Харківської обласної ради сучасний розвиток математики. Поняття множини icon

Харківської обласної ради сучасний розвиток математики. Поняття множини




Скачати 304.87 Kb.
НазваХарківської обласної ради сучасний розвиток математики. Поняття множини
Дата26.06.2012
Розмір304.87 Kb.
ТипУрок


МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ


ХАРКІВСЬКИЙ ЛІЦЕЙ МІСЬКОГО ГОСПОДАРСТВА

ХАРКІВСЬКОЇ ОБЛАСНОЇ РАДИ


Сучасний розвиток математики. Поняття множини


Третякова А.І., вчитель математики


Харків - 2007

В даній роботі представлена розробка лекцій за першою темою алгебри та початків аналізу 10 класу – «Вступ», що включає такі теми, як «Множина. Аксіоматична побудова математики. Висловлення. Логічні операції: заперечення, кон’юнкція, диз’юнкція, логічне слідування, рівносильність.

Основна мета цієї теми:

подальше збагачення математичної мови школярів, формування культури їхнього логічного мислення; ознайомлення з новими поняттями в контексті систематизації та повторення набутих раніше знань;

систематизувати, узагальнити та підвищити теоретичний рівень набутих раніше знань і зокрема тих, що створюють грунт для курсу алгебри розширенням множини дійсних чисел до множини комплексних чисел та введенням поняття алгебраїчної операції.

У процесі повторення з’ясувати готовність учнів до більш глибокого вивчення математики.

В роботі також запропоновано тестове завдання за даною темою в двох варіантах. Тести складені за аналогією до тестів, запропонованих на зовнішньому тестуванні з математики.


^ Урок - лекція

Сучасний розвиток математики. Поняття множини.

Мета: подальше збагачення математичної освіти учнів через введення загальних понять, пов’язанних з аксіоматичним методом.

Тип уроку: урок вивчення нового матеріалу.

Обладнання: мультимедіа-проектор.

^ Хід уроку

I. Ознайомлення учнів з планом вивчення теми

План.

  1. Аксіоматичний метод в математиці.

  2. Множина – базове поняття математики.

^ II. Мотивація навчальної діяльності

Математичні поняття, як правило, проходять довгий шлях історичного розвитку. Спочатку вони виникають в процесі розв’язування різних практичних задач. Тисячі разів людям приходилося натягувати мотузку, для відмежування ділянок на полі і т.п. до того як виникло поняття прямої лінії (в латинській мові слово «лінія» має спільний корінь зі словом «льон», тобто нагадує про льняну мотузку). А до того як виникло поняття прямого кута, людям прийшлося побудувати багато споруд і переконатися, що вони не будуть руйнуватися тільки за умови, що стіни будуються під прямим кутом до земної поверхні.

Звісно, при виникненні математичних понять з практичної діяльності людини, вони не мають ще строгих означень. Замість означень даються приблизні, неточні пояснення, посили на наглядне уявлення.

Наприклад, щоб пояснити, що таке конус, кажуть що він схожий на шишку ялинки, шар – на м’яч.

^ III. Розкриття теми лекції за планом

1. Аксіоматичний метод в математиці.

Зберігається такий підхід і при переході на більш високий рівень знайомства з математичними поняттями, коли місце наглядних уявлень займають міркування. Наприклад, достатньо глянути на креслення прямокутника, щоб побачити, що діагональ ділить його на два рівних трикутника. Відсутність строгих логічних міркувань компенсують можливістю безпосередньої перевірки результатів за допомогою практичного досліду.

Але з розвитком теорії такий підхід перестає бути задовільним, оскільки результати стають більш складними і все важче їх перевірити дослідом. Виникає необхідність в уточненні понять, встановленні зв’язків між ними, в приведенні складних понять, до більш простих.

Якщо теорема А виводиться з теореми В, а теорема В – з С і т.п. то одержуємо «нескінченне повернення назад» Така ж ситуація виникає при спробі дати означення новим поняттям, опираючись на раніше введені поняття.

Щоб запобігти такого «нескінченного повернення назад» застосовують слідуючий метод: деякі поняття і відношення, які є між ними, вважають такими, що не потребують означень, тобто базовими або основними поняттями, а всі подальші поняття та їх властивості виводять з базових шляхом точних означень та логічних міркувань. Такий підхід побудови наукових дисциплін називають аксіоматичним підходом.

Так, «множина», «число» є основними поняттями для всієї математики, а точка, пряма, відстань – для планіметрії.

^ Твердження, що показують властивості основних понять та відношення між ними – називають аксіомами. Наприклад, аксіоми додавання на множині натуральних чисел N – це переставний, сполучний закони та ще дві аксіоми.

  1. Додавання комутативно: якщо а Є N і b Є N, то a + b = b+a

  2. Додавання асоціативно: якщо а Є N і b Є N та с Є N, то a + (b + с) = (b + a) + с

  3. Для будь-яких двох натуральних чисел а і b їх сума а + b відмінна від а, а + b ? а

  4. В будь-якій непустій підмножині а множини N є таке число а, всі відмінні від а числа х Є А можно переставити у вигляді х = а + b, де b Є N.

Аксіом 1-4 достатньо для того, щоб побудувати всю арифметику натуральних чисел.

Звісно, що при побудові аксіоматичної теорії вибір основних понять, відношень та аксіом не є довільним. Вони повинні відображати деякі реальні об’єкти та їх властивості. Наприклад, якщо ми задали б аксіому: для будь-яких трьох точок А, В, М сума відстаней точки М до точок А і В менше відстані між цими точками, то одержали б теорію, що не має ніякого відношення до реального світу. В реальності МА + МВ ? АВ.

Таким чином, аксіоматична теорія повинна давати математичну модель дійсності. Точніше ми отримуємо не безпосереднє відображення реального світу, а абстрактне, ідеалізоване відображення. Але ж і найкращий токар не зможе відточити шар з ідеально гладкою поверхнею – під мікроскопом всерівно будуть видні нерівності.

2 Множина – базове поняття математики.

Поняття множина належить до основних понять математики, тобто поняття якому не дається означення. Коли в математиці кажуть про множину, то об’єднують деякі предмети чи поняття в одне ціле – множину, що складається з цих предметів.

Засновником теорії множин є Георг Кантор (1845-1918), який сказав «Множество есть многое, мыслимое как единое».

Розглянемо приклади різних множин: множина цифр десяткової нумерації – 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, множина всіх парних натуральних чисел – 2,4,6,... , множина учнів ліцею та інші. Предмети або об’єкти, з яких складається множина називають її елементами.

N
/
– множина натуральних чисел;

5 Є N; 0,5 Є N.

Множини бувають скінчені та нескінчені. Множина М = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} – скінченна має10 елементів, а N – нескінчена.

^ Порожня множина – не має жодного елемента. Позначається Ш (множина людей на Сонці, множина натуральних чисел, що розміщені на числовій прямій лівіш 1, множина дійсних коренів рівння 4х+5=4(х-7)).

Множина вважається заданною, якщо про будь-який об’єкт можна визначити, належить він цій множині чи ні.

Способи задання множини:

  1. перелічити всі її елементи;

  2. сформувати характеристичну властивість її елементів.

Наприклад, множина А – натуральні числа, менші 6, очевидно, задана властивість – бути менше 6.

А = {1,2,3,4,5} або множина В – складається з чотирьох латинських літер а,в,с,d; В = {а,в,с,d} – вказані елементи.

^ Множини А і В вважають рівними, якщо вони складаються з одних і тих елементів. Наприклад, множина А є множиною двозначних чисел, у яких цифра одиниць співпадає з цифрою десятків: А = {11,22,33,..,99} і множина В – двозначні числа кратні 11, В = {11,22,..,99} А=В.

Нехай множина А – множина річок в Європі, а множина В – множина річок України. Ми розуміємо – множина В є частиною множини А, в математиці кажуть, що вона є підмножиною множини А.

В с А, кажуть В міститься в А.

Позначення М с К показує, що деяка множина М може співпадати з множиною К.

Ш с А – порожня множина є підмножиною будь-якої множини.

Над множинами можна виконувати різні операції. Наглядно це можна продемонструвати за допомогою діаграми Ейлера-Венна. Діаграми Ейлера-Венна – це наглядне уявлення про множини та операції над ними.

Ейлер (1707-1783) швейцарський математик, член Петербурзької Академії наук.

Джон Венн (1834-1923) англійський математик.

(на екрані проектора послідовно з’являються відповідні малюнки)



А

ВВ



А с В

Рис 1. Множина А є підмножиною множини В.



А

ВВ



А с В

В с С


С

А с С

Рис 2. Множина А є підмножиною множин В і С, множина В є підмножиною – С.


ВВ

А


^ С
В ? А = С

Рис 3. Множина С – результат перетину множин А і В.


Означення перерізу множин А і В запишемо так: перерізом множин А і В називається множина С, яка складається з усіх тих і лише тих елементів, які належать кожній з даних множин А і В.

Наприклад С – множина натуральних чисел кратних 72;

Д – множина натуральних чисел кратних 54.

С = {72,144,216,...,72n,...}

Д = {54,108,162,216,...,54m,...}

С ? Д = А, де А = {216,432,...}


ВВ

А



В ? А = С В ? А = Ш

Рис 4. Множини, які не перетинаються.

Якщо множини не мають спільних елементів, то вони не перетинаються.


Властивості перетину:

  1. А ? В = В ? А (комутативність);

  2. (
    ВВ

    А
    А ? В) ? С = А ? (В ?С) (асоціативність).


С



Рис 5. Перетини множин (асоціативність).

Об’єднання множин. Об’єднанням або сумою двох множин А і В називається така множина С, яка складається з усіх елементів множин А і В, і лише з них.

В U А = С


ВВ

А



В U А = С


Рис 6. Об’єднання множин, які не перетинаються.


А


ВВ



А с В; В U А = А


Рис 7. Об’єднання множин, коли одна з множин є підмножиною іншої.

Ш U А = А.

Наведемо приклад класичного об’єднання множин:

А – множина учнів класу, які займаються в баскетбольній секції;

В – множина учнів того ж класу, які займаються в математичному гуртку.

Тоді в об’єднання цих множин А U В – ввійдуть як учні з баскетбольної секції, так і учні з математичного гуртка і звісно учні, які займаються одночасно і в баскетбольній секції, і в математичному гуртку.

Д
А
оповнення множин. Множина всіх елементів
з множини А, що не входять до множини В, є доповненням підмножини В.

Нехай В с А
ВВ

С
СА В – доповнення множини В до множини А.


Рис 8. Доповнення множин.

Наприклад, А – множина всіх учнів в класі;

В – множина дівчат в класі.

Тоді доповненням множини В до множини А буде множина С, яка складається з усіх хлопчиків класу.

^ Різниця двох множин. Різницею двох множин А і В називається така множина С, яка складається з усіх елементів множини А, які не належать множині В.


ВВ


А

Запис: С = А \ В, означає різницю множин А і В

Рис 9. Різниця множин.


Наприклад: А – множина всіх учнів 10-х класів ліцею;

В – множина всіх дівчат ліцею;

А \ В – це множина хлопців, які навчаютться в 10-х класах.


^ IV. Підсумок уроку

Запитання до класу:

Наведіть приклади, які розкривають дані поняття:

  1. множина;

  2. рівні множини;

  3. порожня множина;

  4. підмножина;

  5. переріз множин;

  6. об’єднання множин;

  7. віднімання множин;

  8. доповнення множин.


^ V. Домашнє завдання

1. Вивчити теорію за конспектом.

2. розділ XII. §1. №1– №4.

Додаткове завдання: підготувати повідомлення за темами (на вибір)

Аксіоматика Цермело-Френкеля теорії множин.

Аксіоматика Пеано.

Математичні методи познання

.

^ Висловлення та операції над ними.

Урок з алгебри та початків аналізу. 10 клас

Мета: формування культури логічного мислення учнів через введення поняття висловлення та логічних операцій над ними.

Тип уроку: урок вивчення нового матеріалу; урок лекція.

Хід уроку

І.Ознайомлення учнів з планом вивчення теми

План

1.Основні форми мислення людини.

2.Висловлення як об’єкт дослідження математичної логіки.

3.Логічні операції та їх властивості.

ІІ.Мотивація навчальної діяльності

Світ, що оточує складається з різних об’єктів – живих істот, будинків, книг, автомашин, рік і т.д. При вивченні цих об’єктів ми цікавимося деякими їх властивостями, наприклад масою, формою, розмірами, кольором, запахом і т.д. Між об’єктами, що нас оточують існують різні відношення.

Розглянемо такі твердження: «Кусок крейди лежить біля класної дошки» або «Ріст Петрова дорівнює 186 см». Кожне таке твердження може бути як істине так і хибне. Ріст Петрова може і не дорівнювати 186 см, а кусок крейди може лежати не біля дошки, а на задній парті або взагалі його не буде.

Багато тверджень відносяться не до окремих об’єктів, а до класів об’єктів ( всі чотирикутники мають дві діагоналі; деякі мавпи живуть в зоосаді).

Об’єднання об’єктів відображає їх близкість, схожість властовостей. Класи об’єктів позначаються відповідними словами – «рослини», «ссавці», многокутники.

Для научного дослідження характерно використовування абстрактиних понять, таких, як «хімічний елемент», «маса», «енергія», «матерія», «число», «геометрична фігура» і тому подібне. Абстрактні поняття є узагальненням величезного досвіду людства, відображають коренні властивості матеріального світу. При введенні будь-яких з понять приходиться відходити від багатьох властивостей реальних об’єктів (наприклад, розглядаючи фізичне тіло як геоиетричну фігуру, ми не звертаємо уваги на його колір, масу, густину, а тільки цікавимося формою та розмірами.

Вміння розмірковувати, правильно обгрунтовувати свої висновки необхідне людям будь-якої професії.


ІІІ.Розкриття теми лекції за планом

1.Мислення людини здійснюється у визначених логічних формах. ^ Основними формами мислення можна назвати поняття, судження, умовивід і доведення.

Поняття – це форма мислення, що відображає предмет і явища в їх загальних і суттєвих ознаках. Наприклад, «дотична до кола».

При вивченні понять їм дають означення. Наприклад, «Паралелограмом називається чотирикутник, протилежні сторони якого паралельні». Спочатку вказується більш широке родове поняття, а потім та властивість, яка виділяє необхідний нам часний випадок.

^ Судженням – називається форма мислення, в якій що-небудь стверджується чи заперечується про предмети, їх ознаки чи про відношення між предметами.

Наприклад, дотична проведена до кола має одну спільну точку з колом.

^ Умовивід – форма мислення, за допомогою якої з одного двох чи декількох суджень виводиться нове судження, що містить у собі нове знання.

Наприклад, центр кола, вписанного в трикутник, є точкою перетину його бісектрис.

^ Доведення – форма мислення, за допомогою якої істинність якої-небудь думки обгрунтовується за допомогою інших думок, істинність яких доведено приктикою. Будь-яке судження складається з ланцюжка висловлень, що слідують одне за одним за певними правилами. Вміння розмірковувати, правильно обгрунтовувати свої висновки необхідне людям будь-якої професії.

Основні типи суджень та умовивідів розглядає класична логіка, створена давньогрецьким філософом Арістотелем (384 – 322 р. до н.е.).

Форма мислення вважається правильною, якщо за умови істинності вихідних тверджень вона завжди приводить до істинних висновків. Звісно, що якщо хибні вихідні твердження, то правильне за формою мислення може привести до хибного висновку.

Наприклад. 1. Всі ссавці мають шлунок. Леви – ссавці, отже всі леви мають шлунок.

Мати «шлунок» - суттєва властивість всіх ссавців, а отже і левів. Мислення побудовано правильно. Загальна форма такого мислення називається силогізмом.

2. Всі птахи мають два крила. Орли також мають два крила, отже орли – птахи. Наявність крил не є суттєвою ознакою: є риби, які мають крила, але все таки не являються птахами.

Форма міркування побудована неправильно, хоч і вихідні данні істинні. Одержаний висновок істинний.

Переконаємось, що така форма міркування може привести до абсурдного висновку, ще на більш виразному прикладі: всі негри чорноволосі, японці також чорноволосі, отже японці – негри.

3^ .Математична (або символічна) логіка – це рзділ класичної логіки, у якому вивчають закономірності логічних обгрунтувань. Думка про можливість логічного обгрунтування певної теорії у вигляді деякого числення була сформульована ще в працях Арістотеля. Але в сучасному розумінні математична логіка – нова наука. Вона виникла лише в ХІХ столітті, хоч перші її ідеї належать Лейбніцу. Творцями ж сучасної математичної логіки слід вважати англійського математика Дж. Буля і шотландського – А. де Моргана, німецьких математиків Г.Фреге і Е.Шредера, російського математика П.С.Порецького та ін.

^ В математичній логіці висловленням називають будь-яке розповідне речення про яке можна сказати, істинне воно чи хибне.

Приклади висловлень: «2007 – просте число», «38 – кратне 2».

Висловленнями є, зокрема, теореми та різні гіпотези, тоді як означення до висловлень не відносяться. Не є висловленнями і речення типу: «Із святом!», «Чи є число 7 простим?» тощо.

Правила, за якимими перетворюються висловлення, нагадують правила перетворення алгебраїчних виразів. Згадаємо, наприклад властивість транзитивності для нерівностей, якщо а ‹ b, b ‹ c, то а ‹ c. З подібною формою міркування ми зустрінемося і при операціях над висловленнями.

Правила перетворення висловлень складають частину математичної логіки.

Висловлення: «Всі квадрати є прямокутниками, а всі прямокутники є паралелограмами, отже всі квадрати є паралелограмами» - є істинним.

Висловлення можуть виражатися не тільки за допомогою слів, але і за допомогою різних символів: 3+2 =5 – істинне висловлення, -7 ‹ -8 – хибне, Н2SO4 – кислота є істинним висловленням.

4.Логічні операції.

^ Якщо А деяке висловлення, то стверджуючи, що воно хибне, ми одержимо нове висловлення, яке називають запереченням висловлення А і позначають Ā. Символ Ā читають: «не – А».

Якщо А – висловлення «Ріка Лопань є притокою річки Дніпро», його запереченням Ā є висловлення «Неправильно, що річка Лопань є притокою Дніпра». А – хибне висловлювання, Ā - істинне.

^ Нехай А і В – два простих висловлення. Якщо ми з’єднаємо їх союзом і – одержимо нове висловлення, яке називають кон’юнкцією даних висловлень. Позначають А /\ В. Цей запис читають: А і В.

Наприклад, розв’язати систему лінійних рівнянь Це значить знайти висловлення, що є кон’юнкцією двох висловлень, а саме (2х +3у = 5) /\ (3х – 5у = -2).

За означенням кон’юнкція двох висловлень істинна тоді і тільки тоді, коли істинні обидва висловлення.

Нехай висловлення А – 3 ‹ 8, висловлення В – 8 ‹ 11 істинні висловлення, тоді їх кон’юнкція А /\ В - 3 ‹ 8 ‹ 11 також істинне висловлення.

Висловлення (х - 3)2 + (у +4)2 = 0 рівносильне кон’юнкції висловлень

(х - 3)2 =0 і (у + 4)2 =0.

Розглянемо властивості кон’юнкції.

  1. А /\ В = В /\ А властивість комутативності.

  2. (А /\ В) /\ С = А /\ (В /\ С) властивість асоціативності.

Дані властивості справедливі за умови істинності А, В, С.

Наприклад, висловлення А – 12 кратно 4, В – 12 кратно 3, тоді їх кон’юнкція А /\ В – 12 кратно 4 і 3 та В /\ А – 12 кратно 4 і 3.

^ Диз’юнкція – це логічна операція, що виражається в з’єднанні двох і більше висловлень за допомогою сполучників: «чи», «або», «чи те ...чи те» і інших.

Позначають А \/ В, читають: «А або В». Символ V походить від першої букви латинського слова «vel», яке означає «або».

Наприклад, нехай висловлення А – 10 >7, висловлення В – 10 = 7 їх диз’юнкція А \/ В – 10 ? 7.

Рівняння (х2 - 3)(у + 4) =0 рівносильне сукупності . Якщо висловлення А - х2 – 3 =0, а висловлення В – у + 4 =0, то їх диз’юнкція і є даною сукупністю.

Диз’юнкція хибна тоді і тільки тоді, коли обидва висловлення, з яких вона утворена, хибні, в усіх інших випадках диз’юнкція істинна.

Наприклад, дана функція або парна, або непарна, або загального виду.

Звернемо увагу на деяку особливість вживання сполуки «або» в логіці.

В повсякденному житті сполука «або» вживається в двох смислах: як розділова і єднально-розділова.Наприклад, учень Петров А. міркує так: «Завтра в 15 годин дня я буду в ліцеї або на стадіоні». Але неможливо бути і в ліцеї і на стадіоні одночасно в 15 годин. Сполука «або» розуміється як розділова.

Інший приклад. «Підвищення продуктивності праці можна досягти або впровадженням сучасної технології, або оптимальною організацією праці, або високим рівнем інтелектуального потенціалу працівників». Як бачимо, в даному випадку підставою підвищення продуктивності праці виступає кожен елемент одночасно, хоча може і кожен окремо, якщо виключити два з тих, що залишилися. Судження подібного типу в логіці називаються єднально-розділовими.

^ Для диз’юнкції, так як і для кон’юнкції можна вказати ряд рівносильностей.

  1. А \/ В = В \/ А комутативна властивість.

  2. (А \/ В) \/ С = А \/ (В \/ С) асоціативна властивість.


Операції кон’юнкції, диз’юнкції та заперечення пов’язані слідуючими співвідношеннями:

а) А /\ В = Ā \/ В

б) А \/ В = Ā /\ В

Ці співвідношення називають формулами де Моргана і читаються так: «Заперечення кон’юнкції рівносильне диз’юнкції заперечень; заперечення диз’юнкції рівносильне кон’юнкції заперечень »

Де Морган (1806-1871) – шотландський математик.

Переконаємося в справедливості даних співвідношень на конкретних прикладах.Так, якщо А – висловлення «Я граю в шахи», а В – висловлення «Я граю в шашки», то висловлення «Неправильно, що я граю в шахи або в шашки відповідає формулі Ā \/ В. Висловлення Ā /\ В – «Я не граю в шахи і я не граю в шашки».

Народний фольклор багатий такими повчальними приказками:

«Ліс рубають – тріски летять»;

«Люди пишуть - час стирає»;

«Наречена іде до іншого – невідомо, кому повезло» та інші.

Ці судження легко записати за формою «якщо ..., то ...».

«Якщо люди пишуть, то час стирає»;

«Якщо ліс рубають, то тріски летять» і т.д.

^ Висловлення «Якщо А, то В» називаються умовними або імплікацією висловлень А і В.

Записують А => В. З висловлення А випливає висловлення В. Таким чином задається логічне слідування. Висловлення А – називається умовою, В – заключенням.

На відміну від кон’юнктивних і диз’юнктивних висловлень у імплікативних висловленнях закон комутативності категорично не застосовується, а це значить, що міняти місцями А і В не можна, тому що це приведе до логічних помилок.

Наприклад, маємо висловленя «Якщо підвищується сонячна активність, то відсоток летальності в людей із серцево-судинними захворюваннями значно зростає». Якби ми ми провели операцію комутативності, то вийшла б парадоксальна ситуація –«сердечники» обумовлювали б сонячну активність. Ці висловлення асиметричні.

^ Висловлення еквівалентності (рівносильності) – це складне висловлення, що істинне тоді і тільки тоді, коли висловлення, що входять у нього або істинні, або хибні.

Наприклад, якщо і тільки якщо трикутник рівносторонній, то він і рівнокутний. Це висловлення і є рівносильним і записується так А<=>В, де висловлення А – трикутник рівносторонній, висловлення В – трикутник має рівні кути.

Висловлення рівносильності мають різні способи вираження: « А, якщо і тільки якщо В», «Якщо і тільки якщо А, то В», «Лише тільки», «Якщо А, то В і навпаки», «А, якщо В, і В, якщо А», «Для А необхідно і достатньо В». Ці сполуки позначають взаємообумовленність предметів, явищ реальності.

Наприклад, висловлення рівносильності «Якщо тіло нагріти, то воно збільшиться в обсязі, і навпаки», «Число 585 кратне 9 тоді і тільки тоді, коли сума цифр числа ділиться на 9».

Розв’язуючи рівняння або системи рівнянь, нерівності або їх системи, ми переходимо від одних висловлювальних форм до інших, які є або логічним наслідком попередніх, або рівносильні їм. Якщо під час розв’язування рівнянь чи нерівностей (або їх систем) ми дістали лише рівносильні висловлювання, то знайдені розв’язки є розв’язками заданного рівняння. Якщо ж хоча б в одному місці дістаємо висловлювальну форму, не рівносильну попередній, то серед знайдених розв’язків останнього рівняння (системи) можуть бути такі, які не є розв’язками даного рівняння (системи). Тоді перевіркою вилучаємо зайві розв’язки.


Приведемо приклад розв’язування системи рівнянь та його запису з використанням символу рівносильності:

<=> <=><=> <=> <=> <=>

ІV.Підсумок уроку.

Підведемо підсумок уроку, продовжуючи слідуючі висловлення: (на екрані проектора записані висловлення у вигляді математичного диктанту або висловлення з пропусками)

1.Мислення людини здійснюється у визначених логічних формах таких як ...

2.Засновником класичної логіки є ...

3. В математичній логіці висловленням називають будь- яке ………. речення про яке можна сказати, ……… воно чи ……...

4. Логічні операції: кон’юнкція, ............, заперечення, ............, рівносильність.

5.Символ \/ це знак ........, відповідає сполуці ....;

Символ /\ це знак ........, відповідає сполуці ....;

Символ => це знак ........, може бути записаним за формою .... ;

Символ <=> це знак ........, може бути записаним за формою .... ;

6.З’ясуйте чи істинні дані висловлення:

А) 12 – найменше число, яке ділиться на 3 і 4;

Б) якщо a, b – деякі дійсні числа і такі, що а ділиться на b, то а >b;

В) якщо p і q – довільні дійсні числа і q > 0, то корені рівняння

x2 + px + q = 0 одного знаку. ( всі висловлення хибні, оскільки, не існує найменшого числа, яке ділилося б на 3 і 4, тому що на ці числа діляться 12, 0,

-12, -24, ...; число -10 ділиться на 5, але звідси не випливає, що -10 > 5; висловлення (В) буде правильним лише при додатковій умові, що корені розглядуваного рівняння дійсні (контрприклад: відносно коренів рівняння

x2 + x + 1 = 0 не можна сказати, що вони одного знаку, хоч q = 1 > 0).

^ V. Домашнє завдання

1.Вивчити теорію за конспектом;

2.Записати символічно та з’ясувати істинність висловлень:

А) 100 ділиться на 3 і 4;

Б) 100 ділиться на 3 або на 4;

В) або 100 ділиться на 3, або 100 ділиться на 4;

Г) якщо 100 ділиться на 3, то 100 ділиться на 4.

3. Записати висловлення: А => В, В => А, А<=>В та з’ясувати їх істинність, якщо А – «функція f тригонометрична», В - «функція f періодична».


Урок-лекція. Комплексні числа та їх застосування.


Мета: розширити множину дійсних чисел до множини комплексних чисел; ввести поняття суми, різниці, добутку та частки комплексних чисел.

Тип уроку: урок вивчення нового матеріалу.

Хід уроку

І Ознайомлення учнів з планом вивчення теми

План.

  1. Необхідність виникнення комплексних чисел.

  2. Означення комплексних чисел.

  3. Додавання, віднімання, множення, ділення комплексних чисел.

  4. Застосування комплексних чисел.

ІІ Мотивація навчальної діяльності

Багато з вас чули, що крім добре відомих нам дійсних чисел, в математиці розглядаються деякі таємничі числа – комплексні числа або уявні.Але все ж таки в теорії комплексних чисел немає нічого уявного і навіть більш того: поняття комплексного числа більш просте, ніж поняття дійсного числа. Строге визначення комплексних чисел і правила роботи з ними, як ми переконаємося далі, потребує значно меншого рівня математичних знань і математичної культури, ніж побудова поняття дійсного числа на такому ж рівні строгості.

Головний аргумент на користь вивчення комплексних чисел полягає в тому, що за їх допомогою можна розв’язувати задачі, які важко розв’язувати другими методами, залишаючись на множині дійсних чисел.

ІІІ Розкриття теми лекції за планом.

  1. Необхідність виникнення комплексних чисел.

Комплексні числа виникли із практики розв’язування алгебраїчних рівнянь. Під час розв’язування квадратних рівнянь у випадку, коли його діскрімінант був від’ємним, корені не існували на множині дійсних чисел. Те саме спостерігалося і під час розв’язування рівнянь вище другого степеня, тому постала необхідність у розширенні поняття числа.

З комплексними числами вперше зіткнулися індійські вчені, які вже мали поняття про квадратний корінь і від’ємні числа. Але вони вважали, що квадратні корені з від’ємних чисел не існують, а тому квадратні рівняння з недійсними коренями не розглядали.

У ХVІ ст. італійські математики зробили значний внесок у розвиток алгебри, розв’язавши в радикалах рівняння третього і четвертого степенів. Зокрема, в опублікованій у 1545 р.праці італійського матеметика Джироламо Кардано (1501-1576) «Велике мистецтво» наведено формулу алгебраїчних розв’язків кубічного рівняння х3 + рх +q =0.

Цікавим є такий факт: за умови, що всі коефіцієнти цього рівняння дійсні, усі корені дійсні, проміжні обчислення приводять до уявних чисел (їх називали «фальшивими», «неіснуючими»). Відповідний випадок розв’язування згаданого кубічного рівняння називали «незвідним». У зв’язку із застосуванням формули Кардано з’явилися символи виду а ± ?(-b) (b – додатнє число), яким спочатку не надали будь-якого смислу, але ними оперували у проміжних викладках, поширюючи на них правила дій з дійсними числами.

Інший італійський математик Раффаеле Бомбеллі (1530-1572) вперше виклав правила дій над комплексними числами майже в сучасному вигляді.

Початок застосування комплексних чисел в диференціальному та інтегральному численні поклали Лейбніц і швейцарський математик Іоганн Бернуллі, які ще в 1702 р. Чисто формально використовували логарифми уявних чисел для інтегрування дробів з уявними знаменниками. В 1712р. між Лейбніцем та Бернулі виникла суперечка щодо природи логарифмів комплексних і від’ємних чисел. Лейбніц стверджував, що логарифми від’ємних чисел уявні, а І. Бернулі вважав, що вони дійсні. Це питання розв’язав у 1749 р. Ейлер на користь Лейбніца. Формулу (соs?+- i sin?)n = cosn? +- i sin? , було виведено у першій четверті ХVIII ст. англійським ученим Абрахамом де Муавром (1667-1754). У сучасному вигляді цю формулу навів Ейлер у «Вступі до аналізу», застосовуючи замість символа і загально вживаний у ті часи символ ?-1.

Цікаво, що Лейбніц, називаючи комплексні числа «притулком божественного духу», заповів викарбувати на його могильній плиті знак ?-1 як символ потойбічного світу.

^ 2.Означення комплексних чисел.

Відповідно до прийнятих в математиці принципів розширення поняття числа при розширені множини дійсних чисел мають задовольнятися такі вимоги:

1) означення нових чисел мусить спиратися на поняття дійсного числа, і нова множина має містити всі дійсні числа;

2) для нових чисел повинні виконуватися п’ять законів прямих арифметичних дій (пригадайте ці закони);

3) у новій числовій множині мусить мати розв’язок рівняння х2 = -1, бо в цій множині має виконуватися дія, обернена до піднесення до степеня.

Оскільки існує вимога, щоб у новій числовій множині рівняння х2 = -1 мало розв’язок, необхідно вести деяке нове число, вважаючи його розв’язком цього рівняння.

Ми з вами зіткнулися з такою проблемою при розв’язанні квадратних рівнянь в випадку, коли Д<0. Відповідь – рівняння немає коренів, а правильніше сказати немає дійсних коренів.

Наприклад: Розв’язати рівняння Х2+Х+5=0.

Д = 1-20 = -19 < 0

Відповідь – рівняння немає дійсних коренів.

^ Число, квадрат якого дорівнює -1, позначається буквою і та називають уявною одиницею (і - перша буква латинського слова imaginarius - уявний). Підкреслимо, що рівність і2 = -1 приймається за означенням і не доводиться.

Найбільший подив викликає рівність і2 = -1, бо добре відомо, що квадрат числа не може бути від’ємним! На це зауваження, звісно можна сказати: квадрат дійсного числа не може бути від’ємним, але чому ця властивість дійсних чисел повинна бути справедливою і на більш широкій множині комплексних чисел. Не дивуємося ж ми, що а2 = 2, а – раціональне число, але а = ?2 - ірраціональне.

Отже, і – перше число на множині комплексних чисел. Множину комплексних чисел позначають літерою С.

^ Вирази а + bі, де а, b – будь-які дійсні числа, як приклад 2 + (-3)і;

1-?3і, називають алгебраїчною формою запису комплексного числа. Слово «комплексний» означає складений.

Якщо Z – комплексне число, то Z = а + bі. ^ Дійсні числа а та b називаютьcz дійсною та уявною частинами числа z відповідно і позначаються так:

а = ReZ, b = ImZ.

Наприклад: Z = 6 + 7і, тоді дійсна частина числа ReZ=6, а уявна ImZ=7.

Розглянемо два комплексних числа z1 = a + bi, z2 = c + di.

^ Два комплексні числа z1 та z2 називаються рівними, тоді і тільки тоді, коли а=с і b=d, тобто, коли рівні їх дійсні та уявні частини.

Це означення може бути застосоване при розв’язані вправ такого типу.

Наприклад: встановити при яких дійсних значеннях х і у рівні слідуючі комплексні числа z12+хуі-5+і та z2 =хі-у2+уі.

Запишемо дані числа в стандартному вигляді:

z12-5+(ху+1)і та z2 =-у2+(х+у)і.

Re z12-5, Re z2 =-у2; Im z1=ху+1, Im z2 = х+у.

Отже, розв’язуючи систему, що складається з двох рівнянь:

х2-5=-у2 та ху+1= х+у ми одержимо значення х і у.

^ Поняття «більше» і «менше» для комплексних чисел не має смислу. Ці числа за величиною не порівнюють, тому не можна сказати, наприклад, яке з чисел більше 10і чи 3і, 2+5і чи 5+2і.

Важливим є поняття про спряжені комплексні числа. Числа а + bі та

а - bі, дійсні частини яких рівні, а уявні рівні за модулем та протилежні за знаком, називають спряженими.

Наприклад: Числа 8 + 5і та 8 - 5і.


^ 3.Додавання, віднімання, множення, ділення комплексних чисел.

Сумою двох комплексних чисел z1 = a + bi тa z2 = c + di називається комплексне число z , дійсна та уявна частина якого дорівнює відповідно сумі дійсних та уявних частин даних чисел, тобто

z=z1+z2, z = (a+c) + (b+d)i.

Наприклад. Виконати додавання комплексних чисел:

(3+2і) +(-1-5і)=(3-1)+(2-5)і=2-3і.

Правила додавання дійсних чисел розширено на множину комплексних чисел, тому z+0= z, 0= 0+0і. 1 = 1 + 0і

Z + 0 = a + bi + 0 + 0i = a+0 + (b + 0)i = a + bi = z

За аналогією вводиться поняття протилежних чисел: два числа a + bi та - a – bi, сума яких дорівнює 0, називають протилежними.

На множині комплексних чисел с праведливі закони додавання: переставний та сполучний.

z1+z2= z2- z1, ( z1+z2 )+z3= z1+(z2+z3)


^ Віднімання комплексних чисел

Віднімання комплексних чисел вводять як дію, обернену до додавання, коли за даною сумою й одним з доданків знаходять другий, невідомий доданок.

Різницею двох комплексних чисел z1 = a + bi тa z2 = c + di називається комплексне число z = u + vi, яке в сумі з z2 дає z1.

Нехай z1 = a + bi z2 = c + di

Знайдемо різницю Z = z1 – z2, де z = u + vi через суму z та z2.

Тобто, z1 = z + z2.

Виходячи з властивості рівних комплексних чисел, запишемо:

a + bi = (u + vi) + (c +di)

a + bi = (u + c) + (vi +di)

a + bi = (u + c) + (v +d)i

Прирівняємо дійсні та уявні частини:

a = u + c b = v +d.

Виразимо u та v:

u = a – c v = b – d,

таким чином, ми знайшли дійсну та уявну частини різниці z.

Отже, z = (a - c) + (b - d)і, тобто дійсна частина різниці двох комплексних чисел дорівнює різниці дійсних частин зменшуваного і від’ємника, а уявна частина – різниці уявних частин зменшуваного і від’ємника.

Наприклад. Виконати віднімання:

(-5+2і) - (2+і) = (-5-2) + (2-1)і = -7+і.

Під час розв’язування прикладів на сумісне додавання і віднімання комплексних чисел можна користуватися правилами додавання і віднімання многочленів.

Наприклад. Виконати дії:

(2,3+1,5і) – (0,9-2,4і) + (-5,8+і) – (-7,8-3,4і) =

=(2,3-0,9-5,8+7,8) + (1,5+2,4+1+3,4)і = 3,4+8,3і.

^ Множення комплексних чисел. Нехай z1 = a + bi, z2 = c + di, z = u + vi.

Добутком двох комплексних чисел z1 та z2, називається комплексне число

z = z1∙z2, де z = (ас-bd) + (ad+bc)i.

Доцільність такого означення перевіримо, знайшовши добуток z = z1∙z2 за правилами множення двочленів, а саме

z = (a+bi)∙(c+di) = ac + adi +bci + bdi2 = ac - bd + (ad + bc)i

Z∙1 = Z Дійсно, z∙1 = (a+bi)∙(1+0i) = a + bi = z

Наприклад. Виконати множення комплексних чисел:

(4-5і)(3+2і) =12+8і-15і-10і2 = 12+10-7і = 22-7і.

Дія множення комплексних чисел підлягає основним законам множення, встановленим для дійсних чисел: переставному та сполучному.

^ Ділення комплексних чисел. Нехай z1 = a + bi, z2 = c + di, z = u + vi

Комплексне число z називається часткою комплексних чисел z1 і z2, якщо z ∙ z2 = z1 .

Правило введене по аналогії з правилом ділення дійсних чисел, але алгоритму ділення це правило не дає. Спробуємо установити такий алгоритм, за умови, с = c + di не дорівнює нулю.

Виконаємо множення чисел z ∙ z2:

(u + vi) ( c + di) = uc+udi+vci+vdi2 = uc-vd +(ud+vc)i.

Тоді

a + bi = uc-vd +(ud+vc)i.

Прирівняємо дійсні та уявні частини рівних комплексних чисел:

а = uc-vd та b = ud+vc.

Система, яка складається з двох даних рівнянь відносно невідомих u та v, має єдиний розв’язок – u = (ac +bd)/ (c2+d2) v = (bc-ad)/ (c2+d2).

Отже, , z = z1 / z2 =( a + bi)/ (c + di) = (ac +bd)/ (c2+d2) +((bc-ad)/ (c2+d2))і.

Цей результат ми можемо одержати, помноживши ділене та дільник на число, спряжене до дільника.

Виконаємо ці дії:

z = z1 / z2 =( a + bi)/ (c + di) = ( a + bi)( c - di)/ (c + di) (c - di) = ((ac+bd) + (bc-ad)i) /( c2+d2) = (ac+bd)/ ( c2+d2) +((bc-ad)/( c2+d2))і.

Використаємо цей прийом при розв’язуванні прикладів на ділення комплексних чисел.

Приклад. Знайти частку комплексних чисел:

(2+5і)/(3-2і) =((2+5і) )(3+2і))/ ((3-2і) (3+2і)) = (-4+19і)/13 = -4/13 + (19/13)і.

^ Піднесення до степеня комплексних чисел здійснюється за тими ж правилами, що і дійсних чисел.

Звернемо увагу на цікаву особливість піднесення до степеня уявної одиниці:

і2 = -1; і3 = -і; і4 = 1; і5 = і; і6 = -1; і7 = -і; і8 = 1...

Щоб піднести число і до степеня з натуральним показником n, треба показник степеня поділити на 4 і піднести до степеня, показник якого дорівнює остачі від ділення. В загальному вигляді це можна записати так:

і4m = 1; i4m+1 = 1; i4m+2 = -1; i4m+3 =i3 = -i.

Приклади. Виконати дії:

і5552+3 = 1 ∙і3 = -і;

(3+2і)3 = 27+54і+36і2+8і3 = -9+46і.

^ Добування квадратного кореня з від’ємних чисел здійснюється, виходячи з основної рівності комплексних чисел, а саме і2 = -1.

Зауважимо, що існують два і тільки два значення квадратного кореня з -1, це і та –і. Умовно це записуютт так: ?-1 = ± і.

Таким чином, ?-64 = ± 8і.

^ 4.Застосування комплексних чисел.

Розглянемо застосування комплексних чисел в алгебрі при розв’язанні рівнянь другого та вищих степенів, розкладанні на множники.

Приклади.

1. Розв’язати рівняння:

х2 - 4х + 5 = 0.

Маємо, х12 = 2 ± ?4 – 5 = 2 ± ?-1 = 2 ± і;

Х12 = 2 +- і.

2.Розкласти на множники:

а + 16 =(?а )2–(-1) ∙42 = (?а )2–і2 ∙42 = (?а – 4і) (?а + 4і).


ІV Підсумок уроку

Питання до класу.

1.Чи завжди можна добути корінь у множині раціональних чисел? У множині дійсних чисел?

2.Чим викликана потреба розширення множини дійсних чисел?

3. Дати означення комплексного числа. Показати, що множина дійсних чисел є підмножиною множини комплексних чисел.

4. Добути квадратний корінь із -25.

5. Піднести до степеня і 10.

6. Чому дорівнює сума і добуток двох спряжених комплексних чисел?

V Домашнє завдання

Вивчити теорію за планом лекції.

Розв’язати №1 група А, №2 група А.

Додаткове завдання: самостійно розібрати тему «Геометрична інтерпретація комплексних чисел» за планом:

1.Встановлення взаємно однозначної відповідності між множиною комплексних чисел і множиною точок координатної площини.

2.Відповідність між комплексними числами та векторами.

3.Геометричне зображення суми і різниці двох комплексних чисел.

Література

Параграф третій, розділ ХІ підручника.


Список літератури

1.Шкіль М.І., Колесник Т.В., Хмара Т.М. Алгебра і початки аналізу: Підручник для учнів 10 кл. З поглибленим вивченням математики в середніх закладах освіти. – К.: Освіта, 2000.

2.Віленкін Н.Я. Математика Навчальний посібник для студентів педінститутів – М. Просвещение

3.Боровик В.Н. Математика Посібник для факультативних занять – К. «Радянська школа»

4.Математика в школі 1,1999 Науково методичний журнал Кужель О. Логічні основи шкільного курсу математики

6. Методика факультативних Занять в 9-10 кл Вибрані питання математики І.Н Антонов... 1983

7. Вибрані питання математики факультативний курс 10 А.М Абрамов, Н.Я Виленкін...1980

8. Цікаві розділи математики 8-11 О.Г Приймаков 2001р.

9. Газета Математика № 35 1996р. М. Мовшович, А. Суходський Комплексні числа: задачі.

10. Івін О.А Логіка.- К.: Артек, 1996.

11. Никольская И. Л. Математическая логика. - М.: Высш. Шк., 1981.

12. Програми для загально-освітніх навчальних закладів. Математика, 5-11 класи. К.: Шкільний світ, 2001.

Схожі:

Харківської обласної ради сучасний розвиток математики. Поняття множини iconМіністерство освіти І науки україни головне управління освіти І науки харківської обласної державної адміністрації харківський ліцей міського господарства харківської обласної ради

Харківської обласної ради сучасний розвиток математики. Поняття множини iconХарківської обласної ради
«Педагогічний вісник «Умови успішного розвитку дитини». Розвиток навичок самостійної діяльності учнів на уроках історії та в позаурочний...
Харківської обласної ради сучасний розвиток математики. Поняття множини iconХарківської обласної ради тестові завдання з алгебри
Роботи, подані у двох варіантах, відповідають шкільній програмі з математики для профільних ліцеїв. Тестування здійснюється в письмовій...
Харківської обласної ради сучасний розвиток математики. Поняття множини iconОбдаровані діти
Харківської обласної ради вступають учні, які поставили свідомо мету – мати якісні знання з базових предметів та вступити до Харківської...
Харківської обласної ради сучасний розвиток математики. Поняття множини iconІ. із досвіду роботи з обдарованими дітьми
Харківської обласної ради вступають учні, які поставили свідомо мету – мати якісні знання з базових предметів та вступити до Харківської...
Харківської обласної ради сучасний розвиток математики. Поняття множини iconІ. із досвіду роботи з обдарованими дітьми
Харківської обласної ради вступають учні, які поставили свідомо мету – мати якісні знання з базових предметів та вступити до Харківської...
Харківської обласної ради сучасний розвиток математики. Поняття множини iconХарківської обласної ради шляхи подальшого розвитку творчої ініціативи
Л. Українка. Життєвий І творчий шлях
Харківської обласної ради сучасний розвиток математики. Поняття множини icon§3 Поняття границі функції
Нехай функція визначена на деякій підмножині множини дійсних чисел, І – гранична точка множини. Нагадаємо, що у будь-якому –околі...
Харківської обласної ради сучасний розвиток математики. Поняття множини icon§3 Поняття границі функції
Нехай функція визначена на деякій підмножині множини дійсних чисел, І – гранична точка множини. Нагадаємо, що у будь-якому –околі...
Харківської обласної ради сучасний розвиток математики. Поняття множини iconХарківської обласної ради прикладна спрямованість
В роботі розкриваються можливості зв’язку математичної та професійної підготовки за допомогою запропонованих задач
Додайте кнопку на своєму сайті:
Документи


База даних захищена авторським правом ©zavantag.com 2000-2013
При копіюванні матеріалу обов'язкове зазначення активного посилання відкритою для індексації.
звернутися до адміністрації
Документи