Скачати 0.57 Mb.
|
Рис. 5.9![]() Рис 5.10 Рис 5.11 ^ Рух твердого тіла у просторі називають плоскопаралельним (плоским), якщо всі точки тіла рухаються у площинах, паралельних деякій нерухомій площині (рис. 6.1).
Рис. 6.1 Плоский рух твердого тіла у просторі визначається рухом плоскої фігури S, створеної перетином тіла будь-якою площиною Q, паралельною нерухомій площині (рис. 6.1 а). Рух плоскої фігури в її площині визначається рухом незмінного відрізка прямої АВ, що належить цій площині (рис. 6.1 б). Оскільки відстань між точками А і В залишається незмінною, то з чотирьох координат точок А і В незалежними залишаються тільки три. Отже для опису плоского руху тіла потрібні три незалежні координати як функції часу. ^ Теорема Шаля ![]() Рис. 6.2 Рух плоскої фігури в її площині уявляється як неперервна послідовність миттєвих поступальних рухів (А0В0 або АВ) разом з полюсом і миттєвих обертань навколо полюса (точка А) (рис. 6.2). При цьому положення полюса А описується двома параметрами ХА і УА, а третім параметром є кут ![]() Виходячи з цього, закон руху плоскої фігури має вигляд ![]() ![]() ![]() Перші два рівняння характеризують поступальний рух фігури, при якому всі точки рухаються так само, як і полюс, а третє – обертальний рух навколо полюса. Обертальний рух навколо полюса характеризується кутовою швидкістю ![]() ![]() Кутова швидкість і кутове прискорення обертального руху фігури не залежать від вибору полюса. ^ . Рух плоскої фігури в її площині уявляється як неперервна послідовність миттєвих обертань навколо відповідних МЦО (миттєвих центрів обертань). ![]() Рис. 6.3 Миттєвим центром обертань є точка нерухомої площини, з якою у даний момент часу співпадає миттєвий центр швидкостей (МЦШ). Миттєвим центром швидкостей (полюсом Р) є така точка рухомої площини, жорстко скріпленою з фігурою, швидкість якою у даний момент часу дорівнює нулю (рис. 6.3): ![]() Миттєвий центр швидкостей є точкою перетину миттєвої осі обертань з площиною руху. ^ . Будь-який неперервний рух плоскої фігури в її площині можна одержати, якщо побудувати рухому і нерухому центроїди, жорстко з’єднати першу з них з плоскою фігурою і котити без ковзання рухому центроїду по нерухомій. Центроїдою називається геометричне місце миттєвих центрів швидкостей (МЦШ) (рис. 6.4). ![]() Рис. 6.4 При плоскопаралельному русі утворюються дві центроїди, оскільки миттєвий центр швидкостей описує одну криву в нерухомій системі координат, а другу в рухомій. Нерухома центроїда – це траєкторія миттєвого центра швидкостей на нерухомій площині, рухома центроїда – це траєкторія миттєвого центра швидкостей на рухомій площині. Рухома центроїда PN котиться без ковзання по нерухомій PL (рис. 6.4). Поняття про центроїди широко застосовується у теорії механізмів і машин при профілюванні зубчатих коліс. ^ Існують два основні методи знаходження швидкості будь-якої точки плоскої фігури в даний момент часу, тобто в даному положенні фігури, які базуються на теоремах Шаля і Ейлера-Шаля. ^ . Швидкість будь-якої точки В плоскої фігури складається зі швидкості полюса А і швидкості точки В при обертанні плоскої фігури навколо полюса А, яка перпендикулярна до АВ. ![]() ![]() Швидкість ![]() ![]() де ![]() ![]() ![]() ![]() Теорема про проекції швидкостей двох точок тіла на пряму, що проходить через ці точки. ![]() Рис. 6.5 Проекції швидкостей двох точок фігури на пряму, що проходить через ці точки, дорівнюють одна одній і спрямовані в один бік (рис. 6.5). Проекція ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ^ плоский рух уявляється як обертальний рух навколо миттєвого центра обертань, або центра швидкостей. Полюсом є миттєвий центр швидкостей (МЦШ), тобто така точка Р рухомої площини, жорстко скріпленої з фігурою, швидкість якої в певний момент часу дорівнює нулю ![]() Тоді ![]() ![]() ![]() Розподіл миттєвих швидкостей точок плоскої фігури такий, немовби фігура оберталася навколо МЦШ (точка Р). З цього маємо співвідношення ![]() Отже, відношення швидкостей двох точок дорівнює відношенню їхніх відстаней до миттєвого центра швидкостей, або ![]() ^ 1. У загальному випадку для знаходження миттєвого центра швидкостей потрібно знати лише напрям швидкостей двох точок фігури (рис. 6.6). Для цього з початку векторів швидкостей зазначених двох точок (наприклад А і В) проводимо перпендикуляри. У точці перетину цих перпендикулярів і є миттєвий центр швидкостей (точка Р). ![]() Рис. 6.6 Кутова швидкість ![]() ![]() 2. Відомі за величиною швидкості двох точок А і В фігури, які паралельні одна одній, напрямлені в один бік і перпендикулярні прямій АВ ( ![]() ![]() Рис. 6.7 МЦШ (точка Р) знаходиться в точці перетину прямої АВ і прямої, що з’єднує кінці векторів швидкостей точок А і В: ![]() ![]() 3. Якщо швидкості двох точок плоскої фігури напрямлені в різні боки і перпендикулярні до відрізка, що з’єднує ці точки, то миттєвий центр швидкостей лежить у точці перетину прямої, яка з’єднує кінці векторів швидкостей з наведеним вище відрізком (рис. 6.8). ![]() Рис. 6.8 4. Якщо швидкості двох точок плоскої фігури паралельні й рівні між собою, напрямлені в один бік, то миттєвий центр швидкості віддаляється на нескінченну велику відстань, тобто МЦШ відсутній, ![]() ![]() ![]() Рис. 6.9 Це випадок миттєво-поступального руху тіла: МЦШ ![]() ![]() 5. У разі кочення без ковзання рухомого контуру плоскої фігури по нерухомому (рис. 6.10) миттєвий центр швидкостей лежить у точці дотику цих контурів. Кутова швидкість ![]() ![]() ![]() ![]() Рис. 6.10 ^ Прискорення будь-якої точки плоскої фігури геометрично складається з прискорення полюса і прискорення точки в обертальному русі тіла навколо полюса, що складається з доцентрового (нормального) і обертального (тангенціального) прискорень (рис. 6.11).
![]()
Рис. 6.12 Таким чином, прискорення ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ^ плоского механізму
Приклад 1. Плоский механізм складається з кривошипа ОА, повзуна В, шатуна АВ (рис. 6.13). ![]() Рис. 6.13 ОА=10 см, АВ=60 см, АС=20 см. У даний момент часу кривошип ОА має кутову швидкість ![]() ![]() Для заданого положення механізму визначити швидкість і прискорення точок А, В, С, а також кутову швидкість і кутове прискорення шатуна АВ: ![]() ![]() Розв’язання. 1. Ланка ОА рухається навколо нерухомої точки О і виконує обертальний рух. Обчислимо швидкість точки А кривошипа ОА. ![]() ![]()
Миттєвий центр швидкостей шатуна АВ знаходиться у точці перетину перпендикулярів, проведених із точок А і В, до напряму їх швидкостей (точка ![]() Кутова швидкість шатуна АВ дорівнює ![]() ![]() Швидкості точок В і С відповідно дорівнюють ![]() ![]() де ![]() ![]() Вектори ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 2. Визначаємо прискорення точок плоского механізму (рис. 6.15). ![]() Рис. 6.15 Прискорення точки А ланки ОА. Прискорення точки А складається з геометричної суми обертального і доцентрового прискорень кривошипа ОА, який виконує обертальний рух: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Вектор ![]() Вектор ![]() ![]() ![]() Прискорення точки А, вектор ![]() ![]() ![]() Прискорення точок ланки АВ, що рухається плоскопаралельно, складається з геометричної суми прискорень полюса і обертального прискорення відносно полюса. За полюс приймається точка ланки АВ, прискорення якої вже відоме – точка А. ![]() Рис. 6.16 Прискорення точки В ланки АВ (рис. 6.16): ![]() або ![]() Модуль складової ![]() ![]() Вектор ![]() ![]() ![]() ![]() Повзун В рухається поступово по вертикальній прямій, уздовж якої і спрямоване прискорення точки В. Для того, щоб визначити прискорення точки ![]() ![]() Через кінець вектора ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Проектуючи векторне рівняння на вісь У, визначаємо обертальне прискорення: ![]() Знак “+” означає, що вектор ![]() Кутове прискорення ланки АВ: ![]() ![]() Визначимо прискорення точки С (рис. 6.17): ![]() де ![]() ![]() Рис. 6.17 Прискорення ![]() Прискорення ![]() Прискорення ![]() ![]() де ![]() ![]() ![]() Відповідь: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Приклад 2. Кривошипно-шатунний механізм (рис. 6.18) складається з кривошипа ОА=40 см, шатуна АВ і повзуна В. Точка С належить ланці АВ і АС=20 см. У даний момент часу, в даному положенні механізму кутова швидкість кривошипа ![]() ![]() Визначити для заданого положення механізму швидкості й прискорення точок А, В, С ланки АВ, а також її кутову швидкість ![]() ![]() ![]() Рис. 6.18 Розв’язання. 1. Ланка ОА виконує обертальний рух навколо нерухомої точки О. Тоді ![]() Вектор ![]() ![]() Повзун В виконує поступальний рух, тому напрямок швидкості точки В, яка також належить ланці ^ , відомий і спрямований уздовж спрямляючих. Шатун АВ рухається плоскопаралельно з миттєвим центром швидкості в точці Р. Точка Р є точкою перетину перпендикулярів до напрямку швидкостей у точках А і В. Кутова швидкість ланки АВ ![]() де АР=АВ=ОА, тому що ![]() Кутова швидкість ланки АВ спрямована відповідно до того, як вектор ![]() Швидкості точок В і С ланки АВ: ![]() ![]() Відповідно ![]() ![]() ![]() 2. Визнаємо прискорення точок А, В, С ланки АВ. Прискорення точки А, яка разом з ланкою ОА виконує обертальний рух, складається з геометричної суми прискорень обертального і доцентрового кривошипу ОА: ![]() де ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Припустимо, що повзун В рухається прискорено. Тоді напрямок прискорення ![]() ![]() Прискорення точки В визначається за формулою ![]() де ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Обираємо систему координат Х В У і проектуємо геометричне рівняння прискорення точки В, ![]() У: ![]() Х: ![]() У цій системі двох алгебраїчних рівнянь є два невідомі прискорення точки В ![]() ![]() Обчислюємо їх: ![]() ![]() Знак “-” у знайдених відповідях означає, що насправді вектори прискорень ![]() ![]() ![]() Кутове прискорення ланки АВ: ![]() Знак “-” означає, що кутове прискорення ланки ![]() ![]() Прискорення точки С ланки АВ визначаємо за цією ж методикою: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Геометричне рівняння з визначення ![]() У: ![]() Х: ![]() ![]() ![]() ![]() Відповідь: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Приклад 3. Плоский механізм складається з нерухомої шестерні І і рухомої шестерні ІІ радіусом r=15 см (рис. 6.19). ![]() Рис. 6.19 Шестерня ІІ рухається без ковзання по нерухомій за допомогою кривошипа ОА=40 см. У даний момент часу для заданого положення кутова швидкість кривошипа ![]() ![]() Розв’язання: 1. Шестерня ІІ рухається плоскопаралельно по нерухомій поверхні. Миттєвий центр швидкостей МЦШ знаходиться у точці дотику з нерухомою шестернею І – точці Р. Кривошип ОА рухається обертально (нерухома точка О), тому швидкість його точки А ![]() ![]() ![]() Кутова швидкість ланки АВ (шестерні ІІ) ![]() ![]() Швидкості точки В при обертанні її навколо МЦШ ![]() ![]() ![]() 2. При визначенні прискорення точки В, яка разом з шестернею ІІ рухається плоскопаралельно, за полюс обираємо точку А. Тоді ![]() Але і точка А обертається разом з кривошипом навколо нерухомої точки О. Тому ![]() Визначимо складові векторного рівняння: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Визначимо кутове прискорення шестерни ІІ ![]() ![]() Тоді ![]() ![]() ![]() ![]() Обираємо систему координат ^ . Проектуємо векторне рівняння прискорення точки В на осі і за допомогою методу проекцій визначимо прискорення точки В колеса ІІ: ![]() ![]() де ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Відповідь: ![]() ![]() Запитання для самоконтролю
^ "Кінематичний аналіз плоского механізму" Визначити для заданого положення механізму швидкість і прискорення точки В, а також кутову швидкість і кутове прискорення ланки, до якої належить точка В. Схеми механізмів наведені на рис. 6.20, 6.21, 6.22, а необхідні для розрахунку розміри і кінематичні параметри подані нижче в таблиці , де ?ОА, ?ОА - кутова швидкість і кутове прискорення кривошипа ОА для заданого положення механізму; ?і - кутова швидкість колеса І (стала); VА, аА - швидкість і прискорення точки А. Кочення коліс відбувається без ковзання.
![]() Рис. 6.20 ![]() Рис. 6.21 ![]() Рис. 6.22
Про складний рух точки говорять у тому випадку, коли точка М рухається відносно деякої системи відліку, яка, в свою чергу, рухається відносно другої системи відліку (рис. 7.1). ![]() Рис. 7.1 Розглядається рух точки М одночасно відносно двох систем відліку, одна з яких вважається умовно нерухомою ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Рух рухомої системи відліку ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Рух точки М відносно нерухомої системи відліку ![]() ![]() ![]() ^ Залежність між абсолютною, відносною і переносною швидкостями у складному русі дає теорема додавання швидкостей: ![]() Абсолютна швидкість є діагоналлю паралелограма, побудованого на векторах переносної і відносної швидкостей. Залежність між абсолютним, переносним і відносним прискоренням точки дає теорема Коріоліса про додавання прискорень: ![]() Абсолютне прискорення є геометричною сумою трьох прискорень: прискорення в переносному русі, прискорення у відносному русі і прискорення Коріоліса. Прискорення Коріоліса (поворотне) характеризує зміну відносної швидкості точки у переносному русі і переносної швидкості у відносному русі. |
![]() | 2. кінематика кінематика Кінематика розділ теоретичної механіки, в якому вивчається рух тіл з геометричної точки зору, тобто без урахування їх маси та сил,... | ![]() | Документи 1. /Частина 1/101.pdf 2. /Частина 1/107.pdf |
![]() | Документи 1. /Частина 2/10.pdf 2. /Частина 2/100.pdf | ![]() | Назва модуля: Фізика. Ч код модуля: кзф 6001 с тип модуля Кінематика І динаміка поступального руху твердого тіла. Кінематика І динаміка обертального руху твердого тіла. Механічні коливання... |
![]() | Тип модуля: обов’язковий. Семестр: Обсяг модуля «Опір матеріалів (частина І)», а також такі розділи інших дисциплін. З вищої математики: диференціальне та інтегральне числення,... | ![]() | Частина третя. Історія української культури Українська культура після татаро-монгольської навали (друга половина ХIII – Xvст.) |
![]() | Лекція Театральна система К. С. Станіславського (4 год.) Перша частина системи є наукою про театр, розділ науки про акторське мистецтво. Друга частина системи – яким повинен бути актор.... | ![]() | Міністерство освіти І науки україни Перша частина складається з трьох розділів: хімія вмс, вмс в природі І вмс в діяльності людини. Друга частина складається з чотирьох... |
![]() | Частина друга. Історія світової культури Розвиток матеріальної культури та еволюція мистецтва у палеоліті, мезоліті, неоліті | ![]() | Міністерство освіти І науки, молоді та спорту україни харківська національна академія міського господарства Методичні вказівки та контрольні роботи з вищої математики (для студентів заочної форми навчання всіх спеціальностей). Частина друга.... |