Розв’язування нерівностей першого степеня icon

Розв’язування нерівностей першого степеня




Скачати 417.73 Kb.
НазваРозв’язування нерівностей першого степеня
Сторінка1/5
Дата29.06.2012
Розмір417.73 Kb.
ТипДокументи
  1   2   3   4   5


ЗМІСТ








С.

Тема 1

Нерівності. основні властивості. Дії над нерівностями...................................................................


4

Тема 2

Розв’язування нерівностей першого степеня...............

7

Тема 3

Розв’язування систем нерівностей 1-го степеня..........

9

Тема 4

Розв’язування нерівностей другого та вищих степенів............................................................................


11

Тема 5

Розв’язування дробово-раціональних нерівностей.....

16

Тема 6

Розв’язування нерівностей з невідомою під знаком модуля..............................................................................


21

Тема 7

Арифметична прогресія.................................................

24

Тема 8

Геометрична прогресія...................................................

27

Тема 9

Нескінченно спадна геометрична прогресія. Перетворення періодичного дробу в звичайний.........................................................................



29

Тема 10

Показникова функція. показникові рівняння...............

31

Тема 11

Логарифм. Логарифмічна функція. Логарифмування.

34

Тема 12

Основна логарифмічна тотожність. Формула переходу від однієї системи логарифмів до іншої. Логарифмічні рівняння..................................................



37

Тема 13

Розв’язання логарифмічних і показникових нерівностей......................................................................


40

Відповіді до завдань для самостійної роботи...............................

42

Терміни та словосполучення..........................................................

44


Тема 1 НЕРІВНОСТІ. ОСНОВНІ ВЛАСТИВОСТІ.

^ ДІЇ НАД НЕРІВНОСТЯМИ

1.1 Нерівність – це співвідношення, в якому два алгебрагічних вирази з’єднані знаком > (більше), ? (більше або дорівнює), < (менше), ? (менше або дорівнює).

Наприклад: a < b, a  b, a > b, a  b, де а і b можуть бути як числами так і функціями.

^ Приклади числових нерівностей: 25  (-7), (-8) < (-1).

Приклади нерівностей, що містять змінні: 3x-4 ? 5; (a+с)2 ? 0; (нерівність справедлива для таких a і b із області допустимих значень змінних, при яких обидві частини нерівності мають зміст).

Якщо нерівність містить знаки: > або < - це строга нерівність,

? або ? - це нестрога нерівність.

Нехай a і b числа, aR, bR, тоді:


a=b, якщо a-b=0;

a>b, якщо a-b>0;

a

1.2 Основні властивості числових нерівностей:

1.2.1 Якщо a>b, то b<а;

1.2.2 Якщо a>b, b>с, то а>с;

1.2.3 Якщо a>b, то a+с>b+с;

1.2.4 Якщо a>b, c>d, то a+c>b+d;

1.2.5 Якщо a>b, cb-d;

^ 1.2.6 Якщо обидві частини нерівності помножити на будь-яке додатнє число, то знак нерівності не зміниться:

якщо a>b і m>0, то am>bm.

Наприклад: нехай задано нерівність 5(-7), якщо помножити обидві частини нерівності на 3, то 53(-7)3  15-21);

^ Якщо обидві частини нерівності помножити на будь-яке від’ємне число, то знак нерівності зміниться на протилежний:

якщо a>b і m0, то ambm

Наприклад: нехай задано нерівність 5(-7), якщо помножити обидві частини нерівності на (-3), то 5(-3)(-7)(-3)  ( 15)21);

1.2.7 Якщо a>b>0, c>d>0, то ac>bd;

1.2.8 Якщо a>b>0; то an>bn;

1.2.9 Якщо a>b>0, то ;

1.2.10 Якщо a>b>0, то .

1.3. Деякі важливі нерівності

1) Для будь-якого дійсного числа а0 виконується нерівність:



Для будь-яких дійсних чисел а і b виконуються такі нерівності:

2) ,

читають: абсолютна величина суми двох дійсних чисел не перевищує суму абсолютних величин цих чисел;

3) ,

читають: абсолютна величина різниці двох чисел не менша від абсолютної величини різниці абсолютних величин цих чисел;

4) ,

читають: сума квадратів двох дійсних чисел не менша від абсолютної величини подвоєного добутку цих чисел; рівність буде тоді і тільки тоді, коли ;

5) Якщо а і b – дійсні числа одного знака (аb0), то:

,

причому рівність буде тоді і тільки тоді, коли а=b;

^ 6) Нерівність Коші: Якщо а і b – невід’ємні дійсні числа, то:

,

середнє арифметичне двох невід’ємних дійсних чисел не менше від їхнього середнього геометричного.

^ 1.4 Арифметичні дії з нерівностями

Правила виконання арифметичних дій:

Приклади:

1.4.1 Додавання: дві нерівності одного знака можна почленно додати. Одержимо нерівність того ж знака.






1.4.2 Віднімання: дві нерівності протилежних знаків можна почленно віднімати. Одержимо знак тієї нерівності, від якої віднімаємо.






1.4.3 Множення: Дві нерівності однакового знака з додатними членами можна почленно множити. Одержимо нерівність того ж знака.






1.4.4 Ділення: дві нерівності протилежних знаків з додатніми членами можна почленно ділити. Одержимо нерівність, яка має знак першої нерівності.







Завдання для самостійної роботи

1.1 Виконати дії:

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) .

1.2 Помножити обидві частини нерівності на вказані множники:

1) 5>-2 на 6; 2) -15-35 на -5; 3) а2b на (-b);

4) (а-1)b на –n; 5) х-1>7-x на –a2-4.

1.3 Розділити обидві частини нерівності на вказані дільники:

1) -69 на 3; 2) -15-35 на -5; 3) а3а2 на (-а); 4) (а-b)3(a-b)2 на (a-b).


Тема 2 РОЗВ’ЯЗУВАННЯ НЕРІВНОСТЕЙ ПЕРШОГО СТЕПЕНЯ

Означення Нерівністю першого степеня називається нерівність виду a1x+b1>a2x+2 (а і bдійсні числа), яка після простих перетворень зводиться до вигляду . З неї одержуємо . Поділимо ліву і праву частину нерівності на а. Тоді:

  1. Якщо a>0, то ;

  2. Якщо а<0, то ;

  1. Якщо а=0 і b>0, то нерівність справедлива при будь-яких значеннях х, тобто х(-;+);

  2. Якщо а=0 і b0, то нерівність розв’язків не має (х).

Розв’язати нерівність означає знайти множину її розв’язків.

Означення Дві нерівності, які містять одну невідому величину, називають рівносильними (еквівалентними), якщо множини їх розв’язків співпадають.

Наприклад: 1) 3х0 і - рівносильні нерівності, так як вони мають спільну множину розв’язків: х(-; 0);

2) 7х0 і - не рівносильні нерівності, так як вони мають такі розв’язки: 7х0  х0; +);  х(0; +).

Приклади розв’язування завдань

Розв’язати нерівності:

1) 3x-2<7x+5; 2) 2x-4?x+3; 3) .

Розв’язання

1) Зводимо подібні доданки:

3x-7x<5+2  -4x<7 

Відповідь:

2) 2x-x?3+4  x?7


Відповідь: Рис. 2

3) така

нерівність рівносильна нерівності

4x-4-3x-6>x-2-4x

4x-3x-x+4x>-2+4+6

4x>8  x>2

Відповідь: х (2; +). Рис. 3


Завдання для самостійної роботи

2.1 Вказати рівносильні нерівності:

1) 3x0 i ;

2) x-4>0 i ;

3) 2x>3 i -62x<-63;

4) 2x+3>0 i 2x+3+ (x-8)x-8;

5) x2>x-1 i x2+1>x;

6) 2x>3 i .

2.2 Знайти множину розв’язків нерівностей:

1) 7x-6

2) 9x-7<1-17x;

3) 4(x-1)>2+7x;

4) 3(x-2)?4x-9;

5);

6);

7);

8) ;

9).


Тема 3 РОЗВ’ЯЗУВАННЯ

СИСТЕМ НЕРІВНОСТЕЙ I-го СТЕПЕНЯ

Розглянемо дві нерівності 1-го степеня від однієї змінної: і . Знайдемо такі значення змінної х, які задовольняють кожну із нерівностей. За таких умов маємо систему лінійних нерівностей:

.

Розв’язком системи називається множина значень змінної х, при яких кожна нерівність системи перетворюється на правильну числову нерівність. Щоб розв’язати систему нерівностей, потрібно попередньо розв’язати кожну нерівність системи; перетин множин розв’язків цих нерівностей і є розв’язком системи.

Приклади розв’язування завдань

1 Розв’язати системи нерівностей:

1) 2) 3)

Розв’язання:

1)

Знайдемо перетин множини

розв’язків першої та другої

нерівності (рис. 4):


Рис. 4

Відповідь: х (3; +).


2)

^ Рис. 5

Відповідь: х  .

3)  




Відповідь: х  . Рис. 6


Завдання для самостійної роботи

Розв’язати системи нерівностей:

1 2

3  4

5 6

7 8

9

Тема 4 РОЗВ’ЯЗУВАННЯ НЕРІВНОСТЕЙ ДРУГОГО ТА ВИЩИХ СТЕПЕНІВ

Означення: Нерівністю другого степеня з однією змінною називається нерівність виду ax2+bx+c>0 та ax2+bx+c<0, де а?0.

Якщо а<0, то множать обидві частини нерівності на (-1) і змінюють знак нерівності на протилежний.

Наприклад, -5x2+3x+2>0. Після множення на (-1) одержимо нерівність 5x2-3x-2<0.

Якщо ліву частину нерівності ax2+bx+c>0 позначити літерою "y", то одержимо квадратичну функцію y= ax2+bx+c, де а>0. Графік її –











а)

б)

в)

Рис. 7

парабола, вітки якої завжди напрямлені вгору (рис. 7). Якщо:

  1. D>0, то парабола перетинає вісь ОХ в точках х1 і х2;

  2. D=0, то парабола дотикається до осі ОХ в точці х12;

  3. D0, то парабола не перетинає осі ОХ.

Приклади розв’язування завдань

Розв’язати квадратні нерівності:

1) x2-5x+4>0;

2) x2-5x+4<0;

3) x2-3x+7>0;

4) x2-3x+7<0;

5) x2-6x+9>0;

6) x2-6x+9<0;

7) x2-6x+9?0;

8) -x2+6x-90.

Розв’язання:

1) у=x2-5x+4, а=10 – вітки параболи напрямлені вгору;

D=b2-4ac=25-16=9>0 - парабола перетинає осі ОХ в точках х1 і х2;

;

.






Рис. 8

Відповідь: х  (-;1)  (4; +) (дивись рис. 8).

  1. у= x2-5x+4

D=25-16=9>0, x1=1, x2=4. (рис. 8)

Відповідь: х  (1;4).

  1. у=x2-3x+7, а=10

D=9-28=-19<0 – парабола лежить вище осі OX (рис. 9);

Відповідь: х  (-;+).






Рис. 9

  1. у=x2-3x+7,

D= 9-28=-19<0 (рис. 9);

Відповідь: х  .

  1. у=x2-6x+9, а=10

D=36-36=0 – вершина параболи лежить на осі ОХ (рис. 10) 

 х12=.

Відповідь: : х  (-; 3)(3; +).





Рис. 10


6) D=36-36=0; х12=3 (рис. 10).

Відповідь: х  

7) D=36-36=0; х12=3 (рис. 10).

Відповідь: х  (-; +).

8) - x2+6x-90, а= - 10;

Помножимо ліву і праву частину нерівності на (-1). Тоді будемо мати нерівність x2-6x+90;

у= x2-6x+9, а= 10 – парабола, вітки якої напрямлені вгору;

D=0; х12=3 (рис. 10)

Відповідь: х=3.

^ МЕТОД ІНТЕРВАЛІВ

Нехай квадратна нерівність задана у вигляді: ax2+bx+c0, де а?0. Якщо дискримінант квадратного рівняння ax2+bx+c=0 більший нуля (D=b2-4ac=>0), то рівняння має два корені х1 і х2.

Тоді квадратний тричлен можна розкласти на множники, а нерівність записати у вигляді:

a(x-х1)(х-x2) 0 (1)

Для розв’язування квадратних нерівностей застосовують метод інтервалів.

В основу методу інтервалів покладені такі твердження:

1) Якщо хi, така точка, що показник степеню hi для виразу є число непарне, то справа і зліва від хі (на сусідніх проміжках) функція має різні знаки.

Якщо hi – непарне число, то точка хіпроста.

Наприклад: Маємо функцію у=(х+1)(х-4)3: точки а1 =(-1) і а2 = 4 – прості.

При переході через просту точку функція у змінює знак.

2) Якщо аi, така точка, що показник степеню hi для виразу є число парне, то справа і зліва від аі (на сусідніх проміжках) функція має однакові знаки. Якщо hi – парне число, то точка аіподвійна.

При переході через просту точку функція у не змінює знака.

Наприклад: Маємо функцію у=(х+5)2: точка а=(-5) – подвійна.

^ Алгоритм розв’язання нерівностей методом інтервалів

    1. на числовій прямій позначаються всі нулі і точки розриву (критичні точки) заданої функції у.

    2. визначають знак нерівності на кожному з числових проміжків. Обов’язково враховують, що при переході через просту точку функція змінює знак на протилежний. При переході через подвійну точку функція знак не змінює.

    3. вибирають проміжки у відповідності із знаком нерівності:

  • якщо функція має знак "+", то на даному проміжку у0;

  • якщо функція має знак "-", то на цьому проміжку у0.

Приклади розв’язування нерівності методом інтервалів

1. (х-3)(х-5)>0;

Розв’язання:

  1. Нулі заданої функції х1=3 і х2=5.

Позначимо ці точки на числовій прямій (рис. 11).





Рис. 11

Примітка: Так як нерівність строга, то точки 3 і 5 виключаємо із розв’язку.

2) Точки х1 і х2 розбивають числову пряму на 3 інтервали:

(-; 3); (3; 5); (5; +)

3) Визначимо знак нерівності на проміжку (5; +):

Нехай х=6>5, тоді маємо нерівність .

    1. Подвійних точок нерівність не має. Тоді скористаємося правилом зміни знаку: на проміжку (3; 5) "-";

на проміжку (-; 3) "+".

    1. Виберемо проміжки із знаком нерівності "+".

Тоді х  (-; 3)(5; +).

Відповідь: х  (-; 3)(5; +).

2 х2-7х+12<0

Розв’язання:

1) Розкладемо квадратний тричлен у=х2-7х+12. Для цього розв’яжемо квадратне рівняння х2-7х+12=0.

D=b2-4ac=72 -412=49-48=1>0

; .

Тоді нерівність х2-7х+12<0 запишемо у вигляді (х-3)(х-4)0.

Застосуємо метод інтервалів до розв’язання нерівності (х-3)(х-4)0.

  1. х1=3, х2=4 – нулі функції.




Рис. 12

  1. Визначаємо знак нерівності на кожному інтервалі:

(4; +): нехай х=5>4, тоді ;

(3; 4): "-" ;

(-; 3): "+"

Відповідь: х  (3;4).

3 (х-3)(5-х)(х+7)0;

Розв’язання:

  1. х1=3, х2=5, х3=-7 – нулі функції. Вони розбивають числовий інтервал на 4 проміжки (рис. 13).





Рис. 13

Примітка: Так як нерівність не строга, то точки (-7), 3 і 5 включаємо до розв’язку.

  1. Визначаємо знак нерівності на інтервалі 5; +):

Візьмемо х=6>5, тоді .

4) Подвійних точок нерівність не має. Тому скористаємося умовою зміни знаку: 3; 5] – "+"; [-7; 3] – "-"; (-; -7] – "+".

Відповідь: х  [-7; 3]  [5; +).

4 (х+3)(х+3)(х-2)<0

1) (х+3)(х+3)(х-2)<0  (х+3)2(х-2)<0

Нулі функції: х1,2=-3 і х3=2. х=(-3) - подвійна точка.

  1. Позначимо точки х1,2 і х3 на числовій прямій (рис. 14).




Рис. 14.

3) Точки х1,2 і х3 розбивають числову пряму на 3 інтервали:

(-; -3); (-3; 2); (2; +)

3) Визначимо знак нерівності на проміжках :

(2; +): нехай х=6>2, тоді маємо нерівність ;

(-3; 2): нехай х=1>-3, тоді маємо нерівність .

Так як точка х=-3 подвійна, то на проміжках ( ;-3) і (-3; 2) знак нерівності "-".

    1. Виберемо проміжки із знаком нерівності "-".

Тоді х  (-; -3)(-3; 2).

Відповідь: х  (-; -3)(-3; 2).

Завдання для самостійної роботи

^ Розв’язати нерівності:

1 (5-х)(х-2)<0;

22-7х-6<0;

3 (х-1)(2-х)20;

4 х2+х-12<0;

52-2х-1>0;

6 -3х2+5х-2?0;

7 2+х>0;

8 х2-2х+1?0;

9 х2-12х+11>0;

10 х2-2х-3<0;

11 6х+12<х2+2х;

12 х2+2х-3?0.

  1   2   3   4   5

Схожі:

Розв’язування нерівностей першого степеня iconЕкстраполяційний метод мажорантного типу розв’язування задачі коші для звичайних диференціальних рівнянь
З використанням апарату некласичних мажорант і діаграм Ньютона функцій [1, 2] побудовано чисельний метод розв’язування задачі Коші...
Розв’язування нерівностей першого степеня icon14. Системи рівнянь і системи нерівностей. Розв’язування систем. Корені системи. Рівносильні системи рівнянь
Арифметична та геометрична прогресії, формула n-ного члена і суми n перших членів прогресій
Розв’язування нерівностей першого степеня iconПро властивості деяких задач евклідової комбінаторної оптимізації на переставленнях та методи їх розв’язування
Описано метод розв’язування лінійної умовної задачі оптимізації на переставленнях, у якому розв’язки одержують будь-яким переборним...
Розв’язування нерівностей першого степеня iconПрограма з курсу "Вища, математика" Матриці. Визначники матриць. Системи рівнянь першої степені
Розв'язок системи "n" рівнянь з "n" невідомими, правило Крамера. Розв'язок І дослідження систем рівнянь першої степені методом повного...
Розв’язування нерівностей першого степеня iconНаближене розв’язування двовимірних рівнянь ВінераХопфа
Побудовано та обґрунтувано методи наближеного розв’язування рівнянь Вінера-Хопфа на четвертину площини
Розв’язування нерівностей першого степеня iconМіжнародний чемпіонат з розв’язування логічних математичних задач
Міністерства освіти і науки України (у відповідності до наказу Міністерства освіти і науки України від 23. 02. 2009 №159 «Про участь...
Розв’язування нерівностей першого степеня iconМіжнародний чемпіонат з розв’язування логічних математичних задач
Міністерства освіти і науки України (у відповідності до наказу Міністерства освіти і науки України від 23. 02. 2009 №159 «Про участь...
Розв’язування нерівностей першого степеня iconЗміст с. Передмова 4 програмний матеріал 5 контрольні запитання 6 вказівки до виконання контрольної роботи 10 завдання для контрольних робіт 10 зразки 34 розв\'язування завдань контрольної роботи 34 список рекомендованої літератури 66 передмова
Пропоновані методичні вказівки призначені для організації самостійної роботи студентів-заочників, які мають оволодіти навичками розв'язування...
Розв’язування нерівностей першого степеня iconМетодичні вказівки для проведення практичних занять та виконання курсової роботи з дисципліни «математичні методи розв’язування задач надійності вк систем»
«Математичні методи розв’язування задач надійності вк систем» (для студентів 2 курсу денної І заочної форм навчання напряму підготовки...
Розв’язування нерівностей першого степеня iconВісник львів. Ун-ту visnyk LVIV univ серія прикладна математика та Ser. Applied Mathematiсs and інформатика. 2002. Вип C.6 Computer Science. 2002. No. P.6 
З використанням апарату некласичних мажорант і діаграм Ньютона функцій [1, 2], побудовано чисельний метод розв’язування задачі Коші...
Додайте кнопку на своєму сайті:
Документи


База даних захищена авторським правом ©zavantag.com 2000-2013
При копіюванні матеріалу обов'язкове зазначення активного посилання відкритою для індексації.
звернутися до адміністрації
Документи