Дії над векторами в координатній формі icon

Дії над векторами в координатній формі




НазваДії над векторами в координатній формі
Сторінка1/7
Дата29.06.2012
Розмір0.5 Mb.
ТипДокументи
  1   2   3   4   5   6   7


ЗМІСТ








С.

Тема 1

Вектори

    1. Означення вектора. Довжина вектора. Додавання і віднімання векторів. Множення вектора на число...

    2. Дії над векторами в координатній формі..................

    3. Скалярний добуток двох векторів..............................



4

7

9

Тема 2

Вимірювання кутів.............................................................

10

Тема 3

Розв’язання прямокутних трикутників. ТеоремаПіфагора...............................................................


11

Тема 4

Тригонометричне коло......................................................

14

Тема 5

Визначення тригонометричних функцій довільного аргумента............................................................................


15

Тема 6

Знаки тригонометричних функцій....................................

16

Тема 7

Періодичність тригонометричних функцій.....................

16

Тема 8

Значення тригонометричних функцій деяких кутів.......

16

Тема 9

Парність та непарність тригонометричних функцій......

17

Тема 10

Побудова кута за заданим значенням тригонометричної функції.................................................


17

Тема 11

Основні співвідношення між тригонометричними функціями одного аргумента............................................


20

Тема 12

Формули зведення. Формули додавання.........................

24

Тема 13

Функції подвійного та половинного аргументів.............

28

Тема 14

Тотожні перетворення тригонометричних виразів.........

32

Тема 15

Графіки тригонометричних функцій................................

15.1 y=sin x..........................................................................

15.2 y=cos x.........................................................................

15.3 y=tg x...........................................................................

15.4 y=ctg x..........................................................................

15.5 Обернені тригономентричні функції........................


35

36

37

38

39

Тема 16

Найпростіші тригонометричні рівняння..........................

43

Тема 17

Розв’язування тригонометричних рівнянь......................

45

Відповіді до завдань для самостійної роботи..................................

49

Терміни та словосполучення.............................................................

52


Тема 1 ВЕКТОРИ

^ 1.1 ОЗНАЧЕННЯ ВЕКТОРА. ДОВЖИНА ВЕКТОРА. ДОДАВАННЯ І ВІДНІМАННЯ ВЕКТОРІВ.

МНОЖЕННЯ ВЕКТОРА НА ЧИСЛО

1.1.1 Усі величини в математиці та фізиці поділяють на дві групи: скалярні та векторні.

  • Скалярні величини мають одну характеристику – число. (Наприклад: довжина, площа, об’єм, час, маса).

  • Векторні величини характеризуються числом і напрямом. (Наприклад: сила, швидкість, прискорення).

Означення Вектором називається направлений відрізок. Вектор позначається або (точка А – початок, точка В – кінець вектора).


Рис. 1

Вектор, початок і кінець якого співпадають, називається нульовим. Він позначається та .

^ 1.1.2 Довжиною вектора називається довжина відрізка АВ. Позначається або .

Довжина нульового вектора .

Два вектори називаються рівними, якщо вони мають однаковий напрям і однакові довжини.

, якщо , .

Два вектори називаються протилежними, якщо вони мають протилежний напрям і однакові довжини.

, якщо , .

Приклад




Рис. 2









1.1.3 Над векторами виконуються дії додавання, віднімання і множення на число.

Додаваня векторів

  • Правило трикутника: Сумою двох векторів називається вектор , який з’єднує початок вектора з кінцем вектора (початок вектора співпадає з кінцем вектора ).




Рис. 3

  • Суму двох векторів можна знайти і за правилом паралелограма: якщо вектори прикладені до спільного початку, то їх сумою є вектор , який співпадає з діагоналлю паралелограма, побудованого на векторах , і який виходить із спільного початку.




Рис. 4




  • Якщо є більше двох векторів, то для знаходженням їх суми використовують правило многокутника.







Рис. 5

Віднімання векторів

  • Різницею двох векторів називається вектор , сума якого з вектором дорівнює вектору .

Початок вектора є кінцем вектора , який віднімається. Кінець вектора співпадає з кінцем вектора , від якого віднімають вектор .





Рис. 6

  • У паралелограма, який побудовано на двох векторах , одна діагональ - сума цих векторів (рис. 4), а друга – їх різниця (рис. 7)




Рис. 7

Множення вектора на число

  • Добутком ненульового вектора на число k0 називається вектор k.

Вектор k має довжину , він співнаправлений (має однаковий напрям) з вектором , якщо k>0 та протилежно направлений вектору , якщо k<0.








Означення Два вектори, довжина яких не дорівнює нулю, називаються колінеарними, якщо вони лежать на одній прямій або на паралельних прямих.


^ Завдання для самостійної роботи

    1. Які з вказаних величин є скалярними, а які векторними: об’єм, швидкість, температура, маса, довжина відрізка, прискорення, сила струму, напруженість електричного поля?

    2. Дано три довільних вектори , . Побудуйте вектор їх суми.

    3. На сторонах трикутника АВС побудувати вектори =, =, =. Чому дорівнює сума ++ ?

    4. У паралелограмі АВСД =, =. Перевірити аналітично та геометрично рівності:

      а) (+)-(-)=2;

      б) (+)-(-)=2;

      в) (+)-=;

      г) +=.

    5. Вектори , , і співпадають із сторонами квадрата АВСД. Які з вказаних векторів: а) рівні; б) протилежно направлені?

^ 1.2 ДІЇ НАД ВЕКТОРАМИ В КООРДИНАТНІЙ ФОРМІ

1.2.1 Вектор , заданий своїми координатами х та у, записується так: =(х, y).

Якщо початок вектора знаходиться в точці (т.) А (ХА, YА), а кінець в т.В(ХВ, YВ), тоді координати вектора визначаються так:



Приклад Знайти координати вектора , якщо т. А (2; -2), т.В(4,-1).

Розв’язання: =(4-2; -1-(-2))=(2; 1).

1.2.2 Довжина вектора , заданого координатами (х, y), визначається за формулою:





або

Приклад Знайти довжину вектора , якщо т. А (2; -2), т. В (-1, 4).

Розв’язання:

Відповідь: довжина вектора .

1.2.3 Нехай задані вектор з координатами (х1, y1) та вектор з координатами (х2, y2). Для того, щоб відняти або додати два вектори, задані своїми координатами, необхідно додати або відняти їх відповідні координати:




1.2.4 Для того, щоб вектор , заданий координатами (х; у), помножити на деяке число k, необхідно координати цього вектора помножити на це число:

Приклад Дано вектори =(-2; -3), =(1, -4).

Знайти: 1) 2) 3) .

Розв’язання: 1) =(-2+1; -3+(-4))=(-1; -7);

2) =(-2-1; -3-(-4))=(-3; 1);

3) =(3(-2); 3(-3))=(-6; -9); =(21; 2(-4))=(2; -8);

=(-6-2; -9-(-8))=(-8; -1).

Теорема 1 У колінеарних векторів відповідні координати пропорційні.

Приклад Дано два колінеарні вектори =(1; -1), =(-2, m). Знайтиm.

Розв’язання: За теоремою 1 маємо . Тоді m=2.

Завдання для самостійної роботи

1.6 Дано координати початку (т. А) та кінця (т. В) вектора.

Знайти

1) А(3; 0), В(8; 0);

2) А(2; 5), В(1; 1);

3) А(2; 3), В(1, 2);

4) А(-3, 2), В(4, 3);

5) А(; ), В(-; ).

1.7 Знайти відстань від т. А до початку координат, якщо:

1) А(3; 0);

2) А(2; -5);

3) А(; -3);

4) А(-; ).

1.8 Дано координати векторів :

1) =(3; -2), =(1, 4); 2) =(-1; -3), =(0, 4);

3) =(1; 1), =(-5, 2); 4) =(-2; 1), =(-3, -5).

Знайти для кожної пари векторів: ; .

1.9 Знайти довжину вектора , якщо:

1) =(2; 1); 2) =(-1; 4); 3) =(2; -4).

1.10 Довжина вектора дорівнює 5. Знайти k, якщо:

1) =(-6; 8); 2) =(3; -4); 3) =(5, 12).

1.11 При якому значенні n вектори =(n; 1) і =(4; n) колінеарні і однаково напрямлені?


^ 1.3 СКАЛЯРНИЙ ДОБУТОК ДВОХ ВЕКТОРІВ

Означення Скалярним добутком двох ненульових векторів називається число, яке дорівнює добутку довжин цих векторів на косинус кута між ними:



Я

кщо вектор має координати (х1, y1), а вектор координати (х2,y2), то:


Наслідок І. ;

ІІ. Якщо , то .

Приклад Дано: 1) ; 2).

Знайти: .

Розв’язання: 1) ;

2) ; .


^ Завдання для самостійної роботи

1.12 Знайти скалярний добуток векторів, якщо:

1) =(4; -3), =(4; 3); 2) =(1; 1), =(-1;1);

3) .

1.13 Знайти кут між векторами, якщо:

1) =(1; 2), =(1; ); 2) =(1; 1), =;

3) =; =.


  1   2   3   4   5   6   7

Схожі:

Дії над векторами в координатній формі iconПрограма екзамену з математики Питання з курсу «Вища математика»
Поняття вектору на площині І просторі. Дія над векторами, які задані у координатній формі. Простір Rn. Означення базису n-мірного...
Дії над векторами в координатній формі iconНазва модуля: Вища математика Ч. 1 Код модуля
Матриці. Визначники. Системи лінійних алгебричних рівнянь. Векторна алгебра: дії над векторами, скалярний, векторний та мішаний добуток...
Дії над векторами в координатній формі iconПрограма фахових вступних випробувань на навчання для здобуття освітньо-кваліфікаційного рівня спеціаліста, магістра спец. Математика, Статистика
Висловлення та його істинносне значення. Дії над висловленнями. Предикат. Квантори, заперечення предикатів з кванторами. Основні...
Дії над векторами в координатній формі iconРозв’язування нерівностей першого степеня
Нерівності. основні властивості. Дії над нерівностями
Дії над векторами в координатній формі iconПротокол №5 від «19»
Неперервність функції. Дії над неперервними функціями. Складена функція. Обернена функція
Дії над векторами в координатній формі iconПротокол №5 від «19»
Неперервність функції. Дії над неперервними функціями. Складена функція. Обернена функція
Дії над векторами в координатній формі iconПрограма предмет Загальна фізика (механіка, молекулярна фізика)
Фізика як наука. Предмет фізики та її зв’язок фізики з іншими природни­чими науками, технікою. Методи фізичних досліджень. Вимірювання...
Дії над векторами в координатній формі iconМіністерство освіти І науки, молоді та спорту України Чернівецький національний університет імені Юрія Федьковича
Неперервність функції. Дії над неперервними функціями. Складена функція. Обернена функція
Дії над векторами в координатній формі iconМіністерство освіти І науки, молоді та спорту України Чернівецький національний університет імені Юрія Федьковича
Неперервність функції. Дії над неперервними функціями. Складена функція. Обернена функція
Дії над векторами в координатній формі iconМіністерство освіти І науки, молоді та спорту України Чернівецький національний університет імені Юрія Федьковича
Неперервність функції. Дії над неперервними функціями. Складена функція. Обернена функція
Додайте кнопку на своєму сайті:
Документи


База даних захищена авторським правом ©zavantag.com 2000-2013
При копіюванні матеріалу обов'язкове зазначення активного посилання відкритою для індексації.
звернутися до адміністрації
Документи