Частина друга кінематика
Скачати 0.57 Mb.
|
|
ЧАСТИНА ДРУГА КІНЕМАТИКА Кінематикою називають розділ механіки, в якому вивчаються геометричні властивості руху тіл без урахування їх інертності (маси) і діючих на них сил. Вона умовно поділяється на два розділи: 1) кінематика точки, тобто тіла, розмірами якого можна знехтувати і положення якого можна описати як положення геометричної точки; 2) кінематика твердого тіла. 4. КІНЕМАТИКА ТОЧКИ Рух точки характеризується законом, траєкторією, швидкістю і прискоренням. Закон руху точки визначає залежність між довільним положенням рухомої точки в просторі й часі. Лінія, яку описує точка при своєму русі, називається траєкторією. Якщо траєкторія точки є пряма лінія, то рух точки називається прямолінійним, якщо траєкторія точки крива, то – криволінійним. Рух точки відносно вибраної системи відліку вважається заданим, якщо відомо, за допомогою якого способу можна визначити положення точки в будь-який момент часу. Основними кінематичними характеристиками руху точки є її положення, швидкість і прискорення. Основне завдання кінематики точки полягає в знаходженні способів задання її положення та методів визначення швидкості й прискорення. Рух точки можна визначити трьома способами: векторним, координатним і природнім. ^ 4.1.1. Векторний спосіб Положення точки М визначається за допомогою радіус-вектора  , проведеного з деякої нерухомої точки О в дану точку М. При русі радіус-вектор змінюється за величиною і напрямком. Кожному моменту часу t відповідає певне значення (рис. 4.1).  називається кінематичним рівнянням руху точки у векторній формі, а також рівнянням траєкторії точки у векторній формі. Рис. 4.1 Швидкість точки дорівнює векторній похідній від радіус-вектора точки (  ) за часом:  і завжди спрямована за дотичною до траєкторії руху точки.Прискорення точки дорівнює другій похідній від вектора її швидкості за часом  .Прискоренням точки називають міру зміни швидкості точки за часом. Прискорення точки  завжди спрямоване в бік угнутості траєкторії її руху.Закон руху точки вважається відомим, якщо задані умови, які дозволяють визначити положення точки в будь-який момент часу. (Будь-який вектор повністю визначається одним з двох способів: а) проекціями вектора на координати осі; б) модулем вектора і його спрямованістю у просторі). ^ Радіус-вектор точки М дорівнює (рис. 4.1)  , де i, j, k – орти осей  .Тобто  ,  ,  і  .Проекції радіус-вектора на осі - це декартові координати цієї точки.Кінематичні характеристики точки при координатному способі задання руху При русі матеріальної точки М у просторі вводять систему координат  . Рух точки задається трьома функціями, які називають рухом точки в просторовому випадку: ,  ,  .Проекції вектора швидкості на координатні осі знаходять за формулами  ,  ,  ,а вектора прискорення  ,  ,  За цими формулами можна обчислити: координати точки, проекції швидкостей і прискорення у будь-який заданий момент часу. Проте, графічний спосіб у цьому випадку незручний і мало наочний, дозволяє приблизно знаходити кількісну характеристику векторів швидкості та прискорення. Точне значення цих характеристик можна отримати аналітичним методом, який дозволяє обчислити модуль і спрямовуючи косинуси векторів швидкості і прискорення.  , , ; ; , відповідні кути між вектором швидкості  і відповідною віссю.  модуль прискорення точки, проекції вектора прискорення на вісі . ; ; , відповідні кути між вектором прискорення  і відповідною віссю. дотичне прискорення, що характеризує зміну швидкості за величиною і завжди спрямоване вздовж дотичної до траєкторії в точці.  - нормальне прискорення, яке напрямлене в бік угнутості траєкторії до центра кривизни і характеризує зміну швидкості за напрямком. - радіус кривизни траєкторії в даній точці.У випадку плоскої траєкторії одне з складових відсутнє. Приклад. Нехай закон руху точки описаний рівнянням:  (м), (м).Тоді:  , ; .Нехай  :а)  ,  ,   ;  ;  ;  , (рис. 4.2,а);б)   (рис. 4.2,б), , , .Траєкторію можна побудувати графічно по точках, змінюючи за якимось кроком час t, і обчислюючи для кожного t координати х і у точок, що належать траєкторії. Більш зручно, виключаючи параметр t, отримати рівняння траєкторії у формі:  , чи  . У нашому прикладі  , звідси  - рівняння параболи (рис. 4.2).
Рис. 4.2 Розмітка траєкторії полягає у встановленні початку відліку. Масштаб і додатний напрямок можуть обиратися довільно. Звичайно рух точки починається у деякий заданий момент часу  (частіш за все відсутність будь-яких додаткових міркувань покладає  ).Можливі й ненулеві значення . Тоді при визначають положення точки  з координатами  і  - рух матеріальної точки тепер починається з початку відліку.У розглянутому прикладі:  ,  (точка рухається по верхній вітці параболи).Якщо точка рухається вздовж траєкторії в постійному напрямку, то природно цей напрямок вважати додатнім. Масштаб уздовж траєкторії можна обрати таким же, що і уздовж вихідних координатних осей Ох і Оу. ^ Якщо траєкторія руху відома наперед (наприклад, траєкторія руху потягу, трамвая, тролейбуса), то для визначення закону її руху достатньо задати початок і напрям руху. Тому одну з точок на траєкторії (рис. 4.3) беруть за початок відліку дугових координат, оскільки положення рухомої точки М визначається її відстанню S, яка відлічується по дузі траєкторії від вибраної точки відліку.Отже  - закон руху точки по траєкторії. Функція має бути однозначною, неперервною і диференційованою. Рис. 4.3 Модуль швидкості визначається за формулою:  (вектор спрямований за дотичною  до траєкторії у бік руху точки, а прискорення розкладається на два взаємно-перпендикулярних вектори  і  , модулі яких дорівнюють , ,де  - радіус кривизни траєкторії в точці.Якщо  , то вектор співпадає з напрямом вектора швидкості або спрямований у бік, протилежний швидкості, якщо  .Вектор - завжди спрямований по головній нормалі  до траєкторії точки у бік угнутості кривої, тобто по (рис. 4.4): ,де орт дотичної;  орт нормалі.Модуль прискорення  . Рис. 4.4 Для переходу від координатного до натурального способу задання руху точки необхідно знайти траєкторію точки і розмітити її, знайти закон руху точки по траєкторії. Розмітка дозволяє задати положення точки на траєкторії, її відстань  уздовж траєкторії від початку відліку: .Для знаходження закону можна визначити  , і виходячи з  .Постійну інтегрування «С» визначають з початкових умов. ^ Розрізняють окремі випадки руху точки: Прямолінійний рух: Якщо під час руху точки нормальне прискорення  , то рух точки є прямолінійним: якщо  ;  , тобто траєкторія є пряма (рис 4.5). Рис. 4.5 У цьому разі повне прискорення дорівнює дотичному;  .Якщо при криволінійному русі точки в даний момент часу нормальне прискорення дорівнює нулю ( ), то точка в цей момент часу знаходиться в точці перегину траєкторії.^ Якщо під час руху точки її прискорення  , то рух є рівномірним і прямолінійним, швидкість не змінюється ні за величиною ( ), ні за напрямком (), тобто  , .Рівномірний криволінійний рух. Якщо під час руху точки дотичне прискорення , то проекція швидкості  не змінюється,  , , і точка рухається рівномірно по кривій, а повне прискорення дорівнює нормальному  (рис. 4.6):   Рис. 4.6 Рівнозмінний криволінійний рух. Якщо під час руху точки по деякій кривій її дотичне прискорення буде постійним за величиною (  ), то рух точки називається рівнозмінним криволінійним рухом (рис. 4.7).
Рис. 4.7 Якщо прискорення збігається з напрямком швидкості  , то рух точки називається рівноприскореним, якщо напрямлено у бік, протилежний швидкості - рівносповільним.У цьому випадку  ,  де  і  визначається з початкових умов, тобто при  , - початкова швидкість,- початкова координата.Методичні поради для виконання завдань з кінематики точки
Запитання для самоконтролю
^ У кінематиці, як і в статиці, всі тіла визнаються абсолютно твердими. Основні завдання кінематики твердого тіла полягають: 1) у знаходженні способів задання руху твердого тіла в цілому та його кінематичних характеристик; 2) у визначенні руху кожної точки твердого тіла окремо. Залежно від способів задання руху тіла (від виду рівняння, однозначно визначаючого положення тіла в обраній системі відліку в будь-який момент часу) розрізняються п'ять видів руху твердого тіла: поступальний, обертальний, плоский (плоскопаралельний), сферичний, загальний випадок руху. ^ Поступальним називають такий рух твердого тіла, при якому будь-яка пряма АВ, що проведена в тілі, залишається під час руху паралельною до свого первісного положення.  Рис. 5.1 При поступальному русі тіла з положення І в положення ІІ   (тверде тіло) (рис. 5.1): .Швидкості й прискорення усіх точок тіла при поступальному русі є однаковими. Траєкторії також однакові, але паралельно зміщені. Закон руху задається законом руху будь-якої точки. Швидкість  і прискорення  вивчаються так само, як і для ізольованої точки. Таким чином, вивчення поступального руху твердого тіла зводиться до вивчення руху будь-якої його точки, тобто до задачі кінематики точки.^ Обертальним рухом твердого тіла називають такий рух тіла (рис. 5.2), при якому є пряма, жорстко зв’язана з тілом (називають віссю обертання), що залишається увесь час нерухомою.  Рис. 5.2 При обертанні твердого тіла навколо осі Z його положення визначається кутом повороту  . Кут вважається додатним, якщо перехід від площини І, нерухомо фіксованої у просторі, до площини ІІ, незмінно зв’язаної з тілом, відбувається проти руху годинникової стрілки, а якщо за ходом годинникової стрілки – від’ємним. Закон руху тіла  називається кінематичним рівнянням обертального руху тіла навколо нерухомої осі.Головні кінематичні характеристики обертального руху твердого тіла: кут повороту , кутова швидкість  , кутове прискорення у даний момент часу  .Отже, кутова швидкість дорівнює першій похідній за часом від кута повороту . У техніці кутову швидкість часто задають числом n обертів за хвилину. Зв’язок між  і n визначається формулою  .Якщо при обертанні тіла кутова швидкість є сталою  , то обертання тіла називається рівномірним. При цьому кут повороту змінюється пропорційно часу:  ,де  початковий кут повороту.Це рівняння називається рівнянням рівномірного обертання тіла навколо нерухомої осі. Кутове прискорення тіла  характеризує швидкість зміни кутової швидкості за часом.Кутове прискорення в даний момент часу дорівнює першій похідній за часом від кутової швидкості або другій похідній за часом від кута повороту.Кутову швидкість і кутове прискорення можна зобразити у вигляді векторів  і  (рис. 5.2).Вектором називають вектор, який чисельно дорівнює абсолютному значенню похідній кута повороту за часом:  і спрямований уздовж осі обертання у той бік, звідки обертання тіла видно таким, що відбувається проти годинникової стрілки.Вектор  .Якщо напрямок  співпадає з напрямком вектора , то обертання прискорене і протилежне при сповільненому русі. Рис. 5.3 Траєкторією будь-якої точки М тіла, яке обертається, є коло з центром С на осі обертання (рис. 5.3). Швидкість  будь-якої точки М тіла, яке обертається, спрямована перпендикулярно до прямої, яка з’єднує її з віссю обертання, у бік обертання тіла і за модулем дорівнює ,де h – відстань від точки М до осі обертання, або радіус МС кола, яке описує точка М. Прискорення точки М розкладається на тангенціальну (обертальну) (  ) і нормальну (доосьову)  складові, які за модулем дорівнюють ;  ;  .Відхилення вектора повного прискорення  від радіуса, описуваного точкою кола, визначається кутом  : .Вектор  спрямований за дотичною у бік (обертання) руху при прискореному обертанні тіла і в протилежний – при сповільненому.  спрямовано за радіусом МС до осі обертання, тобто у бік угнутості траєкторії точки М.^ На практиці зустрічається чотири групи задач з перетворення найпростіших рухів твердого тіла: 1. Перетворення одного поступального руху в інший поступальний рух. Приклади такого перетворення дають блочні механізми (рис. 5.4):
|
а
б
Схожі:
 | 2. кінематика кінематика Кінематика розділ теоретичної механіки, в якому вивчається рух тіл з геометричної точки зору, тобто без урахування їх маси та сил,... | | Документи 1. /Частина 1/101.pdf 2. /Частина 1/107.pdf |
| Документи 1. /Частина 2/10.pdf 2. /Частина 2/100.pdf | | Назва модуля: Фізика. Ч код модуля: кзф 6001 с тип модуля Кінематика І динаміка поступального руху твердого тіла. Кінематика І динаміка обертального руху твердого тіла. Механічні коливання... |
| Тип модуля: обов’язковий. Семестр: Обсяг модуля «Опір матеріалів (частина І)», а також такі розділи інших дисциплін. З вищої математики: диференціальне та інтегральне числення,... | | Частина третя. Історія української культури Українська культура після татаро-монгольської навали (друга половина ХIII – Xvст.) |
| Лекція Театральна система К. С. Станіславського (4 год.) Перша частина системи є наукою про театр, розділ науки про акторське мистецтво. Друга частина системи – яким повинен бути актор.... | | Міністерство освіти І науки україни Перша частина складається з трьох розділів: хімія вмс, вмс в природі І вмс в діяльності людини. Друга частина складається з чотирьох... |
| Частина друга. Історія світової культури Розвиток матеріальної культури та еволюція мистецтва у палеоліті, мезоліті, неоліті | | Міністерство освіти І науки, молоді та спорту україни харківська національна академія міського господарства Методичні вказівки та контрольні роботи з вищої математики (для студентів заочної форми навчання всіх спеціальностей). Частина друга.... |