О. А. Шовкопляс Ответственный за выпуск В. Д. Карпуша Декан факультета С. М. Верещака icon

О. А. Шовкопляс Ответственный за выпуск В. Д. Карпуша Декан факультета С. М. Верещака




НазваО. А. Шовкопляс Ответственный за выпуск В. Д. Карпуша Декан факультета С. М. Верещака
Сторінка1/13
Дата28.06.2012
Розмір2.87 Mb.
ТипМетодические указания
  1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   13


Министерство образования и науки Украины

Сумский государственный университет


К печати в свет

разрешаю на основании

“Единых правил”, п.2.6.14

Заместитель первого проректора – начальник

организационно – методического управления В.Б. Юскаев


МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ


к выполнению контрольной работы

по курсу «Теория вероятностей

и математическая статистика»


для студентов экономических специальностей

заочной формы обучения


Все цитаты, цифровой и

фактический материал,

библиографические сведения

проверены, написание единиц

соответствует стандартам


Составители: А.М. Назаренко,

О.А. Литвиненко,

А. А. Васильев,

О.А. Шовкопляс


Ответственный за выпуск В.Д. Карпуша


Декан факультета С.М. Верещака


Суми Изд-во СумГУ 2007

^ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ

СУМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ


МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ


к выполнению контрольной работы

по курсу «Теория вероятностей

и математическая статистика»


для студентов экономических специальностей

заочной формы обучения


Сумы

Изд-во СумГУ

2007


Методические указания к выполнению контрольной работы по курсу «Теория вероятностей и математическая статистика» для студентов экономических специальностей заочной формы обучения /Составители: А. М. Назаренко, О. А. Литвиненко, А. А. Васильев, О. А. Шовкопляс. – Сумы: Изд-во СумГУ, 2007. – 111 с.


Кафедра моделирования сложных систем

Учебное издание

^

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ


к выполнению контрольной работы

по курсу «Теория вероятностей

и математическая статистика»


для студентов экономических специальностей

заочной формы обучения


Составители: доцент А.М. Назаренко,

доцент О.А. Литвиненко,

ассистент А.А. Васильев,

ассистент О.А. Шовкопляс


Ответственный за выпуск зав. каф. МСС В.Д. Карпуша


Редакторы Т.Г. Чернышова

Компьютерный набор


Подп. в печ. поз.

Формат 60х84/16. Бумага офс. Печать офс.

Усл. печ. л. Уч.–изд. л.

Тираж 400 экз. Себестоимость изд.

Заказ №


Издательство СумГУ при Сумском государственном университете

40007, Сумы, ул. Р.-Корсакова, 2

Свидетельство о внесении субъекта издательского дела в Государственный реестр

ДК № 2365 от 08.12.2005 г.

Напечатано в типографии СумГУ

40007, Сумы, ул. Р.-Корсакова, 2

Введение


Принятие оптимального решения в бизнесе, науке и управлении требует от квалифицированного специалиста глубоких
знаний математико-статистических методов, позволяющих изучать закономерности сложных массовых явлений и процессов. Поэтому изучение курса «Теория вероятностей и математическая статистика» является важным элементом, необходимым для профессиональной деятельности современного экономиста.

Данные методические указания охватывают основные разделы курса теории вероятности и математической статистики,
читаемого в Сумском государственном университете.

Материал методических указаний разбит на восемь тем. В каждой теме имеются примеры решения типовых задач, снабженные формулами и пояснениями, необходимыми для успешного усвоения заданного материала. В конце каждой темы приведен перечень задач для отчета преподавателю, предназначенный для контроля знаний. Обобщая опыт работы многих преподавателей, задачи разбиты на три блока (Блок А, Блок В,
Блок С). Контрольные задания для студентов выдаются преподавателем в индивидуальном порядке. Они могут формироваться из задач любого блока.

В конце изучения курса проводится контроль знаний студентов, который может включать собеседование по контрольной работе, собеседование по основным определениям, формулам и принципам их применения, а также тестовый контроль знаний. В данных методических указаниях приведен пример теста с
указанием правильных ответов. Его можно использовать для
самоконтроля знаний.

В конце приведен список рекомендуемой литературы и
приложения, в которых содержится справочный материал, необходимый при решении задач.

Данные методические указания предназначены для студентов заочной и вечерней форм обучения экономических специальностей, однако они могут быть рекомендованы и всем желающим самостоятельно изучать курс теории вероятностей и математической статистики.
^

Тема 1

Определение вероятности


Существуют различные определения вероятности случайного события: статистическое, классическое, геометрическое, аксиоматическое.

^ Классическое определение вероятности случайного события связано с испытанием, организованным следующим образом:

 а) испытание содержит конечное число исходов;

 б) все исходы испытания равновозможны и несовместны.

На основании логического анализа условия задачи следует установить множество всех различных исходов испытания, проверить условие их равновозможности и несовместности, подсчитать общее число случаев и число случаев, благоприятствующих событию. Тогда вероятностью события называется число

.

При небольших все случаи могут быть перечислены непосредственно и среди них несложно указать те, которые благоприятствуют событию . Однако в большинстве задач не удается этого сделать. В подобных случаях используют правила и формулы комбинаторики.
^

Элементы комбинаторики


Пусть дано множество из n различных элементов. Подмножества, содержащие m элементов этого множества , могут различаться или хотя бы одним элементом, или порядком следования элементов, или и тем и другим. По этим признакам определяются такие виды подмножеств: размещения, перестановки, сочетания.

Размещениями из n элементов по m называют упорядоченные подмножества n-элементного множества, состоящие из m элементов. Число всех размещений из n элементов по m определяется по формуле

.

Из определения видно, что размещения различаются как самими элементами (хотя бы одним элементом), так и порядком этих элементов.

Например, необходимо вычислить, сколькими способами можно из бригады в 8 человек выбрать бригадира и мастера. При решении этой задачи следует применять формулу числа размещений, так как группы типа: Иванов – бригадир, Петров – мастер и Иванов – мастер, Петров – бригадир – различны. Искомое количество способов равно .

Размещения из n элементов по n называют перестановками из n элементов. Очевидно, что различные перестановки отличаются между собой только порядком элементов. Число перестановок подсчитывается по формуле (по определению )

=

Если из всех размещений из n элементов по m отобрать только те, которые отличаются хотя бы одним элементом (порядок неважен), то получатся подмножества, называемые сочетаниями. Число сочетаний из n элементов по m вычисляется по формулам

, или .

Например, необходимо вычислить, сколькими способами можно выбрать 5 чисел из 36 в карточке "Спортлото", чтобы 3 числа были "счастливыми". Из условия следует, что выбор трех "счастливых" чисел должен быть из числа пяти "счастливых", и каждый такой набор должен сочетаться с двумя "несчастливыми", выбранными из оставшегося 31-го "несчастливого" числа. Таким образом, искомое количество способов равно (по правилу произведения), так как очевидно, что порядок выбора чисел непринципиален.

^ Размещениями с повторениями называют упорядоченные последовательности, составленные из n элементов по m в каждой, где некоторые элементы (или все) могут быть одинаковы. Число размещений с повторениями равно .

Например, необходимо вычислить, сколькими способами можно распределить 7 пассажиров лифта по 4 этажам.

Очевидно, что на каждом из 4 этажей может выйти любое количество пассажиров, а общее число способов равно числу размещений с повторениями из 4 элементов по 7: .

Пусть размещения с повторениями содержат n элементов и при этом элемент повторяется раз; элемент раз; ..., элемент раз (). Такие упорядоченные последовательности называют перестановками с повторениями. Их число

= .

Если опыт состоит в выборе с возвращением m элементов множества, содержащего n элементов, но без последующего упорядочения, то различными исходами такого опыта будут всевозможные m-элементные наборы, отличающиеся составом. При этом отдельные наборы могут содержать повторяющиеся элементы. Получающиеся в результате данного опыта комбинации называют сочетаниями с повторениями. Их число

= .

Например, в кондитерской имеется 7 видов пирожных. Сколько различных наборов по 4 пирожных можно составить? Очевидно, что в данном случае следует использовать формулу числа сочетаний с повторениями .

Рассматривая задачу, необходимо выяснить, каким требованиям удовлетворяют комбинации элементов. Только после этого можно использовать нужные вычислительные формулы, комбинируя их с правилами суммы и произведения.

^ Геометрическое определение вероятности. Число элементарных событий в данном испытании может быть бесконечным, тогда классическое определение вероятности не применимо. Одним из примеров бесконечного множества элементарных событий является случай, когда элементарные события непрерывно заполняют некоторую область (например, отрезок, часть плоскости, некоторый объем в пространстве). В этих случаях пользуются геометрической вероятностью , где – мера множества всех элементарных исходов, которое занимает некоторую область (например, длина всего отрезка, площадь всей области, объем всего тела), - мера части множества, которая благоприятствует событию .
^

Решение типовых задач


Задача 1. На 5 карточках разрезной азбуки написаны буквы п, р, с, о, т. Перемешанные карточки вынимаются наудачу по одной и располагаются в одну линию. Какова вероятность прочесть слово "спорт"?

Решение. Искомую вероятность события А (можно прочесть слово "спорт") определим по формуле . Здесь общее число всевозможных исходов – число перестановок из 5 элементов. Благоприятствующим исходам отвечает одно слово "спорт", т. е. . Таким образом, .

Задача 2. Из 9 карточек, занумерованных разными цифрами, выбираются наудачу 3. Найти вероятность того, что последовательная запись их номеров показывает возрастание.

Решение. Трехзначные числа – упорядоченные тройки элементов из 9 цифр – есть размещения из 9 по 3, т.е. . Число благоприятных исходов . Следовательно, искомая вероятность .

Задача 3. Среди 17 студентов группы, в которой 9 юношей, производится розыгрыш 7 билетов лотереи, причем каждый студент может выбрать только один билет. Какова вероятность того, что среди обладателей билетов будет 4 девушки?

Решение. Обозначим событие А – среди 7 обладателей билетов будет 4 девушки. Количество равновозможных способов выбора по 7 человек из 17 равно .

Число благоприятных исходов, т. е. число выборок по 7, в которых 4 девушки сочетаются с 3 юношами, определяется по правилу произведения . Тогда искомая вероятность .

Задача 4. В секцию магазина поступило 10 велосипедов, из которых 4 – с дефектами. Наудачу взяты 3. Найти вероятность того, что среди взятых будут: а) все без дефектов; б) все одинакового качества.

Решение. а) Событие А – все 3 наудачу взятые из 10 велосипедов без дефектов. Число возможных исходов . Три велосипеда без дефектов можно выбрать из 6 имеющихся способами. Искомая вероятность .

б) Событие В – все 3 велосипеда одного качества, т.е. или 3 годные, или 3 с дефектами. Три годные из 6 можно выбрать способами, а 3 с дефектами из 4 имеющихся способами. Общее число способов выбора 3-х велосипедов одинакового качества по правилу суммы равно . Следовательно, .

Задача 5. Тонкую иглу (точку) бросают на отрезок . Какая вероятность того, что она попадет на отрезок ?

Решение. По условию игла может упасть в любую точку указанного отрезка. В данном случае перечислить все точки отрезка невозможно. Воспользуемся геометрическим определением и в качестве меры выберем длину отрезка . Интересующему нас событию благоприятствует ситуация, когда игла упадет в любую точку отрезка . Тогда .



Задачи для отчета преподавателю

Блок А

А 1.1. На 6 карточках написаны буквы к, а, р, е, т, а. После того, как их тщательно перемешают, берут наудачу по 1 карточке и кладут последовательно рядом. Какова вероятность того, что получится слово "ракета"?

А 1.2. Из разрезной азбуки выкладывается слово "статистика". Затем все буквы этого слова перемешиваются и снова выкладываются в случайном порядке. Какова вероятность того, что снова получится слово "статистика"?

А 1.3. Из разрезной азбуки составлено слово "треугольник". Ребенок, не умеющий читать, рассыпал эти буквы, а затем выбрал 4 из них и собрал в произвольном порядке. Найти вероятность того, что у него появятся слова: а) "руль"; б) "угол".

А 1.4. Телефонный номер состоит из 7 цифр. Какова вероятность того, что в нем: а) все цифры различны; б) все цифры нечетные; в) все цифры различны и четные?

А 1.5. По линии связи в случайном порядке передаются 30 знаков алфавита. Найти вероятность того, что на ленте появится последовательность букв, образующих слово "режим".

А 1.6. Набирая номер телефона, абонент забыл последние две цифры и, помня лишь, что они различны, набрал эти цифры наудачу. Какова вероятность того, что набран нужный номер?

А 1.7. В лифт семиэтажного дома на первом этаже вошли 3 человека. Каждый из них с одинаковой вероятностью выходит на любом из этажей, начиная со 2-го. Найти вероятность следующих событий: а) все пассажиры выйдут на 4-м этаже; б) все пассажиры выйдут одновременно (на одном и том же этаже); в) все пассажиры выйдут на разных этажах.

А 1.8. В коробке содержится 4 одинаковых занумерованных кубика. Наудачу по одному извлекают все кубики из коробки. Найти вероятность того, что номера извлеченных кубиков появятся в возрастающем порядке.

А 1.9. Наудачу выбирается пятизначное число. Какова вероятность следующих событий: а) число одинаково читается как слева направо, так и справа налево (например, 12321); б) число кратно 5; в) число состоит из нечетных цифр.

А 1.10. На понедельник в институте запланировано 3 лекции по различным предметам из 10 изучаемых на данном курсе. Какова вероятность того, что студент, не успевший ознакомиться с расписанием, его угадает, если любое расписание из 3 предметов равновозможно?

А 1.11. Из полного набора домино (28 штук) наудачу выбирают 7 костей. Какова вероятность, что среди них окажется: а) по крайней мере одна кость с 5 очками; б) по крайней мере одна кость с 5 или 6 очками?

А 1.12. Из 10 первых букв русского алфавита наудачу составляется новый алфавит, состоящий из 5 букв. Определить вероятность следующих событий: а) в состав нового алфавита входит буква "а"; б) в состав нового алфавита входят только согласные буквы.

А 1.13. Среди кандидатов в студсовет факультета 3 первокурс­ника, 5 второкурсников и 7 третьекурсников. Из этого состава наудачу выбирают 5 человек на конференцию. Найти вероятность следующих событий: а) будут выбраны одни третьекурсники; б) все первокурсники попадут на конференцию; в) не будет выбрано ни одного второкурсника.

А 1.14. Из колоды в 52 карты извлекаются наудачу 4 карты. Найти вероятность следующих событий: а) выбраны все карты трефовой масти; б) выбран хотя бы один король.

А 1.15. Два парохода должны подойти к одному и тому же причалу. Время прихода обоих пароходов независимо и равно­возможно в течение данных суток. Определить вероятность того, что одному из пароходов придется ожидать освобождения причала, если время стоянки первого парохода – 1 час, а второго – 3 часа.

А 1.16. На отдельных карточках написаны 12 вариантов контрольной работы, которые распределяются случайным образом среди 10 студентов, сидящих в одном ряду. Найти вероятность следующих событий: а) варианты с номерами 4 и 5 останутся неиспользованными; б) варианты 5 и 10 достанутся рядом сидящим студентам; в) будут распределены последовательные номера вариантов.

А 1.17. Среди 10 студентов, случайным образом занимающих очередь за учебниками в библиотеку, находятся 2 подруги. Какова вероятность того, что в образовавшейся очереди между подругами окажется 4 человека?

А 1.18. Из общего количества костей домино наудачу извлекли 1 кость. Оказалось, что это не дубль. Какова вероятность того, что 2-ю извлеченную кость домино можно будет приставить к 1-й?

А 1.19. В подъезде дома установлен замок с кодом. Дверь автоматически отпирается, если последовательно набрать 2 цифры из имеющихся 10. Некто вошел в подъезд и, не зная кода, стал пробовать различные комбинации, затрачивая на каждую попытку 10 секунд. Какова вероятность того, что вошедшему удастся открыть дверь: а) за 10 минут; б) за 15 минут; в) за 1 час?

А 1.20. В телефонной книге случайно выбирается номер телефона, состоящий из 7 цифр. Найти вероятность того, что: а) четыре последние цифры телефонного номера одинаковы; б) все четыре последние цифры различны.

А 1.21. В ящике имеется 15 деталей, 9 из которых окрашены. Сборщик наудачу извлекает 3 детали. Найти вероятность того, что извлеченные детали окрашены.

А 1.22. Группа из 8 юношей и 8 девушек делится случайно на 2 равные части. Найти вероятность того, что в каждой части юношей и девушек поровну.

А 1.23. Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что сумма выпавших очков будет равна 8, а разность – 4.

А 1.24. На 5 карточках написаны цифры 1, 2, 3, 4, 5. Две из них одна за другой извлекаются. Найти вероятность того, что число на 2-й карточке будет больше, чем на 1-й.

А 1.25. Программа экзамена содержит 20 различных вопросов, из которых студент знает только 10. Для успешной сдачи экзамена достаточно ответить на 2 из 3 предложенных вопросов. Какова вероятность успешной сдачи экзамена?

А 1.26. Студент знает 20 из 25 вопросов программы. Зачет считается сданным, если студент ответит не менее чем на 3 из 4 вопросов билета. Взглянув на 1-й вопрос билета, студент обнаружил, что он его знает. Какова вероятность того, что студент: а) сдаст зачет; б) не сдаст зачет?

А 1.27. В лотерее 100 билетов. Из них 25 выигрышных. Определить вероятность того, что 2 приобретенных билета окажутся выигрышными.

А 1.28. Регистр калькулятора содержит 8 разрядов. Считая, что появление любого числа на регистре случайно, определить вероятность следующих событий: а) во всех разрядах стоят нули; б) во всех разрядах стоят одни и те же цифры; в) регистр содержит только 2 одинаковые цифры; г) регистр содержит только 2 пары одинаковых цифр; д) регистр содержит 3 одинаковые цифры.

А 1.29. Из 7 яблок, 3 апельсинов и 5 лимонов случайным образом в пакет отбирают 5 фруктов. Найти вероятности следующих событий: а) в пакете только 1 апельсин; б) пакет не содержит апельсинов; в) пакет не содержит лимонов; г) пакет не содержит яблок.

А 1.30. Путем жеребьевки разыгрываются 6 подписных изданий среди 12 участников, каждый из которых не может получить более 1 подписки. Найти вероятность того, что из списка получат подписку: а) первые 6 человек; б) первые 3 человека; в) 1-й человек; г) 1-й и 3-й человек.

А 1.31. Подбрасывают наудачу 3 игральные кости. Вычислить вероятности следующих событий: а) на 3 костях выпадут разные грани; б) хотя бы на одной из костей выпадет шестерка.

А 1.32. В ящике лежат 12 красных, 8 зеленых и 10 синих карандашей. Наудачу вынимаются без возвращения 2 карандаша. Найти вероятность того, что окажется не вынутым: а) синий карандаш; б) зеленый карандаш; в) красный карандаш.

А 1.33. Студент знает 14 вопросов из 20. В билете 3 вопроса. Найти вероятность того, что студент ответит хотя бы на один из них.

А 1.34. В круг вписан квадрат. Найти вероятность того, что точка, брошенная наудачу в круг, окажется внутри квадрата.

А 1.35. На шахматной доске случайным образом поставлены черная и белая ладьи. Какова вероятность того, что они не могут бить друг друга?

А 1.36. При наборе телефонного номера абонент забыл две последние цифры и набрал их наудачу, помня только, что эти цифры нечетные и разные. Найти вероятность того, что номер набран правильно.

А 1.37. На карточках отдельно написаны буквы: А – на 3;
Е – на 1-й; И – на 1-й; К – на 1-й; М – на 2; Т – на 2 карточках.
Ребенок берет карточки в случайном порядке и прикладывает их одну к другой. Найти вероятность того, что в результате получится слово «МАТЕМАТИКА».

А 1.38. 10 солдат-новобранцев разного роста случайным образом становятся в строй. Какова вероятность того, что они расположатся в строю по росту?

А 1.39. Среди поступающих в ремонт часов 40% нуждаются в общей чистке механизма. Какова вероятность того, что из 5 взятых наугад часов все нуждаются в чистке механизма?

А 1.40. Из 20 сбербанков 10 расположены за чертой города. Для аудиторской проверки случайно выбраны 5 сбербанков. Какова вероятность того, что хотя бы 2 из них окажутся в черте города?

Блок В

  1. В механизм входят три одинаковые детали. Работа механизма нарушается, если при его сборке будут поставлены все три детали размера, больше обозначенного на чертеже. У сборщика пять деталей из оставшихся 12 большего размера. Найти вероятность: а) нормальной; б) ненормальной работы первого собранного из этих деталей механизма, если сборщик берет детали наудачу.

  2. В механизм входят три одинаковые детали. Работа механизма нарушается, если при его сборке будут поставлены все три детали, большие или все три детали, меньшие обозначенного на чертеже размера. У сборщика осталось 15 деталей, из которых 10 по размеру больше, а остальные - меньше требуемого. Найти вероятность ненормальной работы первого собранного из этих деталей механизма, если сборщик берет детали наудачу.

  3. При приеме партии изделий подвергается проверке половина изделий. Условие приемки - наличие брака в выборке не более 2%. Вычислить вероятность того, что партия из 100 изделий, содержащая 5% брака, будет принята.

  4. Слово «ИНТЕГРАЛ» состоит из букв разрезной азбуки. Наудачу извлекают 4 карточки и выкладывают в ряд друг за другом в порядке появления. Какова вероятность того, что при этом получится слово «ИГРА»?

  5. Какова вероятность того, что при случайном расположении в ряд кубиков, на которых написаны буквы «А», «Г», «И», «Л», «М», «О», «Р», «Т», получится слово «АЛГОРИТМ»?

  6. Какова вероятность того, что при случайном расположении в ряд кубиков, на которых написаны буквы «О», «О», «О», «Л», «М», «Т», «К», получится слово «МОЛОТОК»?

  7. Из пяти видов открыток наудачу выбираются 3 открытки. Какова вероятность того, что все три открытки будут разные?

  8. На 5 одинаковых шарах написаны числа 1, 2, 3, 4, 5 – по одному на каждом. Шары положены в урну и перемешаны. Какова вероятность того, что, вынимая наудачу один за другим 3 шара, (без возврата) получим все 3 шара нечетного номера?

  9. В группе учится 12 человек, из них 10 юношей и 2 девушки. На субботник отбирают 5 человек. Какова вероятность того, что в субботнике будут участвовать обе девушки?

  10. Участники жеребьевки тянут из ящика жетоны с номерами от 1 до 100. Найти вероятность того, что номер первого наудачу извлеченного жетона не содержит цифры 5.

  11. Найти вероятность того, что точка, брошенная в произвольное место внутри круга радиуса R=5, попадет во вписанный в этот круг правильный треугольник.

  12. Найти вероятность того, что точка, брошенная в произвольное место внутри круга радиуса ^ R=6, попадет во вписанный в этот круг квадрат.

  13. Найти вероятность того, что точка, брошенная в произвольное место внутри круга радиуса R=2, попадет во вписанный в этот круг прямоугольный равнобедренный треугольник.

  14. В круг радиуса 10 см бросают точку. Найти вероятность того, что расстояние от этой точки до центра круга не превышает 5 см.

  15. В круг радиуса 20 см бросают точку. Найти вероятность того, что расстояние от этой точки до центра круга больше 5 см.

  16. В круг радиуса 12 см бросают точку. Найти вероятность того, что расстояние от этой точки до центра круга заключено в пределах от 2 до 5 см.

  17. Стержень длиной разломали на две части. Найти вероятность того, что длина меньшей части не превысит .

  18. Стержень длиной разломали на две части. Найти вероятность того, что длина меньшей части превысит .

Блок С

С 1 Наудачу выбраны два положительных числа и , каждое из которых не превышает . Найти вероятность того, что их сумма будет не больше , а отношение – не меньше .

Номер
варианта

Исходные данные

Номер
варианта

Исходные данные













С 1.1

7

5

2

С 1.16

7

4

1/2

С 1.2

6

4

3

С 1.17

9

6

3

С 1.3

10

4

1/2

С 1.18

9

5

4

С 1.4

8

5

3

С 1.19

8

5

3/4

С 1.5

6

4

1/3

С 1.20

7

5

1/3

С 1.6

8

4

2

С 1.21

6

3

2

С 1.7

8

5

4

С 1.22

6

5

2

С 1.8

8

6

3

С 1.23

9

7

1

С 1.9

7

5

3

С 1.24

9

5

5

С 1.10

6

4

1/2

С 1.25

8

5

3

С 1.11

5

3

1/4

С 1.26

7

6

1/2

С 1.12

7

4

3

С 1.27

6

4

1/2

С 1.13

8

6

4

С 1.28

5

3

1/2

С 1.14

6

4

2

С 1.29

5

4

1

С 1.15

5

3

2

С 1.30

7

4

5



  1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   13

Схожі:

О. А. Шовкопляс Ответственный за выпуск В. Д. Карпуша Декан факультета С. М. Верещака iconПрограммный комитет
Доннту; Проф. Христиан Пробирж — декан факультета геотехники Силезкого ту, Гливице, Польша; Проф. Владимир Сливка — декан горного...
О. А. Шовкопляс Ответственный за выпуск В. Д. Карпуша Декан факультета С. М. Верещака iconСборник научных трудов Выпуск 12
Антропологическая лингвистика. – Выпуск 12: сборник научных трудов / Под ред. Н. А. Красавского. – Волгоград: «Колледж», 2009. –...
О. А. Шовкопляс Ответственный за выпуск В. Д. Карпуша Декан факультета С. М. Верещака iconСборник научных трудов Выпуск 11
Антропологическая лингвистика. – Выпуск 11: сборник научных трудов / Под ред. Н. А. Красавского. – Волгоград: «Колледж», 2009. –...
О. А. Шовкопляс Ответственный за выпуск В. Д. Карпуша Декан факультета С. М. Верещака iconВизит делегации посольства франции в доннту
Донецке посетила Доннту. Французская делегация была принята ректором А. А. Минаевым. На встрече присутствовали проректор И. П. Навка,...
О. А. Шовкопляс Ответственный за выпуск В. Д. Карпуша Декан факультета С. М. Верещака iconИнформационное уведомление о третьей
...
О. А. Шовкопляс Ответственный за выпуск В. Д. Карпуша Декан факультета С. М. Верещака iconИнформационное уведомление о третьей ежегодной научной конференции
...
О. А. Шовкопляс Ответственный за выпуск В. Д. Карпуша Декан факультета С. М. Верещака iconХарьковская национальная академия городского хозяйства факультет довузовской подготовки
Бизюк Валерий Васильевич – декан факультета довузовской подготовки, кандидат физико-математических наук, доцент
О. А. Шовкопляс Ответственный за выпуск В. Д. Карпуша Декан факультета С. М. Верещака iconІ-й модуль «Вища медична освіта в Україні та за кордоном»
Декан медичного фак-ту №1 Декан медичного фак-ту №2 Декан медичного фак-ту №3 Декан ммф
О. А. Шовкопляс Ответственный за выпуск В. Д. Карпуша Декан факультета С. М. Верещака iconДо 90 річчя сну ім. В. Даля Всеукраїнський семінар молодих вчених І студентів «прикладна фізика в сучасності» Програма семінару
...
О. А. Шовкопляс Ответственный за выпуск В. Д. Карпуша Декан факультета С. М. Верещака icon"Вищий медичний навчальний заклад"
Декан медичного фак-ту №1 Декан медичного фак-ту №2 Декан медичного фак-ту №3 Декан ммф
Додайте кнопку на своєму сайті:
Документи


База даних захищена авторським правом ©zavantag.com 2000-2013
При копіюванні матеріалу обов'язкове зазначення активного посилання відкритою для індексації.
звернутися до адміністрації
Документи