Решение неравенств первой степени icon

Решение неравенств первой степени




Скачати 416.71 Kb.
НазваРешение неравенств первой степени
Сторінка1/5
Дата29.06.2012
Розмір416.71 Kb.
ТипРешение
  1   2   3   4   5


СОДЕРЖАНИЕ








С.

Тема 1

Неравенства. Основные свойства. Действия над неравенствами ................................................................


4

Тема 2

Решение неравенств первой степени............................

7

Тема 3

Решение систем неравенств первой степени ..............

9

Тема 4

Решение неравенств второй и высших степеней...........................................................................


11

Тема 5

Решение дробно-рациональных неравенств………....

16

Тема 6

Решение неравенств с неизвестной под знаком модуля..............................................................................


21

Тема 7

Арифметическая прогрессия.........................................

24

Тема 8

Геометрическая прогрессия...........................................

28

Тема 9

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия. Превращение периодической дроби в обычную...........................................................................



31

Тема 10

Показательная функция. Показательные уравнения……………………………………….............


33

Тема 11

Логарифм. Логарифмическая функция. Логарифмирование…………………………………….


36

Тема 12

Основное логарифмическое тождество. Формула перехода от одного основания логарифмов к другому. Логарифмические уравнения.........................



39

Тема 13

Решение логарифмических и показательных неравенств........................................................................


42

Ответы к заданиям для самостоятельной работы........................

44

Термины и словосочетания…........................................................

46


Тема 1 НЕРАВЕНСТВА. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА.

^ ДЕЙСТВИЯ НАД НЕРАВЕНСТВАМИ

1.1 Неравенство – это соотношение, в котором два алгебраических выражения соединены знаком > (больше), ? (больше или равно), <(меньше), ? (меньше или равно).

Например: a < b, a  b, a > b, a  b, где а и b могут быть как числами, так и функциями.

^ Примеры числових неравенств: 25  (-7), (-8) < (-1).

Примеры неравенств, которые содержат переменные: 3x-4 ? 5; (a+с)2 ? 0; (неравенство справедливо для таких a и b из области допустимых значений переменных, при которых обе части неравенства имеют смысл).

Если неравенство содержит знаки:

> или < - это строгое неравенство,

? или ? - это нестрогое неравенство.

Пусть a и b числа, aR, bR, тогда:


a=b, если a-b=0;

a>b, если a-b>0;

a

^ 1.2 Основные свойства числовых неравенств:

1.2.1 Если a>b, то b<а.

1.2.2 Если a>b, b>с, то а>с.

1.2.3 Если a>b, то a+с>b+с.

1.2.4 Если a>b, c>d, то a+c>b+d.

1.2.5 Если a>b, cb-d.

^ 1.2.6 Если обе части неравенства умножить на положительное число, то знак неравенства не изменится:

если a>b и m>0, то am>bm.

Например: Пусть задано неравенство 5(-7). Если умножить обе части неравенства на 3, то 53(-7)3  15-21).

^ Если обе части неравенства умножить на отрицательное число, то знак неравенства изменится на противоположный:

если a>b и m0, то ambm.

Например: Пусть задано неравенство 5(-7). Если умножить обе части неравенства на (-3), то 5(-3)(-7)(-3)  ( 15)21).

1.2.7 Если a>b>0, c>d>0, то ac>bd.

1.2.8 Если a>b>0; то an>bn.

1.2.9 Если a>b>0, то .

1.2.10 Если a>b>0, то .

^ 1.3. Некоторые важные неравенства

1) Для любого действительного числа а0 выполняется неравенство:



Для любых действительных чисел а и b выполняются неравенства:

2) ,

читают: абсолютная величина суммы двух действительных чисел не больше суммы абсолютных величин этих чисел;

3) ,

читают: абсолютная величина разности двух чисел не меньше абсолютной величины разности абсолютных величин этих чисел;

4) ,

читают: сумма квадратов двух действительных чисел не меньше абсолютной величины удвоенного произведения этих чисел; равенство будет при ;

5) Если а и b – действительные числа одного знака (аb0), то:

,

равенство будет при а=b;

^ 6) Неравенство Коши: если а и b – неотрицательные действительные числа, то

,

среднее арифметическое двух неотрицательных действительных чисел не меньше их среднего геометрического.

^ 1.4 Арифметические действия с неравенствами

Правила выполнения арифметических действий:

Примеры:

1.4.1 Сложение: два неравенства одного знака можно почленно сложить. Получим неравенство того же знака.






1.4.2 Вычитание: два неравенства противоположных знаков можно почленно вычитать. Получим знак того неравенства, из которого вычитаем.






1.4.3 Умножение: два неравенства одинакового знака с положительными членами можно почленно умножать. Получим неравенство того же знака.






1.4.4 Деление: два неравенства противоположных знаков с положительными членами можно почленно делить. Получим неравенство, которое имеет знак первого неравенства.







Задания для самостоятельной работы

1.1 Выполнить действия:

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) .

1.2 Умножить обе части неравенства на указанные множители:

1) 5>-2 на 6; 2) -15-35 на -5; 3) а2b на (-b);

4) (а-1)b на –n; 5) х-1>7-x на –a2-4.

1.3 Разделить обе части неравенства на указанные делители:

1) -69 на 3; 2) -15-35 на -5; 3) а3а2 на (-а); 4) (а-b)3(a-b)2 на (a-b).

Тема 2 РЕШЕНИЕ НЕРАВЕНСТВ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ

Определение Неравенством первой степени называется неравенство вида a1x+b1>a2x+b2 (а и bдействительные числа). Послепростых преобразований оно примет вид . Разделим левую и правую часть неравенства на а. Тогда:

  1. если a>0, то ;

  2. если а<0, то ;

  1. если а=0 и b>0, то неравенство верно при любых значениях х х(-;+);

  2. если а=0 и b0, то неравенство решений не имеет  х.

Решить неравенство - значит найти множество его решений.

Определение Два неравенства, которые имеют одну неизвестную величину, называют равносильными (эквивалентными), если множества их решений совпадают.

Например: 1) 3х0 и - равносильные неравенства, так как они имеют общее множество решений: х(-; 0);

2) 7х0 и - не равносильные неравенства, так как они имеют такие решения: 7х0  х0; +);  х(0; +).

Примеры решения заданий

Решить неравенство:

1) 3x-2<7x+5; 2) 2x-4?x+3; 3) .

Решение

1) Приводим подобные слагаемые:

3x-7x<5+2  -4x<7 

Ответ: .

2) 2x-x?3+4  x?7


Ответ: Рис. 2

3) - такое неравенство равносильно неравенству

4x-4-3x-6>x-2-4x

4x-3x-x+4x>-2+4+6

4x>8  x>2

Ответ: х (2; +). Рис. 3


Задания для самостоятельной работы

2.1 Указать равносильные неравенства:

1) 3x0 и ;

2) x-4>0 и ;

3) 2x>3 и -62x<-63;

4) 2x+3>0 и 2x+3+ (x-8)x-8;

5) x2>x-1 и x2+1>x;

6) 2x>3 и .

2.2 Найти множество решений неравенств:

1) 7x-6

2) 9x-7<1-17x;

3) 4(x-1)>2+7x;

4) 3(x-2)?4x-9;

5);

6);

7);

8) ;

9).


Тема 3 РЕШЕНИЕ СИСТЕМ НЕРАВЕНСТВ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ

Рассмотрим два неравенства первой степени с одной переменной: и . Найдем такие значения переменной х, которые удовлетворяют каждое неравенство. При таких условиях имеем систему линейных неравенств:



Решением системы называется множество значений переменной х, при которых каждое неравенство системи превращается в правильное числовое неравенство. Чтобы решить систему неравенств, надо:

- решить каждое неравенство системы;

- найти множество общих решений этих неравенств.

Примеры решения заданий

1 Решить систему неравенств:

1) 2) 3)

Решение:

1)

Найдем множество общих

решений первого и второго

неравенств (рис. 4):


Рис. 4

Ответ: х (3; +).

2)

^ Рис. 5

Ответ: х  .

3)  




Рис. 6

Ответ: х  .


Задания для самостоятельной работы

Решить системы неравенств:

1 2

3  4

5 6

7 8

9

Тема 4 РЕШЕНИЕ НЕРАВЕНСТВ ВТОРОЙ И ВЫСШИХ СТЕПЕНЕЙ

Определение Неравенством второй степени с одной переменной называется неравенство вида ax2+bx+c>0 или ax2+bx+c<0, где а?0.

Если а<0, то умножим обе части неравенства на (-1). Тогда знак неравенства измениться на противоположный.

Например, -5x2+3x+2>0. После умножения на (-1) получим неравенство 5x2-3x-2<0.

Если левую часть неравенства ax2+bx+c>0 обозначить буквой "y", то получим квадратическую функцию y= ax2+bx+c, где а>0. Её график - парабола, ветки которой всегда направлены вверх (рис. 7). Если:

D>0, то парабола пересекает ось ОХ в точках х1 и х2;

D=0, то парабола касается оси ОХ в точке х12;

D0, то парабола не пересекает оси ОХ.











а)

б)

в)

Рис. 7

Примеры решения заданий

Решить квадратное неравенство:

1) x2-5x+4>0;

2) x2-5x+4<0;

3) x2-3x+7>0;

4) x2-3x+7<0;

5) x2-6x+9>0;

6) x2-6x+9<0;

7) x2-6x+9?0;

8) -x2+6x-90.

Решение:

1) у=x2-5x+4, а=10 – ветки параболы направлены вверх;

D=b2-4ac=25-16=9>0 - парабола пересекает ось ОХ в точках х1 и х2;

;

.




Рис. 8

Ответ: х  (-;1)  (4; +) (рис. 8).

  1. у= x2-5x+4

D=25-16=9>0, x1=1, x2=4 (рис. 8).

Ответ: х  (1;4).

  1. у=x2-3x+7, а=10,

D=9-28=-19<0 – парабола лежит выше оси OX (рис. 9).

Ответ: х  (-;+).






Рис. 9

  1. у=x2-3x+7,

D= 9-28=-19<0 (рис. 9).

Ответ: х  .

  1. у=x2-6x+9, а=10,

D=36-36=0 – вершина параболы лежит на оси ОХ (рис. 10) 

 х12=.

Ответ: : х  (-; 3)(3; +).





Рис. 10


6) D=36-36=0; х12=3 (рис. 10).

Ответ: х  .

7) D=36-36=0; х12=3 (рис. 10).

Ответ: х  (-; +).

8) - x2+6x-90, а= - 10,

Умножим левую и правую части неравенства на (-1). Тогда будем иметь неравенство x2-6x+90;

у= x2-6x+9, а= 10 – парабола, ветки которой направлены вверх;

D=0; х12=3 (рис. 10).

Ответ: х=3.

^ МЕТОД ИНТЕРВАЛОВ

Пусть квадратное неравенство задано в виде: ax2+bx+c0, где а?0. Если дискриминант квадратного уравнения ax2+bx+c=0 больше нуля (D=b2-4ac=>0), то уравнение имеют два корня х1 и х2.

Тогда квадратный тричлен можно разложить на множители, а неравенство записать в виде

a(x-х1)(х-x2) 0 (1)

Для решения квадратных неравенств применяют метод интервалов.

В основу метода интервалов положены следующие утверждения:

1) Если хi - такая точка, что показатель степени hi для выражения - число нечетное, то справа и слева от хі (на соседних промежутках) функция имеет разные знаки.

Если hi – четное число, то точка хіпростая.

Например: Имеем функцию у=(х+1)(х-4)3: точки а1 =(-1) і а2 = 4 – простые.

^ При переходе через простую точку функция у изменяет знак.

2) Если хi - такая точка, что показатель степени hi для выражения - число четное, то справа и слева от хі (на соседних промежутках) функция имеет одинаковые знаки. Если hi – четное число, то точка аідвойная.

^ При переходе через двойную точку функция у не изменяет знак.

Например: Имеем функцию у=(х+5)2: точка а=(-5) – двойная.

Алгоритм решения неравенств методом интервалов

  1. На числовую прямую наносятся все нули и точки разрыва (критические точки) заданной функции у.

  2. Определяют знак неравенства на каждом из числовых промежутков. Обязательно учитывают, что при переходе через простую точку функция изменяет знак на противоположный. При переходе через двойную точку функция знак не изменяет.

  3. Выбирают промежутки в соответствии с знаком неравенства:

  • если функция имеет знак "+", то на данном промежутке у0;

  • если функция имеет знак "-", то на данном промежутке у0.

Примеры решения неравенств методом интервалов

1 (х-3)(х-5)>0.

Решение

  1. Нули функции

х1=3 и х2=5.

Обозначим эти точки на числовой прямой (рис. 11).





Рис. 11

Примечание Неравенство строгое. Тогда точки 3 и 5 исключаем из решения.

2) Точки х1 и х2 делят числовую прямую на 3 интервала:

(-; 3); (3; 5); (5; +).

3) Определим знак неравенства на промежутке (5; +):

Пусть х=6>5, тогда имеем неравенство .

4) Двойных точек неравенство не имеет. Тогда применим правило перемены знака: на промежутке (3; 5) "-";

на промежутке (-; 3) "+".

5) Виберем промежутки со знаком неравенства "+".

Тогда х  (-; 3)(5; +).

^ Ответ: х  (-; 3)(5; +).

2 х2-7х+12<0.

Решение

1) Разложим квадратный трехчлен у=х2-7х+12 на множители. Решим квадратное уравнение х2-7х+12=0.

D=b2-4ac=72 -412=49-48=1>0

; .

Тогда неравенство х2-7х+12<0 запишем в виде (х-3)(х-4)0.

Применим метод интервалов к решению неравенства (х-3)(х-4)0.

  1. х1=3, х2=4 – нули функции.




Рис. 12

  1. Определяем знак неравенства на каждом интервале:

(4; +): пусть х=5>4, тогда ;

(3; 4): "-" ;

(-; 3): "+"

Ответ: х  (3;4).

3 (х-3)(5-х)(х+7)0.

Решение

  1. х1=3, х2=5, х3=-7 – нули функции. Они разбивают числовую прямую на 4 промежутка (рис. 13).





Рис. 13

Примечание Неравенство нестрогое. Точки (-7), 3 и 5 надо включить в решение.

  1. Определяем знак неравенства на интервале 5; +):

Возьмем х=6>5, тогда .

4) Двойных точек неравенство не имеет. Тогда применим правило перемены знака: 3; 5] – "+"; [-7; 3] – "-"; (-; -7] – "+".

Ответ: х  [-7; 3]  [5; +).

4 (х+3)(х+3)(х-2)<0.

1) (х+3)(х+3)(х-2)<0  (х+3)2(х-2)<0

Нули функции: х1,2=-3 и х3=2. х=(-3) - двойная точка.

  1. Обозначим точки х1,2 и х3 на числовой прямой (рис. 14).




Рис. 14.

3) Точки х1,2 и х3 разбивают числовую прямую на 3 интервала:

(-; -3); (-3; 2); (2; +).

4) Определим знак неравенства на промежутках:

(2; +): пусть х=6>2, тогда имеем неравенство ;

(-3; 2): пусть х=1>-3, тогда имеем неравенство .

5) Точка х=-3 двойная. Тогда на промежутках ( ;-3) і (-3; 2) знак неравенства "-".

6) Возьмем промежутки со знаком неравенства "-".

Тогда х  (-; -3)(-3; 2).

Ответ: х  (-; -3)(-3; 2).

^ Задания для самостоятельной работы

Решить неравенства:

1 (5-х)(х-2)<0;

22-7х-6<0;

3 (х-1)(2-х)20;

4 х2+х-12<0;

52-2х-1>0;

6 -3х2+5х-2?0;

7 2+х>0;

8 х2-2х+1?0;

9 х2-12х+11>0;

10 х2-2х-3<0;

11 6х+12<х2+2х;

12 х2+2х-3?0.

  1   2   3   4   5

Схожі:

Решение неравенств первой степени iconТематическийпла н
Тема Матрицы и основные операции с матрицами. Определители матриц. Системы уравнений первой степени: правило Крамера. Метод полного...
Решение неравенств первой степени iconИнформационное письмо о проведении Международной петербургской олимпиады по русскому языку и культуре для школьников из стран СНГ и Балтии (2011 год)
Победителям вручают дипломы первой степени, второй степени и третьей степени. Всем участникам Олимпиады выдается сертификат участника...
Решение неравенств первой степени iconСтепени степень с натуральным показателем
Обобщая понятие степени с натуральным показателем, введем степени с нулевым и целым отрицательным показателями
Решение неравенств первой степени iconЗадачи и упражнения для самостоятельной работы высшая математика т элементы линейной алгебры и аналитической геометрии глава І. Матрицы. Определители матрицы. Системы уравнений первой степени
Для производства промышленной продукции созданы 3 фирмы, каждая из которых выпускает один вид продукции. В таблице заданы
Решение неравенств первой степени iconЗадачи и упражнения для самостоятельной работы высшая математика т элементы линейной алгебры и аналитической геометрии глава І. Матрицы. Определители матрицы. Системы уравнений первой степени
Для производства промышленной продукции созданы 3 фирмы, каждая из которых выпускает один вид продукции. В таблице заданы
Решение неравенств первой степени icon2 Решение матричной игры (2х2)
При наличии седловой точки решение очевидно, тогда в соответствии с основной теоремой игра имеет оптимальное решение в смешанных...
Решение неравенств первой степени iconНейросонографические данные у новорожденных с гипоксически-ишемической энцефалопатией средней степени тяжести в динамике неонатального периода попов С. В., проф кафедры педиатрии №1 СумГУ
Таким образом, первым и наиболее частым методом исследования, используемым для диагностики степени тяжести и характера гипоксического...
Решение неравенств первой степени iconРешение Научно-методического совета ипо сггу от 19. 11. 2012 г по вопросу «Об утверждении программ для профильной школы, факультативов, кружков»
«Решение экономических задач по курсу «Основы экономики», 2 программ кружков «Армспорт», «Американский футбол»
Решение неравенств первой степени iconMailto: helengromova
Для снижения степени риска при принятии инвестиционного решения необходимо объективно оценить предстоящий проект, т е учесть всю...
Решение неравенств первой степени iconМетодика решения уравнений и неравенств
Ответ: а 3х² – 5; б х³ +5х– 2; в 2х³ – 2; г 3х³ – 5х + 2; д 3х³ – 5х² + 2
Додайте кнопку на своєму сайті:
Документи


База даних захищена авторським правом ©zavantag.com 2000-2013
При копіюванні матеріалу обов'язкове зазначення активного посилання відкритою для індексації.
звернутися до адміністрації
Документи