Міністерство освіти І науки україни icon

Міністерство освіти І науки україни




Скачати 279.29 Kb.
НазваМіністерство освіти І науки україни
Дата04.07.2012
Розмір279.29 Kb.
ТипДокументи



МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ "ЛЬВІВСЬКА ПОЛІТЕХНІКА"


ЛОГІКА ВИСЛОВІВ


МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ

до вивчення з курсу "Логіка"

для студентів усіх спеціальностей та форм навчання


Затверджено

на засіданні кафедри філософії

Протокол № 4 від 7 листопада 2005 р.


Львів - 2005


Логіка висловів: Методичні вказівки до вивчення з курсу "Логіка" для студентів усіх спеціальностей та форм навчання / Укл. Б.Т.Домбровський, Сігунов Г.В., Шадських Ю.Г. — Львів: Видавництво Національного університету "Львівська політехніка", 2005. — 16 с.


Укладачі Домбровський Б.Т., канд. філос. наук, доц.

Сігунов Г.В., канд. філос. наук, доц..

Шадських Ю.Г., канд. філос. наук, доц..


Відповідальний за випуск Петрушенко В.Л., д-р філос. наук, проф.


Рецензенти Одарченко М.М., асистент,

Мазур Л.О., канд. філос. наук, доц.


^ ЛОГІКА ВИСЛОВІВ

1. Пропозиціональні зв'язки. Теорією, яка буде зараз розглянута, є класична логіка висловів, або пропозиціональна логіка. При виявленні логічних форм контекстів природної мови в цій теорії відбувається абстрагування від змісту простих висловів, від їх внутрішньої структури, а враховується лише те, за допомогою яких сполучників і в якому порядку прості вислови зчленовуються у складні.

Цей рівень аналізу логічних форм припускає, по-перше, наявність у формалізованій мові нелогічних символів тільки одного типу - параметрів, якими можуть заміщатися прості вислови природної мови. Ці параметри будемо називати пропозиціональними змінними і вживати для них символи - р, q, r, s, ... . По-друге, всі логічні символи цієї формалізованої мови також належать до однієї категорії, вони утворюють з однієї або декількох формул нову формулу, а їх прототипи в природній мові, наприклад, "і", "або", "якщо ... то", є сполучниками, що утворюють з одних висловів інші, складніші. Логічні символи вказаного типу називатимемо пропозиціональними зв'язками.

Логіка висловів (пропозиціональна логіка) - це логічна теорія, мова якої містить один тип нелогічних символів - пропозиціональні змінні, а також один тип логічних символів - пропозиціональні зв'язки.

Особливості мови логіки висловів визначають специфіку її законів, а також те, в яких випадках, згідно цієї теорії, з множини формул логічно слідує деяка формула. Законами пропозиціональної логіки будуть форми таких висловів, логічна істинність яких обумовлена логічними властивостями сполучників, що містяться в них, і не залежить від властивостей інших логічних термінів. Правильними, з огляду логіки висловів, є лише такі висновки, в яких наявність логічного слідування між засновками і висновками обумовлена тими ж чинниками.

Перш ніж буде здійснена систематична побудова мови логіки висловів, слід докладніше розглянути питання про те, які логічні символи є в її алфавіті. Набір пропозиціональних зв'язок в алфавіті мови логіки висловів може бути різним. Перелічимо найбільш вживані зв'язки і вкажемо їх логічне значення.

Заперечення (будемо використовувати для нього символ "") є унарною зв'язкою, яка з однієї формули утворює іншу, більш складну формулу, тобто з довільної формули А формулу  A. Логічний сенс вислову форми  A такий: в ньому стверджується відсутність положення справ, що описуються в А.

Сказане означає, що якщо положення справ, яке описується в А, відсутнє (тобто якщо А хибне), то вислів  А відповідає дійсності (тобто -  A істинне). Якщо ж положення справ, що описується в А, має місце (тобто якщо А істинне), то твердження  A не відповідає дійсності (тобто " A хибне). Вказаний смисл в природній мові має вираз "невірно, що". Долучаючи його до довільного хибного вислову (наприклад, "2>3"), ми одержуємо істинний вислів ("Невірно, що 2>3"), а з істинного (наприклад, "3>2") цей вираз утворює хибний вислів ("Невірно, що 3>2"). Таким чином, знаку "" в природній мові відповідає "невірно, що".

Кон'юнкція (будемо використовувати для неї символ "&") є бінарною зв'язкою, тобто вона з двох формул утворює нову, більш складну формулу: з довільних формул А і В - формулу (А & В). У висловах виду (А & В) стверджується одночасна наявність двох положень справ - описуваного в А і описуваного у В.

Таким чином, якщо обидва положення справ насправді мають місце (тобто якщо і А, і В істинні), то кон'юнктивний вислів (А & В) є істинним. Якщо ж принаймні одне (а може бути, і обидва) положення справ відсутнє (тобто якщо А або ж В хибні), то твердження (А & В) не відповідає дійсності (тобто є хибним).

Формулювання кон'юнктивних висловів в природній мові звикло здійснюється за допомогою союзу "і". Наприклад, вислів "2 - просте число, і 2 - парне число" істинний, оскільки обидві його частини - істинні вислови. Хибними є наступні вислови: "3 - просте число, і 3 - парне число" (друга його частина - хибний вислів); "4 - просте число, і 4 - парне число" (перша його частина - хибний вислів); "9 - просте число і 9 - парне число" (обидві його частини помилкові). Слід пам’ятати, що смисл кон'юнкції може в деяких випадках адекватно виражатися в природній мові за допомогою інших термінів: "а", "але", "як..., так і", "а також" і т.п.

Диз'юнкція (використовуватимемо для неї символ "") - бінарна зв'язка, що утворює з довільних формул А і В нову формулу (А  В). Вислови даної логічної форми виражають думку про наявність принаймні одного з двох положень справ - описуваного в А або описуваного у В. При цьому не виключається випадок їх одночасної появи. Цій зв'язці в природній мові звикло відповідає сполучник "або".

Вислів виду (^ А  В) істинний, якщо істинним є хоча б один вислів - А або В (або ж одразу обидва). Якщо ж обидва вислови - як А, так і В - одночасно хибні, то складний вислів (А  В) хибний.

В деяких контекстах природної мови союз "або" має інший сенс. Так, у вислові "Сміливець або сидить в сідлі, або тихо спить в сирій землі" виражається думка про наявність тільки однієї з двох ситуацій, тобто стверджується їх альтернативність, неможливість одночасного здійснення цих положень справ. В цих випадках сполучник "або" не може бути замінений диз'юнкцією (символом ""), йому відповідатиме інша зв'язка, яка називається строгою (або альтернативною) диз'юнкцією.

^ Строга диз'юнкція (використовуватимемо для неї символ "") - бінарна логічна зв'язка, що утворює з формул А і В формулу (А  В). Вислів форми (А  В) виражає твердження про наявність рівно однієї з двох ситуацій - описаної в А або описаної у В. Даний вислів приймає значення "істина" в двох випадках: 1) коли А істинно, а В хибно, 2) коли А хибно, а В істинно (тобто коли А і В мають різні значення). Якщо ж значення А і В співпадають (тобто коли вони одночасно істинні або одночасно хибні), то (А  В) приймає значення "хиба".

^ Матеріальна імплікація (використовуватимемо для неї символ "") - бінарна зв'язка, що утворює з формул А і В формулу (А  В). В імплікативних висловах цієї форми стверджується, що у разі, коли має місце положення справ, описуване в А, має місце також і положення справ, описуване у В. Логічний зміст (А  В) можна еквівалентним чином переформулювати так: не має місця ситуація, при якій положення справ, описуване в А, існує, а положення справ, описуване у В, відсутнє. Звідси випливає, що при істинному А і хибному В вислів форми (А  В) хибний. В решті випадків він істинний, тобто він істинний, якщо: 1) А і В істинні, або 2) А хибне, а В істинно, або 3) А і В хибні.

В природній мові терміном, що найбільш адекватно виражає значення матеріальної імплікації, є сполучник "якщо ..., то". У висловах виду "Якщо А, то В", а також у формулах (А  В) вираз А називають антецедентом, а вираз В консеквентом. В реченнях природної мови антецедент не завжди передує консеквенту. Наприклад, антецедент вислову "Більшість власників акцій банкрутує, якщо їх курс падає" – це його друга частина, а консеквент - перша.

^ Матеріальна эквіваленція (використовуватимемо для неї символ "") - бінарна зв'язка, що утворює з формул А і В формулу (А  В). Вислови виду (А  В) стверджують, що положення справ, описані в А і В, або одночасно мають місце, або одночасно відсутні. Зміст такого роду висловів можна виразити інакше: в них стверджується, що за наявності положення справ, описаного в А, має місце також і положення справ, описане у В, і навпаки, за наявності другого положення справ має місце і перше. Вислови виду (А  В) істинні у випадках, коли А і В одночасно істинні або ж одночасно хибні, тобто коли їх значення співпадають. Якщо ж значення А і В різні, то (А  В) хибне. По смислу зв'язці "" в природній мові відповідають сполучники "якщо і тільки якщо", "тоді і тільки тоді, коли".

Перелічені пропозиціональні зв'язки мають одну важливу особливість. Значення утворених з їх допомогою складних виразів залежать тільки від значень тих виразів, з яких утворені складні. Інакше кажучи, для того, щоб визначити, чи є вислови виду A, (А & В), (А  В), (А  В), (А  В), (А  В) істинними або хибними, необхідно і достатньо знати, якими - істинними або хибними - є їх частини А і В. Дійсно, якщо вислів А істинний, то  A виявляється хибним; якщо ж А хибне, то  A буде істинним. Якщо відомо, наприклад, що А і В одночасно істинні, то вислови вигляду (А & В), (А  В), (А  В), (А  В) приймуть значення "істина", а (А  В)- значення "хиба".

Таким чином, знаючи значення А і В, можна однозначно встановити значення виразів, утворених з них за допомогою зв'язок , &, , , . Це дозволяє розглядати дані символи як знаки функцій особливого типу: можливими аргументами і значеннями цих функцій є об'єкти "істина" і "хиба". Такі функції називають функціями істинності, а пропозиціональні зв'язки, які служать знаками цих функцій, - истиннісно-функціональними.

Існує нескінченна кількість функцій істинності, хоча для кожного п число п-місних функцій істинності (функцій від п аргументів) скінчене і дорівнює 22п . Наприклад, кількість одномісних функцій - 4, двомісних - 16, трьохмісних - 256.

Для більшості функцій істинності в природній мові немає виразів, які б їх представляли. Однак є принципова можливість ввести власний символ - пропозиціональну зв'язку - для довільної функції вказаного типу в алфавіт формалізованої мови.

Виникає питання, чи повинні в алфавіті мови логіки висловів міститися всі істиннісно-функціональні зв'язки. Виявляється, що необхідність в цьому відсутня. Річ у тому, що одні функції істинності можуть бути виражені за допомогою інших. Більш того, є такі скінчені набори функцій, за допомогою яких може бути виражена будь-яка функція істинності. Такі набори називають функціонально повними.

Однією з функціонально повних систем є множина функцій, представлених зв'язками , &, та . Покажемо, наприклад, яким чином з їх допомогою можна виразити функції, що відповідають зв'язкам і . Логічне значення вислову виду (А  В) можна рівносильним чином передати за допомогою складного вислову (А &  B)  ( A & В). Користуючись умовами істинності і хибності висловів, що містять , &, можна переконатися в тому, що вираз виду (А &  B) ( A & В) прийме значення "істина" тільки в двох випадках: 1) коли А істинно, а В хибне, 2) коли А хибне, а В істинне. Але точно в тих же випадках істинним є і вислів виду (А  В). Таким чином, функція істинності, що відповідає строгій диз'юнкції, може бути виражена за допомогою функцій заперечення, кон'юнкції і нестрогої диз'юнкції.

Логічне значення вислову виду (^ А  В) рівносильне значенню виразу (А  В) & (В  А). Дані вирази приймають значення "істина" в одних і тих же випадках: 1) коли А і В істинні, 2) коли А і В хибні. Таким чином, функція еквіваленції може бути виражена за допомогою функцій кон'юнкції та імплікації.

Іноді в алфавіт мови логіки висловів разом з пропозиціональними зв'язками, подібними до розглянутих вище, включають інші логічні знаки - "┬" (символ логічного закону, константа істиності) і "" (символ суперечності, константа хибності). Символу "┬" в природній мові відповідає логічно істинний вислів, а символу "" - логічно хибний вислів.

Знаки "┬" і "" є формулами мови логіки висловів, причому "┬" постійно приймає значення "істина", а "" значення "хиба". Вказані символи можна потрактувати як нульарні пропозиціональні зв'язки, тобто як логічні символи, що утворюють формули з такої кількості інших формул, число яких дорівнює нулю. Можна вважати також, що "┬" і "" аналогічно іншим вищепереліченим зв'язкам є знаками функцій істинності, тільки функції, які вони представляють, є нульмісними (функціями, у яких немає аргументів).

До числа істиннісно-функціональних не належить зв'язка, що виражає умовний зв'язок між ситуаціями (для цієї зв'язки використовують переважно символ "" і називають її релевантною або номологічною імплікацією). Вислів виду (АВ) істинний, якщо положення справ, описуване в А, обумовлює наявність ситуації, описаної у В. Вислів (А  В) на відмінність від (А  В) може виявитися хибним не тільки у разі, коли А істинно, а В хибно. Так, при істинних А ("3>2") і В ("Волга впадає в Каспійське море") вислів (А  В) хибний, хоча в інших випадках, коли А і В істинні, (А  В) може виявитися і істинним, наприклад, якщо А є вислів "Мідь - метал", а В - "Мідь проводить електричний струм".

^ 2. Мова класичної логіки висловів

Приступимо до систематичної побудови мови класичної логіки висловів. Перш за все задамо її алфавіт - сукупність вихідних символів даної формалізованої мови.

Множину нелогічних символів складає нескінченний список пропозиціональних змінних р, q, г, s, ... . Ці символи використовуються як параметри простих висловів при виявленні логічних форм контекстів природної мови.

^ Логічними символами даної мови є істиннісно-функціональні пропозиціональні зв'язки. У якості вихідних можуть бути прийняті різні набори зв'язок. Єдина вимога, що пред'являється до вказаних наборів, - наступна: система функцій істинності, представлених цими зв'язками, повинна бути функціонально повною, тобто за допомогою функцій даної системи повинна бути виражена будь-яка функція істинності. Домовимося використовувати у якості вихідних логічних символів зв'язки , &, та .

Технічними символами є ліва і права круглі дужки: ( , ). Побудова алфавіту завершена.

Виразом мови класичної логіки висловів будемо називати будь-яку послідовність знаків його алфавіту. Деякі з цих виразів є правильно побудованими, а деякі такими не є. Причому в мові пропозиціональної логіки є один тип правильно побудованих виразів - формули. Точне визначення формули задається таким чином:

  1. Всяка пропозиціональна змінна є формулою.

  2. Якщо А — формула, то  А також є формулою.

  3. Якщо А і В - формули, то вирази (А & В), (А  В), (А  В) також є формулами.

  4. Ніщо інше не є формулою.

Формули, вказані в пункті 1 даного визначення, називають елементарними, а в пунктах 2 і 3 - складними. Зауважмо, що якщо в алфавіт мови введені логічні символи ┬ (константа істинності) або (константа хибності), то їх також включають в клас формул, причому відносять до елементарних формул.

Користуючись визначенням формули, можна для будь-якого виразу мови у скінчене число кроків вирішити питання про те, чи є цей вираз формулою, чи ні.

^ Формула, що входить до складу деякої формули, називається її підформулою. В складній формулі завжди можна виділити зв'язку, яка називається її головним знаком. У формулах виду  А головним знаком є перше зліва входження символу . У формулах виду (А & В), (А  В), (А  В) головними знаками є, відповідно, ті входження символів &, , , які стоять між підформулами А і В. Наприклад, у формулі ( р  (q & r)) головним є знак . У формулі (( р  q) & r) — знак &, а у формулі  (р  (q & r)) - знак .

Для того, щоб записи формул мали більш компактний вигляд, приймемо угоду про опускання дужок: якщо першим знаком формули є ліва дужка, а останнім - права, то цю пару дужок домовимося опускати. Тоді формула ( р  (q & r)) запишеться як  р  (q & r).

Завершивши побудову формалізованої мови, покажемо, яким чином в ній виражається логічна форма висловів природної мови. Пояснимо, як здійснюється дана процедура, на прикладі. Виразимо в мові пропозиціональної логіки форму складного вислову "Якщо спортсмен став призером змагань, але не виграв їх, то він зайняв друге або третє місце".

Перш за все необхідно виділити прості вислови, що входять до складу складного. В нашому прикладі їх чотири:

  1. Спортсмен став призером змагань.

  2. Спортсмен виграв змагання.

  3. Спортсмен зайняв друге місце.

  4. Спортсмен зайняв третє місце.

З кожним простим висловом співвідноситься власна пропозиціональна змінна, наприклад, з першим - р, з другим - q, з третім - r, з четвертим - s.

Далі виділяємо логічні терміни, за допомогою яких з простих висловів утворюються складні: "але", "не", "або", "якщо..., то". Тепер необхідно з'ясувати, яке значення в даному вислові виражає кожний логічний термін, і зіставити цьому терміну зв'язку формалізованої мови, яка має аналогічний смисл. В нашому випадку терміну "але" по значенню відповідає кон'юнкція (&), терміну "не" - заперечення ( ), терміну "або" - диз'юнкція (). Що ж до сполучника "якщо..., то", то найближчою йому по значенню є матеріальна імплікація (). Однак, як вже мовилося, цей сполучник звикло виражає умовний зв'язок між положеннями справ і не є істиннісно-функціональним. Тому, замінюючи "якщо ..., то" зв'язкою "", ми повинні пам'ятати, що у вказаних випадках вона виражає лише частину логічного змісту умовного вислову.

Нарешті, необхідно встановити порядок і спосіб поєднання простих висловів в складний за допомогою логічних термінів. В нашому вислові головним є сполучник "якщо..., то", значить, його логічна форма повинна бути імпликативною формулою. Її антецедент — кон'юнктивна формула, першим членом якої буде р (цією змінною ми замінюємо простий вислів (1)), а другим членом - заперечення q (цією змінною замінюється вислів (2)). Отже, антецедент імплікації має вигляд (р &  q). Її консеквент - диз'юнктивна формула, членами якої є змінні r і s (ними замінюються вислови (3) і (4)). Отже, консеквент імплікації має вид (r  s). В цілому, логічною формою даного вислову є формула (р &  q) (r  s).

Задавши мову класичної логіки висловів, приступимо до побудови в її рамках самої цієї логічної теорії - класичної логіки висловів. При цьому використовуватимемо метод, що отримав назву методу таблиць істинності.

^ 3. Таблиці істинності. Тотожно-істинні, тотожно-хибні та формули, що виконуються

Як і всяка логічна теорія, логіка висловів вирішує дві основні задачі: по-перше, виділяє серед класу формул множину своїх законів, і, по друге, встановлює логічні відношення (перш за все - відношення логічного слідування) між формулами формалізованої мови.

Нагадаємо (див. методичні вказівки "Предмет і основні поняття логіки"), що законом логічної теорії є формула, яка приймає значення "істина" при будь-якій допустимій в даній теорії інтерпретації нелогічних символів в її складі. Тому побудову логіки висловів слід почати з питання про те, яким чином можуть інтерпретуватися нелогічні символи її мови, тобто пропозиціональні змінні .

Інтерпретації пропозиціональних змінних. Нелогічні символи формалізованих мов, як вже мовилося, є параметрами деяких виразів природної мови. Зокрема, пропозиціональні змінні – це параметри простих висловів.

Процедура інтерпретації нелогічних символів полягає в приписуванні їм значень. Тип значення кожного такого символу повинен бути тим же самим, що і у відповідних виразів природної мови (тобто виразів, параметром яких є даний символ).

Оскільки кожний простий вислів або істинний, або хибний, то їх параметрам - пропозиціональним змінним - можуть приписуватися як значення тільки "істина" або "хиба". Отже, існує дві допустимі інтерпретації кожної окремо взятої пропозиціональної змінної: 1) інтерпретація, що ставить їй у відповідність значення "істина", 2) інтерпретація, що ставить їй у відповідність значення "хиба".

Поняття інтерпретації пропозиціональних змінних можна розповсюдити на випадок, коли значення приписуються не обов'язково одній, а деякому числу n різних пропозиціональних змінних, наприклад, р1, р2.,.., рn.

Допустимою інтерпретацією змінних р1, р2.,.., рn є довільний набір їх значень, тобто будь-яка послідовність <1, 2, …, n>, де кожне і є або "істина" (скорочено і), або "хиба" (скорочено х), причому а1 є значення змінної р1, 2 - значення р2 ,..., n - значення рn.

Якщо послідовність р1, р2.,.., рn складається з однієї змінної (тобто якщо п = 1), то існує два набори значень: <і> та <х>. Компоненти цих одночленних послідовностей є значеннями р1 при різних інтерпретаціях.

Якщо ця послідовність містить дві змінні (якщо п = 2), то наборами значень є пари (всього їх чотири): <і,і>, <і,і>, <х,і> та <х,х>. Перша компоненту пари указує на значення р1, а друга - на значення р2 при даній інтерпретації.

Якщо послідовність містить три змінні, то наборами значень будуть трійки (всього їх вісім): <і, і, і>, <і, і, х>, <і, х, і>, <і, х, х>, <х, і, і>, <х, і, х>, <х, х, і>, <х, х, х>.

Перша компонента трійки вказує на значення р1, друга - на значення р2, третя - на значення р3 при даній інтерпретації.

Допустимі інтерпретації змінних р1, р2,.., рn можуть бути представлені у вигляді таблиці: в рядках записуються різні набори значень цих змінних, а у стовпчиках тоді з'являються значення змінних при різних інтерпретаціях. Набори значень зручно розташовувати в алфавітному порядку (як розташовують слова в словнику). Складемо подібні таблиці для однієї, двох і трьох змінних:

P1 P1 P2 P1 P2 P3

_________ ______________ _______________________

1 і 1 і і 1 і і і

2 х 2 і х 2 і і х

3 х і 3 і х і

4 х х 4 і х х

5 х і і

6 х і х

7 х х і

8 х х х


Загалом, число всіх можливих наборів значень п змінних дорівнює 2n. Наприклад, число допустимих інтерпретацій чотирьох змінних дорівнює 16, п'яти змінних - 32 і т.д.

^ Табличні визначення пропозиціональних зв'язок. Наступний етап побудови логічної теорії полягає в наданні точних значень логічним символам алфавіту. Нагадаємо, що в нашій формалізованій мові вихідними логічними символами є пропозиціональні зв'язки , &, та . Ці зв'язки, як вже мовилося, можна розглядати як знаки функцій істинності - функцій, аргументами і значеннями яких є "істина" або "хиба".

^ Надати значення пропозиціональній зв'язці (в класичній логіці висловів) — це значить поставити їй у відповідність певну функцію істинності.

Які ж функції слід поставити у відповідність зв'язкам , &, та ? Для відповіді на це питання необхідно пригадати, який логічний зміст мають вислови форми  А, (А & В), (А  В), (А  В), за яких умов вони істинні, а за яких - хибні. Ця проблема детально розглядалася в п.1.

Вислів форми  A приймає значення "істина" у тому випадку, коли А хибне; якщо ж А істинне, то  А приймає значення "хиба". Сказане можна виразити за допомогою наступної таблиці: А  А

_________

і х

х і

В першому стовпчику вказані можливі значення формули А (і та х), а в другому - значення, які прийме формула  А у відповідних випадках. Дану таблицю можна розглядати як визначення функції істинності, представленої знаком заперечення. Ця функція об'єкту і ставить у відповідність об'єкт х, а об'єкту х - об'єкт і.

Вислів форми (А & В) істинний, якщо обидва вислови - і А, і В - істинні. Якщо ж хоча б один з них хибний, то (А & В) прийме значення "хиба". Умови істинності і хибності кон'юнктивних формул виразимо у таблиці:

А В А & В

__________________

і і і

і х х

х і х

х х х

У перших двох стовпчиках вказані всі можливі набори значень формул А і В, а в третьому - значення, які прийматиме формула (А & В) у відповідних випадках. Дана таблиця визначає функцію істинності, представлену знаком кон'юнкції таким чином: парі <і, і> ця функція зіставляє об'єкт і, а парам <і, х>, <х, і> та <х, х> — об'єкт х.

Вислів форми (А  В) істинний, якщо принаймні один з двох висловів - А або В - є істинним. Якщо ж обидва вони хибні, то (А  В) прийме значення "хиба". Виходячи з цих умов істинності і хибності формул виду (А  В), задамо табличне визначення диз'юнкції:

А В А  В

__________________

і і і

і х і

х і і

х х х

Вислів форми (А  В) хибний, якщо А істинне, а В хибне. В протилежному випадку, тобто коли А хибне, або В істинне, (А  В) прийме значення "істина". Табличне визначення імплікації виглядає таким чином:

А В А  В

__________________

і і і

і х х

х і і

х х і


Алгоритм побудови таблиць істинності. Задамо тепер алгоритм рішення питання, при яких інтерпретаціях пропозиціональних змінних довільна формула мови приймає значення "істина", а при яких значення "хиба". Інакше кажучи, запропонуємо метод, що дозволяє обчислювати значення будь-якої формули при кожному наборі значень змінних, що входять у її склад. Щоб вирішити вказану задачу, для даної формули А будується таблиця істинності. Її побудова здійснюється таким чином:

1) Перш за все виділяються всі відмінні одна від одної пропозиціональні змінні, що входять у склад ^ А.

2) В стовпчик виписуються всі можливі набори значень цих змінних.

3) У складі формули А виділяються всі підформули (починаючи від елементарних і кінчаючи самою формулою А).

4) Обчислюється значення кожної підформули при кожному наборі значень змінних.

Значення елементарних підформул - пропозиціональних змінних - вже задані пунктом 2. При обчисленні значень складних підформул використовуються табличні визначення зв'язок , &, та . Причому спочатку визначаються значення підформул, що містять одну пропозиціональну зв'язку, потім значення підформул, що містять дві пропозиціональні зв'язки, і т.д. Нарешті, обчислюється значення підформули з максимальним числом зв'язок, тобто саму формулу А.

Побудуємо як приклад таблицю істинності для формули (р   p) & ( р  р). У складі цієї формули міститься одна пропозиціональна змінна — р. Є два набори значень р: <і> та <х>. Підформулами даної формули є р,  р, (р   р), ( р  р) і, нарешті, сама формула (р   p) & ( р  р). Будуємо таблицю істинності згідно з вищеописаним алгоритмом:

р  p (р   p) ( р  р) (р   p) & ( р  р)

________________________________________________________

і х х і х

х і і х х


В першому стовпчику таблиці вказані всі допустимі інтерпретації р - єдиної змінної в нашій формулі. Значення  р визначаються по рядках, виходячи із значень р за визначенням заперечення. Значення (р   р) встановлюються за визначенням імплікації, виходячи із значень р і  p в кожному із рядків: в першому рядку антецедент р істинний, а консеквент  р хибний, тому (р   р) набуває значення х, а в другому - антецедент хибний, а консеквент істинний, тому (р   р) приймає значення і. Значення ( р  р) встановлюються, виходячи із значень антецедента  р і консеквента р: в першому рядку антецедент хибний, а консеквент істинний, тому ( p  p) прийме значення і; в другому рядку антецедент істинний, а консеквент хибний, тому ( р  р) прийме значення х. Значення всієї формули (р   р) & ( р  р) обчислюється виходячи із значень (р   р) і ( р  р) за визначенням кон'юнкції: в першому рядку перший член кон'юнкції хибний, а в другому хибний другий її член, отже, в обох рядках формула (р   p) & ( р  р) прийме значення х.

^ Таблиця для формули А може бути побудована більш компактним чином: виписуються окремо лише елементарні підформули А (для них задаються всі можливі набори значень), значення ж складних підформул вказуються під їх головними знаками у складі формули А. Значення самої формули А вказуються під її головним знаком, і даний стовпець таблиці називається результуючим. ^ Таблиця для формули (р   р) & ( р  р) в більш компактному виді виглядає наступним чином:

р
(р   p) & ( р  р)

___________________________

і х х х х і

х і і х і х

(1) (4) (2) (6) (3) (5)


В стовпчику (1) вказані можливі інтерпретації змінної р, в стовпцях (2) і (3) - значення, які при цих інтерпретаціях приймає формула  р, в стовпці (4) - значення (р   р), в стовпці (5) - значення ( р  р). Значення всієї формули (р   р) & ( р  р) вказані в стовпчику (6), який і є результуючим.

Закони класичної логіки висловів. Використовуючи метод побудови таблиць істинності, можна ефективно вирішувати питання про те, чи є яка-небудь формула мови класичної пропозиціональної логіки законом цієї теорії. Нагадаємо, що законом деякої логічної теорії називається формула, яка приймає значення "істина" при будь-яких інтерпретаціях (допустимих в цій теорії) нелогічних символів, що входять до складу даної формули.

^ Законом класичної логіки висловів є формула, що приймає значення "істина" при будь-яких наборах значень пропозиціональних змінних, що входять у неї. Формули даного типу називають також тотожно-істинними. В результуючому стовпчику таблиці для тотожно-істинної формули в кожному рядку маємо і. Прикладом тотожно-істинної формули є (p & q)  ( p   q).

Твердження "Формула А є тотожно-істинною" будемо записувати скорочено таким чином: "|= А".

Крім множини тотожно-істинних формул корисно також виділити ще два класи формул мови класичної логіки висловів: клас тотожно-хибних і клас формул, що виконуються.

^ Формула називається тотожно-хибною, якщо і тільки якщо вона приймає значення "хиба" при будь-яких наборах значень пропозиціональних змінних, що входять до її складу (тобто у всіх рядках таблиці істинності для цієї формули). Прикладом тотожно-хибної формули є (р   р) & ( p  р).

Формула називається такою, що виконується, якщо і тільки якщо вона приймає значення "істина" принаймні при одному наборі значень пропозиціональних змінних, що входять до її складу (тобто хоча б в одному рядку таблиці для цієї формули). Прикладом формули, що виконується є ((p &  q) (q  r)).

З останнього визначення випливає, що будь-яка тотожно-істинна формула є такою, що виконується, оскільки існує набір значень, при якому вона приймає значення "істина". Тому тотожно-істинна формула (p & q)  ( р   q) відноситься також і до класу таких, що виконуються.

Тепер засобами класичної пропозиціональної логіки можна визначити, чи є довільний вислів природної мови логічно істинним, логічно хибним або логічно недетермінованим (визначення цих термінів дані у методичних вказівках "Предмет і основні поняття логіки"). Для цього необхідно виразити логічну форму даного вислову в мові пропозиціональної логіки і побудувати таблицю істинності для отриманої формули. Якщо у всіх рядках таблиці формула прийме значення "істина", то вихідний вислів є логічно істинним відносно даної теорії. Якщо у всіх рядках формула прийме значення "хиба", то вислів логічно хибний. Якщо ж в деяких рядках формула прийме значення "істина", а в деяких - значення "хиба", то вислів є логічно недетермінованим щодо класичної логіки висловів.

^ 4. Логічні відношення між формулами

Одночасно з виділенням класу логічних законів в рамках логічних теорій розв'язується ще одна задача - встановлюються логічні відношення (відношення по істинності і хибності) між формулами. При цьому враховуються можливі сумісні значення формул при різних інтерпретаціях нелогічних символів в їх складі.

Отже, щоб встановити відношення між формулами в рамках деякої логічної теорії, необхідно визначити, які значення можуть або ж які значення не можуть прийняти ці формули сумісно при допустимих в даній теорії інтерпретаціях нелогічних символів, що входять до складу вказаних формул.

Як фундаментальні логічні відношення виділяють відношення сумісності по істинності, сумісності по хибності і логічного слідування.

Формули деякої множини формул Г називаються сумісними по істинності в деякій логічній теорії Т, якщо і тільки якщо в Т існує інтерпретація нелогічних символів, що входять у згадані формули, при якій кожна формула з Г приймає значення "істина".

В протилежному випадку (тобто коли не існує інтерпретації, при якій формули з Г одночасно є істинні) вказані формули несумісні по істинності.

Формули з множини Г називаються сумісними по хибності в теорії Т, якщо і тільки якщо в Т існує інтерпретація нелогічних символів, що входять у вказані формули, при якій кожна формула з Г приймає значення "хиба".

В іншому випадку (тобто коли не існує інтерпретації, при якій формули з Г одночасно хибні) вказані формули несумісні по хибності.

Найбільш важливим є відношення логічного слідування.

З множини формул Г логічно слідує (випливає) формула В в деякій логічній теорії Т, якщо і тільки якщо в Т не існує інтерпретації нелогічних символів, що входять у Г і у В, при якій кожна формула з Г приймає значення "істина", а формула В - значення "хиба".

В іншому випадку (тобто коли існує інтерпретація, при якій формули з ^ Г одночасно істинні, а В хибна) формула В не слідує (не випливає) логічно з Г.

Твердження "З множини формул Г логічно слідує формула В" записують скорочено таким чином: "Г |= В".

Отже, сформульовано визначення основних логічних відношень між формулами для довільної логічної теорії. В рамках класичної логіки висловів є ефективна процедура, яка дозволяє з'ясовувати, чи є формули деякої множини Г сумісними по істинності, сумісними по хибності, чи випливає (слідує) з них довільна формула В у випадках, коли Г містить скінчене число формул.

Встановити відношення між скінченим числом формул можна заздалегідь, побудувавши для цих формул сумісну таблицю істинності.

Алгоритм побудови сумісної таблиці для декількох формул нескладний. Перш за все необхідно виділити пропозиціональні змінні, які входять в склад принаймні однієї з цих формул. Потім слід задати всі можливі набори значень виділених змінних (записавши їх в стовпчик в таблиці). Потім описаним раніше способом обчислюють значення кожної з формул на кожному із заданих наборів. Побудувавши сумісну таблицю для формул, приступають до встановлення логічних відношень між ними. При цьому використовують ті критерії сумісності по істинності, сумісності по хибності і логічного слідування, які відповідають сформульованим вище визначенням вказаних відношень.

Якщо в сумісній таблиці знайдеться принаймні один рядок, в якому кожна формула приймає значення і, то дані формули сумісні по істинності. Якщо ж рядок, в якому формули одночасно істинні, відсутній, то вони несумісні по істинності.

Якщо в сумісній таблиці знайдеться принаймні один рядок, в якому кожна формула приймає значення х, то вони сумісні по хибності. Якщо ж рядок, в якому формули одночасно хибні, відсутній, то вони несумісні по хибності.

Припустимо, що нам необхідно з'ясувати, чи слідує логічно з формул Al, А2, ..., Аn, формула В. Будуємо сумісну таблицю для формул Al, А2, ..., Аn і В. Якщо в даній таблиці відсутній рядок, в якому формули Al, А2, ..., Аn одночасно істинні, а формула В хибна, то Al, А2, ..., Аn |= В. Якщо ж такий рядок є, то В не слідує логічно з Al, А2, ..., Аn.

Метод таблиць істинності може бути використаний для перевірки правильності висновків, здійснюваних в природній мові. Для того, щоб перевірити висновок засобами класичної логіки висловів, необхідно виразити в мові цієї теорії логічну форму його засновків і висновку. Далі слід побудувати сумісну таблицю істинності для отриманих формул і з її допомогою відповісти на питання, чи слідує логічна форма висновку з логічних форм засновків. Якщо логічне слідування має місце, то даний умовивід є правильним, в іншому ж випадку він неправильний.

На основі фундаментальних логічних відношень - сумісності по істинності, сумісності по хибності і логічного слідування - можуть бути визначені інші типи відношень по істинності і хибності між формулами. Наведемо найбільш вживані з них.

^ Відношення суперечності (контрадикторність). Формули А і В знаходяться у відношенні суперечності, якщо і тільки якщо вони несумісні по істинності і несумісні по хибності.

^ Відношення протилежності (контрарність). Формули А і В знаходяться у відношенні протилежності, якщо і тільки якщо вони несумісні по істинності, але сумісні по хибності.

^ Відношення підпротилежності (субконтрарність). Формули А і В знаходяться у відношенні підпротилежності, якщо і тільки якщо вони сумісні по істинності, але несумісні по хибності.

^ Відношення логічної еквівалентності. Формули А і В логічно еквівалентні, якщо і тільки якщо з А логічно слідує В і з В логічно слідує А. З даного визначення випливає, що в кожному рядку сумісної таблиці обидва логічно еквівалентні формули приймають однакові значення.

^ Відношення логічного підпорядкування. Формула А логічно підпорядковується формулі В, якщо і тільки якщо з В логічно слідує А, але з А не слідує логічно В (тобто в сумісній для А і В таблиці відсутній рядок, в якому В істинна, а А хибна, але є рядок з істинною А і хибною В).

Відношення логічної незалежності. Формули А і В логічно незалежні, якщо і тільки якщо вони сумісні по істинності і по хибності і не слідують одна з другої. З даного визначення виникає, що в сумісній таблиці для логічно незалежних формул А і В є всі можливі комбінації значень: є рядок, в якому вони одночасно істинні, є рядок, в якому вони одночасно хибні, є рядок, в якому А істинна, а В хибна, і нарешті, є рядок в якому В істинна, а А хибна.

^ 5. Основні закони і способи правильних міркувань логіки висловів

В попередніх пунктах був сформульований ефективний метод, який дозволяє в рамках логіки висловів здійснювати перевірку висновків і вирішувати питання про логічну істинність висловів. Однак при практичному використовуванні логіки, тобто при здійсненні і аналізі міркувань в природній мові, кожного разу застосовувати процедуру побудови таблиць істинності було б справою громіздкою. Тому має сенс виділити найважливіші в практиці аргументування логічні закони і способи правильних міркувань. Володіючи цим мінімумом логічних засобів, можна з успіхом користуватися ним в процесі міркування, не остерігаючись вчинити логічну помилку.

Виділимо спочатку найбільш відомі закони логіки висловів. При цьому вкажемо не самі тотожно-істинні формули, а їх типи або, як то кажуть, схеми тотожно-істинних формул.

Почнемо з того, що закони логіки висловів мають одну важливу особливість: якщо будь-яку змінну в них всюди, де вона зустрічається, замінити деякою формулою, то в результаті знову отримуємо тотожно-істинну формулу.

Розглянемо, наприклад, формулу (p & q)  ( p   q). В п.3 було показано, що вона є законом логіки висловів. Замінивши, скажімо, змінну р формулою р  q, а змінну q -формулою  r, отримаємо нову формулу ((p  q) &  r)  ( (p  q)    r). Неважко переконатися в тому, що вона, так само як і початкова формула, є законом логіки висловів.

Отже, якщо в тотожно-істинній формулі (p & q)  ( p   q) замінити всі входження змінної р на довільну формулу А, а всі входження q на довільну формулу В, то отримана формула вигляду  (А & В)  ( А   В) також буде тотожно-істинною.

Розглянемо тепер сам вираз  (А & В)  ( А   В). Він не є формулою мови логіки висловів, оскільки символи А і В не містяться в алфавіті цієї мови. Дані символи ми використовуємо в метамові для позначення довільних формул об'єктної мови - мови пропозиціональної логіки. Інакше кажучи, А і В виступають метазмінними, що пробігають по множині формул. Тому  (А & В)  ( А   В) є метамовним виразом, що репрезентує клас формул зі схожою структурою;

Вирази, що містять метазмінні, які пробігають по формулах об'єктної мови і репрезентують класи формул цієї мови, називають схемами формул. Якщо ж схема формул репрезентує такий клас, кожна формула якого є законом логічної теорії, то її називають схемою законів даної теорії. Метамовний вираз  (А & В)  ( А   В) якраз і є однією зі схем законів класичної логіки висловів.

Подамо приклади деяких схем тотожно-істинних формул.

1. Закон тотожності: А  А. 2. Закон суперечності:  (А &  А). 3. Закон виключеного третього: А  А. 4. Закони видалення &: (А & В)  А, (А & В)  В. 5. Закони введення : А  (А  В), В  (А  В).

Подамо приклад форми правильного умовиводу, найбільш вживаного в практиці аргументування. Цей приклад належить до класу умовно-категоричних умовиводів. Це умовиводи з двох засновків, які містять імплікативний засновок, тобто засновок виду А  В. Другий же ж засновок, а також висновок може бути або антецедентом (А), або консеквентом (В) першого засновку, або запереченням того чи іншого (А або В).

До правильних умовно-категоричних умовиводів належать, наприклад, умовиводи наступного типу: А  В, А

В

Даний спосіб міркування отримав в середньовічній логіці назву modus роnens, що означає "стверджуючий спосіб міркування". Дійсно, у висновку даного типу ми переходимо від ствердження антецедента А імплікативного засновку А  В до ствердження його консеквента В. Прикладом застосування modus роnens є наступний умовивід: "Якщо зауважено спад виробництва, то росте число безробітних. Спад виробництва зауважено. Отже, число безробітних росте."

ЛІТЕРАТУРА

  1. Бочаров В.А., В.И.Маркин. Основы логики. М. 1994.

  2. Гладунський В.Н. Логіка. Для студентів економічних спеціальностей. - Львів, 2002.

  3. Жеребкін В.Є. Логіка. Харків-Київ, 1998.

  4. Карамишева Н.В. Логіка. - Львів, 2000.

  5. Конверський А.Є. Логіка. - Київ, 1998.

  6. Кондаков Н.И. Логический словарь-справочник. - М., 1975.

  7. Тофтул М.Г. Логіка. - Київ, 2003.

  8. Хоменко І.В., Алексюк І.А. Основи логіки. - Київ, 1996.



НАВЧАЛЬНЕ ВИДАННЯ


ЛОГІКА ВИСЛОВІВ


МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ


до вивчення з курсу "Логіка"

для студентів усіх спеціальностей та форм навчання


Укладачі Домбровський Борис Тарасович

Сігунов Георгій Веніамінович

Шадських Юрій Генадійович


Редактор


Комп’ютерне верстання


Схожі:

Міністерство освіти І науки україни iconПоложення про нагородження нагрудним знаком "А. С. Макаренко" Міністерства освіти І науки України
Міністерству освіти І науки України Міністерство освіти І науки Автономної Республіки Крим, управління освіти І науки обласних, Київської...
Міністерство освіти І науки україни iconПоложення про нагородження нагрудним знаком "Василь Сухомлинський" Міністерства освіти І науки України
Міністерству освіти І науки України Міністерство освіти І науки Автономної Республіки Крим, управління освіти І науки обласних, Київської...
Міністерство освіти І науки україни iconПоложення про нагородження нагрудним знаком "Софія Русова" Міністерства освіти І науки України
Міністерству освіти І науки України Міністерство освіти І науки Автономної Республіки Крим, управління освіти І науки обласних, Київської...
Міністерство освіти І науки україни iconРішення про нагородження Нагрудним знаком ухвалюється Колегією Міністерства освіти І науки України, затверджується наказом Міністра І публікується в газеті "Освіта України"
Міністерству освіти І науки України Міністерство освіти І науки Автономної Республіки Крим, управління освіти І науки обласних, Київської...
Міністерство освіти І науки україни iconРішення про нагородження Нагрудним знаком ухвалюється Колегією Міністерства освіти І науки України, затверджується наказом Міністра І публікується в газеті "Освіта України"
Міністерству освіти І науки України Міністерство освіти І науки Автономної Республіки Крим, управління освіти І науки обласних, Київської...
Міністерство освіти І науки україни iconРішення про нагородження Нагрудним знаком ухвалюється Колегією Міністерства освіти І науки України, затверджується наказом Міністра І публікується в газеті "Освіта України"
Міністерству освіти І науки України Міністерство освіти І науки Автономної Республіки Крим, управління освіти І науки обласних, Київської...
Міністерство освіти І науки україни iconМіністерство освіти І науки україни 01135, м. Київ, проспект Перемоги
Міністерства освіти і науки України від 17. 04. 2009 року №341 «Про затвердження Плану дій щодо вдосконалення викладання дисципліни...
Міністерство освіти І науки україни iconПоложення про нагородження нагрудним знаком "Петро Могила" Міністерства освіти І науки України
Міністерство освіти І науки Автономної Республіки Крим, управління освіти І науки обласних, Київської І севастопольської міських...
Міністерство освіти І науки україни iconМіністерство освіти І науки україни пр. Перемоги
Міністерство освіти і науки Автономної Республіки Крим, управління (департаменти) освіти і науки обласних, Київської і Севастопольської...
Міністерство освіти І науки україни iconМіністерство освіти І науки україни пр. Перемоги
Міністерство освіти і науки, молоді та спорту Автономної Республіки Крим, управління (департаменти) освіти і науки обласних, Київської...
Міністерство освіти І науки україни iconМіністерство освіти І науки україни пр. Перемоги
Міністерство освіти і науки, молоді та спорту Автономної Республіки Крим, управління (департаменти) освіти і науки обласних, Київської...
Додайте кнопку на своєму сайті:
Документи


База даних захищена авторським правом ©zavantag.com 2000-2013
При копіюванні матеріалу обов'язкове зазначення активного посилання відкритою для індексації.
звернутися до адміністрації
Документи