1. Загальні відомості icon

1. Загальні відомості




Назва1. Загальні відомості
Дата30.06.2012
Розмір53.2 Kb.
ТипДокументи

Козачук А. В. Геометричні тривимірні перетворення

1. Загальні відомості


Геометричні перетворення - це такі перетворення графічних об'єктів, у яких змінюється напрямок, масштаб і положення координатної системи, що використовується для визначення місцезнаходження точок у просторі. При цьому сам простір не піддається ніяким змінам; тобто сама структура графічного зображення зберігається. Отже, при геометричних перетвореннях неважливий тип об'єкта, так як в перетвореннях беруть участь точки.

Основними операціями, які відносяться до геометричних перетворень двохвимірних графічних об'єктів є:


- перенесення початку координат;
- масштабування;
- поворот осей координат.

Тепер детальніше про ці операції.

2. Поворот


Розглянемо окремий випадок повороту в просторі ^ XYZ - поворот навколо осі Z, що проходить перпендикулярно площині XY. 

Припустимо, що центр обертання збігається з початком координат. Тоді, при повороті системи координат ^ XY в декартовій площині на деякий довільний кут w щодо центру обертання, координати довільної точки С в системі координат (x ', y') можна виразити через координати цієї точки в початковій системі координат (x, y):

x '= x cos w + y sin w,

y '=-x sin w + y cos w.

Для виконання операції повороту використовується матриця:



3. Перенесення


При виконанні даної операції відбувається перенесення початку координат на деяку величину.

Позначимо стару систему координат - СК1, нову - СК2. При перенесенні новий початок координат в системі координат ^ СК1 лежить у точці (Tx, Ty), в новій же системі СК2 старий початок координат є точкою (-Tx,-Ty). Початок координат (x, y) системи СК1 у системі СК2 стане точкою (x-Tx, y-Ty).

Варто згадати, що при переносі зберігаються як напрям осей координат, так і масштаб. 
Матриця, необхідна для виконання операції перенесення має вигляд:


4. Масштабування


При виконанні операції масштабування відрізок одиничної довжини на осі ^ X стає відрізком довжиною Sx на осі X '; відрізок одиничної довжини на осі Y стає відрізком довжиною Sy на осі Y'. Виходить, що в новій системі точка з координатою (1,1) перетворюється в точку (Sx, Sy), точка (x, y) буде мати координати (x * Sx, y * Sy). 

Варто відзначити, що при масштабуванні початок координат і напрямок осей нової та старої систем координат збігаються, змінюється лише масштаб по осях.

Матриця, необхідна для виконання операції масштабування має вигляд:



OpenGL підтримує вбудовану систему матриць, для опису трансформації сцени або об'єктів, але для розуміння принципів роботи трансформації об'єктів у тривимірному просторі, ми розглянемо дані математичні перетворення. 

^

Методи формування моделей об'ємних об'єктів у вигляді тіл обертання.

1. Загальні відомості


Один із способів формування складних об'ємних зображень на екрані – застосування скелетних тіл обертання. При цьому вибирається вісь обертання і в одній площині з нею формується крива, що апроксимується, зазвичай, послідовністю відрізків прямих ліній. У результаті обертання кривої навколо вибраної осі і фіксації положення цієї кривої через певні відліки кута обертання створюється скелетне тіло обертання.
^

2. Кодування точок на поверхні тіла обертання


Маючи деяку геометрію кривої, задану поруч точок, ми можемо побудувати об'єкт, ґрунтуючись на повороті геометрії даної кривої. Розбивши об'єкт, таким чином на N даних кривих і з'єднавши їх вершини, утворюючи полігони між кривими, ми отримуємо оболонку тіла обертання.


Рисунок 1 – Розбиття тривимірного об’єкта на елементарні складові.

Кількість відрізків вихідної кривої і кількість розбиттів визначають гладкість об'єкта. Відповідно, велика кількість полігонів збільшує навантаження на графічний адаптер. 


Для побудови тривимірного об'єкта з оболонкою так само буде необхідно розрахувати нормалі для визначення полігонів, що так само буде розглянуто. 


При роботі з тривимірними об’єктами, часто потрібно здійснювати по відношенню до ним різні перетворення: рухати, повертати, стискати, розтягувати, скошувати і т.д. При цьому в більшості випадків потрібно, щоб після застосування цих перетворень зберігалися певні властивості.

Визначення. Перетворення площини називається афінним (від англ. Affinity -  cпорідненість) , якщо

  • воно взаємне однозначно;

  • перетворенням будь-якої прямої є пряма.

Перетворення називається взаємно однозначним , якщо

  • різні точки переходять у різні;

  • в кожну точку переходить якась точка.

Властивості аффінного перетворення в тривимірному просторі:

  • відображає n-вимірний об’єкт в n-вимірний: точку в точку, лінію в лінію, поверхню в поверхню;

  • зберігає паралельність ліній і площин;

  • зберігає пропорції паралельних об’єктів - довжин відрізків на паралельних прямих і площ на паралельних площинах.

Будь-яке аффінне перетворення задається матрицею 3Ч3 з ненульовим визначником і вектором перенесення:



Подивимося на це з погляду математики. R є матрицею лінійного оператора над простором тривимірних векторів. Вектор T потрібний для здійснення паралельного перенесення: якщо множити ( 0 0 0 ) на будь-яку матрицю 3Ч3, знову отримаємо ( 0 0 0 ) - початок системи координат, щодо перетворення R, є нерухомо точкою.

Вимога, щоб визначник був ненульовим, диктується визначенням. По суті, якщо визначник матриці R рівний нулю, то весь простір переходить в площину, пряму або точку. Тим чином, не дотримується взаємна однозначність.


На практиці зручно задавати аффінне перетворення однією матрицею. При цьому використовуються однорідні координати, введені в попередній статті. Аффінне перетворення задаватиметься наступною матрицею 4Ч4:



Відмітимо, що перші три значення останнього рядка рівні 0. Це необхідна умова того, щоб перетворення було аффінним. У загальному випадку довільна матриця розміру 4Ч4 задає проектне перетворення. Такі перетворення, як можна здогадатися з назви, використовуються для проектування тривимірної сцени.


Розглянемо окремі випадки аффінних перетворень.

 Тут і надалі використовуватиметься система координат, введена таким чином:

  • система координат права;

  • вісь z направлена на спостерігача, перпендикулярно площини екрану;

  • вісь у знаходиться в площині екрану і направлена вгору;

  • вісь x знаходиться в площині екрану і направлена управо.



Рисунок 2 – Вісі координат
^

Паралельне перенесення




Рисунок 3 – Паралельне перенесення об’єкта


Паралельне перенесення

Матриця цього перетворення виглядає таким чином:



В даному випадку матриця R = E, одиничній матриці.

Перетворення, що розглядаються нижче, зачіпають тільки матрицю R, тому указуватиметься тільки вона.


http://www.esate.ru/page/algoritmy-geometricheskih-preobrazovany

http://craftimage.com.ua/3d-teoriya/affinnyye-peretvorennya-prostoru/

Большаков В.П. Черчение, информатика, геометрия. Издательская группа BHV, 2010г

Схожі:

1. Загальні відомості iconЗагальні відомості про стандартизацію. Історичний огляд розвитку стандартизації
Загальні відомості про стандартизацію та історичний огляд розвитку стандартизації
1. Загальні відомості iconПоложення про атестацію наукових та педагогічних працівників загальні відомості
move to 1812-11325
1. Загальні відомості icon«затверджую» Ректор С. В. Савченко 2012 р. Програма
Загальні відомості про частини мови. Прийменник. Подвоєння прикметників та дієслів
1. Загальні відомості iconКурс «Латинська мова та основи медичної термінології»
Загальні відомості про вітчизняні фармакопеї, уф, фармакопейний комітет України, їх функціонування
1. Загальні відомості iconЗакон України від 20. 12 1990 "Про міліцію"//Відомості Верховної Ради 1991- № Ст. 20; Закон України від 11. 1991 "Про прокуратуру"//Відомості Верховної Ради України. 1991. №53
Тема № досудове розслідування: поняття, зміст, форми та загальні положення (2 год.)
1. Загальні відомості iconSvydnyckyj meliorac zemel
Завдання курсу. Загальні відомості про меліорацію земель. Історія розвитку меліоративної науки. Основні види меліорацій
1. Загальні відомості iconКраїнознавство (IV курс)
Загальні відомості про країну, столицю, склад території. Природні умови різних регіонів. Національна символіка та емблеми. Міжнародні...
1. Загальні відомості iconК-ть годин в сем
Загальні відомості про землеустрій та землевпорядне проектування. Деграда­ція ґрунтів внаслідок порушення нау­ково – обґрунтованих...
1. Загальні відомості iconПерелік питань підсумкового контролю (підсумкові модулі І, ІІ)
Загальні відомості про сучасні міжнародні номенклатури як системи медичних та біологічних термінів латинською мовою, які мають офіційний...
1. Загальні відомості iconПерелік питань підсумкового контролю (підсумкові модулі І, ІІ)
Загальні відомості про сучасні міжнародні номенклатури як системи медичних та біологічних термінів латинською мовою, які мають офіційний...
1. Загальні відомості iconЛекція Віруси. Загальні відомості
Ряд програм виконують неявну мету прикладом можуть служити драйвери, які у фоновому режимі забезпечують взаємозв'язок різних пристроїв...
Додайте кнопку на своєму сайті:
Документи


База даних захищена авторським правом ©zavantag.com 2000-2013
При копіюванні матеріалу обов'язкове зазначення активного посилання відкритою для індексації.
звернутися до адміністрації
Документи