Скачати 0.57 Mb.
|
ЧАСТИНА ДРУГА КІНЕМАТИКА Кінематикою називають розділ механіки, в якому вивчаються геометричні властивості руху тіл без урахування їх інертності (маси) і діючих на них сил. Вона умовно поділяється на два розділи: 1) кінематика точки, тобто тіла, розмірами якого можна знехтувати і положення якого можна описати як положення геометричної точки; 2) кінематика твердого тіла. 4. КІНЕМАТИКА ТОЧКИ Рух точки характеризується законом, траєкторією, швидкістю і прискоренням. Закон руху точки визначає залежність між довільним положенням рухомої точки в просторі й часі. Лінія, яку описує точка при своєму русі, називається траєкторією. Якщо траєкторія точки є пряма лінія, то рух точки називається прямолінійним, якщо траєкторія точки крива, то – криволінійним. Рух точки відносно вибраної системи відліку вважається заданим, якщо відомо, за допомогою якого способу можна визначити положення точки в будь-який момент часу. Основними кінематичними характеристиками руху точки є її положення, швидкість і прискорення. Основне завдання кінематики точки полягає в знаходженні способів задання її положення та методів визначення швидкості й прискорення. Рух точки можна визначити трьома способами: векторним, координатним і природнім. ^ 4.1.1. Векторний спосіб Положення точки М визначається за допомогою радіус-вектора ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Рис. 4.1 Швидкість точки дорівнює векторній похідній від радіус-вектора точки ( ![]() ![]() Прискорення точки дорівнює другій похідній від вектора її швидкості за часом ![]() Прискоренням точки називають міру зміни швидкості точки за часом. Прискорення точки ![]() Закон руху точки вважається відомим, якщо задані умови, які дозволяють визначити положення точки в будь-який момент часу. (Будь-який вектор повністю визначається одним з двох способів: а) проекціями вектора на координати осі; б) модулем вектора і його спрямованістю у просторі). ^ Радіус-вектор точки М дорівнює (рис. 4.1) ![]() ![]() Тобто ![]() ![]() ![]() ![]() Проекції радіус-вектора на осі ![]() Кінематичні характеристики точки при координатному способі задання руху При русі матеріальної точки М у просторі вводять систему координат ![]() ![]() ![]() ![]() Проекції вектора швидкості на координатні осі знаходять за формулами ![]() ![]() ![]() а вектора прискорення ![]() ![]() ![]() За цими формулами можна обчислити: координати точки, проекції швидкостей і прискорення у будь-який заданий момент часу. Проте, графічний спосіб у цьому випадку незручний і мало наочний, дозволяє приблизно знаходити кількісну характеристику векторів швидкості та прискорення. Точне значення цих характеристик можна отримати аналітичним методом, який дозволяє обчислити модуль і спрямовуючи косинуси векторів швидкості і прискорення. ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() У випадку плоскої траєкторії одне з складових відсутнє. Приклад. Нехай закон руху точки описаний рівнянням: ![]() ![]() Тоді: ![]() ![]() ![]() Нехай ![]() а) ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() б) ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Траєкторію можна побудувати графічно по точках, змінюючи за якимось кроком час t, і обчислюючи для кожного t координати х і у точок, що належать траєкторії. Більш зручно, виключаючи параметр t, отримати рівняння траєкторії у формі: ![]() ![]() ![]() ![]()
Рис. 4.2 Розмітка траєкторії полягає у встановленні початку відліку. Масштаб і додатний напрямок можуть обиратися довільно. Звичайно рух точки починається у деякий заданий момент часу ![]() ![]() Можливі й ненулеві значення ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() У розглянутому прикладі: ![]() ![]() Якщо точка рухається вздовж траєкторії в постійному напрямку, то природно цей напрямок вважати додатнім. Масштаб уздовж траєкторії можна обрати таким же, що і уздовж вихідних координатних осей Ох і Оу. ^ Якщо траєкторія руху відома наперед (наприклад, траєкторія руху потягу, трамвая, тролейбуса), то для визначення закону її руху достатньо задати початок і напрям руху. Тому одну з точок ![]() Отже ![]() ![]() ![]() Рис. 4.3 Модуль швидкості визначається за формулою: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() де ![]() Якщо ![]() ![]() ![]() ![]() Вектор ![]() ![]() ![]() ![]() де ![]() ![]() Модуль прискорення ![]() ![]() Рис. 4.4 Для переходу від координатного до натурального способу задання руху точки необхідно знайти траєкторію точки і розмітити її, знайти закон руху точки по траєкторії. Розмітка дозволяє задати положення точки на траєкторії, її відстань ![]() ![]() Для знаходження закону ![]() ![]() ![]() Постійну інтегрування «С» визначають з початкових умов. ^ Розрізняють окремі випадки руху точки: Прямолінійний рух: Якщо під час руху точки нормальне прискорення ![]() ![]() ![]() ![]() Рис. 4.5 У цьому разі повне прискорення дорівнює дотичному; ![]() Якщо при криволінійному русі точки в даний момент часу нормальне прискорення дорівнює нулю ( ![]() ^ Якщо під час руху точки її прискорення ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Рівномірний криволінійний рух. Якщо під час руху точки дотичне прискорення ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Рис. 4.6 Рівнозмінний криволінійний рух. Якщо під час руху точки по деякій кривій її дотичне прискорення буде постійним за величиною ( ![]()
Рис. 4.7 Якщо прискорення ![]() ![]() ![]() ![]() У цьому випадку ![]() ![]() де ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Методичні поради для виконання завдань з кінематики точки
Запитання для самоконтролю
^ У кінематиці, як і в статиці, всі тіла визнаються абсолютно твердими. Основні завдання кінематики твердого тіла полягають: 1) у знаходженні способів задання руху твердого тіла в цілому та його кінематичних характеристик; 2) у визначенні руху кожної точки твердого тіла окремо. Залежно від способів задання руху тіла (від виду рівняння, однозначно визначаючого положення тіла в обраній системі відліку в будь-який момент часу) розрізняються п'ять видів руху твердого тіла: поступальний, обертальний, плоский (плоскопаралельний), сферичний, загальний випадок руху. ^ Поступальним називають такий рух твердого тіла, при якому будь-яка пряма АВ, що проведена в тілі, залишається під час руху паралельною до свого первісного положення. ![]() Рис. 5.1 При поступальному русі тіла з положення І в положення ІІ ![]() ![]() ![]() Швидкості й прискорення усіх точок тіла при поступальному русі є однаковими. Траєкторії також однакові, але паралельно зміщені. Закон руху задається законом руху будь-якої точки. Швидкість ![]() ![]() ^ Обертальним рухом твердого тіла називають такий рух тіла (рис. 5.2), при якому є пряма, жорстко зв’язана з тілом (називають віссю обертання), що залишається увесь час нерухомою. ![]() Рис. 5.2 При обертанні твердого тіла навколо осі Z його положення визначається кутом повороту ![]() ![]() Закон руху тіла ![]() Головні кінематичні характеристики обертального руху твердого тіла: кут повороту ![]() ![]() ![]() Отже, кутова швидкість дорівнює першій похідній за часом від кута повороту ![]() ![]() ![]() Якщо при обертанні тіла кутова швидкість є сталою ![]() ![]() де ![]() Це рівняння називається рівнянням рівномірного обертання тіла навколо нерухомої осі. Кутове прискорення тіла ![]() ![]() Кутове прискорення ![]() Кутову швидкість і кутове прискорення можна зобразити у вигляді векторів ![]() ![]() Вектором ![]() ![]() Вектор ![]() Якщо напрямок ![]() ![]() ![]() ![]() Рис. 5.3 Траєкторією будь-якої точки М тіла, яке обертається, є коло з центром С на осі обертання (рис. 5.3). Швидкість ![]() ![]() де h – відстань від точки М до осі обертання, або радіус МС кола, яке описує точка М. Прискорення точки М розкладається на тангенціальну (обертальну) ( ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Відхилення вектора повного прискорення ![]() ![]() ![]() Вектор ![]() ![]() ^ На практиці зустрічається чотири групи задач з перетворення найпростіших рухів твердого тіла: 1. Перетворення одного поступального руху в інший поступальний рух. Приклади такого перетворення дають блочні механізми (рис. 5.4):
|
![]() | 2. кінематика кінематика Кінематика розділ теоретичної механіки, в якому вивчається рух тіл з геометричної точки зору, тобто без урахування їх маси та сил,... | ![]() | Документи 1. /Частина 1/101.pdf 2. /Частина 1/107.pdf |
![]() | Документи 1. /Частина 2/10.pdf 2. /Частина 2/100.pdf | ![]() | Назва модуля: Фізика. Ч код модуля: кзф 6001 с тип модуля Кінематика І динаміка поступального руху твердого тіла. Кінематика І динаміка обертального руху твердого тіла. Механічні коливання... |
![]() | Тип модуля: обов’язковий. Семестр: Обсяг модуля «Опір матеріалів (частина І)», а також такі розділи інших дисциплін. З вищої математики: диференціальне та інтегральне числення,... | ![]() | Частина третя. Історія української культури Українська культура після татаро-монгольської навали (друга половина ХIII – Xvст.) |
![]() | Лекція Театральна система К. С. Станіславського (4 год.) Перша частина системи є наукою про театр, розділ науки про акторське мистецтво. Друга частина системи – яким повинен бути актор.... | ![]() | Міністерство освіти І науки україни Перша частина складається з трьох розділів: хімія вмс, вмс в природі І вмс в діяльності людини. Друга частина складається з чотирьох... |
![]() | Частина друга. Історія світової культури Розвиток матеріальної культури та еволюція мистецтва у палеоліті, мезоліті, неоліті | ![]() | Міністерство освіти І науки, молоді та спорту україни харківська національна академія міського господарства Методичні вказівки та контрольні роботи з вищої математики (для студентів заочної форми навчання всіх спеціальностей). Частина друга.... |