Загальна схема застосування визначеного інтеграла icon

Загальна схема застосування визначеного інтеграла




Скачати 90.19 Kb.
НазваЗагальна схема застосування визначеного інтеграла
Дата29.06.2012
Розмір90.19 Kb.
ТипДокументи


Загальна схема застосування визначеного інтеграла


При розв’язанні конкретних задач, які пов’язані із застосуванням визначенного інтеграла, необхідно звернути увагу на загальну схему застосування визначенного інтеграла щодо обчислення різних величин. При цьому слід пам’ятати, що величина Q, яка визначається і відповідає інтервалу [a,b] змінної x, має властивість адитивності, тобто значення величини Q, що відповідає всьому інтервалу, може бути одержане як сума таких самих величин, що відповідають всім частковим інтервалам [,] (i=0, 1,…, n-1) =a, =b. Так, площа, робота, шлях, статичні моменти, моменти інерції, сила тиску і т.ін. адитивні відносно інтервалів, яким вони відповідають. Загальна схема застосування визначенного інтеграла випливає із самого визначення його, як границі інтегральних сум. Згідно з цією схемою необхідно таке:

1 Інтервал [a,b] розбити на інтервали [, ] (i=0,1,…,n-1), =a, =b.

2 Знайти наближене значення шуканої величини на i-му частковому інтервалі. Причому при знаходженні наближеного значення можуть бути застосовані різні припущення. Наприклад, малі криволінійні відрізки допустимо замінити стягуючими їх хордами; змінну силу на малих ділянках шляху можна замінити постійною силою, допускаючи, що вона зберігає на всій малій ділянці шляху ту величину і той напрямок, які вона мала в початковій чи кінцевій точці цієї малої ділянки і т.д.

3 Застосовуючи властивість адитивної шуканої величини, записати інтегральну суму, що виражає наближене значення шуканої величини, , де - функція, яка задана чи визначається умовою задачі.

4 В інтегральній сумі перейти до границі при прямуванні довжини найбільшого із частинних інтервалів до нуля і обчислити шукану величину у вигляді визначеного інтегралу:

.


^ Приклади розв’язання задач


Задача 1 Визначити роботу, необхідну для запуску ракети вагою P з поверхні Землі на висоту H. Чому дорівнює ця робота, якщо ракета повинна бути віддалена на нескінченність?

Розв’язання Величина сили F, що здійснює роботу при запуску ракети з поверхні Землі, дорівнює величині сили притягання ракети Землею , тобто

,

де M – маса Землі; P/q – маса ракети; k – постійний коефіцієнт; x- відстань від центра Землі до ракети. Сила F напрямлена по радіусу від центра Землі. В цьому самому напрямку здійснюється і переміщення ракети із положення a=R (R – радіус Землі) в положення b=R+H.

Розіб’ємо відрізок [R, R+H] на часткові [, ] і обчислимо наближене значення роботи на i-му відрізку. Оскільки відрізок вважаємо досить малим, то величину сили F на ньому приймемо як постійну і таку, що дорівнює значенню цієї сили в точці . Тоді

.

Робота, що відповідає всьому інтервалу [R, R+H], наближено визначається як

. (1)

Перейдемо до границі в рівності (1) при ,

одержимо, що точне значення роботи А визначається як

. (2)

Вважаючи, що на поверхні Землі сила F=P, а x=R, знайдемо коефіцієнт k:

,

звідси



і одержуємо роботу

. (3)

При віддаленні ракети на нескінченність

. (4)

Задача 2 З якою силою кільце маси M, радіусом R діє на матеріальну точку C маси m, що лежить на прямій, яка проходить через центр кільця перпендикулярно до його площини. Відстань від точки до центра кільця дорівнює a.

Розв’язання Розіб’ємо кільце на елементарні ділянки , вважаючи кожну одержану ділянку матеріальною точкою маси

. (5)

Тут - питома маса, а - кут, що відповідає ділянці дуги (рис.1).



Рисунок1

Знайдемо силу взаємодій матеріальної точки C з малою ділянкою кільця . Для цього подамо у вигляді розкладу по базису :

, (6)

де -проекції на осі координат. Очевидно, шукана сила являє собою рівнодіючу елементарних сил і визначається як

. (7)

Слід відзначити, що внаслідок симетрії поставленої задачi

, .

Таким чином, величина шуканої сили взаємодій визначається як сума проекцій на вісь Oz . Обчислимо величину :

, (8)

де - кут між віссю ^ Oz і вектором , який постійний для всіх i=0,1,2,…, n-1 і визначається із прямокутного трикутника COA:

. (9)

Згідно із законом взаємодії двох точкових мас величина визначається наближено таким чином:

. (10)

Тоді, підставляючи (9) і (10) в (8), взявши суму по i , одержимо, що

. (11)

За точне значення величини сили взаємодій ми приймемо ту границю, до якої прямує інтегральна сума (11), коли довжина найбільшої із частинних ділянок ,а отже, і прямує до нуля.

Задача 3 Знайти моменти інерції відносно осі обертання параболоїда обертання, радіус основи якого R, а висота H.

Розв’язання Параболоїд обертання представляє собою поверхню, одержану в результаті обертання параболічного сегмента (R, H) навколо осі Oz. Рівняння параболи має вигляд

(рис.2).



Рисунок 2

Для визначення параметра p підставимо в рівняння параболи координати точки А, що належать параболі. Тоді

, ,

і рівняння параболи запишеться у вигляді . Рівняння поверхні обертання ми одержимо, коли замінимо на ,тобто рівняння являється рівнянням данного параболоїда обертання.

При розв’язуванні задач на обчислення моменту інерції слід звернути увагу на те, що розбиття на елементарні ділянки слід проводити так, щоб всі точки і-ї ділянки приблизно знаходилися на однаковій відстані від осі обертання. У задачі цього можна досягти, коли параболоїд обертання розбити системою кругових циліндрів, осі яких збігаються з віссю обертання Oz. Тоді всі точки параболоїда, які лежать між циліндрами радіусів і , будуть знаходитися на однаковій відстані від осі обертання внаслідок малості . Mаса виділеної ділянки визначається як маса циліндричного кільця товщиною і висотою :

.




Рисунок 3

З огляду на зроблене розбиття виділену ділянку можна розглядати як матеріальну точку маси

.

Тоді момент інерції і-ї ділянки наближено дорівнює

.

Точне значення моменту інерції одержимо, коли візьмемо суму за всіма і перейдемо до границі в одержаній інтегральній сумі при :

.


Завдання для самостійної роботи


1.1 Знайти координати центра мас дуги кардіоїди

, , .

1.2 Знайти моменти інерції дуги кола , яка лежить в першому квадраті, відносно осі Oy.

1.3 Знайти центр мас дуги арки циклоїди

.

1.4 Обчислити роботу, яку потрібно витратити на те, щоб викачати воду із канала, який має форму півсфери радіуса R.

1.5 Куля лежить на дні басейна . Визначити роботу, яку потрібно для того, щоб дістати кулю із води, якщо радіус кулі R=0,3, питома вага .

1.6 Знайти статичний момент фігури, обмеженої лініями , , відносно осі Ox.

1.7 Обчислити силу тиску на бічні стінки кругового циліндра, висота якого h , радіус основи r , питома вага рідини , рідина повністю заповнює циліндр.

1.8 Квадрат зі стороною 8м вертикально занурений у воду так, що одна із його сторін лежить на поверхні води. Визначити тиск води на весь квадрат і на кожну із частин, на які він розділяється діагоналлю.

1.9 Обчислити кінетичну енергію диску маси М і радіуса R , який обертається із кутовою швидкістю навколо осі, що проходить через його центр, перепендикулярно до його площини.

1.10 Посудина, що має форму півкулі радіуса R , заповнена водою. За який час Т вона витече через отвір S ?

1.11 Прямокутна пластинка вертикально занурена в посуд з рідиною. Одна із її сторін довжиною а=0,3 м лежить на поверхні рідини, довжина вертикальних сторін b=0,5 . На якій глибині потрібно розділити прямокутник горизонтальною прямою, щоб сила тиску на верхню і нижню частини площ виявилась однаковою?

1.12 Однорідний прямий конус, вісь якого вертикальна, занурюється у воду (вершиною вниз). Знайти роботу, що виконується проти сил виштовхування води.

1.13 Визначити положення центра мас дуги астроїди , що лежить у першій чверті.

1.14 Обчислити кінетичну енергію прямого кругового конуса масою М, який обертається з кутовою швидкістю навколо своєї осі, якщо радіус основи конуса R, висота – H.

1.15 Обчислити, з якою силою дротяне кільце масою М притягує матеріальну точку m, розміщену на відстані b від центра кільця. Радіус кільця R .

1.16 Яку роботу треба витратити, щоб зупинити залізну кулю радіуса R, що обертається з кутовою швидкістю навколо свого діаметра, якщо питома вага заліза ?

1.17 Знайти центр мас плоскої фігури, що лежить в першому квадраті і обмежена кривими ,

і віссю Oy.

1.18 Площина має форму рівнобедреної трапеції, основи якої 200м і 50м, висота 10м. Обчислити тиск на площину, якщо верхня основа (200м) лежить на рівні вільної поверхні води.

1.19 Яку роботу треба здійснити, щоб насипати гору піску конічної форми радіуса r, висотою h, якщо питома вага піска 2?

1.20 Знайти силу взаємодії стержня довжиною l, масою M з точкою m.



1.21 Кінець порожньої труби, зануреної горизонтально у воду, закритий пластиною. Знайти силу тиску на пластину, якщо її діаметр 2см, а центр знаходиться на глибині 15м під водою.

1.22 Вагон вагою 20т рухається зі швидкістю до бар’єра з двома буферами. Останні здійснюють опір, пропорційний стисненню, причому на 1см потрібна сила в 5000кг. На скільки сантиметрів стиснуться пружини буфера, поки вагон зупиниться?

1.23 Річка тече через луку по кривій , одиниця довжини – 1км, вісь Ox – лінія шосе. Скільки гектарів луки між шосе і річкою?

1.24 Телеграфний дріт підвішений так, що його кінці, закріплені в точках А і В, знаходяться на однаковій висоті і віддалені один від одного на 50м. Визначити довжину дрота, якщо він набирає форми ланцюгової лінії.

1.25 Вітер рівномірно тисне на прямокутні двері шириною

а см і висотою b см. Тиск вітру P . Обчислити момент сили, який повертає двері на завісах.

1.26 Якщо газ розширюється при постійній температурі (ізотермічний прцес), то розширення і стиснення газу описується законом Бойля-Маріотта , C-const.

Обчислити роботу при розширенні газу від об’єму до .

1.27 Обчислити силу тиску ртуті в стакані з діаметром основи

6 см і висотою 10 см на стінки стакана, питома вага ртуті 13,6.

1.28 Гак підйомного крана важить P. Обчислити, на скільки збільшилась довжина троса під дією його ваги і сили P, якщо довжина троса в нерозтягненому стані l, площа поперечного перерізу S, вага троса Q і модуль пружності матеріалу троса E.

1.29 Посуд, що має форму півсфери радіуса a, наповнений водою. За який час Т витече вода через отвір на дні посуду

(a=49см; S=9,2см; ; ; P-площа отвору;

h-висота отвору над поверхнею води)?

1.30 Визначити потенціальну енергію U тіла, яке віддалене від центра Землі на r. Обчислити роботу, яка необхідна для запуску ракети на висоту r =10 і на висоту r=100 , де =6400км -радіус Землі.






Схожі:

Загальна схема застосування визначеного інтеграла iconЗагальна схема застосування визначеного інтеграла
Так, площа, робота, шлях, статичні моменти, моменти інерції, сила тиску і т.ін адитивні відносно інтервалів, яким вони відповідають....
Загальна схема застосування визначеного інтеграла iconQ16 Що називається невласним інтегралом з обома нескінченними межами ?
Яку заміну змінної інтегрування треба застосувати для обчислення визначеного інтеграла І чому дорівнює його значення?
Загальна схема застосування визначеного інтеграла iconНазва модуля: Вища математика Ч. 2 Код модуля
Невизначений та визначений інтеграл. Застосування визначеного інтегралу до задач геометрії та фізики. Границя, неперервність та диференційованість...
Загальна схема застосування визначеного інтеграла iconСхема незалежних спроб. Формула Бернуллі. Граничні теореми
В численних застосуваннях теорії ймовірностей часто зустрічається схема незалежних спроб (або схема Бернуллі)
Загальна схема застосування визначеного інтеграла iconЮ. М. Нечитайло методичнавказівка до практичного заняття
Загальна схема клінічного обстеження дитини. Особливості збирання анамнезу у дітей різного віку”
Загальна схема застосування визначеного інтеграла iconЗатверджено: Заст директора з нпр канд техн наук, проф. Г. Г. Гаркуша 24 вересня 2012 р. Питання дО контрольної роботи з дисципліни «Радіотехніка та електроніка»
Структурна схема радіотехнічної системи (схема, призначення блоків, принцип роботи)
Загальна схема застосування визначеного інтеграла iconAcca (общая схема)
Для подтверждения участия в презентации acca (общая схема), пожалуйста, заполните эту форму и отправьте ее по факсу 044 4906738 или...
Загальна схема застосування визначеного інтеграла iconУкрупненная схема аиас «арена» представлена на рис. 1
Приведена блок-схема автоматизированной информационно-аналитической системы «арена», обоснована структура и состав модулей имитационной...
Загальна схема застосування визначеного інтеграла iconПоложення про купівлю-продаж Загальна характеристика договору купівлі-продажу. Сфера застосування (види договорів купівлі-продажу). Джерела правового регулювання. Укладення договору купівлі-продажу. Форма договору купівлі-продажу
...
Загальна схема застосування визначеного інтеграла iconТема. Договір страхування
Загальна характеристика договору страхування. Сфера застосування та джерела правового регулювання
Додайте кнопку на своєму сайті:
Документи


База даних захищена авторським правом ©zavantag.com 2000-2013
При копіюванні матеріалу обов'язкове зазначення активного посилання відкритою для індексації.
звернутися до адміністрації
Документи