7. Криві другого порядку: коло, еліпс. Колом icon

7. Криві другого порядку: коло, еліпс. Колом




Скачати 330.58 Kb.
Назва7. Криві другого порядку: коло, еліпс. Колом
Сторінка1/3
Дата11.06.2012
Розмір330.58 Kb.
ТипДокументи
  1   2   3

7. Криві другого порядку: коло, еліпс.


Колом називається множина всіх точок площини, рівновіддалених від даної точки цієї площини, яка називається центром.

Рівняння кола з центром у початку координат і радіусом R має вигляд:


.


Рівняння кола з центом у точці і радіусом R має вигляд:


.


Рівняння кола у загальному вигляді записують так:


,

де - сталі коефіцієнти.


Еліпсом називається множина точок площини, сума відстаней яких до двох даних точок, що називаються фокусами, є величина стала, більша за відстань між фокусами.

Рівняння еліпса, фокуси якого лежать на осі Ох, має вигляд:


,


д


Рис. 7.1

е а – довжина великої півосі; b – довжина малої півосі (ріс 7.1).

Залежність між параметрами a,b,c виражається співвідношенням:


.

Ексцентриситетом еліпса називається відношення фокусної відстані до великої осі :

.


Якщо центр симетрії еліпса знаходиться у точці , а осі симетрії паралельні осям, то рівняння еліпса має вигляд:


.


^ Зразки розв’язування задач.


Задача 1. Складіть рівняння кола з центром у точці М(2;-3) і з радіусом, що дорівнює 2. Побудуйте це коло.


Розв’язання

. За умовою задачі маємо: а=2, b=-3, R=2. Підставивши ці значення в рівняння кола, дістанемо:




або

.


Б


Рис. 7.2

удуємо центр кола, тобто точку М(2,-3). З центра М радіусом, який дорівнює 2, опишемо коло ( рис.7.2).


Задача 2. Складіть рівняння кола, яке має центр в точці (5;-7) і проходить через точку (2;-3).


Розв’язання.

Знайдемо радіус кола як відстань від центра до його точки:


.


В рівняння кола підставимо координати центра і знайдену величину радіуса:

.


Задача 3. Знайдіть координати точок перетину кола з осями координат.


Розв’язання.

Коло перетинається з віссю абсцис у точках, ординати яких дорівнюють нулю. Припустивши, що рівнянні кола y=0, дістанемо:


;


, .

Отже, коло перетинається з віссю абсцис у точках (-2; 0) і (8;0).

Коло перетинається з віссю ординат у точках, абсциси яких дорівнюють нулю. Припустивши, що в рівнянні кола х=0, дістанемо:


;


;


.

Отже, коло перетинається з віссю ординат у точках і (0;6).


Задача 4. Складіть рівняння кола, яке проходить через точки, , .


Розв’язання


. Нехай точка - центр шуканого кола, тоді , як радіуси того самого кола. Маємо:


,


,


.


Складемо систему рівнянь відносно невідомих а і b та розв’яжемо її:











.


Знаходимо .

Отже, шукане рівняння кола має вигляд:


.


Задача 5. Знайдіть координати центра і радіус кола .


Розв’язання.


Перепишемо це рівняння у вигляді:


.

Доповнивши двочлени і до повних квадратів, дістанемо:





або .


Звідки , , , тобто центр кола – точка (4;5), а радіус дорівнює 7.


Задача 6. Скласти рівняння еліпса з фокусами на осі Ох, якщо велика ось дорівнює 12, а відстань між фокусами дорівнює 8.


Р


Рис. 7.3

озв’язання
.


З умови впливає, що і с=4. Знаходимо

. Підставивши значення і в рівняння еліпса, дістанемо .


Задача 7. Дано еліпс . Знайти координати фокусів еліпса і відстань між ними.




Розв’язання.


З рівняння еліпса маємо і . Тоді . Отже координати фокусів і , а відстань між ними .


Задача 8. Скласти рівняння еліпса з фокусами на осі Ох, якщо його велика вісь дорівнює 14, а ексцентриситет .

Розв’язання.

З умови маємо: , . Підставивши в це співвідношення значення а, дістанемо .

Далі знаходимо . Отже, шукане рівняння має вигляд:

або .


Задача 9. Скласти рішення еліпса з фокусами на осі Ох, якщо він проходить через точки і .


Розв’язання.


Щоб скласти рівняння еліпса, треба знайти параметри і . Підставивши в рівняння еліпса координати даних точок, дістанемо систему рівнянь:




; ; ;


; ; ; .


Отже, шукане рівняння має вигляд: .


Завдання для самостійної роботи.


Задача 1. Складіть рівняння еліпса з фокусами на осі Ох, якщо відстань між фокусами дорівнює 12, ексцентриситет .


Задача 2. Скласти рівняння еліпса з фокусами на осі Ох, якщо він проходить через точки А (6;4) і В (8;3).


Задача 3. Знайдіть відстань між центрами кіл і .

Задача 4. Знайдіть кут між прямими, які проходять через центр кола і через фокуси еліпса .


Задача 5. Складіть рівняння кола, яке проходить через точки А(-8;3) і В(2;-7), якщо центр його лежить на прямий .


Задача 6. Записати рівняння лінії, зображеної на рисунку.





Задача 7. Записати рівняння лінії, зображеної на рисунку.





Задача 8. Побудувати криву, задану рівнянням , та знайти її ексцентриситет.


^ 8. Криві другого порядку: гіпербола, парабола.


  1. Гіпербола


Гіперболою називається множина точок площини, абсолютна величина різниці відстаней яких до двох даних точок, що називається фокусами, є величина стала (2а), менша за відстань між фокусами (2с).

Рівняння гіперболи, фокуси якої лежать на осі на осі Ох, має вигляд:


, (8.1)

де а – довжина дійсної півосі; b


Рис. 8.1

– довжина уявної півосі (рис. 8.1).

Залежність між параметрами а, b, с виражається співвідношенням:


.


Ексцентриситетом гіперболи називається відношення півфокусної відстані до її дійсної півосі:

.


Фокуси гіперболи знаходяться у точках , .

Гіпербола має дві асимптоти, рівняння яких , а також дві директриси, рівняння яких .

Якщо дійсна та уявна півосі рівні (а=b), то гіпербола називається рівносторонньою. Рівняння рівносторонньої гіперболи має вигляд:


,

а рівняння її асимптот .

Якщо фокуси гіперболи лежать на осі Оy у точках , , то її рівняння має вигляд:

. (8.2)

Р


Рис. 8.2

івняння асимптот такої гіперболи , а рівняння директрис (рис. 8.2).

Гіперболи (8.1) і (8.2) називається спряженими.

Рівняння рівносторонньої гіперболи з фокусами на осі Оy має вигляд:


.


Якщо центр симетрії гіперболи знаходиться у точці , а осі симетрії паралельні осям Ох, Оy, то рівняння гіперболи має вигляд:


; (8.1*')


. (8.2*)


II.Парабола


Параболою називають множину точок на площині, рівновіддалених від даної точки, яка називається фокусом і від даної прямої, яка називається директрисою.

Рівняння параболи з вершиною в початку координат, віссю симетрії якої є вісь Ох, має вигляд:

, (8.3)

де р – параметр параболи.

Я


Рис. 8.3

кщо , то вітки параболи напрямлені вправо, якщо , то вітки напрямлені вліво (рис. 8.3).

Фокус параболи знаходиться у точці . Рівняння директриси .

Рівняння параболи з вершиною в початку координат, віссю симетрії якої є вісь Оy, має вигляд:

. (8.4)

Якщо , то вітки направлені вгору, якщо , то вітки направлені вниз (рис. 8.4). Фокус такої параболи є точка , рівняння директриси .


Якщо вершина параболи – у точці , а вісь симетрії паралельна осі Оy, то рівняння має вигляд:


. (8.4*')


Фокус цієї параболи , рівняння директриси .

Я


Рис. 8.4

кщо вершина параболи знаходиться у точці , а вісь симетрії паралельна осі Ох, то рівняння параболи має вигляд:


. (8.3*')

Фокус такої параболи , рівняння директриси .


^ Зразки розв’язування задач.


Задача 1. Побудувати гіперболу . Знайти фокуси, ексцентриситет, рівняння асимптот та директрис.


Розв’язання.


Приведемо рівняння кривої до виду (8.1):

:144


;


.

Таким чином

, ;


, - півосі гіперболи.


Знайдемо відстань фокусів від центра симетрії:

.

Фокуси гіперболи , .

Ексцентриситет .

Рівняння асимптот .

Рівняння директрис ; .

П


Рис. 8.5

обудуємо параболу.

Задача 2. Скласти рівняння гіперболи з фокусами на осі Ох, якщо її дійсна вісь дорівнює 24, а відстань між фокусами дорівнює .


Розв’язання.


Для складання рівняння гіперболи треба знайти параметри а і b. З умови маємо:

.

Знайдемо а ,с і b:

, .


Підставивши і в рівняння , дістанемо .

  1   2   3

Схожі:

7. Криві другого порядку: коло, еліпс. Колом icon7. Криві другого порядку: коло, еліпс. Колом
Колом називається множина всіх точок площини, рівновіддалених від даної точки цієї площини, яка називається центром
7. Криві другого порядку: коло, еліпс. Колом icon7. Криві другого порядку: коло, еліпс. Колом
Колом називається множина всіх точок площини, рівновіддалених від даної точки цієї площини, яка називається центром
7. Криві другого порядку: коло, еліпс. Колом iconВища математика
Лінії другого порядку на площині. Рівняння (2), яке приведено спочатку розділу 2, описує (в залежності від коефіцієнтів) відомі криві...
7. Криві другого порядку: коло, еліпс. Колом iconКод модуля: вм 6010 С01 Тип модуля: обов‘язковий Семестр
Матриці та визначники. Системи лінійних рівнянь. Вектори. Рівняння прямої на площині. Криві другого порядку. Диференціальне числення...
7. Криві другого порядку: коло, еліпс. Колом iconПро асимптотичне зображення розв’язків системи лінійних диференціальних рівнянь другого порядку з повільнозмінними коефіцієнтами
Розглянуто побудову і показано вигляд формальних частинних розв’язків системи лінійних диференціальних рівнянь другого порядку з...
7. Криві другого порядку: коло, еліпс. Колом iconПитання підсумкового контролю
Плавучість и умови рівноваги судна. Вантажна марка. Марки заглиблення. Запас плавучості. Вантажна шкала. Криві плавкості. Криві елементів...
7. Криві другого порядку: коло, еліпс. Колом iconТема Вид роботи
Конічні та циліндричні поверхні, елементи загальної теорії поверхонь другого порядку
7. Криві другого порядку: коло, еліпс. Колом iconПерелік питань на залік
Парабола. Канонічне рівняння параболи. Застосування кривих другого порядку в економічних дослідженнях
7. Криві другого порядку: коло, еліпс. Колом iconПерелік комплексних семестрових завдань
Використовуючи теорію квадратичних форм привести до канонічного вигляду рівняння ліній другого порядку
7. Криві другого порядку: коло, еліпс. Колом iconКонтрольна робота з дисципліни «Вища математика»
Знайти загальний та частинний розв'язки лінійного однорідного диференціального рівняння другого порядку за умови
Додайте кнопку на своєму сайті:
Документи


База даних захищена авторським правом ©zavantag.com 2000-2013
При копіюванні матеріалу обов'язкове зазначення активного посилання відкритою для індексації.
звернутися до адміністрації
Документи