Частина друга кінематика

Назва	Частина друга кінематика
Сторінка	4/5
Дата	20.06.2012
Розмір	0.57 Mb.
Тип	Закон

Зміст

6. Плоскопаралельний рух твердого тіла
6.1. Три способи подання плоского руху
Теорема Ейлера-Шаля
Теорема Пуансо
6.2. Швидкості точок плоскої фігури
Теорема про швидкості точок плоскої фігури
АВ проти ходу годинникової стрілки навколо полюса А
За теоремою Ейлера-Шаля
Випадки знаходження миттєвого центра швидкостей та кутової швидкості плоскої фігури
6.3. Прискорення точок плоскої фігури
В до точки А, завжди спрямоване перпендикулярно до АВ
6.4 Вказівки для розв’язання задач з кінематичного аналізу
В повзуна також належить шатуну АВ
АВ, відомий і спрямований уздовж спрямляючих. Шатун АВ
ХОУ. Проектуємо векторне рівняння прискорення точки В
6.5 Завдання для роботи
Складний рух точки
М, називається переносною швидкістю точки М
7.1. Складання швидкостей та прискорень у складному русі точки

1 2 3 4 5

Рис. 5.9

Рис 5.10

Рис 5.11

^ 6. ПЛОСКОПАРАЛЕЛЬНИЙ РУХ ТВЕРДОГО ТІЛА

Рух твердого тіла у просторі називають плоскопаралельним (плоским), якщо всі точки тіла рухаються у площинах, паралельних деякій нерухомій площині (рис. 6.1).

а	б

Рис. 6.1

Плоский рух твердого тіла у просторі визначається рухом плоскої фігури S, створеної перетином тіла будь-якою площиною Q, паралельною нерухомій площині (рис. 6.1 а). Рух плоскої фігури в її площині визначається рухом незмінного відрізка прямої АВ, що належить цій площині (рис. 6.1 б).

Оскільки відстань між точками А і В залишається незмінною, то з чотирьох координат точок А і В незалежними залишаються тільки три. Отже для опису плоского руху тіла потрібні три незалежні координати як функції часу.

^ 6.1. Три способи подання плоского руху

Теорема Шаля

Рис. 6.2

Рух плоскої фігури в її площині уявляється як неперервна послідовність миттєвих поступальних рухів (А₀В₀ або АВ) разом з полюсом і миттєвих обертань навколо полюса (точка А) (рис. 6.2). При цьому положення полюса А описується двома параметрами Х_А і У_А, а третім параметром є кут

повороту тіла в площині, навколо точки полюса А.

Виходячи з цього, закон руху плоскої фігури має вигляд

.

Перші два рівняння характеризують поступальний рух фігури, при якому всі точки рухаються так само, як і полюс, а третє – обертальний рух навколо полюса.

Обертальний рух навколо полюса характеризується кутовою швидкістю

і кутовим прискоренням

.

Кутова швидкість і кутове прискорення обертального руху фігури не залежать від вибору полюса.

^ Теорема Ейлера-Шаля. Рух плоскої фігури в її площині уявляється як неперервна послідовність миттєвих обертань навколо відповідних МЦО (миттєвих центрів обертань).

Рис. 6.3

Миттєвим центром обертань є точка нерухомої площини, з якою у даний момент часу співпадає миттєвий центр швидкостей (МЦШ).

Миттєвим центром швидкостей (полюсом Р) є така точка рухомої площини, жорстко скріпленою з фігурою, швидкість якою у даний момент часу дорівнює нулю (рис. 6.3):

.

Миттєвий центр швидкостей є точкою перетину миттєвої осі обертань з площиною руху.

^ Теорема Пуансо. Будь-який неперервний рух плоскої фігури в її площині можна одержати, якщо побудувати рухому і нерухому центроїди, жорстко з’єднати першу з них з плоскою фігурою і котити без ковзання рухому центроїду по нерухомій.

Центроїдою називається геометричне місце миттєвих центрів швидкостей (МЦШ) (рис. 6.4).

Рис. 6.4

При плоскопаралельному русі утворюються дві центроїди, оскільки миттєвий центр швидкостей описує одну криву в нерухомій системі координат, а другу в рухомій.

Нерухома центроїда – це траєкторія миттєвого центра швидкостей на нерухомій площині, рухома центроїда – це траєкторія миттєвого центра швидкостей на рухомій площині.

Рухома центроїда PN котиться без ковзання по нерухомій PL (рис. 6.4).

Поняття про центроїди широко застосовується у теорії механізмів і машин при профілюванні зубчатих коліс.

^ 6.2. Швидкості точок плоскої фігури

Існують два основні методи знаходження швидкості будь-якої точки плоскої фігури в даний момент часу, тобто в даному положенні фігури, які базуються на теоремах Шаля і Ейлера-Шаля.

^ Теорема про швидкості точок плоскої фігури.

Швидкість будь-якої точки В плоскої фігури складається зі швидкості полюса А і швидкості точки В при обертанні плоскої фігури навколо полюса А, яка перпендикулярна до АВ.

;

.

Швидкість

за величиною дорівнює

,

де

- алгебраїчна кутова швидкість плоскої фігури, що не залежить від вибору полюса. Вектор

спрямований перпендикулярно до ^ АВ проти ходу годинникової стрілки навколо полюса А, якщо

, і навпаки, якщо

.

Теорема про проекції швидкостей двох точок тіла на пряму, що проходить через ці точки.

Рис. 6.5

Проекції швидкостей двох точок фігури на пряму, що проходить через ці точки, дорівнюють одна одній і спрямовані в один бік (рис. 6.5).

Проекція

на АВ дорівнює проекції

на АВ, тобто

., де

- кути між

і напрямком прямої АВ відповідно.

^ За теоремою Ейлера-Шаля плоский рух уявляється як обертальний рух навколо миттєвого центра обертань, або центра швидкостей.

Полюсом є миттєвий центр швидкостей (МЦШ), тобто така точка Р рухомої площини, жорстко скріпленої з фігурою, швидкість якої в певний момент часу дорівнює нулю

.

Тоді

, тобто швидкість будь-якої точки фігури дорівнює за величиною добутку модуля кутової швидкості фігури на відстань від цієї точки до МЦШ та спрямована перпендикулярно до цього відрізку

проти ходу годинникової стрілки, якщо

і навпаки.

Розподіл миттєвих швидкостей точок плоскої фігури такий, немовби фігура оберталася навколо МЦШ (точка Р). З цього маємо співвідношення

.

Отже, відношення швидкостей двох точок дорівнює відношенню їхніх відстаней до миттєвого центра швидкостей, або

.

^ Випадки знаходження миттєвого центра швидкостей та кутової швидкості плоскої фігури

1. У загальному випадку для знаходження миттєвого центра швидкостей потрібно знати лише напрям швидкостей двох точок фігури (рис. 6.6). Для цього з початку векторів швидкостей зазначених двох точок (наприклад А і В) проводимо перпендикуляри. У точці перетину цих перпендикулярів і є миттєвий центр швидкостей (точка Р).

Рис. 6.6

Кутова швидкість

плоскої фігури у кожний момент часу дорівнює відношенню швидкості будь-якої точки фігури до її відстані до МЦШ:

2. Відомі за величиною швидкості двох точок А і В фігури, які паралельні одна одній, напрямлені в один бік і перпендикулярні прямій АВ (

) (рис. 6.7).

Рис. 6.7

МЦШ (точка Р) знаходиться в точці перетину прямої АВ і прямої, що з’єднує кінці векторів швидкостей точок А і В:

;

.

3. Якщо швидкості двох точок плоскої фігури напрямлені в різні боки і перпендикулярні до відрізка, що з’єднує ці точки, то миттєвий центр швидкостей лежить у точці перетину прямої, яка з’єднує кінці векторів швидкостей з наведеним вище відрізком (рис. 6.8).

Рис. 6.8

4. Якщо швидкості двох точок плоскої фігури паралельні й рівні між собою, напрямлені в один бік, то миттєвий центр швидкості віддаляється на нескінченну велику відстань, тобто МЦШ відсутній,

, і миттєві швидкості всіх точок фігури геометрично рівні між собою (рис. 6.9).

…

Рис. 6.9

Це випадок миттєво-поступального руху тіла: МЦШ

;

.

5. У разі кочення без ковзання рухомого контуру плоскої фігури по нерухомому (рис. 6.10) миттєвий центр швидкостей лежить у точці дотику цих контурів. Кутова швидкість

;

Рис. 6.10

^ 6.3. Прискорення точок плоскої фігури

Прискорення будь-якої точки плоскої фігури геометрично складається з прискорення полюса і прискорення точки в обертальному русі тіла навколо полюса, що складається з доцентрового (нормального) і обертального (тангенціального) прискорень (рис. 6.11).

Рис. 6.11

,

де

спрямовано уздовж АВ від точки ^ В до точки А,

завжди спрямоване перпендикулярно до АВ, що з’єднує точку В з полюсом А (рис. 6.12), у бік кутового прискорення

Рис. 6.12

Таким чином, прискорення

будь-якої точки В плоскої фігури може бути знайдено як геометрична сума трьох прискорень: прискорення полюса

, доцентрового прискорення

і обертального прискорення

точки В навколо полюса А. Вектор

має напрямок під кутом

до прямої ВА. При цьому

;

.

^ 6.4 Вказівки для розв’язання задач з кінематичного аналізу

плоского механізму

Послідовно розглянути і визначити рух окремих ланок механізму.
Розрахунок почати з ланки, рух якої є заданим. Якщо ланка виконує обертальний рух (у неї є нерухома точка), то для визначення швидкостей і прискорень використовувати формули обертального руху. Якщо ланка виконує плоскопаралельний рух (немає нерухомої точки), для визначення швидкості й прискорення використати формули плоского руху.
Побудувати МЦШ всіх ланок і знайти величини та напрямки швидкостей усіх вказаних точок на механізмі.
Визначити модулі й знаки кутових швидкостей усіх ланок.
Визначити величини й напрямок прискорень усіх вказаних точок, а також величини і знаки кутових прискорень всіх ланок.

Приклад 1. Плоский механізм складається з кривошипа ОА, повзуна В, шатуна АВ (рис. 6.13).

Рис. 6.13

ОА=10 см, АВ=60 см, АС=20 см.

У даний момент часу кривошип ОА має кутову швидкість

і кутове прискорення

.

Для заданого положення механізму визначити швидкість і прискорення точок А, В, С, а також кутову швидкість і кутове прискорення шатуна АВ:

;

.

Розв’язання. 1. Ланка ОА рухається навколо нерухомої точки О і виконує обертальний рух.

Обчислимо швидкість точки А кривошипа ОА.

і спрямована у бік обертання ланки ОА, за “стрілкою”

(рис. 6.14).

Рис. 6.14

Вектор швидкості точки А перпендикулярний до кривошипа ОА

.

Повзун В рухається поступально. Точка В належить повзуну, тому лінія дії її швидкості

паралельна напряму повзуна.

Точка ^ В повзуна також належить шатуну АВ, який рухається плоскопаралельно.

Миттєвий центр швидкостей шатуна АВ знаходиться у точці перетину перпендикулярів, проведених із точок А і В, до напряму їх швидкостей (точка

).

Кутова швидкість шатуна АВ дорівнює

і спрямована відповідно до того, як вектор

обертається навколо МЦШ.

Швидкості точок В і С відповідно дорівнюють

,

де

.

Вектори

спрямовані перпендикулярно до відрізків

відповідно і напрямлені згідно зі “стрілкою”

.

2. Визначаємо прискорення точок плоского механізму (рис. 6.15).

Рис. 6.15

Прискорення точки А ланки ОА.

Прискорення точки А складається з геометричної суми обертального і доцентрового прискорень кривошипа ОА, який виконує обертальний рух:

;

.

Вектор

спрямований уздовж ОА від А до О.

Вектор

і спрямований відповідно до напрямку кутового прискорення

, згідно зі “стрілкою”

.

Прискорення точки А, вектор

спрямований уздовж діагоналі паралелограма, побудованого на векторах

.

Прискорення точок ланки АВ, що рухається плоскопаралельно, складається з геометричної суми прискорень полюса і обертального прискорення відносно полюса. За полюс приймається точка ланки АВ, прискорення якої вже відоме – точка А.

Рис. 6.16

Прискорення точки В ланки АВ (рис. 6.16):

або

.

Модуль складової

обчислюємо за формулою

.

Вектор

спрямований від В до А, а обертальне прискорення перпендикулярно до нього

. Модуль складової

обчислити поки ще не можна, тому що невідоме

, кутове прискорення ланки АВ.

Повзун В рухається поступово по вертикальній прямій, уздовж якої і спрямоване прискорення точки В. Для того, щоб визначити прискорення точки

, відкладаємо послідовно з точки В вектори

, які визначені за напрямком і модулем.

Через кінець вектора

проводимо пряму лінію, перпендикулярну до вектора

, по якій має бути спрямований вектор

, до перехрещення з прямою, по якій спрямоване прискорення

. Прискорення

визначається як замикаючий вектор многокутника прискорень. Обираємо осі координат ХУ. Знайдемо прискорення точки В проектуванням векторного рівняння на вісь Х:

.

Проектуючи векторне рівняння на вісь У, визначаємо обертальне прискорення:

.

Знак “+” означає, що вектор

співпадає з від’ємним напрямком осі У.

Кутове прискорення ланки АВ: і спрямоване так, як вектор

обертається навколо полюса А.

Визначимо прискорення точки С (рис. 6.17):

,

де

Рис. 6.17

Прискорення

спрямоване вздовж АС від С до А.

Прискорення

.

Прискорення

знайдемо методом проекцій.

,

де

.

Відповідь:

;

.

Приклад 2. Кривошипно-шатунний механізм (рис. 6.18) складається з кривошипа ОА=40 см, шатуна АВ і повзуна В. Точка С належить ланці АВ і АС=20 см.

У даний момент часу, в даному положенні механізму кутова швидкість кривошипа

, кутове прискорення

.

Визначити для заданого положення механізму швидкості й прискорення точок А, В, С ланки АВ, а також її кутову швидкість

і кутове прискорення

Рис. 6.18

Розв’язання.

1. Ланка ОА виконує обертальний рух навколо нерухомої точки О. Тоді

.

Вектор

і спрямований у бік обертання ОА, у бік обертання

.

Повзун В виконує поступальний рух, тому напрямок швидкості точки В, яка також належить ланці ^ АВ, відомий і спрямований уздовж спрямляючих.

Шатун АВ рухається плоскопаралельно з миттєвим центром швидкості в точці Р. Точка Р є точкою перетину перпендикулярів до напрямку швидкостей у точках А і В.

Кутова швидкість ланки АВ

,

де АР=АВ=ОА, тому що

/

Кутова швидкість ланки АВ спрямована відповідно до того, як вектор

обертається навколо МЦШ.

Швидкості точок В і С ланки АВ:

.

Відповідно

і спрямовані у бік обертання

.

2. Визнаємо прискорення точок А, В, С ланки АВ.

Прискорення точки А, яка разом з ланкою ОА виконує обертальний рух, складається з геометричної суми прискорень обертального і доцентрового кривошипу ОА:

,

де

доцентрове прискорення точки А, спрямоване уздовж АО від А до О,

обертальне прискорення точки А, спрямоване відповідно до напрямку кутового прискорення

і вектор

;

.

Припустимо, що повзун В рухається прискорено. Тоді напрямок прискорення

співпадає з напрямком швидкості

. Визначаємо полюсом точку А.

Прискорення точки В визначається за формулою

,

де

доцентрове прискорення точки В відносно точки А, спрямоване від точки В до точки А, уздовж АВ

обертальне прискорення обертального руху точки В відносно точки А, спрямоване перпендикулярно до АВ і

, відоме за напрямком. При цьому припускаємо, що кутове прискорення ланки АВ

співпадає за напрямком обертання з кутовою швидкістю

.

Обираємо систему координат Х В У і проектуємо геометричне рівняння прискорення точки В,

на осі координат:

У:

,

Х:

.

У цій системі двох алгебраїчних рівнянь є два невідомі прискорення точки В

і прискорення

.

Обчислюємо їх:

.

Знак “-” у знайдених відповідях означає, що насправді вектори прискорень

спрямовані у бік, протилежний зазначеному на рисунку, тобто прискорення точки В протилежне напрямку швидкості

.

Кутове прискорення ланки АВ:

.

Знак “-” означає, що кутове прискорення ланки

протилежне кутовій швидкості

за напрямком обертання.

Прискорення точки С ланки АВ визначаємо за цією ж методикою:

і напрямлено вздовж АС від С к А.

і спрямоване у бік дійсного спрямування

таким чином, щоб

.

Геометричне рівняння з визначення

проектуємо на осі У і Х:

У:

,

Х:

діагональ прямокутника, побудованого на складових

.

Відповідь:

.

Приклад 3. Плоский механізм складається з нерухомої шестерні І і рухомої шестерні ІІ радіусом r=15 см (рис. 6.19).

Рис. 6.19

Шестерня ІІ рухається без ковзання по нерухомій за допомогою кривошипа ОА=40 см. У даний момент часу для заданого положення кутова швидкість кривошипа

, кутове прискорення

. Визначити швидкість та прискорення точки В шестерні ІІ.

Розв’язання: 1. Шестерня ІІ рухається плоскопаралельно по нерухомій поверхні. Миттєвий центр швидкостей МЦШ знаходиться у точці дотику з нерухомою шестернею І – точці Р.

Кривошип ОА рухається обертально (нерухома точка О), тому швидкість його точки А

і напрямлена у бік обертання

.

Кутова швидкість ланки АВ (шестерні ІІ)

і напрямлена відповідно до обертання вектора

навколо МЦШ.

Швидкості точки В при обертанні її навколо МЦШ

і спрямована проти ходу годинникової стрілки, у бік обертання

.

2. При визначенні прискорення точки В, яка разом з шестернею ІІ рухається плоскопаралельно, за полюс обираємо точку А. Тоді

.

Але і точка А обертається разом з кривошипом навколо нерухомої точки О. Тому

.

Визначимо складові векторного рівняння:

доцентрове прискорення точки А, спрямоване уздовж АО від А до О,

обертальне прискорення точки А, спрямоване за “стрілкою”

і перпендикулярно до ОА,

доцентрове прискорення точки В при обертанні В навколо А, спрямоване уздовж ВА від В до А,

- обертальне прискорення точки В навколо полюса А.

Визначимо кутове прискорення шестерни ІІ

, маючи на увазі, що АР = const = 15 см:

.

Тоді

і спрямоване перпендикулярно до

, згідно з напрямком за “стрілкою”

.

Обираємо систему координат ^ ХОУ. Проектуємо векторне рівняння прискорення точки В на осі і за допомогою методу проекцій визначимо прискорення точки В колеса ІІ:

;

,

де

проекція прискорення

на вісь Х,

, тому складові прискорення точки В спрямовані у бік додатного напряму осей ОХ і ОУ.

Відповідь:

.

Запитання для самоконтролю

Який рух твердого тіла називають плоскопаралельним, або плоским?
Як визначається швидкість будь-якої точки плоскої фігури?
Яку точку плоскої фігури називають миттєвим центром швидкості?
Як визначається прискорення будь-якої точки плоскої фігури?
Як визначається кутова швидкість ланки плоскої фігури?
Як визначається кутове прискорення ланки плоскої фігури?

^ 6.5 Завдання для роботи

"Кінематичний аналіз плоского механізму"

Визначити для заданого положення механізму швидкість і прискорення точки В, а також кутову швидкість і кутове прискорення ланки, до якої належить точка В. Схеми механізмів наведені на рис. 6.20, 6.21, 6.22, а необхідні для розрахунку розміри і кінематичні параметри подані нижче в таблиці , де ?_ОА, ?_ОА - кутова швидкість і кутове прискорення кривошипа ОА для заданого положення механізму; ?_і - кутова швидкість колеса І (стала); V_А, а_А - швидкість і прискорення точки А. Кочення коліс відбувається без ковзання.

Номер варианта	Розміри, см				_?_ОА_{, рад/с}	_?₁_{, рад/с}	?_АО, рад/с²	V_A, см/с	а_А, см/с²
Номер варианта	ОА	r	AB	AC	_?_ОА_{, рад/с}	_?₁_{, рад/с}	?_АО, рад/с²	V_A, см/с	а_А, см/с²
1	40	15	-	8	2	-	2	-	-
2	30	15	-	8	3	-	2	-	-
3	-	50	-	-	-	-	-	50	100
4	35	-	-	45	4	-	8	-	-
5	25	-	-	20	1	-	1	-	-
6	40	15	-	6	1	1	0	-	-
7	5	-	75	60	5	-	10	-	-
8	-	-	20	10	-	-	-	40	20
9	-	-	45	30	-	-	-	20	10
10	25	-	80	20	1	-	2	-	-
11	-	-	30	15	-	-	-	10	0
12	-	-	30	20	-	-	-	20	20
13	25	-	55	40	2	-	4	-	-
14	45	15	-	8	3	12	0	-	-
15	50	20	-	12	1	-	2	-	-
16	55	20	-	-	2	-	5	-	-
17	-	30	-	10	-	-	-	80	50
18	10	-	10	5	2	-	6	-	-
19	20	15	-	10	1	2,5	0	-	-
20	-	-	20	6	-	-	-	10	15
21	30	-	60	15	3	-	8	-	-
22	35	-	60	40	4	-	10	-	-
23	-	-	60	20	-	-	-	5	10
24	25	-	35	15	2	-	3	-	-
25	20	-	70	20	1	-	2	-	-
26	20	15	-	10	2	1,2	0	-	-
27	-	15	-	5	-	-	-	60	30
28	20	-	50	25	1	-	1	-	-
29	12	-	35	15	4	-	6	-	-

Рис. 6.20

Рис. 6.21

Рис. 6.22

^ СКЛАДНИЙ РУХ ТОЧКИ

Про складний рух точки говорять у тому випадку, коли точка М рухається відносно деякої системи відліку, яка, в свою чергу, рухається відносно другої системи відліку (рис. 7.1).

Рис. 7.1

Розглядається рух точки М одночасно відносно двох систем відліку, одна з яких вважається умовно нерухомою

. Її пов’язують з твердим тілом, рухом якого за даних умов можна знехтувати. Друга система відліку

рухається відносно нерухомої системи

. Точка М рухається разом з рухомою системою відліку

і відносно неї. Такий рух точки називається складним. Рух точки М відповідно до рухомої системи відліку

називається відносним. Траєкторія АВ, яку описує точка М у відносному русі, називається відносною траєкторією. Швидкість руху точки М відносно системи

уздовж АВ називається відносною швидкістю

, прискорення точки у цьому русі – відносним прискоренням

.

Рух рухомої системи відліку

відносно нерухомої системи

називається переносним. Рухома система

немовби “переносить” точку М, яка рухається у просторі. Швидкість тієї незмінно пов’язаної з рухомою системою

точки m, з якою у даний момент часу співпадає рухома точка ^ М, називається переносною швидкістю точки М у даний момент часу

, а прискорення цієї точки – переносним прискоренням точки М –

.

Рух точки М відносно нерухомої системи відліку

називається абсолютним, або складним. Траєкторія CD цього руху називається абсолютною траєкторією, швидкість – абсолютною швидкістю

, прискорення – абсолютним прискоренням

.

^ 7.1. Складання швидкостей та прискорень у складному русі точки

Залежність між абсолютною, відносною і переносною швидкостями у складному русі дає теорема додавання швидкостей:

.

Абсолютна швидкість є діагоналлю паралелограма, побудованого на векторах переносної і відносної швидкостей.

Залежність між абсолютним, переносним і відносним прискоренням точки дає теорема Коріоліса про додавання прискорень:

.

Абсолютне прискорення є геометричною сумою трьох прискорень: прискорення в переносному русі, прискорення у відносному русі і прискорення Коріоліса.

Прискорення Коріоліса (поворотне) характеризує зміну відносної швидкості точки у переносному русі і переносної швидкості у відносному русі.

1 2 3 4 5

Схожі:

	2. кінематика кінематика Кінематика розділ теоретичної механіки, в якому вивчається рух тіл з геометричної точки зору, тобто без урахування їх маси та сил,...		Документи 1. /Частина 1/101.pdf 2. /Частина 1/107.pdf
	Документи 1. /Частина 2/10.pdf 2. /Частина 2/100.pdf		Назва модуля: Фізика. Ч код модуля: кзф 6001 с тип модуля Кінематика І динаміка поступального руху твердого тіла. Кінематика І динаміка обертального руху твердого тіла. Механічні коливання...
	Тип модуля: обов’язковий. Семестр: Обсяг модуля «Опір матеріалів (частина І)», а також такі розділи інших дисциплін. З вищої математики: диференціальне та інтегральне числення,...		Частина третя. Історія української культури Українська культура після татаро-монгольської навали (друга половина ХIII – Xvст.)
	Лекція Театральна система К. С. Станіславського (4 год.) Перша частина системи є наукою про театр, розділ науки про акторське мистецтво. Друга частина системи – яким повинен бути актор....		Міністерство освіти І науки україни Перша частина складається з трьох розділів: хімія вмс, вмс в природі І вмс в діяльності людини. Друга частина складається з чотирьох...
	Частина друга. Історія світової культури Розвиток матеріальної культури та еволюція мистецтва у палеоліті, мезоліті, неоліті		Міністерство освіти І науки, молоді та спорту україни харківська національна академія міського господарства Методичні вказівки та контрольні роботи з вищої математики (для студентів заочної форми навчання всіх спеціальностей). Частина друга....

Додайте кнопку на своєму сайті:
Документи

База даних захищена авторським правом ©zavantag.com 2000-2013
При копіюванні матеріалу обов'язкове зазначення активного посилання відкритою для індексації.
звернутися до адміністрації