Частина третя динаміка icon

Частина третя динаміка




НазваЧастина третя динаміка
Сторінка1/6
Дата21.06.2012
Розмір0.62 Mb.
ТипДокументи
  1   2   3   4   5   6

ЧАСТИНА ТРЕТЯ


ДИНАМІКА

Динаміка   розділ теоретичної механіки, в якому визначається механічний рух матеріальної точки, системи матеріальних точок, твердого тіла під дією прикладених до них сил.


8. Динаміка точки

Рух матеріальної точки з геометричної точки зору розглядається у кінематиці. У динаміці, на відміну від кінематики, при вивченні руху тіл беруть до уваги як діючі на них сили, так і інертність самих матеріальних тіл.


8.1. Основні поняття. Закони динаміки

Основні поняття – сила, інертність, маса, матеріальна точка. Основні види сил: сила тяжіння (, або ); сила тертя (); сила пружності (, де с   коефіцієнт жорсткості [H / м]); сила в’язкого тертя (), сили аеродинамічного (гідродинамічного) опору, інертна й гравітаційна маси. Одиницею виміру сили є Н (Ньютон)- це сила, яка надає масі в 1 кілограм прискорення в . . Незалежним первинним поняттям в теоретичній механіці є маса. Під масою розуміють інертність тіла. З іншого боку, масу можна визначити як кількість речовин в тілі, що пропорційна його вазі (“гравітаційна маса”). У теоретичній механіці приймається, що маса не змінюється за часом, її величина не залежить ні від швидкості точки, ні від її положення у просторі.

^ Закони динаміки

Перший закон Ньютона (закон інерції)

Ізольована матеріальна точка зберігає стан спокою або рівномірного і прямолінійного руху доти, доки вплив з боку інших сил не виведе її з цього стану.

^ Другий закон Ньютона (основний закон динаміки)

Швидкість зміни кількості руху матеріальної точки дорівнює силі, що діє на цю точку. Прискорення матеріальної точки пропорційне прикладеній до неї сили і має однаковий з нею напрям:



^ Третій закон Ньютона (закон рівності дії та протидії)

Сили взаємодії двох матеріальних точок або двох тіл (дія і протидія) рівні за величиною, напрямлені в протилежні боки і мають загальну лінію дії.

^ Четвертий закон Ньютона (принцип суперпозиції)

Прискорення матеріальної точки, що виникає при одночасній дії декількох сил, дорівнює векторній сумі прискорень, які надають точці окремі сили.


^ 8.2. Диференціальні рівняння руху вільної матеріальної точки

Диференціальні рівняння руху вільної матеріальної точки отримують шляхом проектування векторного рівняння на координатні осі :

а) В декартовій системі координат:

; ; ,

або ;

;

,

де m   маса точки, - проекції прискорення точки на вісі,   алгебраїчні суми проекцій на координатні осі сил, що діють на точку.

Ці рівняння називаються динамічними рівняннями руху матеріальної точки в координатній формі.

Якщо точка рухається в площині, то її рух описується першими двома рівняннями, а якщо по прямій, то тільки одним з них (при цьому вісь слід спрямувати за рухом точки).

б) У природній системі координат в натуральній формі (дотична, нормаль і бінормаль):

;

;

,

де   проекція швидкості на дотичну ;   радіус кривизни траєкторії в данній точці;   алгебраїчні суми проекцій всіх сил, які діють на точку, на натуральні осі .

Ці рівняння називаються динамічними рівняннями руху точки в натуральній формі або у формі Ейлера.

Ця система використовується, якщо рух точки є невільним, коли, завдяки наявності звязків, точка рухається по відомій траєкторії або поверхні.

Перше рівняння є диференціальним, якщо відомі проекції сил на дотичну траєкторії руху. Інші два рівняння дозволяють визначити реакції вязів.

Диференціальні рівняння руху матеріальної точки дозволяють вирішити дві основні задачі динаміки.

^ 8.3. Дві основні задачі динаміки

Перша, або пряма основна задача динаміки: знаючи закон руху точки і її масу, визначити сили, що викликають цей рух.

Якщо рух матеріальної точки масою m задано координатним способом , то двічі диференціюючи ці співвідношення за часом, одержимо проекції прискорень на координатні осі:

.

Використовуючи динамічні рівняння руху матеріальної точки в координатній формі , визначимо проекції сили:



Модуль рівнодійної сили .

Напрям рівнодійної сили визначимо за направленими косинусами

.

Методами першої основної задачі динаміки вирішують такі задачі транспортників , як тиск вагона на рейки.

Приклад 1. Кузов трамвайного вагона разом з вантажем P1=100 кH здійснює при русі на ресорах вертикальні коливання по закону на візку з колесами (рис. 8.1). Визначити найбільший і найменший тиск вагона на рейки 3 горизонтального прямолінійного відрізку шляху , якщо візок з колесами важить Р2 =10кН.



Рис. 8.1

Розв’язання

Розглянемо рух кузова. Рух цей прямолінійний і проходить уздовж осі х. Тому з трьох рівнянь руху використаємо одне, що в даному випадку приймає вигляд



де и   відомі з умов приклада ваги кузова і візка з колесами,

  реактивна сила з боку в’язів, рейки.

Звідси .

З умови приклада маємо :

  закон руху кузова на ресорах.

Тоді ,

  проекція прискорення кузова в напрямку осі х

;

.

Звідси ;

.

Відповідь: .



Друга, або обернена задача динаміки: визначити кінематичні рівняння руху точки, якщо відомі її маса m, прикладені до неї сили і початкові умови руху. Розв’язання другої задачі динаміки зводиться до інтегрування диференційних рівнянь руху матеріальної точки. Праві частини цих рівнянь відомі. Тому спочатку знаходять проекції сил иF на осі координат (Fx,FyFz), потім інтегрують системи диференційних рівнянь руху матеріальної точки.

Загальний розвязок цієї системи визначає координати точки як функції часу t і шість сталих інтегрування ;

,

,

.

Сталі інтегрування визначають з початкових умов.

^ Початкові умови – це шість величин, що визначають положення точки і проекції вектора швидкості в початковий момент часу (t=t);



Підставивши знайдені значення сталих інтегрування у загальній розв'язок системи диференційних рівнянь, одержують закон руху точки:

x = x(t); y = y(t); z = z(t).

Отже, розв’язання другої, оберненої задачі динаміки складається з операцій:

1. Складання динамічних рівнянь руху матеріальної точки згідно з умовами задачі.

2. Інтегрування одержаної системи диференційних рівнянь.

3. Визначення значень сталих інтегрування.

4. Знаходження закону руху.

Приклад 2. Маємо рух матеріальної точки, кинутої під кутом до обрію.



Рис. 8.2

Визначити рух точки М масою m, яку кинуто з початковою швидкістю V під кутом до обрію. Опором повітря знехтувати (рис. 8.2). Визначити траєкторію руху точки.

Розв’язання. Початок координат показуємо в початковому положенні точки. Зобразимо рухому матеріальну точку M в довільній точці траєкторії і покажемо діючу на неї силу тяжіння .

У початковий момент часу (t = 0) точка була на початку координат, тому при t=0, x=0; y=0.

Проекції початкової швидкості на осі координат:

при .

Щоб визначити залежність координат х, у точки від часу, скористаємося диференційним рівняннями руху точки:

,

, або після скорочення на m

,

.

Інтегруючі ці рівняння, одержимо

,

.

Сталі інтегрування знайдемо з початкових умов:

при t=0

,

.

Отже

,

.

Звідси після інтегрування одержимо

,

.

Сталі інтегрування С і С знаходимо з початкових умов руху. При t=0 x=0; y=0, тому С=0

Тоді закон руху точки М матиме вигляд

,

.

Ці вирази є рівняннями траєкторії в параметричному вигляді. Вилучивши час з цих рівнянь, знайдемо траєкторію руху точки М:

.

Отримана траєкторія – парабола, яка належить площині ХОУ.

Методику розв’язання другої основної задачі динаміки застосовують при вирішенні задач про прямолінійні коливання матеріальної точки. Аксіома про звільнення від в’язів дає змогу задачу про рух невільної матеріальної точки вважати рухом вільної матеріальної точки, якщо дію в’язів замінити відповідними силами – реакціями в’язів.


^ 8.4. Прямолінійні коливання матеріальної точки

Механічні рухи, які періодично повторюються, називаються механічними коливаннями. На матеріальну точку можуть діяти поновлююча сила, яка намагається повернути точку в положення рівноваги, сила опору руху, яка залежить від швидкості точки, і збурююча сила, задана функцією часу.

Залежно від комбінації цих сил розглянемо три види коливального руху матеріальної точки : вільні коливання під дією тільки лінійної поновлюючої сили, згасаючі коливання під дією поновлюючої сили й сили опору, що залежить від швидкості, й вимушені коливання під дією поновлюючої сили і збурюючої сили, яка змінюється за гармонійним законом.


^ 8.4.1 Вільні (власні коливання)

Вільними (власними) коливаннями матеріальної точки називають її коливання під дією сил, зумовлених початковими умовами: відхилення точки від положення рівноваги або надання їй початкових швидкостей.



Рис. 8.3

Розглянемо прямолінійний рух матеріальної точки М масою m під дією тільки сили , спрямованої до нерухомого центра О і пропорційної відстані точки М від центра О: (лінійна залежність) (рис. 8.3).

Сила намагається повернути точку М у положення рівноваги О, де , тому сила називається поновлюючою силою. Прикладом такої сили є сила пружності пружини.

Визначити закон руху точки ^ М, тобто закон зміни координати х за часом.

Запишемо диференційне рівняння руху точки за часом у проекції на вісь х:

; , або ,

; ,

де ,   колова (власна) частота коливань матеріальної точки масою m, вимірюється в рад/с; с – коефіцієнт жорсткості (пружності) пружини, що чисельно дорівнює силі, яку необхідно докласти до пружини, щоб змінити її довжину на одиницю (вимірюється в н/м).

Закон коливань точки М має вигляд (рішення диференційного рівняння коливань):

, ,

де А і В – постійні інтегрування, що визначаються з початкових умов.

Початкові умови: при t=0; x=x; .

Враховуючі початкові умови, маємо: ; .

Остаточно закон коливань точки М має вигляд

.

Якщо замість постійних інтегрування А і В, ввести постійні a і так, щоб , , отримаємо закон коливань у вигляді ,

де і також визначаються з початкових умов.

При t=0

, .

Тоді   амплітуда коливань, що дорівнює найбільшому відхиленню точки М від центра D і залежить від початкових умов,

,

  початкова фаза коливань, яка також залежить від початкових умов.

Розглянутий прямолінійний рух матеріальної точки М масою m під дією сили , величина якої пропорційна відхиленню точки від положення статичної рівноваги, є гармонійний коливальний рух з власною коловою частотою періоди .

Період коливань Т – проміжок часу між двома послідовними проходженнями точки через положення статичної рівноваги в певному фіксованому напрямку.

Колова частота власних коливань К і їх період Т не залежать від початкових умов і амплітуди коливань а. Коли одночасно початкові умови дорівнюють нулю , то х=0, тобто вільні(власні) коливання не виникають.

^ Вплив сталою сили на вільні коливання

Розглянемо на прикладі коливання вантажу масою m, підвішеного за допомогою пружини жорсткості С до нерухомої площини, вздовж осі ОХ (рис. 8.4).

На точку М (вантаж вагою Р=mg) діє сила пружності пружини і сила ваги (стала сила).

Точка О – це початок осі ОХ, спрямованої в бік дії сили ,   довжина пружини в недеформованому стані, х – поточна координата вантажу при русі,   статична деформація пружини під дією вантажу.




Рис. 8.4


Точка О – це точка статичної рівноваги, де сила Р врівноважена силою пружності пружини

; .

При русі сила пружності пружини в проекції на вісь ОХ , .

Диференційне рівняння руху точки М в проекції на вісь ОХ має вигляд

,

або ,

.

Закон коливання вантажу (рішення диференційного рівняння руху) під дією сталою сили та лінійної поновлюючої сили в цьому випадку має вигляд , як і у випадку дії тільки поновлюючої сили (рис 8.5).



Рис. 8.5

Стала сила не змінює характеру коливань (за законом синуса або косинуса), зміщуючи центр коливань у бік дії сталої сили вздовж осі ОХ на величину статичної деформації .



, , .

^ 8.4.2. Вплив сили опору, що лінійно залежить від швидкості,

на вільні коливання матеріальної точки (загасаючі коливання)



Рис. 8.6

Матеріальна точка М (вантаж масою m) рухається під дією сили тяжіння у в’язкому середовищі (рідина або газ), при русі в якій виникає сила опору, пропорційна першому ступеню швидкості.

Таку силу опору називають силою в’язкого тертя:

(знак “-“ показує, що сила спрямована протилежно ).

Таким чином, на точку М при русі діють поновлююча сила і сила опору (рис 8.6).

Диференційне рівняння руху точки (вантажу) має вигляд

,

або ,

або ,

або ,

де   частота власних коливань (колова);

  відносний коефіцієнт демпфірування, що має розмірність колової частоти k коливань ([n] = рад/c).

Закон коливання вантажу (рішення диференційного рівняння) залежить від співвідношення параметрів k і n.

1. Закон коливання вантажу у випадку малого опору n має вигляд

,

або ,

де постійні інтегрування визначаються, як і раніше, з початкових умов,

  частота згасаючих коливань,

  максимальне відхилення точки від положення рівноваги,

  початкова фаза.

Коливання, які відбуваються за цим законом, називаються згасаючими, тому що величина за перебігом часу, завдяки множнику ,зменшується, прямуючи до нуля (рис. 8.7).



Рис. 8.7


Періодом згасаючих коливань Т1 називають проміжок часу між двома послідовними проходженнями точки через положення статичної рівноваги в певному фіксованому напрямку:

.

Звідси видно, що період згасаючих коливань більший за період власних коливань Т1>T. Опір середовища, що пропорційний швидкості в першому ступені, збільшує період коливань.

Співвідношення називають декрементом загасання, або фактором загасання.

Амплітуда згасаючих коливань спадає за геометричною прогресією.

2. При рішення диференційного рівняння руху: .



Рис. 8.8

Рух точки буде аперіодичним згасаючим, не буде коливальним і за перебігом часу буде спрямовуватися до нуля ( при ). Рух точки залежить від початкових умов (рис. 8.8).

3. При n > k, коли опір великий по рівнянно з поновлюючою силою, рішення диференційного рівняння руху має вигляд:

,

де .


Рух точки в цьому випадку також не є коливальним і вона під дією наповнюючої сили поступово (асимптотично) буде спрямовуватися до стану рівноваги х=0. Рух точки також залежить від початкових умов і є аперіодичним (рис 8.9).



Рис. 8.9


^ 8.4.3. Змушені коливання

Змушені коливання відбуваються за умови, що на матеріальну точку, крім поновлюючої сили , діє збурююча сила , яка змінюється за гармонічним законом, тобто де Н – максимальне значення збурюючої сили, р   колова частота збурюючої сили (рис. 8.10).

Диференційне рівняння руху матеріальної точки М (вантажу) має вигляд



Рис. 8.10

,

або в проекції на вісь х:

,

або після ділення на m: ,

де

Загальний розвязок неоднорідного диференційного рівняння складається з двох розвязків (рис. 8.11):



де   загальний розвязок однорідного рівняння,

  частинний розвязок неоднорідного рівняння.
  1   2   3   4   5   6

Схожі:

Частина третя динаміка iconЧастина третя перетворювальні пристрої
Дослідження однофазних випрямлячів з пасивними фільтрами І компенсаційним стабілізатором
Частина третя динаміка iconЧастина третя. Історія української культури
Українська культура після татаро-монгольської навали (друга половина ХIII – Xvст.)
Частина третя динаміка iconЛекція Театральна система К. С. Станіславського (4 год.)
Перша частина системи є наукою про театр, розділ науки про акторське мистецтво. Друга частина системи – яким повинен бути актор....
Частина третя динаміка iconДокументи
1. /Частина 1/101.pdf
2. /Частина 1/107.pdf
Частина третя динаміка iconДокументи
1. /Частина 2/10.pdf
2. /Частина 2/100.pdf
Частина третя динаміка icon3. Динаміка точки
Динаміка  розділ теоретичної механіки, що вивчає механічний рух матеріальних об’єктів (матеріальної точки, системи матеріальних...
Частина третя динаміка iconТип модуля: обов’язковий. Семестр: Обсяг модуля
«Опір матеріалів (частина І)», а також такі розділи інших дисциплін. З вищої математики: диференціальне та інтегральне числення,...
Частина третя динаміка iconТаблиця Динаміка контингенту студентів за 2009 – 2012 рр
Ще два роки тому в нас було 20 тис студентів. Сьогодні їх – близько 16 тис. Динаміка зміни контингенту студентів наведена в таблиці...
Частина третя динаміка iconМ. Г. Шульженко, С. О. Закурдай динаміка рухомого складу конспект лекцій
Динаміка рухомого складу. Конспект лекцій /для студентів 4 курсу денної форми навчання напряму підготовки 0922 050702 – «електромеханіка»...
Частина третя динаміка iconВикладачів, аспірантів, співробітників та студентів факультету іноземної філології та соціальних комунікацій (Суми, 19–20 квітня 2013 року) Частина третя Суми Сумський державний університет
Викладачів, аспірантів, співробітників та студентів факультету іноземної філології та соціальних комунікацій
Додайте кнопку на своєму сайті:
Документи


База даних захищена авторським правом ©zavantag.com 2000-2013
При копіюванні матеріалу обов'язкове зазначення активного посилання відкритою для індексації.
звернутися до адміністрації
Документи