Тема 1 Поняття про многогранники Стереометрія icon

Тема 1 Поняття про многогранники Стереометрія

Реклама:



Скачати 124.01 Kb.
НазваТема 1 Поняття про многогранники Стереометрія
Дата28.07.2012
Розмір124.01 Kb.
ТипДокументи
джерело

Тема 1 Поняття про многогранники

Стереометрія – це розділ геометрії, в якому вивчаються просторові фігури.

Основні фігури стереометрії: пряма призма, правильна піраміда, конус, куля, циліндр та ін.

Призми і піраміди – це многогранники. Конус, куля, циліндр – це тіла обертання. Повторимо основні формули для обчислення площ поверхонь і об'ємів цих фігур.

Пряма призма


Пряма призма АВСDA1B1C1D1

АВСD – основа призми

Н = АA1 – висота призми

Р = АВ + ВС + СD + АD – периметр основи призми

Sбіч – площа бічної поверхні призми

V – об’єм призми.



Читається так: площа бічної поверхні призми дорівнює добутку периметра основи та її висоти.



Об’єм призми дорівнює добутку площі основи та її висоти.




^ Правильна піраміда

SАВС – правильна піраміда

Р = АВ + ВС + АС – периметр основи

H = SD – апофема піраміди.

Sосн. – площа основи АВС

Н = SO – висота піраміди



Площа бічної поверхні піраміди дорівнює половині добутку периметра основи піраміди та висоти бічної грані.



Об’єм правильної піраміди дорівнює одній третій добутку площі основи піраміди та її висоти.


^ Правильна зрізана піраміда

ОО1 = Н – висота піраміди

DD1 = h – апофема піраміди

Р1, Р2 – периметри основ

S1, S2 – площі основ



Площа бічної поверхні зрізаної піраміди дорівнює половині добутку суми периметрів основ та висоти бічної грані.

.

Об’єм зрізаної призми дорівнює одній третій добутку суми площ основ і квадратного кореня з їх добутку та її висоти.


Задачі

1 Сторони основ прямокутного паралелепіпеда а і b. Діагональ паралелепіпеда нахилена до площини основи під кутом . Визначити Sбіч паралелепіпеда.

Дано: АВСDA1B1C1D1 – прямокутний паралелепіпед.

АВ = а, ВС = b, АСА1 = .

Знайти:

Sбіч паралелепіпеда.


Розв’язання.

Проекція діагоналі А1С паралелепіпеда на площину основи АВСD є АС (діагональ основи). Тому кут  між А1С і площиною АВСD вимірюється кутом А1СА. З АА1С знаходимо АА1, а з АВС – АС.

.

Підставимо у формулу значення Р і Н:

.


2 Бічне ребро правильної чотирикутної піраміди довжиною m нахилене до площини основи під кутом . Знайти об'єм піраміди.

Дано: SАВСD – правильна піраміда.

SD = SA = SC = SB = m

SСО = .

Знайти: V.

Розв’язання.

АВСD – квадрат – зображується довільним паралелограмом. Точка О – точка перетину діагоналей зображує центр квадрата. З'єднаємо середину сторони основи АВ з вершиною піраміди S. Одержимо апофему FS.

- об’єм піраміди

, де х = АВ – сторона основи,

Н = SО – висота піраміди. Кут  = SСO.

З  SСO знайдемо , .

З ОАВ знайдемо .

Підставимо у формулу об’єму:



.

Відповідь: .

^

Задачі для самостійної підготовки


1 Площа поверхні куба 96 см2. Знайти ребро куба.

2 Знайти площу діагонального перерізу прямокутного паралелепіпеда, висота якого дорівнює 12 см, а сторони основи – 8см і 6 см.

^ 3 Знайти висоту правильної трикутної піраміди, якщо відомо сторони основи а = 9 см і b =6 см.

4 Об'єм правильної чотирикутної піраміди дорівнює V. Кут нахилу її бічного ребра до площини основи дорівнює . Знайти бічне ребро піраміди.

5 В прямому паралелепіпеді сторони основи дорівнюють а і b. Більша діагональ основи дорівнює меншій діагоналі паралелепіпеда. Знайти об'єм паралелепіпеда.


^

Тема 2 Тіла обертання


Головні формули для обчислення площ поверхонь і об'ємів циліндра, конуса, кулі.

Циліндр


Н – висота циліндра

R – радіус основи циліндра



Площа бічної поверхні циліндра дорівнює добутку двох , радіусу основи та висоти циліндра



Площа повної поверхні циліндра дорівнює добутку двох , радіуса основи та суми висоти циліндра і радіуса.



Об’єм циліндра дорівнює добутку , квадрат радіуса та висоти циліндра

Конус


L – твірна конуса

R – радіус основи

H – высота конуса

- площа бічної поверхні

- площа повної поверхні

- об’єм конуса

Об’єм конуса дорівнює одній третій добутку , квадрат радіуса основи та висоти конуса.

Куля

R – радіус кулі

D – діаметр кулі



Площа поверхні кулі дорівнює добутку та квадрат діаметра або чотири добутки та квадрат радіуса кулі.



Об’єм кулі дорівнює чотири третіх добутки та радіус кулі в кубі або одна шоста добутку та діаметр кулі в кубі.


Задачі

1 Кут при вершині осьового перерізу конуса дорівнює 2, а сума довжин його висоти H і твірної L дорівнює m. Знайти об'єм і повну поверхню конуса.

Дано: АВС – осьовий переріз конуса.

АСВ = 2

H + L = m.

Знайти: V і Sповн.


Розв’язання.

- об’єм конуса

- радіус основи конуса

- висота конуса

.

Площа повної поверхні

.

За умовою H + L = m; отже, ,

; .

Підставимо отримане значення L у формулу об’єму і повної поверхні:





Відповідь: ; .

2 У конус вписаний циліндр, висота якого дорівнює радіусу основи конуса. Знайти кут між віссю конуса і його твірною, якщо повна поверхня циліндра відноситься до площі основи конуса як 3:2.




Розв’язання

Позначимо радіус основи конуса ОВ через R, а радіус OL циліндра – через Х. Оскільки за умовою ML = R, то повна поверхня циліндра або , оскільки (від’ємний розв’язок не підходить).

З  LМВ знайдемо , .

Відповідь: .


3 У правильну трикутну призму вписана куля, що торкається трьох граней і двох основ призми. Знайти відношення поверхні кулі до повної поверхні призми.


Розв’язання

Якщо через центр О кулі провести площину, паралельну основам призми, то в перетині призми одержимо рівносторонній трикутник КLМ, рівний основі призми, а в перетині кулі – великий круг PNQ, вписаний у трикутник КLМ.

З  LОN, де ОN = R і NLO = 300 знайдемо . Звідси . Бічна поверхня призми , а . Площа основи призми . Звідси повна поверхня призми

.

Поверхня кулі дорівнює .

Шукане відношення дорівнює .

^ Задачі для самостійної підготовки

1 Обчислити поверхню кулі, вписаної в трикутну піраміду, всі ребра якої мають довжину а.

2 У конус, твірна якого дорівнює 15 см і довжина радіуса основи 9 см, вписана куля. Знайти об'єм кулі.

3 Висота циліндра на 10 см більша за радіус основи, а площа повної поверхні дорівнює см2. Знайти довжину радіуса основи і висоту циліндра.


^ Задачі до розділу «Поверхні і об'єми многогранників і круглих тіл»

для самостійної підготовки

1 Площа поверхні куба 150 см2. Знайти його об'єм.

2 Площа повної поверхні куба дорівнює 3 дм2. Знайти довжину діагоналі грані куба.

3 Знайти об'єм прямокутного паралелепіпеда, якщо сторони його основи 2 см і 3 см, а діагональ паралелепіпеда см.

4 Основою прямокутного паралелепіпеда є квадрат із сторонами, що дорівнюють 2 см. Знайти об'єм цього паралелепіпеда, якщо його діагональ утворює з площиною основи кут 450.

5 В основі призми лежить рівносторонній трикутник, площа якого дорівнює см2. Знайти об'єм призми, якщо її висота в раз більше сторони основи.

6 Знайти повну поверхню правильної чотирикутної призми, якщо її діагональ дорівнює см, а діагональ бічної грані – 5 см.

7 Сторона основи правильної трикутної піраміди дорівнює 6 см, а бічне ребро утворює з площиною основи кут 450. Знайти об'єм піраміди.

8 Бічна поверхня правильної чотирикутної піраміди дорівнює 60 см2, сторона основи 6 см. Знайти об'єм цієї піраміди.

9 Площа поверхні однієї кулі дорівнює 393 см2. Знайти площу поверхні іншої кулі, у якої радіус в раз менше, ніж у іншої.

10 Площа поверхні однієї кулі дорівнює 49 см2. Знайти площу поверхні іншої кулі, об'єм якої в 27 разів більше об'єму даної кулі.

11 Площа бічної поверхні циліндра дорівнює см2, а його об'єм дорівнює см3. Знайти його висоту.

12 Площа осьового перерізу циліндра дорівнює см2. Знайти площу його бічної поверхні.

13 Кут при вершині осьового перерізу конуса дорівнює 600, а твірна дорівнює 2 см. Знайти площу бічної поверхні конуса, вважаючи . Відповідь записати з двома знаками після коми.

14 Об'єм конуса дорівнює см2. Висота його дорівнює 2 см. Знайти тангенс кута між висотою і твірною конуса.

15 Діагональ правильної чотирикутної призми нахилена до бічної грані під кутом 300. Визначити кут нахилу її до основи.

16 У прямій трикутній призмі сторони основи дорівнюють 10 см, 17 см, 21 см, а висота призми – 18 см. Визначити площу перерізу, проведеного через бічне ребро і меншу сторону основи.

17 Бічне ребро L похилої призми дорівнює 15 см, нахилене до площини основи під кутом 300. Визначити висоту призми.

18 Основою прямої призми є ромб; діагоналі призми дорівнюють 8 см і 5 см; висота призми 2 см. Знайти сторону основи.

19 Бічне ребро прямого паралелепіпеда дорівнює 5 м, сторони основи дорівнюють 6 м і 8 м, одна з діагоналей основи дорівнює 12 м. Визначити діагоналі паралелепіпеда.

20 Відстань між паралельними прямими, що містять бічні ребра похилої трикутної призми дорівнюють 2 см, 3 см і 4 см, а бічні ребра – 5 см. Визначити бічну поверхню призми.

21 У прямому паралелепіпеді сторони основи дорівнюють 6 мм і 8 мм і утворюють кут 300; бічне ребро дорівнює 5 мм Визначити повну поверхню цього паралелепіпеда.

22 Бічна поверхня правильної чотирикутної призми дорівнює 32 м2, а повна поверхня – 40 м2. Знайдіть висоту.

23 У прямій трикутній призмі всі ребра рівні. Бічна поверхня дорівнює 12 м2. Знайдіть висоту.

24 Висота правильної чотирикутної зрізаної піраміди дорівнює 7 см. Сторони основи дорівнюють 10 см і 2 см. Знайдіть бічне ребро піраміди.

25 Висота правильної чотирикутної піраміди дорівнює 7 см, а сторона основи дорівнює 8 см. Визначити бічне ребро піраміди.

26 Бічна поверхня правильної чотирикутної піраміди дорівнює 14,76 м2. Знайдіть сторону основи і висоту піраміди.

27 Знайдіть повну поверхню правильної чотирикутної піраміди, якщо сторона основи дорівнює 10 см, а бічне ребро піраміди 13 см.

28 Радіус основи циліндра 2 м, висота 3 м. Знайдіть діагональ осьового перерізу.

29 Висота циліндра на 10 см більше радіуса основи, а повна поверхня дорівнює см2. Визначити радіус основи і висоту.

30 Чому дорівнює відношення бічної поверхні циліндра до площі його осьового перетину?

31 У циліндрі радіус основи 2 см, а висота 7 см. Визначити радіус круга, рівновеликого повній поверхні цього циліндра.

32 Радіуси основ зрізаного конуса 3 м і 6 м, висота 4 м. Знайдіть твірну.

33 Як відносяться між собою бічна і повна поверхні рівностороннього конуса?

34 Твірна конуса нахилена до площини основи під кутом 600. Знайти площу основи конуса, якщо довжина твірної 12 см.

35 Висота циліндра 12 см. Діагональ осьового перерізу 13 см. Знайти бічну і повну поверхні циліндра.

36 Висота конуса 12 см, твірна 13 см. Знайти бічну і повну поверхні конуса.

37 Площина перетинає кулю на відстані 9 дм від центра. Площа перетину дм2. Визначити радіус кулі.

38 Вимірювання прямокутного паралелепіпеда 15 м, 50 м, 36 м. Знайдіть ребро рівновеликого йому куба.

39 У прямому паралелепіпеді сторони основи см і 5 см утворюють кут 450. Менша сторона паралелепіпеда дорівнює 7 см. Знайдіть його об'єм.

40 Діагональ правильної чотирикутної призми рівна 3,5 см, а діагональ бічної грані – 2,5 см. Знайдіть об'єм призми .

41 У прямій трикутній призмі сторони основи дорівнюють 4 см, 5 см і 7 см, а бічне ребро дорівнює більшій висоті основи. Визначити об'єм призми.

42 Основою піраміди є прямокутник з сторонами 9 см і 12 см. Кожне з бічних ребер дорівнює 12,5 см. Знайдіть об'єм.

43. Основа піраміди – рівнобедрений трикутник із сторонами 6 см, 6 см і 8 см. Усі бічні ребра дорівнюють 9 см. Визначити об'єм піраміди.


Відповіді.

Тема 1

    1. 4 дм;

    2. 120 см2;

    3. 3 см;

    4. ;

    5. .


Тема 2

1) ;

3) 14 см і 4 см.

Тема 3

1) 125 см3; 2) 1 м; 3) 30 см3; 4) см3; 5) 162 см3; 7) см3; 8) 60 см3; 9) 131 см2; 11) 3 см; 12) 6 см2 ; 13) 10,88 см2; 14); 15) 450; 16) 144 см2; 17) 7,5 см; 18) 4,5 см; 19) 13; 9; 20) 45 см2; 21) 188 мм2; 22) 4 м; 23) 2 м; 24) 9 см; 25) 9 см; 26) 1,8 м; 4 м; 27) 340 см2; 28) 5 м; 29) 4 см; 14 см; 30) ; 31) 6 м; 32) 5 м; 33) 34) см2; 35) см2; см2; 36) см2; см2; 37) 41 дм; 38) 30 м; 39) 60 см3; 40) 3 см2; 41) 48 см3; 42) 360 см3; 43) 48 см3.


Основні слова і словосполучення

Тема 1.

1 Площина




2 Пряма призма




3 Периметр основи




4 Висота (призми, піраміди)




5 Площа бічної поверхні




6 Об'єм прямої призми (піраміди)




7 Правильна піраміда




8 Апофема піраміди




9 Площа бічної поверхні піраміди




10 Зрізана піраміда




11 Периметр верхньої (нижньої) основи правильної піраміди




12 Площа основ піраміди




13 Стереометрія




14 Ребро піраміди




15 Конус




16 Куля




17 Циліндр




18 Многогранник




19 Прямокутний паралелепіпед




20 Проекція




21 Діагональний (основний) переріз




22 Прямий паралелепіпед





Тема 2

1 Циліндр




2 Конус




3 Куля










Додати документ в свій блог або на сайт
Реклама:

Схожі:

Тема 1 Поняття про многогранники Стереометрія iconТема Загальне вчення про право План
Різні підходи до визначення поняття права: а) державно-організаційне поняття права; б) соціологічне поняття права; в) психологічне...

Тема 1 Поняття про многогранники Стереометрія iconТема Години
Технологія ліків як наука. Основні терміни та поняття технології ліків. Види нтд (дфу, накази, інструкції тощо). Класифікація лікарських...

Тема 1 Поняття про многогранники Стереометрія iconТема №1. Вступ І загальні проблеми фармакотерапії (ФТ)
Мета І задачі фармакотерапії. Взаємозв’язок фт з медико-біологічними та клінічними дісциплінами. Загальні поняття про етіологію,...

Тема 1 Поняття про многогранники Стереометрія iconТема суть І зміст менеджменту поняття управління
Поняття управління. У науці управління фундаментальним поняттям є поняття "управління". Не даючи його суворого формального визначення,...

Тема 1 Поняття про многогранники Стереометрія iconТема суть І зміст менеджменту поняття управління
Поняття управління. У науці управління фундаментальним поняттям є поняття "управління". Не даючи його суворого формального визначення,...

Тема 1 Поняття про многогранники Стереометрія iconТема №1
Тема № Основні поняття соціолінгвістики «соціолект», «жаргон», «сленг», «арго»

Тема 1 Поняття про многогранники Стереометрія iconТема 11. Планування як функція менеджменту поняття планування
Поняття планування. Планування являє собою завчасне прийняття рішень про те, що потрібно робити І що для цього необхідно, коли робити,...

Тема 1 Поняття про многогранники Стереометрія iconТема: степенева функція
Мета уроку: Розширення поняття степеня; формування поняття степеня з раціональним показником та його властивостей

Тема 1 Поняття про многогранники Стереометрія iconТема: степенева функція
Мета уроку: Розширення поняття степеня; формування поняття степеня з раціональним показником та його властивостей

Тема 1 Поняття про многогранники Стереометрія iconТема: степенева функція
Мета уроку: Розширення поняття степеня; формування поняття степеня з раціональним показником та його властивостей

Додайте кнопку на своєму сайті:
Документи


База даних захищена авторським правом ©zavantag.com 2000-2013
При копіюванні матеріалу обов'язкове зазначення активного посилання відкритою для індексації.
звернутися до адміністрації
Документи