рядки пропорційні.

Система або має безліч розв’язків, або не має жодного розв’язку.





Отже, задана система не має жодного розв’язку, тобто вона є несумісною.
^

3.Розв’язати систему лінійних рівнянь матричним методом:






Розв’язання:

Запишемо дану систему рівнянь у матричній формі: де





значить матриця А має


обернену матрицю.

Знайдемо алгебричні доповнення елементів матриці А :







Скориставшись рівністю , знаходимо розв’язок системи:





- шуканий розв’язок.

Завдання для самостійної роботи.

  1. Розв’язати системи лінійних рівнянь за формулами Крамера:


а) б)


  1. Визначити, при яких значеннях а і b система





а) має один розв’язок;

б) має безліч розв’язків;

в) не має жодного розв’язку.


  1. Розв’язати системи лінійних рівнянь матричним методом:

а) б)

^ 3.Вектори в просторі. Основні поняття. Лінійні операції з векторами. Прямокутна система координат у просторі.

Розглянемо напрямлений відрізок, де А – початок, В – кінець. Будемо називати його вектором. Вектор позначають малою буквою латинського алфавіту зі стрілочкою над нею: .
^

Довжина вектора називається його модулем і позначається таким чином:


.

Вектор, довжина якого дорівнює 0 (тобто початок якого збігається з кінцем), називається нульовим.

Одиничним вектором називається вектор, довжина якого дорівнює одиниці.

Вектори, які лежать на паралельних прямих (або на одній і тій самій прямій) називаються колінеарними.

Вектори, які лежать на паралельних площинах (або на одній і тій самій площині), називаються компланарними.

Вектори називаються рівними між собою, якщо вони колінеарні, однаково напрямлені і рівні за модулем.


  1. Додавання векторів.

Щ


Рис. 3.1

об побудувати суму даних векторів і , треба відкласти ці вектори від довільної точки та побудувати на них паралелограм. Сумою векторів буде діагональ, що виходить з початку векторів і (рис. 3.1).


Цей спосіб побудови називається правилом паралелограма.

Суму двох векторів можно побудувати ще й за правилом трикутника.

В


Рис. 3.2

ідкласти вектор від кінця вектора . Сумою векторів і буде вектор, що з’єднує початок з кінцем (рис. 3.2).


Щ


об побудувати суму n даних векторів , треба від довільної точки відкласти , потім від його кінця відкласти і т.д., нарешті від кінця відкласти . Сумою векторів буде вектор, напрямлений від початку до кінця (рис. 3.3).


Рис. 3.3


  1. Віднімання векоторів.

Щ


Рис. 3.4

об побудувати різницю векторів , треба відкласти ці вектори від довільної точки, з’єднати їх кінці та вибрати на цьому відрізку напрямок від кінця до кінця (рис. 3.4).


  1. Множення вектора на число.

Добутком ненульового вектора на число k називається вектор, який має напрям вектора , якщо , і протинапрям, якщо (при , ).

Ці три операції називаються лінійними операціями з векторами.

  1. ^ Проекція вектора на вісь.

Проекцією вектора на вісь називається довжина направленого відрізка, початок якого є проекція початку вектора і кінець – проекція його кінця, яка береться із знаком плюс, якщо напрями відрізка і осі збігаються, і зі знаком мінус, якщо їх напрями протилежні (рис.3.5).





, .

Рис. 3.5


Властивості проекції.

  1. ;

б) ;

в) .

  1. Прямокутна система координат.

Нехай у просторі задано три попарно перпендикулярні осі OX, OY, OZ. Координатами вектора на осі називаються проекції вектора на ці осі:

, , .

Якщо - одиничні вектори, що напрямлені по OX, OY, OZ, то .

Якщо , то координати вектора .

  1. Правила дій над векторами, заданими своїми координатами.

Якщо , , то

;

;

.

  1. ^ Довжина вектора. Напрямлені косинуси вектора.


;; ; ,

де - кути між та осями OX, OY, OZ.

Для напрямлених конусів справедливо співвідношення:



  1. Поділ відрізка в даному відношенні.

Нехай точки А, В мають координати , .

Якщо відрізок АВ поділимо точкою М у відношенні: , то координати точки М знаходять за формулами:

; .

Якщо , то отримуємо формули для знаходження координат середини відрізка.

^ Зразки розв’язування задач.

Задача 1. Дано ненульові вектори і . Побудувати вектори , .




Розв’язання. Знайдемо суму за правилом трикутника :

і






різницю :

З


адача 2
. Вектори , - діагоналі паралелограма ABCD. Запишіть вектори ,, і через і .

Розв’язання.

За означенням суми і різниці векторів маємо: , . Додавши ці рівності, дістанемо . Далі знайдемо ; , .

Задача 3. Дано: ; . Обчислити: 1); 2).

Розв’язання. Використавши властивості проекцій, дістанемо:

  1. .

  2. .

Задача 4. Знайти проекції вектора на вісь l, яка утворює з вектором кут: 1) 450, 2) 1200, 3) 1500, якщо довжина вектора дорівнює 4.


Розв’язання.

  1. ;

  2. ;

  3. .

Задача 5. Знайти периметр трикутника, вершинами якого є точки , , .


Розв’язання. Знайдемо координати векторів, що створюють трикутник, та їх довжини:


, ;

, ;

, ;

;

;

.


Тоді периметр трикутника .


Задача 6. Обчислити довжину вектора , якщо , .


Розв’язання. Знайдемо координати векторів:


, ;

, ;

, .


Тоді довжина шуканого вектора дорівнює:


.


Задача 7. Відрізок АВ, де , . , поділений точкою М у відношенні . Знайти координати точки М.


Розв’язання.

; ;

.

Отже .

Задача 8. Відрізок з кінцями і , ділиться в точці М навпіл. Знайдіть довжину відрізка МК, де .

Розв’язання.

Знайдемо координати точки М за формулами:


; ; ;

.

Тоді координати вектора , .


Довжина вектора .


Задача 9. Точки , , є вершинами паралелограма, причому А і С – протилежні вершини. Знайдіть четверту вершину D.




Розв’язання
.


Позначимо координати точки , тоді , . Оскільки , їх координати рівні:

; ; ;

; ; .

Четверта вершина паралелограма – точка .


Задача 10. Знайти напрямні косинуси вектора , а також кути, що утворює вектор з осями координат, якщо .


Розв’язання.

Знайдемо координати вектора та його довжину

.

Напрямні косинуси дорівнюють:


; ; .

Тоді ; ; .


Завдання для самостійної роботи.


Задача 1. У трикутнику АВС проведено медіану АМ. Доведіть, що .

Задача 2. Дано вектори , , . Знайти довжини векторів 1) , 2) .

Задача 3. Точки , , є вершинами паралелограма, причому А і С – протилежні вершини. Знайдіть четверту вершину D, а також периметр паралелограму.

Задача 4. Дано: , , кути між віссю l дорівнюють 600 і 1200. Обчислити .

Задача 5. Відрізок АВ задано координатами своїх кінців і . Знайти довжину вектора , де С – середина відрізка АВ, D – точка, яка ділить АВ у відношенні .

Задача 6. Знайти точку В, якщо вектор має довжину , створює з координатними осями рівні тупі кути, та його початком є точка А (2;-1;3).

Задача 7. Довжина вектора дорівнює 6; вектор створює з віссю кут 1500, а з віссю – кут 600 . Знайти точку В, якщо А ( 0 ; 8 ; 3 )


^ 4. Скалярний, векторний, мішаний добутки векторів. Застосування в задачах геометрії. Умови перпендикулярності та компланарності векторів.

  1. Скалярним добутком векторів називається число, що дорівнює добутку довжин векторів на косинус кута між ними:




Якщо вектори задані своїми координатами: , , то скалярний добуток обчислюють за формулою:

.

Кут між векторами обчислюють за формулою:


.


Умова перпендикулярності векторів і має вигляд:


.


Скалярний квадрат вектора дорівнює:


.


Проекція вектора на напрям вектора :


.

  1. ^ Векторним добутком двох векторів і називається третій вектор , який задовольняє умові:

  1. ;

  2. , ;



  1   2   3   4

Схожі:

Розміру називається сукупність елементів iconТести за курсом «Податкові системи» автор Грабовська Т. В
Не залежать від розміру прибутків І розміру майна, включаються в ціну продукції, яка оплачується споживачем
Розміру називається сукупність елементів iconЛекція 6 Множини Поняття множини та множинного типу даних Оголошення змінних множинного типу Операції над множинами Зображення множин в оперативній пам'яті
Об'єкти, з яких складається множина, називаються її елементами. Число, що дорівнює кількості елементів множини, називається її потужністю....
Розміру називається сукупність елементів iconЗразок варіанту тестових завдань з фахових вступних випробувань Галузь знань 0202 Мистецтво Напрям підготовки 020101, 020101 Культурологія
Як називається функція культури, що захищає її від негативного впливу чужоземних елементів?
Розміру називається сукупність елементів iconМетод скінченних елементів у задачах дослідження неоднорідного анізотропного ґрунтового півпростору
Отримано основні співвідношення методу скінченних елементів з використанням моментної схеми скінченних елементів
Розміру називається сукупність елементів iconТема Політична сустема суспільства План
Берталанфі в 20-х роках для позначення процесу обміну клітини з зовнішнім середовищем. В його інтерпретації система представляє собою...
Розміру називається сукупність елементів icon7. Криві другого порядку: коло, еліпс. Колом
Колом називається множина всіх точок площини, рівновіддалених від даної точки цієї площини, яка називається центром
Розміру називається сукупність елементів icon7. Криві другого порядку: коло, еліпс. Колом
Колом називається множина всіх точок площини, рівновіддалених від даної точки цієї площини, яка називається центром
Розміру називається сукупність елементів icon7. Криві другого порядку: коло, еліпс. Колом
Колом називається множина всіх точок площини, рівновіддалених від даної точки цієї площини, яка називається центром
Розміру називається сукупність елементів iconЛекція 5 Методи одержання моделей елементів
Еом. Тому моделювання елементів виконується, як правило, фахівцями конкретних технічних галузей за допомогою традиційних засобів...
Розміру називається сукупність елементів iconЛекція Іонізуюче випромінювання
Явище спонтанного розпаду нестабільного нукліду називається радіоактивним розпадом радіоактивністю, а сам нуклід радіонуклідом. Радіоактивність...
Додайте кнопку на своєму сайті:
Документи


База даних захищена авторським правом ©zavantag.com 2000-2013
При копіюванні матеріалу обов'язкове зазначення активного посилання відкритою для індексації.
звернутися до адміністрації
Документи