Стахов Артем Олександрович Формування кривих І криволінійних поверхонь. Сплайни. В задача icon

Стахов Артем Олександрович Формування кривих І криволінійних поверхонь. Сплайни. В задача




Скачати 49.57 Kb.
НазваСтахов Артем Олександрович Формування кривих І криволінійних поверхонь. Сплайни. В задача
Дата30.06.2012
Розмір49.57 Kb.
ТипЗадача

Магістр групи ПЗмн-10

Стахов Артем Олександрович


Формування кривих і криволінійних поверхонь. Сплайни.


В задачах машинного проектування знайшли дві форми подання кривих: аналітична і параметрична. Аналітична форма передбачує задання кривої в вигляді рвіняння Y=F(x) з використанням звичайних однозначних функцій. Форма бульшості об’єктів у техніці не залежить від системи координат. Якщо необхідно відновити криву або поверхню за множиною окремих точок, отриманих в результаті вимірювання на моделі, то важливим фактором, який визначає форму об’єкта, буде співвідношення між цими точками, а не між точками і будь-якою довільною вибраною системою координат. В багатьох застосуваннях необхідно, щоб координати не впливали на форму. Криві та поверхні в машинній графіці часто є неплоскими або замкнутими, що взагалі не дає можливості представити їх у вигляді функції. Тому важливу роль відіграє представлення форми в парамтричному вигляді, коли крива на площині представлена парою функцій X=X(t), Y=Y(t) від параметра t. Параматрична форма дозволяє ліквідувати вказані недоліки.

Для формування кривих використовують методи інтерполювання та апроксимації. Задачі інтерполяції зводяться до знаходження деякої аналітично функкції, яка точно проходить через задані точки. В багатьох випадках, сформована за базовими точками крива є недостатньо згладженою, наприклад має хвилястість. Для більшості задач інтерактивного констрюювання об’єктів важливою є форма об’єкта, його згладженість. В цьому випадку застосовують меотди апроксимації, згідно з якими знаходять за сукупністю базових точок такі функції, які проходять в безпосередній близькості від заданих точнок. Задача апроксимації виникає при заміні кривої, заданої рівнянням функцій складної природи (наприклад, з точки зору швидкості розрахунку її значень і похідних, інтегрування, диференціювання) іншою кривою, близькою до заданої, рівняння якої більш прості.

Криву можна побудувати методами:

  • інтерполюванням або апроксимацією по точкам;

  • деформацією кривої (пеерміщення точки, зміна полінома);

  • формуванням розімкнутого або замкнутого контуру з відрізків або дуг кіл на площині;

  • обчислення конічних перетинів (еліпс, парабола, і т.д.);

  • обчислення перетину поверхонь;

  • сполученням кривих.



Інтерполяційні методи Лагранжа і Ньютона

До найбільш простих інтерполяційних поліномів відносять поліном Лагранжа:

Нехай задано n+1 точок (x0, y0), (x1, y1), …. , (xn, yn) на координатній площині, при чому xi< xi+1, i = 0, n. Інтерполяційний поліном Лагранжа n-го степеня для даної множини точнок має вигляд:




Недолік многочлена Лагранжа полягає у тому, що його степінь відповідає кількості вузлів-1 і будь-яка спроба покращити точність шляхом збільшення вузлів викликає збільшення степеня полінома, і при степені більше 5 виникає хвилястість. Один з шляхів розв’язання цієї проблеми є розбиття усього інтервалу на кілька підінтервалів і «склеювання» кількох многочленів Лагранжа низьких степенів, кожний з яких інтерполює задану функцію в підінтервалі. Так можна досягти великої точності але ціною можливою недиференційованості об’єднаної функції у деяких вузлах.


При рівномірній дискретизації зручно користуватись формулою Ньютона. Поліном Ньютона є іншою формою запису полінома Лагранжа.



де , .


Апрксимація методом Безьє

Для задання многочлена використовуються множину точнок-орієнтирів. Нехай задана сукупність з (n+1) точок яку будемо називати ламаною-Безьє. Крива Безьє, відповідає цій ламаній, описується у вигляді функції параметра t наступним полиномом:

,

де - радиус-вектор точек на кривой, а Jni(t) - апроксимуючі многочлени Бернштейна, рівні



Ламана Безьє однозначно визначає форму кривої Безьє. Змінюючи положення вершин ломаної – точок-орієнтирів, можна керувати формою відповідної кривої Безьє. При цьому самій кривій в загальному випадку будуть належати лише перша і остання вер­ши­ни ламаної Безьє, інші вершини бу­дут лише впливати на вигляд і гладкість кри­вої.

Практичне конструювання за методом Безьє таке: спочатку конструктор вручну робить рисунок бажаної кривої. Потім він вказує на вершини ламаної кривої, яка по суті є першим наближенням. Далі він переміщує вершини таким чином, щоб поступово покращити наближення. Якщо необхідно, деякі вершини видаляються чи додаються.

Сплайни

Математичне подання тіла, складеного із простих геометричних форм (сфер, циліндрів або конусів) нескладно. Але дуже часто це не так; кузова автомобілів, поверхні літаків, флюзеляжи й багато чого іншого не так-те просто описати. Процедура, звичайно використовувана в цих випадках, складається звичайно в наступному:

  • поверхня покривається двома уявлюваними групами ліній; перша йде в поздовжньому напрямку, друга - трансверсальна до першого. Ця сітка ліній визначає множину осередків, кожен з яких (у випадку гладкої поверхні), буде обмежений чотирма гладкими кривими;

  • координати вузлів цієї уявлюваної сітки виміряються на моделі або на наборі креслень поперечних перерізів поверхні;

  • за допомогою інтерполяції математично описуються ці дві групи ліній, що утворять сітку.

Можна будувати досить гладкі криві й поверхні з використанням поліномів. У таких випадках використовують сплайни. На всьому відрізку інтерполювання сплайн – це функція, склеєна з різних частин поліномів заданого степеня.


Поліноміальним сплайном порядку називається функція Sm(x), що являє собою сукупність функцій, заданих на відрізках [] виду ,

i = 0, 1,…, N на сітці a = x0 < x1 < … < xn-1 < xn = b. В даному випадку розглядається рівномірна сітка.

Невідомі коефіцієнти функцій шукаються з умов:

  1. Умов неперервності у вузлах (похідних від (0) = до (m-1) ).

  2. Умов інтерполяції Sm(xi) = yi,.

  3. Додатково заданих крайових умов у точках х = а та х = b.


Термін «сплайн» виник за аналогією: це назва креслярського інструмента – тонкої металевої лінійки, що може вигинатись так, щоб проходити через задані крапки. Фізично така крива мінімізує енергію внутрішніх напружень. Математично - має мінімальну середньоквадратичну кривизну, тобто вона найбільш гладка. Сплайны мають багато застосувань у конструюванні криволінійних форм.

Однак вони мають і деякі обмеження:

  • локальна зміна спричиняє обчислення заново всього сплайна;

  • можуть виникати проблеми при апроксимації прямої, що має розриви других похідних (наприклад, сполучення прямої лінії й дуги кола);

  • з погляду естетики не завжди прийнятні, тому що кривизна поверхні, сконструйованої за допомогою сплайнов, змінюється іноді нерівномірно, що приводить до перекручувань.


Список використаної літератури


  1. Романюк О.Н. Комп’ютерна графіка. – Вінниця ВДТУ, 2001, 130 с.

  2. Лященко М.Я., Головань М.С. Чисельнi методи: Пiдручник. - К.: Либiдь, 1996. - 288 с.

  3. Аппроксимация методом Безье http://graphics.cs.msu.ru/grafor/gr_help/chapter_5_8.htm

  4. Геометрическое сглаживание В-сплайнами http://www.codenet.ru/progr/alg/B-Splines/

Схожі:

Стахов Артем Олександрович Формування кривих І криволінійних поверхонь. Сплайни. В задача iconКрещенецька Марина Володимирівна Формування кривих І криволінійних поверхонь. Сплайни. В задача
Тому важливу роль відіграє представлення форми в парамтричному вигляді, коли крива на площині представлена парою функцій X=X(t),...
Стахов Артем Олександрович Формування кривих І криволінійних поверхонь. Сплайни. В задача iconУдк 515. 2: 721. 011: 56 О. В. Василевський
Розглянуто питання розробки систем автоматизованого проектування просторових кривих ліній І кінематичних поверхонь на основі запропонованих...
Стахов Артем Олександрович Формування кривих І криволінійних поверхонь. Сплайни. В задача iconВекторно-параметричне моделювання ліній та поверхонь
Мета розробки. Надання студентам навичок сплайнової апроксимації початкового геометричного образу в системах комп’ютерного 3-d моделювання,...
Стахов Артем Олександрович Формування кривих І криволінійних поверхонь. Сплайни. В задача iconЗадача прогноз задача ефект ставка -1 задача ефект ставка -2 задача опт портфель графіки
По акціях корпорацій виплачується дивіденд 5 г о на одну акцію. Продажна ціна акцій на фондовій біржі становила 100 г о
Стахов Артем Олександрович Формування кривих І криволінійних поверхонь. Сплайни. В задача iconЗадача №3, 11 клас
У одну зі стінок скляної кювети заповненої водою, впаяна опукла лінза з радіусами кривизни поверхонь та. На дно кювети насипали сіль,...
Стахов Артем Олександрович Формування кривих І криволінійних поверхонь. Сплайни. В задача iconТема Якість поверхонь деталей машин
Якість обробленої поверхні деталей машин характеризується шорсткістю та хвилястістю поверхні, а також фізико-механічними властивостями...
Стахов Артем Олександрович Формування кривих І криволінійних поверхонь. Сплайни. В задача iconТема Якість поверхонь деталей машин
Якість обробленої поверхні деталей машин характеризується шорсткістю та хвилястістю поверхні, а також фізико-механічними властивостями...
Стахов Артем Олександрович Формування кривих І криволінійних поверхонь. Сплайни. В задача iconДокументи
1. /Б_знес-адм_н_стрування/Маг_стри/_льченко Олена Володимир_вна маг..doc
2.
Стахов Артем Олександрович Формування кривих І криволінійних поверхонь. Сплайни. В задача iconФормат опису модуля
Атрибути графічних примітивів, геометричні перетворення зображень, тривимірний конвеєр спостереження, криві І криволінійні поверхні,...
Стахов Артем Олександрович Формування кривих І криволінійних поверхонь. Сплайни. В задача iconМетод формування змісту інженерних дисциплін на основі використання імітаційних моделей діяльності експертів
В умовах різкого збільшення інформаційних потоків по багатьом напрямкам науки, техніки і технології та зростаючих вимог до термінів,...
Додайте кнопку на своєму сайті:
Документи


База даних захищена авторським правом ©zavantag.com 2000-2013
При копіюванні матеріалу обов'язкове зазначення активного посилання відкритою для індексації.
звернутися до адміністрації
Документи