Бранспиз Ю. А icon

Бранспиз Ю. А




Скачати 53.45 Kb.
НазваБранспиз Ю. А
Дата30.05.2012
Розмір53.45 Kb.
ТипДокументи

Бранспиз Ю.А.


Вероятностный процесс Пуассона –

универсальная математическая модель случайного изменения величин, характеризующих

различные процессы


Введение. Пусть имеется некоторый процесс, характеризующийся случайным изменением своих параметров. Требуется описать это изменение, что можно осуществить, выбрав математическую модель известного случайного процесса так, чтобы среднее математическое этого процесса и его дисперсия совпали на некотором этапе изменения с соответствующими характеристиками случайного изменения какого-либо параметра рассматриваемого реального процесса. Тогда можно утверждать, что случайный модельный процесс и реальный случайный процесс в своем развитии будут давать совпадение своих средних характеристик на различных этапах развития.

В работе показывается, что в качестве такого модельного процесса можно принят процесс Пуассона, для чего используется связь процесса Пуассона с испытаниями Бернулли.


^ Определение испытаний Бернулли. В качестве случайного события рассматриваем изменение некоторого параметра заданного случайного процесса в сторону увеличения («успех) или уменьшения («неудача») от некоторого его значения. Таким случайным событием может быть также изменение (например, увеличение) некоторой величины в заданной системе на значение менее («успех») или более («неудача») заданного. Каждое такое изменение может рассматриваться как испытание Бернулли, которое характеризуется следующими свойствами:

- в результате испытания событие может произойти или не произойти;

- вероятность события в каждом из испытаний не зависит от результата остальных испытаний и равна .

«^ А». Как следует из приведенной интерпретации схемы испытаний Бернулли, этой схемой может быть описано любое изменение в реальном процессе.

Закономерности испытаний Бернулли.

1. Вероятность того, что в испытаниях Бернулли событие произойдет раз определяется равенством


,


где – число сочетаний из по .

2. Пусть стремится к бесконечности и . Пусть также имеет место предел . Тогда для любого вероятность получить «успехов» в испытаниях схемы Бернулли с вероятностью успеха стремится к величине


.


То есть, имеет место предельный переход


. (1)


Испытания Бернулли как процесс Пуассона.

1. Определение процесса Пуассона.

Пусть вероятность того, что в интервале времени () произойдет изменение состояния равна .

Тогда вероятность того, что в момент времени система находится в состоянии , равна


. (2)


Сравнивая (1) и (2) несложно увидеть, что процесс Пуассона есть предельный случай испытаний Бернулли. Тогда, соответственно сделанному выше утверждению «А», можно утверждать, что «Б» процессом Пуассона может быть описано любое изменение в реальном процессе.

2. Если , то получаем универсальный “процесс рождения и гибели”, которым, соответствующим подбором вида зависимости , можно описать любой случайный процесс.


^ Уравнение процесса Пуассона для случайного изменения

некоторой величины .

1. Уравнение Чепмена-Колмогорова для изменения значения параметра .

Пусть: значение параметра в момент времени t равно ; – вероятность увеличения значения параметра; – вероятность уменьшения значения параметра.

Тогда вероятность того, что значение параметра в момент времени будет равно определиться равенством




, (3)


которое является для рассматриваемого случая изменения значения параметра уравнением Чепмена-Колмогорова (уравнение полной вероятности).

2. Преобразование уравнения Чепмена-Колмогорова.

Применяя к слагаемым уравнения (3) разложения в ряд Тейлора получим





. (4)

И справа и слева в (4) – бесконечное число слагаемых, что не позволяет осуществить непосредственное решение этого уравнения.

3. ^ Конкретизация вида уравнения для плотности вероятности изменения значения параметра.

Условие для интервала времени наблюдения за изменением параметра :


.


Тогда вместо (4) можно записать уравнение вида


, (5)


в котором уже нет бесконечного числа слагаемых слева, но справа еще имеем бесконечное число слагаемых

Ограничение числа слагаемых в правой части уравнения (5) связано с установлением взаимосвязи между характеристиками изменения параметра : и .

Для установления вида указанной взаимосвязи учтем, что порядок малости определяет порядок малости . Учтем так же, как это следует из формы записи (5), что порядок малости не может превышать порядок малости ().

4. Первый способ конкретизации.

При имеем


,


что дает вместо (5) следующее уравнение


, (6)


представляющее собой уравнение для изменения параметра в процессе, соответствующем процессу Пуассона.


5. ^ Второй способ конкретизации.

При имеем


,


что дает вместо (5)


. (7)


Примем, что выполняется соотношение . Кроме того, примем, что . Тогда, обозначив




и

,


вместо (7) можно записать уравнение


, (8)


известное как уравнение Эйнштейна-Смолуховского, или уравнение диффузии с дрейфом.

Таким образом случайный процесс, описываемый уравнением диффузии с дрейфом (дифференциальное уравнение второго порядка) может быть описан и дифференциальным уравнением (6) первого порядка (процесс Пуассона), которое, с учетом обозначения , может быть переписано к виду


. (9)


Этим подтверждается универсальность процесса Пуассона (возможность описывать им любой случайный процесс).

Отметим, что такая возможность заключается в возможности соответствующим подбором соотношений параметров, характеризующих два указанных способа описания случайного изменения параметра , добиться, чтобы средние и дисперсии этих способов были одинаковы.


Изложенное можно рассматривать как методологическую основу для дальнейшего развития теоретического обоснования универсальности процесса Пуассона и применения его для моделирования конкретных процессов типа “процессы рождения и гибели”.

Схожі:

Бранспиз Ю. А iconБранспиз Ю. А. Восточноукраинский национальный университет имени Владимира Даля
Конкретизация вида уравнения для плотности вероятности изменения значения параметра
Бранспиз Ю. А iconА., Бранспиз Е. В. Учет развития технических наук в преподавании инженерных дисциплин постановка проблемы
В работе рассматривается общая для обоих случаев проблема качественной передачи и освоения в процессе обучения в высшей школе инженерно-технических...
Додайте кнопку на своєму сайті:
Документи


База даних захищена авторським правом ©zavantag.com 2000-2013
При копіюванні матеріалу обов'язкове зазначення активного посилання відкритою для індексації.
звернутися до адміністрації
Документи