1 Кратные интегралы icon

1 Кратные интегралы




Скачати 146.89 Kb.
Назва1 Кратные интегралы
Сторінка1/3
Дата29.06.2012
Розмір146.89 Kb.
ТипРешение
  1   2   3

1 Кратные интегралы

Перечень формул:

1 Площадь плоской области : .

2 Площадь поверхности

.

Здесь - проекция данной поверхности на плоскость .

3 Объём пространственного тела .

4 Масса тела, занимающая область , где - объёмная плотность тела в точке

.

5 Статический момент тела относительно координатной плоскости :

.

6 Координаты центра тяжести С тела:

.

7 Моменты инерции относительно оси и начала координат:

,

.

Пример

Вычислить массу однородного тела, ограниченного цилиндрами и и плоскостями .

Решение. Т.к. то . Задача свелась к определению объёма данного тела.



Сечение плоскостью .



Тело ограничено снизу цилиндром , сверху цилиндром . Оно проектируется в область D плоскости , ограниченную прямыми , . Два последних уравнения получены в результате исключения из уравнения цилиндров:



.

^

2 Элементы теории поля



Определение. Векторным полем называется плоская или пространственная область, каждой точке которой задан вектор: .

Определение. Дивергенцией векторного поля называют скаляр

.

Определение. Ротором (или вихрем) векторного поля называется вектор

.

Определение. Векторное поле, во всех точках которого дивергенция равна нулю, называется соленоидальным.

В таком поле нет ни источников, ни стоков.

Определение. Векторное поле, во всех точках которого ротор равен нулю, называется потенциальным (или безвихревым):



Тогда

Записанные равенства представляют условие того, что является полным дифференциалом некоторой функции т.е..

Определение. Функция называется потенциалом векторного поля.

Определение. Векторное поле, являющееся одновременно и соленоидальным и потенциальным, называется гармоническим.

Определение. Потоком векторного поля через поверхность называется поверхностный интеграл , где - единичный вектор нормали к выбранной стороне поверхности.

Замечание. Если поверхность взаимно однозначно проектируется на плоскость в область , то .

Если м.т. перемещается в силовом поле по кривой , то работа сил поля равна



Определение. Циркуляцией векторного поля называется криволинейный интеграл по замкнутому контуру : .

Циркуляция характеризует вращательную способность поля на контуре

1) Формула Остроградского-Гаусса

, где - граница области (внешняя сторона).

2) Формула Стокса

, где - поверхность, натянутая на контур .



Примеры

1 Найти поток векторного поля через часть внешней стороны параболоида , лежащую в первом октанте и ограниченную плоскостью y=1.

Решение.



Воспользуемся формулой .

Уравнение поверхности .

Тогда , что соответствует внешней стороне поверхности (см. чертёж, образует тупой угол с положительным направлениям оси и острый- с , ).



Т.к. - четверть круга, то используем полярные координаты

.



.

2 Вычислить работу силового поля

вдоль отрезка прямой где и

Решение.

.

Каноническое уравнение прямой :



Отсюда .



3 Вычислить циркуляцию векторного поля

вдоль замкнутого контура



Решение.



; - часть сферы, лежащей в первом октанте.

;.

- подставим в интеграл.





т.к. все три интеграла равны между собой.

.

Задача 1

  1. Вычислить площадь плоской области , ограниченной прямыми и окружностью .

  2. Вычислить площадь плоской области , ограниченной кривой .

  3. Вычислить площадь плоской области , ограниченной кривой учесть симметрию области .

  4. Вычислить объём тела, ограниченного плоскостью цилиндром и конусом .

  5. Вычислить объём тела, ограниченного параболоидом и конусом .

  6. Вычислить объём тела, ограниченного параболоидом цилиндром и плоскостью

  7. Вычислить площадь части конуса вырезанную цилиндром

  8. Вычислить площадь части сферы вырезанную цилиндром

  9. Вычислить площадь части поверхности цилиндра ограниченную цилиндром и плоскостью .

  10. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой .

  11. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой .

  12. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой .

  13. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой .

  14. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой .

  15. Найти статические моменты однородного тела относительно координатных плоскостей, ограниченного следующими поверхностями: .

  16. Найти статический момент однородного тела относительно плоскости , ограниченного поверхностями: .

  17. Найти статический момент однородного тела относительно плоскости , ограниченного поверхностями: .

  18. Найти статический момент однородного полукруга радиуса относительно его диаметра.

  19. Определить статический момент однородной плоской фигуры, ограниченной осью и параболой относительно оси .

  20. Определить статический момент фигуры, лежащей в первой четверти, ограниченной эллипсом и координатными осями, относительно координатных осей, если плотность в каждой точке фигуры

(- коэффициент пропорциональности).

  1. Определить статические моменты плоской фигуры, ограниченной линиями относительно координатных осей, если плотность (- коэффициент пропорциональности).

  2. Найти координаты центра тяжести одной пластинки, ограниченной линиями , .

  3. Найти центр тяжести однородного тела, ограниченного параболоидом вращения цилиндрической поверхностью и плоскостью

  4. Найти координаты центра тяжести однородного конуса стоящего на плоскости

  5. Найти координаты центра тяжести однородного тела, ограниченного поверхностями .

  6. Найти центр тяжести однородного тела, ограниченного поверхностями

  7. Вычислить момент инерции площади, ограниченной гиперболой и прямой относительно прямой

  8. Найти момент инерции однородного тела, ограниченного конической поверхностью цилиндрической поверхностью и плоскостью , относительно оси

  9. Найти заряд, находящийся внутри сферы радиуса 1, если плотность зарядов:



  1. Найти момент инерции круглого цилиндра, высота которого и радиус основания относительно оси, служащей диаметром основания цилиндра.

  1   2   3

Схожі:

1 Кратные интегралы icon1 Кратные интегралы
Вычислить массу однородного тела, ограниченного цилиндрами и и плоскостями
1 Кратные интегралы iconПравила выполненения расчетно-графической работы
Курсанты 2-го курса специальности «Судовождение» во 2-ом семестре должны выполнить расчетно-графическую работу №4 по изученным темам:...
1 Кратные интегралы iconТема Асимптотика коренів трансцендентних рівнянь
Частину 2 (розд. 4), стор. 51–54, а також в книзі М. В. Федорюк Асимптотика: интегралы и ряды частину 1 §5 про асимптотику коренів...
Додайте кнопку на своєму сайті:
Документи


База даних захищена авторським правом ©zavantag.com 2000-2013
При копіюванні матеріалу обов'язкове зазначення активного посилання відкритою для індексації.
звернутися до адміністрації
Документи