Течений жидкости в лопастных гидромашинах а. Н. Кочевский, канд техн наук; В. Г. Неня, канд техн наук icon

Течений жидкости в лопастных гидромашинах а. Н. Кочевский, канд техн наук; В. Г. Неня, канд техн наук




Скачати 291.7 Kb.
НазваТечений жидкости в лопастных гидромашинах а. Н. Кочевский, канд техн наук; В. Г. Неня, канд техн наук
Дата28.07.2012
Розмір291.7 Kb.
ТипДокументи

УДК 510.67: 533.6


СОВРЕМЕННЫЙ ПОДХОД К МОДЕЛИРОВАНИЮ И РАСЧЕТУ
ТЕЧЕНИЙ ЖИДКОСТИ В ЛОПАСТНЫХ ГИДРОМАШИНАХ



А. Н. Кочевский, канд.техн.наук; В. Г. Неня, канд.техн.наук

ВВЕДЕНИЕ

ИСТОРИЯ РАЗВИТИЯ МЕТОДОВ МОДЕЛИРОВАНИЯ И РАСЧЕТА


С самого начала появления гидромашин (а также всех прочих технических устройств) перед инженерами, которые их проектировали, стояла задача – спрогнозировать параметры работы создаваемой ими машины до того, как чертежи будут отданы в производство. Применительно к лопастным гидромашинам задача осложнялась тем, что основные параметры их работы (напор, КПД, потребляемая мощность и др.) определяются картиной течения жидкости внутри проточной части, а течение это по самой природе жидкой среды настолько сложно, что до сих пор нередко единственным надежным методом исследования в механике жидкости остается эксперимент. Лишь в последние годы был достигнут существенный прогресс в создании средств моделирования и расчета течений жидкости, позволяющих выполнять расчет со столь высокой достоверностью получаемых результатов, что необходимый объем эксперимента во многих случаях сводится до минимума.

Со времен появления первых лопастных насосов основным надежным средством прогнозирования характеристик насоса при известных характеристиках геометрически подобного насоса являются формулы теории подобия. Поскольку в реальных гидромашинах строгое геометрическое подобие часто не выдерживается, были также предложены эмпирические формулы, позволяющие учесть эти так называемые немодельные изменения [напр., 1].

При создании новой гидромашины, когда подходящие модельные характеристики отсутствуют, спрогнозировать ее напор и КПД до ее изготовления в металле до недавнего времени было крайне затруднительно. Определить теоретический напор, задавшись треугольниками скоростей на входе и выходе, позволяет уравнение Эйлера. Для определения углов потока в этих треугольниках было предложено множество эмпирических формул для различных классов гидромашин (например, поправка Стодолы – Майзеля).

При отсутствии модельных характеристик спрогнозировать параметры, выдаваемые гидромашиной, возможно лишь по результатам расчета картины течения жидкости внутри ее проточной части. Общий случай движения жидкой среды описывается уравнениями Навье – Стокса, однако их решение ввиду их сложности до недавнего времени было возможно лишь с существенными упрощениями.

Так, с 60-х годов прошлого века, после появления и распространения первых ЭВМ, стали применяться методы, в которых пренебрегалось вязкостью жидкости, т.е. жидкость полагалась идеальной, а ее течение – потенциальным. В нашей стране широкое признание получил метод Раухмана Б. С. [2], позволивший рассчитывать скорости и давления на контурах профилей, лежащих на осесимметричных поверхностях тока, в 2-мерной постановке.

Примерно в то же время были разработаны численные методы решения уравнений Прандтля, описывающих течение вязкой жидкости в пограничном слое, также в 2-мерной постановке [3]. Еще ранее были разработаны первые модели турбулентности. Соответствующий обзор представлен в книгах [4, 5, 6].

Далее были разработаны более сложные методы, в которых течение жидкости в ядре потока полагалось потенциальным, а в пограничном слое вблизи обтекаемых тел – вязким [напр., 7]. Применительно к лопастным гидромашинам такие работы проводились сначала в 2-мерной постановке [напр., 8], а затем и в 3-мерной.

В 70-е годы были разработаны первые методы, позволявшие выполнять численное решение полных уравнений Навье – Стокса и Рейнольдса как в 2-мерной, так и в 3-мерной постановке [6, 9]. С годами как методы решения этих уравнений, так и используемые модели турбулентности постепенно совершенствовались [6], появлялось много работ, демонстрирующих успешное их применение на практике. Эти уравнения научились успешно применять и для расчета течения внутри вращающегося рабочего колеса [10].

Наконец, в последнее десятилетие лучшие из разработанных методов моделирования и расчета течений жидкости и газа в областях произвольной геометрической конфигурации, в том числе в проточных частях гидромашин, были реализованы в виде коммерческих программных продуктов, и эти продукты получили широкое распространение на рынке. Судя по публикациям в ведущих международных журналах по гидромеханике, наиболее серьезных успехов добились, в частности, коллективы разработчиков CFX (Канада – Англия – Германия, http://www-waterloo.ansys.com/cfx/), STAR-CD (Англия, www.cd-adapco.com, www.adapco-online.com), Fluent (США, www.fluent.com), Numeca (Бельгия, www.numeca.be), FlowER (Украина, www.flower3d.org) и др. Хорошая документированность этих и других программных продуктов позволяет достаточно квалифицированному специалисту выполнять с их помощью расчеты течений самостоятельно, лишь с незначительной технической поддержкой со стороны разработчиков.

В данной статье описывается современный подход к моделированию и расчету течений жидкости и газа в лопастных гидромашинах в том виде, в котором он используется в перечисленных программных продуктах. Этот подход предполагает следующую последовательность действий: создание геометрической модели исследуемой проточной части, построение расчетной сетки, выбор подходящей математической модели (ММ), задание граничных условий, параметров расчета и прочих исходных данных, выполнение расчета и, наконец, визуализация и анализ результатов расчета. Особенности выполнения каждого из этих этапов и описаны ниже.

^

СОЗДАНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ


Первый этап подготовки исходных данных для расчета течения – создание твердотельной геометрической модели, имитирующей объем, внутри которого происходит исследуемое течение. Поскольку элементы проточной части гидромашин (рабочее колесо, спиральный отвод) часто имеют весьма сложную форму, создание их твердотельной модели является нетривиальной задачей.

В настоящее время на рынке существует целый ряд программных продуктов, позволяющих эффективно справиться с этой задачей – SolidWorks (http://www.solidworks.com), T-Flex (Россия, http://www.tflex.com, http://www.tflex.ru), Unigraphics (http://www.eds.com/products/plm/unigraphics_nx), Autocad Mechanical Desktop (http://www.autodesk.com), ProEngineer (http://www.ptc.com), Catia (http://www.catia.ibm.com). После создания твердотельной модели в каком-либо из этих программных продуктов имеется возможность сохранить ее в одном из широко используемых форматов файлов – VRML, IGES, STL. При этом сложная поверхность твердотельной модели аппроксимируется множеством плоских фасеток (ячеек), и в этих файлах хранятся координаты узлов этих фасеток. Кроме того, перечисленные во введении программные продукты имеют и собственные средства создания геометрической модели: CFX-Build в пакете CFX, PROSTAR в пакете STAR-CD, GAMBIT в пакете Fluent.

Лопастные рабочие органы гидромашин имеют специфическую форму, и для создания их геометрической модели были разработаны специализированные программные продукты, в частности CFX-BladeGen. По умолчанию окно этой программы разделено на 4 вида, отображающие соответственно меридианную проекцию, профиль лопасти (в данном сечении), зависимость угла профиля и угла охвата от осевой координаты и зависимость толщины профиля от осевой координаты [11, 12]. Интерфейс программы позволяет отобразить также многие другие важные зависимости, в частности закон изменения площади проходного сечения, а также аксонометрию создаваемой модели. Созданную геометрическую модель можно сохранить в одном из широко используемых форматов и передать далее для построения расчетной сетки.

^

ПОСТРОЕНИЕ РАСЧЕТНОЙ СЕТКИ


Построение расчетной сетки – это процесс разбиения расчетной области на множество отдельных ячеек. Ячейки сетки представляют собой многогранники, обычно тетраэдры, гексаэдры, призмы или пирамиды (рис. 1). Кромки этих ячеек образуют линии расчетной сетки, а точки, расположенные на кромках либо в центре ячеек, – узлы расчетной сетки. В результате численного решения уравнений математической модели именно в узлах расчетной сетки и определяются искомые параметры течения.




Гексаэдр


Пирамида


Призма


Тетраэдр



^ Рисунок 1 – Типовые формы ячеек сетки


Основное требование к расчетной сетке – она должна быть достаточно густой, чтобы разрешить физические эффекты, происходящие внутри расчетной области. Для достижения равномерной точности расчета узлы сетки должны более густо располагаться в местах быстрого изменения параметров течения, в частности у стенок. Кроме того, при построении сетки необходимо избегать получения чрезмерно вытянутых или перекошенных ячеек, форма которых слишком сильно отличается от правильных многогранников, – при наличии таких ячеек может существенно затруднится получение сходящегося решения.

Различают структурированные и неструктурированные расчетные сетки. В неструктурированных расчетных сетках узлы сетки разбрасываются в пространстве случайным образом согласно задаваемому закону плотности расположения узлов. Это делает возможным построение сетки внутри области сколь угодно сложной формы. Однако разностные аналоги уравнений ММ на такой сетке оказываются громоздкими. Для построения структурированной сетки расчетная область разбивается на блоки согласно некоторой, задаваемой пользователем топологии разбивки, и в пределах каждого блока строится расчетная сетка, на узлы которой можно ссылаться по номерам 3-мерного массива. Применение такой сетки позволяет организовать наиболее экономичные алгоритмы расчета [13].

Как правило, ведущие программные продукты расчета течений жидкости имеют собственные генераторы сеток (CFX-Build, pro-am в STAR-CD, GAMBIT и TGrid во Fluent, IGG Multi-blocks и IGG AutoGrid в Numeca). Программный продукт CFX-TurboGrid, входящий в пакет CFX, позволяет строить высококачественные расчетные сетки специально для лопастных элементов проточной части гидромашин, в том числе позволяющие моделировать течение в зазоре между роторным и статорным элементами [14]. Такое же назначение имеет программный продукт G/Turbo в пакете Fluent. Кроме того, широкое распространение получил генератор сеток ICEM CFD (http://www.icemcfd.com), который позволяет строить расчетные сетки в областях произвольной сложности и сохранять их в форматах, совместимых с каждым из перечисленных выше программных пакетов.

При выполнении серьезных расчетов их необходимо провести на нескольких расчетных сетках, различающихся количеством узлов, чтобы выявить, начиная с какого количества узлов получаемое решение практически перестает зависеть от расчетной сетки.


^

УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ


Расчет течения жидкости или газа в современных программных продуктах выполняется путем численного решения системы уравнений, описывающих наиболее общий случай движения жидкой среды. Таковыми являются уравнения Навье – Стокса (1) и неразрывности (2):

, (1)

. (2)

Здесь использована сокращенная запись уравнений, i, j = 1-3, предполагается суммирование по одинаковым индексам, x1, x2, x3 – оси координат, t – время. Полная запись этих уравнений в криволинейной системе координат приведена, напр., в [15]. Член fi выражает действие массовых сил.

В этой системе из 4 уравнений независимыми искомыми параметрами являются 3 компоненты скорости u1, u2, u3 и давление p. Плотность ρ жидкости, а также газа при скоростях до 0,3 числа Маха полагается величиной постоянной.

Течения во вращающихся рабочих органах гидромашин рассматриваются в относительной системе отсчета, при этом член fi в правой части уравнений (1) выражает действие центробежных и кориолисовых сил:

,

где – угловая скорость вращения;– радиус-вектор (модуль которого равен расстоянию от данной точки до оси вращения).

В качестве граничных условий, как правило, задаются условие прилипания на всех твердых стенках (скорость равна нулю), распределение всех составляющих скорости во входном сечении и равенство нулю первых производных (по направлению течения) составляющих скорости в выходном сечении. На практике, если скорость потока на входе примерно равномерна по сечению, пользователь задает на входе лишь среднюю скорость (или расход), а на выходе не задает ничего – при этом полагается, что пользователь выбрал выходное сечение достаточно далеко от участков интенсивной перестройки потока. Давление входит в уравнения (1) лишь в виде первых производных, и пользователю требуется указать давление лишь в какой-то одной точке расчетной области.

Течения в гидромашинах, как правило, являются турбулентными. Непосредственное моделирование турбулентных течений путем численного решения уравнений Навье – Стокса, записанных для мгновенных скоростей, все еще является крайне затруднительным, а кроме того, интерес представляют, как правило, не мгновенные, а осредненные по времени значения скоростей. Таким образом, для анализа турбулентных течений вместо уравнений (1) используют уравнения Рейнольдса (3):

, (3)

где, , – осредненные по времени значения скоростей;

, , – пульсационные составляющие скоростей.

Для замыкания этих уравнений используются различные модели турбулентности, обзор которых приведен в следующем разделе.

Заметим, что, помимо представленных здесь уравнений, в ведущих программных продуктах реализованы ММ, позволяющие выполнять расчет сжимаемых течений (до-, транс- и сверхзвуковых), течений с теплообменом, в т.ч. радиационным теплопереносом, течений с кавитацией, течений смеси нескольких жидкостей, многофазных течений, течений с химическими реакциями и горением, и др. Вообще говоря, тенденцией развития ведущих программных продуктов является реализация в каждом из них набора ММ, позволяющих как можно более полно моделировать все встречающиеся на практике физические эффекты. Пользователь подключает нужные модели на стадии постановки задачи несколькими щелчками мышки, задавая затем соответствующие граничные условия и прочие требуемые данные.

Отметим, что в инженерной практике встречаются задачи, в которых имеет место упругая деформация стенок расчетной области вследствие давления со стороны потока жидкости, и при этом расчет течения жидкости и расчет деформации стенки (например, лопасти рабочего колеса) приходится проводить совместно. Среди программных продуктов, способных решать такого рода задачи, следует отметить Ansys (www.ansys.com) – один из наиболее авторитетных программных продуктов, применяемых для прочностных расчетов, а также совместных расчетов физических процессов различной природы. Пакет Ansys содержит собственный модуль Flotran, предназначенный для расчета течений жидкости и газа. Кроме того, в пакетах CFX и STAR-CD предусмотрен формат данных, совместимый с Ansys, что позволяет решать указанные задачи совместным применением указанных пакетов.

^

МОДЕЛИРОВАНИЕ ТУРБУЛЕНТНОСТИ


В современных программных продуктах расчета течений жидкости и газа используется множество различных моделей турбулентности. В данном обзоре мы упомянем наиболее апробированные и распространенные модели.

^ 1 Алгебраические модели турбулентной вязкости

Модели этой группы используют гипотезу Буссинеска. Согласно этой гипотезе члены с пульсациями скорости в уравнениях (3) связаны с осредненными параметрами потока следующим соотношением:

, (4)

где μt – коэффициент турбулентной вязкости;– кинетическая энергия турбулентности; δij = 1 при i = j, δij = 0 при i ≠ j.

Эти модели, описанные, в частности, в [4, 5, 6], являются наиболее экономичными моделями турбулентности, используемыми при расчетах течений жидкости и газа. Недостатком этих моделей является невозможность (либо ограниченная возможность) учета предыстории потока, т.е. невозможность моделирования переноса энергии турбулентности от расположенных выше по течению слоев жидкости. Как следствие, применение этих моделей для проведения серьезных расчетов ограничено, хотя, например, модель Болдуина – Ломакса неплохо зарекомендовала себя для расчетов сжимаемых течений [напр., 16].

В современных программных продуктах такие модели используются для быстрого приближенного анализа течений жидкости. В частности, модель этой группы реализована в программе CFX-BladeGenPlus, входящей в пакет CFX.

^ 2 Модели, предполагающие решение 2 дифференциальных уравнений

Модели этой группы также используют гипотезу Буссинеска (4).

До сих пор в современных программных продуктах широко используется k – ε модель турбулентности, разработанная еще в 70-е годы [17], а также ее модификации. При использовании этой модели система уравнений движения жидкости дополняется 2 дифференциальными уравнениями, описывающими перенос соответственно кинетической энергии турбулентности k и скорости диссипации ε

, (5)

, (6)

где – член, выражающий генерацию энергии k,

, .

Параметры ε и μt определяются следующим образом:

, .

Константы k – ε модели согласно работе [17]: Сμ = 0.09, Сε 1 = 1.44, Сε 2 = 1.92, σk = 1.0, σε = 1.3.

Остановимся на некоторых аспектах, связанных с этой моделью.

Расчеты показывают, что вблизи твердых стенок происходит весьма резкое изменение параметров k и ε . Для надлежащего разрешения этих изменений приходится использовать весьма густую расчетную сетку. Вместо этого часто используют подход, при котором у стенки выделяется небольшая область, в которой не выполняется численное решение уравнений (5) и (6), а вместо этого искомые параметры рассчитываются по алгебраическим формулам, описывающим типовые пристеночные слоев [18]. В современных программных продуктах, в частности, CFX-TASCflow, реализованы оба эти подхода.

Недавно проведенные исследования [19] показали, что результаты расчета, получаемые при использовании kε модели, могут сильно зависеть от расстояния, на которое удалены от твердой стенки ближайшие к ней узлы расчетной сетки. Было замечено противоречие основному принципу математического моделирования, согласно которому по мере сгущения расчетной сетки результаты расчета должны асимптотически стремиться к некоторым значениям. Оказалось, что первые узлы расчетной сетки обязательно должны попадать примерно на границу вязкого подслоя. Для обеспечения этого условия в CFX-TASCflow были реализованы так называемые масштабируемые пристеночные функции, благодаря чему программа сама определяет, в каких узлах сетки нужно переключиться на пристеночные функции, страхуя пользователя от ошибок.

Недостатками k – ε модели является низкая точность при моделировании течений с отрывом от гладких поверхностей, а также отмеченная выше необходимость применения специальных приемов при расчете течения вблизи стенок. Этих недостатков лишена разработанная Уилкоксом kω модель турбулентности [20], которая также часто используется в современных программных продуктах. В этой модели вместо ε вторым моделируемым параметром является частота турбулентных пульсаций ω, а перенос параметров k и ω моделируется следующими уравнениями:

, (7)

, (8)

где ; ω = ε / k β*; μt = ρ k / ω.

Константы k – ω модели, [2о]: β* = 0,09; α = 5/9; β = 3/404 σk = 24 σω = 2.

В свою очередь, недостатком kω модели, в отличие от kε модели, является чрезмерно сильная зависимость результатов расчета от задаваемых значений ω во входном сечении [21]. С целью объединить достоинства этих моделей Ментер [22] предложил гибридную модель турбулентности, названную им BSL (Baseline Model – базовая модель), в которой используется весовая функция F1 для плавного переключения от kε модели, хорошо работающей в ядре потока, к kω модели, хорошо работающей вблизи стенок. Уравнения (7) и (8) умножаются на F1 и складываются с уравнениями (5) и (6), умножаемыми на (1 – F1), причем F1 плавно изменяется от единицы вблизи стенок до нуля в ядре потока.

В той же работе Ментер предложил и еще одну модель, уточнив формулу вычисления весовой функции F1 и установив ограничитель на значения коэффициента μt, что позволило более точно моделировать отрыв от гладких поверхностей. Новая модель получила название SST (Shear Stress Transport – модель переноса сдвиговых напряжений) и была взята на вооружение в программном продукте CFX-TASCflow как наиболее удачная из моделей, основанных на 2 дополнительных дифференциальных уравнениях [23]. В последние годы различными исследователями был опубликован целый ряд работ (напр., [16, 24]) с результатами расчетов, полученными именно с SST – моделью турбулентности.

Вместе с тем отметим, что гипотеза Буссинеска, используемая во всех перечисленных выше моделях турбулентности, фактически представляет собой допущение об изотропии турбулентности. В ряде случаев, например в сильно закрученных течениях, анизотропия турбулентных пульсаций является резко выраженной, и все эти модели при расчете таких течений дают неточные результаты.

^ 3 Модели напряжений Рейнольдса

Эти модели, также реализованные в перечисленных во введении программных продуктах, отражают более глубокое понимание природы турбулентности и предоставляют больше возможности моделировать связанные с ней физические эффекты. В частности, эти модели уместно использовать при расчете сильно закрученных течений.

Модель RSM (Reynolds Stress Model – полная модель напряжений Рейнольдса) может быть основана на kε , kω либо SST - модели, однако в дополнение к 2 дифференциальным уравнениям этих моделей предполагает решение еще 6 дифференциальных уравнений, описывающих перенос каждого их 6 напряжений Рейнольдса:, , , , и. Эти напряжения далее подставляются в уравнения (3), не используя гипотезу Буссинеска (4). Уравнения модели RSM были выведены во многом благодаря работам Ротта, в частности [25, 26]. Недостатками этой модели является существенное увеличение времени расчета течения на одной глобальной итерации, а главное - существенное затруднение сходимости процесса расчета в целом.

По указанным причинам на практике вместо модели RSM чаще используется модель ASM (Algebraic Stress Model – алгебраическая модель напряжений Рейнольдса). В этой модели, в отличие от модели RSM, перенос каждого их 6 напряжений Рейнольдса моделируется не дифференциальными, а алгебраическими уравнениями. Такой подход был предложен Роди [27]. Эти уравнения решаются совместно, они сводятся к матрице размером 6 х 6, а результаты также подставляются в уравнения (3).

^ 4 Модели LES и DNS

Эти модели (LES – Large Eddy Simulation – моделирование крупных вихрей, DNS – Direct Numerical Simulation – непосредственное численное моделирование) являются, пожалуй, наиболее сложными из разработанных на сегодняшний день моделей турбулентности. Наблюдая за турбулентными процессами, ученые подметили, что частички жидкости и газа в турбулентном потоке вовлечены в пульсационное движение, которое можно представить как суперпозицию пульсаций весьма различной интенсивности и частоты. Причем большая часть энергии турбулентности приходится на крупномасштабное пульсационное движение, т.е. пульсации большой амплитуды. Эти модели представляют собой попытку непосредственно рассчитывать крупномасштабное пульсационное движение (модель DNS – путем решения уравнений Навье – Стокса для мгновенных скоростей), а мелкомасштабное пульсационное движение (амплитуда пульсаций которого меньше размеров ячеек расчетной сетки) моделировать обычными моделями турбулентности.

Эти модели включаются лишь в самые последние версии CFX, STAR-CD, Fluent, уже появились публикации, где эти модели с успехом применялись для расчета конкретных течений [напр., 28].

^

ДИСКРЕТИЗАЦИЯ УРАВНЕНИЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ


Как известно, основными подходами к дискретизации уравнений математической модели являются МКР (метод конечных разностей), МКЭ (метод конечных элементов) и МКО (метод конечных объемов). Всех их можно рассматривать как разновидности более общего подхода, называемого методом взвешенных невязок. МКР является, пожалуй, наиболее простым и интуитивно понятным, однако его применение затрудняется на неструктурированных сетках. МКЭ одинаково успешно работает на структурированных и неструктурированных сетках, что делает удобным его применение в областях сколь угодно сложной геометрической конфигурации. Важным достоинством МКО является обеспечение закона сохранения интегральных величин (расхода, количества движения) на каждой из ячеек расчетной сетки, а не только в пределе, по мере достаточно сильного сгущения расчетной сетки.

В современных программных продуктах, как правило, используется именно МКО с элементами конечно-элементного подхода, что позволяет сочетать указанные достоинства этих методов.

Отдельным наукоемким аспектом является дискретизация члена, выражающего процесс конвекции. При обычном способе дискретизации этого члена точность результатов расчета снижается по мере увеличения несовпадения между линиями расчетной сетки и направлением конвективного переноса (т.е. линиями тока жидкости). Причиной этого является так называемая численная диффузия, состоящая в чрезмерно быстром сглаживании эпюр скорости между соседними слоями потока, особенно при расчете трансзвуковых течений с ударными волнами. Недавно в работах [29, 30, и др.] были предложены специальные схемы дискретизации этого члена, в которых учитывается получаемое в результате расчета направление конвективного переноса, и в настоящее время эти схемы дискретизации взяты на вооружение в ведущих программных продуктах. Применение этих схем дискретизации весьма важно и при расчете течений в гидромашинах, для которых характерно наличие закрученных и обратных течений, особенно на нерасчетных режимах.

^

АЛГОРИТМ ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ
УРАВНЕНИЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ


Одним из первых алгоритмов численного решения уравнений Навье – Стокса (и Рейнольдса) стал алгоритм SIMPLE, разработанный Патанкаром [9, 32], и этот алгоритм (с рядом модификаций) до сих пор применяется во многих ведущих программных продуктах (в частности, STAR-CD). Расчет начинается с некоторого заданного в качестве исходных данных начального приближения. На каждой глобальной итерации вычисляются поля скоростей и давления, получаемые по истечении времени, указанного в качестве шага интегрирования. Стационарное решение задачи, если оно существует, достигается по истечении достаточно большого количества глобальных итераций, соответствующих достаточно большому промежутку времени.

Хотя дифференциальные уравнения ММ (2), (3), (5) и (6) (или (7) и (8)) образуют систему, в методе SIMPLE на каждой глобальной итерации они решаются последовательно, отдельно друг от друга. Этим достигается сравнительно небольшой размер матрицы СЛАУ, к которой сводится каждое из уравнений ММ, причем эта матрица для (почти) каждого из этих уравнений имеет примерно сходную структуру. Таким образом, алгоритм расчета в целом оказывается (сравнительно) простым, однако скорость сходимости базовой версии алгоритма SIMPLE для многих задач оказывается весьма низкой.

С тех пор был разработан ряд вычислительных приемов, усложняющих алгоритм, но позволяющих ускорить процесс сходимости, и эти приемы были реализованы, в частности, в CFX-TASCflow.

^ 1 Многосеточный алгоритм

Отдельные глобальные итерации выполняются на более грубых расчетных сетках, что позволяет быстрее приблизиться к искомому сходящемуся решению. При этом пользователь никаких новых сеток не строит, весь процесс выполняется программой расчета автоматически. Программа сама отыскивает направления, в которых целесообразно разредить сетку для ускорения сходимости на данном шаге, и составляет дискретные аналоги уравнений ММ относительно узлов этой разреженной сетки. Подробнее алгоритм описан в работе [32].

^ 2 Совместное решение уравнений неразрывности и движения

Согласно алгоритму, предложенному в [33] и реализованному в CFX-TASCflow, численное решение уравнений (2) и (3) в пределах одной глобальной итерации выполняется не последовательно, а совместно. Это приводит к многократному увеличению размера матрицы СЛАУ, усложнению ее структуры и алгоритма решения СЛАУ и соответственно к увеличению времени расчета на одной глобальной итерации. Тем не менее такой подход оправдывает себя вследствие существенного увеличения скорости сходимости алгоритма в целом – для достижения сходимости требуется меньшее число глобальных итераций. Прочие уравнения ММ (5) и (6) (или (7) и (8)), как и в алгоритме SIMPLE, в пределах одной итерации решаются последовательно.

^

ОСОБЕННОСТИ РАСЧЕТА ТЕЧЕНИЙ В ЛОПАСТНЫХ ГИДРОМАШИНАХ


Для лопастных гидромашин характерно наличие вращения роторных элементов проточной части относительно статорных элементов и, таким образом, постоянное изменение геометрии расчетной области, а также весьма сложная геометрическая конфигурация расчетной области в целом (большое количество межлопастных каналов, отсутствие симметрии течения).

В настоящее время используется несколько подходов к расчету таких течений. Эти подходы различаются используемыми допущениями, ресурсоемкостью расчетов и адекватностью получаемых результатов.

^ 1 Одна система координат

а) постоянные граничные условия

Такой подход позволяет рассчитывать течение в отдельно взятом элементе проточной части. При анализе течения в направляющем аппарате используется неподвижная система координат, в рабочем колесе – вращающаяся система координат, связанная с поверхностью колеса. Пользователь задает эпюры скорости (осевую и окружную скорости) на входе в рассматриваемый элемент.

Этот подход удобен для быстрого анализа течения в отдельно взятых рабочих органах и реализован, в частности, в программе CFX-BladeGenPlus, входящей в пакет CFX. Расчет при этом является наиболее экономичным. Получаемые результаты, однако, зависят от граничных условий, которые пользователь во многих случаях не может знать точно. Кроме того, данный подход не позволяет учесть взаимодействие между соседними элементами проточной части.

б) переменные (периодически меняющиеся со временем) граничные условия

Переменные граничные условия на входе представляют собой попытку имитировать следы от лопастей расположенного выше по течению элемента проточной части. Эти следы имитируются эпюрой скорости, вращающейся относительно рассматриваемой системы координат.

Данный подход требует больше расчетных усилий по сравнению с предыдущим. При этом недостатки, свойственные предыдущему подходу, сглаживаются, но все же остаются в силе.

^ 2 Две (или более) системы координат

В гидромашинах, как правило, существенное значение имеет взаимное влияние вращающейся и неподвижной лопастных систем, и для надлежащего моделирования течения расчетная область должна охватывать всю проточную часть, включая неподвижные и вращающиеся межлопастные каналы. Для экономии вычислительных ресурсов, как правило, в расчетную область включают лишь по одному межлопастному каналу рабочих органов гидромашины, полагая, что в прочих каналах течение периодически повторяется. Зато это дает возможность использовать для расчета течений в отдельных каналах достаточно густую расчетную сетку.

Расчет течения выполняется совместно: в неподвижных элементах проточной части – в неподвижной системе координат, во вращающемся рабочем колесе – в системе координат, вращающейся вместе с колесом. Иными словами, в уравнениях ММ (2), (3), (5) и (6) (или (7) и (8)) всегда фигурируют скорости в относительном движении. Пользователь готовит геометрию неподвижных и вращающихся рабочих органов по отдельности, а затем для выполнения расчета состыковывает их по указываемым им поверхностям интерфейса. Поверхность интерфейса задается пользователем произвольно, желательно приблизительно посредине между соседними лопастными системами (рис. 2).

Отметим, что даже если число лопастей в соседних элементах проточной части не является равным или кратным (как правило, в гидромашинах так и есть), современные программные продукты являются достаточно интеллектуальными, чтобы правильно интерпретировать условия сопряжения на поверхности интерфейса.

В современных программных продуктах реализованы следующие виды условий сопряжения, задаваемых на поверхности интерфейса:

а) Stage Averaging – осреднение по окружности

На поверхности интерфейса выполняется осреднение параметров расчета в окружном направлении. Иными словами, полагается, что следы от лопастей элемента проточной части, расположенного выше по течению, полностью сглаживаются, и на входе в следующий элемент проточной части течение является осесимметричным. Этот вид интерфейса рекомендуется использовать, когда расстояние между лопастными системами соседних элементов проточной части достаточно велико, например, при расчете течения в осевом насосе.

б) Frozen Rotor – “замороженный” ротор

В процессе расчета роторные элементы проточной части полагаются зафиксированными в определенном угловом положении относительно статорных элементов. Осреднение на поверхности интерфейса не выполняется, что позволяет моделировать воздействие следа от лопасти одного элемента на течение в межлопастном канале следующего элемента. Этот вид интерфейса уместно использовать, когда расстояние между соседними элементами проточной части мало, например, на стыке между рабочим колесом и спиральным отводом.

в) True Transient – полностью нестационарный анализ

В этом подходе расчет выполняется без всяких упрощающих допущений. Взаимное угловое положение решеток лопастей обновляется после каждой глобальной итерации. Этот подход позволяет наиболее полно моделировать все нестационарные эффекты, происходящие на стыке лопастных систем. Вместе с тем этот подход является наиболее ресурсоемким, требует задания очень малого шага интегрирования по времени, процесс расчета медленно сходится. Кроме того, если число лопастей в соседних лопастных системах не является кратным, приходится вводить в рассмотрение все межлопастные каналы, что многократно увеличивает требуемые ресурсы и время расчета.





Рисунок 2 – Типовая расчетная область, расчетная сетка и поверхность интерфейса
в лопастной гидромашине (http://www.adapco-online.com/feature_arts/rotflow1.html)



На практике полностью нестационарному анализу, как правило, предпочитают метод “замороженного” ротора, поскольку интегральные параметры (напор, КПД), вычисленные в результате расчетов по этим методам, обычно различаются незначительно.

^

РАСПАРАЛЛЕЛИВАНИЕ ВЫЧИСЛЕНИЙ


Проведение расчетов течения в проточной части гидромашин чаще всего вызвано потребностью в прогнозировании выдаваемых ими параметров на рабочем режиме. Для такого типового расчета можно порекомендовать использовать расчетную область, включающую, например, 1 межлопастной канал направляющего аппарата + 1 межлопастной канал рабочего колеса, условие сопряжения на поверхности интерфейса – Stage Averaging или Frozen Rotor. Практика показывает, что для достижения сеточной независимости решения при этом необходимо использовать расчетную сетку, включающую порядка 0.2 – 1 млн. узлов. Для этого понадобится задействовать порядка 0.2 – 1 Гбайт оперативной памяти, а время проведения такого расчета на современном персональном компьютере может составлять порядка 0.2 – 1 суток [24]. При таком числе узлов удается выполнить рекомендацию руководств пользователя ведущих программных продуктов о том, что для надлежащего разрешения пограничных слоев у твердых стенок не менее 10 – 15 узлов сетки должны попадать в пределы пограничного слоя. При использовании более грубых расчетных сеток результаты тоже, вероятнее всего, будут качественно правильными, но количественно будут неточными.

Если же нужно выполнить совместный расчет течения в нескольких межлопастных каналах или нескольких ступенях, либо со сложными моделями турбулентности, либо на нерасчетных подачах, либо при наличии дополнительных физических процессов, либо с использованием полностью нестационарного анализа (True Transient), то требуемый объем памяти и время расчета значительно возрастут. Можно многократно повысить скорость решения таких задач, используя несколько процессоров в одном компьютере либо несколько компьютеров, объединенных в одну сеть.

Поддержка многопроцессорности реализована во всех перечисленных во введении программных продуктах. При выполнении расчета программа автоматически разбивает расчетную область на отдельные подобласти, размер которых пропорционален быстродействию соответствующего процессора. Алгоритм расчета работает таким образом, что каждый процессор выполняет расчет течения лишь в своей подобласти, а после каждой глобальной итерации происходит “склеивание” получаемого решения. Используемые в современных программных продуктах алгоритмы распараллеливания вычислений позволяют достигать ускорения с эффективностью, близкой к 100%. Иными словами, время расчета оказывается обратно пропорциональным суммарной вычислительной мощности всех используемых процессоров.

Значительная часть публикуемых в настоящее время работ по вычислительной гидромеханике посвящена совершенствованию алгоритмов распараллеливания вычислений, см., напр., [34].

^

ВИЗУАЛИЗАЦИЯ И АНАЛИЗ РЕЗУЛЬТАТОВ РАСЧЕТА


Процесс расчета течения выполняется до достижения заданного пользователем критерия сходимости, заданного количества глобальных итераций либо пока не будет прерван пользователем. По умолчанию в современных программных продуктах результаты расчета течения сохраняются в виде файла, содержащего всю информацию о течении, достаточную, чтобы возобновить расчет из последнего состояния. Можно указать программе сохранять и промежуточные состояния, что позволит визуализировать динамику изменения картины течения. Таким образом, в файле результатов хранятся координаты всех узлов расчетной сетки и значения основных параметров течения в этих узлах.

Интерфейс современных программных продуктов позволяет отобразить расчетную область на экране монитора и, к примеру, раскрасить эту область различными цветами в соответствии со значениями рассчитанной переменной – любой стандартной переменной, либо созданной пользователем, формулу расчета которой пользователь может ввести сам.

Набор имеющихся средств визуализации обычно включает: двумерный график, векторное поле, изолинии и изоповерхности (линии и поверхности равных значений некоторого параметра), разноцветную заливку, анимацию движения частиц жидкости и др. Расчетную область с нанесенной на нее картиной визуализации можно повращать, переместить, увеличить и т.п., и записать этот процесс в виде анимационного фильма.

В современных программных продуктах реализована и возможность получения интегральных параметров расчета, в том числе типичных для гидромашин: коэффициент потерь, напор, потребляемая мощность, КПД, крутящий момент, осевая сила и т.д., причем пользователь может редактировать формулы, по которым вычисляются эти параметры.

Весь этот набор средств позволяет детально рассмотреть рассчитанную картину течения и проанализировать эффекты, которые там имеют место (зоны низких скоростей, обратные токи, и т.п.). Это позволяет понять, чем обусловлено влияние геометрических параметров расчетной области на интегральные параметры течения.

Отметим, что на рынке получили распространение и специализированные средства визуализации результатов расчета, которые считывают файлы результатов программ расчета и предоставляют пользователю еще более широкий набор средств визуализации по сравнению с описанным выше. Таковыми являются, в частности, программные продукты TecPlot (http://www.amtek.com), ICEM CFD Visual 3 (http://www.icemcfd.com) и др.

ОПТИМИЗАЦИЯ


В современных программных продуктах предусмотрены также средства оптимизации геометрических параметров расчетной области (в частности, модуль Optimus в пакете FlowER). При этом пользователь должен поставить задачу оптимизации, т.е. указать параметры оптимизации, допустимый диапазон их изменения, прочие ограничения и целевую функцию, а также указать метод оптимизации. На каждом шаге оптимизации программа полностью выполнит численный расчет течения в рабочей области с соответствующим набором геометрических параметров. Конечно, время расчета при этом оказывается чрезвычайно большим, что затрудняет использование такого подхода. Тем не менее в будущем этот подход, видимо, станет очень мощным средством проектирования гидравлически совершенных проточных частей.

Пример успешного применения его в настоящее время описан, в частности, в работе [24]. В этой работе выполнялась оптимизация ступени турбины с помощью программных пакетов Flower (модуль Optimus) и CFX-TASCflow. Оптимизация выполнялась при наличии ограничений в виде штрафных функций. На одну ступень приходилось около 150 тыс. ячеек расчетной сетки. Для отыскания оптимального решения методом Нелдера – Мида потребовалось выполнить 77 итераций, что соответствовало 136 расчетам течения в ступени. Процесс решения этой задачи занял 12 суток на компьютере PC Celeron с тактовой частотой процессора 1.3 МГц.

ВЫВОД


Проведен обзор технологии моделирования и расчета течений жидкости в гидромашинах с помощью ведущих современных программных продуктов, описаны реализованные в них возможности. Обзор литературы свидетельствует, что перечисленные программные продукты (CFX, STAR-CD, Fluent, Numeca, FlowER) позволяют адекватно моделировать сложные физические эффекты, имеющие место при течении жидкости в проточных частях гидромашин, и выполнять расчет течения в приемлемое время. Они предоставляют пользователю удобные средства подготовки исходных данных и анализа результатов расчета, и являются мощным средством, позволяющим с высокой точностью прогнозировать характеристики проточных частей гидромашин на стадии их проектирования, экономя ресурсы на проведение физического эксперимента.


SUMMARY


The article describes various aspects of mathematical modeling of fluid flows, both in general and with reference to hydraulic machinery. The article reviews historical development of corresponding methods of mathematical modeling. Implementation of these aspects in modern commercial CFD-tools is described together with advantages and disadvantages of implemented methods. The conclusion is drawn concerning possibilities of computation of fluid flows nowadays.


^ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ


  1. Бірюков О. І., Кочевський М. М. Врахування впливу немодельних змін на характеристики ступеня відцентрового насоса // Вестник НТУУ "КПИ". – Київ, 2000. – Т. 36, Ч. 1. – C. 197-204.

  2. Раухман Б. С. Расчет обтекания несжимаемой жидкостью решеток профилей на осесимметричной поверхности в слое переменной толщины // Изв. АН СССР, МЖГ. – 1971. – № 1. – C. 83–89.

  3. Rouleau W. T., Osterle J. F. The Application of Finite Difference Methods to Boundary-Layer Type Flows // J. Aeronaut. Sci. – 1955. – Vol. 22. – P. 249-254.

  4. Федяевский К. К., Гиневский А. С., Колесников А. В. Расчет турбулентного пограничного слоя несжимаемой жидкости. – Л.: Судостроение, 1973. – 256 с.

  5. Cebeci T., Smith A. M. O. Analysis of Turbulent Boundary Layers. – New York: Academic, 1974.

  6. Андерсон Д., Таннехилл Дж., Плетчер Р. Вычислительная гидромеханика и теплообмен: В 2 томах/ Пер. с англ. – М.: Мир, 1990. – 728 с.

  7. Квон О., Плетчер Р. Расчет несжимаемых оторвавшихся пограничных слоев с учетом вязко-невязкого взаимодействия // Теоретические основы инженерных расчетов : Труды американского общества инженеров-механиков. – 1979. – Т. 101, № 4. – С. 171-180.

  8. Косторной С. Д. Математическое моделирование течения жидкости в лопастных гидромашинах с целью определения их гидродинамических характеристик для анализа и проектирования / Автореф. дисс... док. техн. наук. – Харьков: ХПИ, 1992. – 35с.

  9. Patankar S. V., Spalding D. B. A Calculation Procedure for Heat, Mass and Momentum Transfer in Three-dimensional Parabolic Flows // Int. J. Heat Mass Transfer. – 1972. – Vol. 15. – P. 1787-1806.

  10. Hah C., Bryans A. C., Moussa Z., Tomsho M. E. Application of Viscous Flow Computations for the Aerodynamic Performance of a Backswept Impeller at Various Operating Conditions // Journal of Turbomachinery – July 1988. – Vol. 110. – P. 303-311.

  11. Bache G. CFX-BladeGen Version 4.0 Reaches New Heights in Blade Design // CFX Update – Spring 2001. – No. 20. – P. 9.

  12. Plutecki J., Skrzypacz J. Zastosowanie Specjalistycznego Programu CFX-BladeGen w Procesie Projektowania Pomp // Pompy Popmownie. – 2003. – № 1. – С. 35-37.

  13. Русанов А. В., Ершов С. В. Метод расчета трехмерных турбулентных течений в проточных частях произвольной формы // Совершенствование турбоустановок методами математического и физического моделирования: Сб. научн. трудов. – Харьков: Ин-т проблем машиностроения НАН Украины, 2003. – Т. 1. – С. 132-136.

  14. Doormaal J. F. New Grid Generation For Rotating Machinery // CFX Update – Autumn 2002. – No. 22. – P. 6.

  15. Кочевський О. М. Оптимізація геометричних параметрів відвідних пристроїв насосів високої швидкохідності з лопатевою системою типу НР / Дисс… канд. техн. наук. – Суми: СумДУ, 2001. – 195 с.

  16. Lampart P., Swirydczuk J., Gardzilewicz A., Yershov S., Rusanov A. The Comparison of Performance of the Menter Shear Stress Transport and Baldwin-Lomax Models with Respect to CFD Prediction of Losses in HP Axial Turbine Stages // Technologies for Fluid/Thermal/Structural/Chemical Systems with Industrial Applications, ASME. – 2001. – Vol. 424-2. – P. 1-12.

  17. Launder B. E., Spalding D. B. The Numerical Computation of Turbulent Flows // Comp. Meth. Appl. Mech. Eng. – 1974. – Vol. 3. – P. 269-289.

  18. Patel V. C., Rodi W., Scheuerer G. Turbulence Models for Near-Wall and Low Reynolds Number Flows: A Review // AIAA Journal. – September, 1985. – Vol. 23, No. 9. – P. 1308-1319.

  19. Grotjans H., Menter F. R. Wall Functions for General Application CFD Codes // In ECCOMAS 98 Proceedings of the Fourth European Computational Fluid Dynamics Conference: John Wiley & Sons, 1998. – P. 1112-1117.

  20. Wilcox D. C. Multiscale Model for Turbulent Flows // In AIAA 24th Aerospace Meeting / American Institute of Aeronautics and Astronautics, 1986.

  21. Menter F. R. Multiscale Model for Turbulent Flows // In 24th Fluid Dynamic Conference / American Institute of Aeronautics and Astronautics, 1993.

  22. Menter F. R. Two-Equation Eddy-Viscosity Turbulence Models for Engineering Applications // AIAA Journal. – 1994. – Vol. 32, No. 8.

  23. Menter F. R., Esch T. Advanced Turbulence Modelling in CFX // CFX Update – Spring 2001. – No. 20. – P. 4-5.

  24. Чупин П. В., Карелин Д. В., Старков Р. Ю., Шмотин Ю. Н., Ершов С. В., Русанов А. В. Оптимизация ступени турбины ГТД с использованием комплексов программ FlowER-Optimus и CFX-TASCflow // Совершенствование турбоустановок методами математического и физического моделирования: Сб. научн. трудов. – Харьков: Ин-т проблем машиностроения НАН Украины, 2003. – Т. 1. – С. 193-197.

  25. Rotta J. C. Statistische Teorie nichthomogener Turbulenz // Zeitschrift für Physik. – 1951. – Vol. 129. – P. 547-572.

  26. Rotta J. C. Turbulente Stromungen – B. G. Teubner Stuttgart, 1972.

  27. Rodi W. A New Algebraic Relation for Calculation of the Reynolds Stresses // Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Mechanik. – 1976. – Vol. 56. – P. 219-312.

  28. Слитенко А. Ф., Гуринов А. А. Расчетное исследование влияния относительного шага на аэродинамические характеристики турбинной решетки с профилями Н4У1 // Совершенствование турбоустановок методами математического и физического моделирования: Сб. научн. трудов. – Харьков: Ин-т проблем машиностроения НАН Украины, 2003. – Т. 1. – С. 149-154.

  29. Raithby G. D., Torrance K. E. Upstream-weighted Differencing Schemes and Their Application to Elliptic Problems Involving Fluid Flow // Computational Fluids. – 1974. – Vol. 8, No. 12. – P. 191-206.

  30. Raithby G. D. Skew Upstream Differencing Schemes for Problems Involving Fluid Flow // Computational Methods for Applied Mechanical Engineering. – 1976. – Vol. 9. – P. 153-164.

  31. Патанкар С. Численные методы решения задач теплообмена и динамики жидкости/ Пер. с англ. – М.: Энергоатомиздат, 1984. – 152 с.

  32. Hutchinson B. R., Raithby G. D. A Multigrid Method Based on the Additive Correction Strategy // Numerical Heat Transfer. – 1986. – Vol. 9. – P. 511-537.

  33. Schneider G. E., Raw M. J. Control-Volume Finite Element Method for Heat Transfer and Fluid Flow Using Co-located Variables – 1. Computational Procedure // Numerical Heat Transfer. – 1987. – Vol. 11. – P. 363-390.

  34. Ершов С. В., Русанов А. В., Ершов Д. С. Универсальное распараллеливание расчета трехмерных вязких течений для вычислительных систем с общей и распределенной памятью // Совершенствование турбоустановок методами математического и физического моделирования: Сб. научн. трудов. – Харьков: Ин-т проблем машиностроения НАН Украины, 2003. – Т. 1. – С. 126-131.

Схожі:

Течений жидкости в лопастных гидромашинах а. Н. Кочевский, канд техн наук; В. Г. Неня, канд техн наук iconГосударственный стандарт союза сср конструкции и изделия железобетонные радиационный метод определения толщины защитного слоя бетона, размеров и расположения
Л. Г. Родэ, канд техн наук; В. А. Клевцов, д-р техн наук; Ю. К. Матвеев; И. С. Лифанов; В. А. Воробьев, д-р техн наук; Н. В. Михайлова,...
Течений жидкости в лопастных гидромашинах а. Н. Кочевский, канд техн наук; В. Г. Неня, канд техн наук iconС помощью пакета cfx н. И. Волков, д-р техн наук, проф.; А. Н. Кочевский, канд техн наук
Представлены результаты расчета ряда простых внутренних течений жидкости в каналах и проведено сопоставление с известными экспериментальными...
Течений жидкости в лопастных гидромашинах а. Н. Кочевский, канд техн наук; В. Г. Неня, канд техн наук iconСтроительные нормы и правила отопление, вентиляция и кондиционирование сниП 04. 05-91*
Ссср (д-р техн наук Е. Е. Карпис, М. В. Шувалова), вниипо мвд СССР (канд техн наук И. И. Ильминский), мниитэп (канд техн наук М....
Течений жидкости в лопастных гидромашинах а. Н. Кочевский, канд техн наук; В. Г. Неня, канд техн наук iconГосударственный стандарт союза сср трапы чугунные эмалированные технические условия гост 1811-81
О. П. Михеев, канд техн наук (руководитель темы); В. И. Фельдман, канд техн наук; В. И. Горбунов, канд техн наук
Течений жидкости в лопастных гидромашинах а. Н. Кочевский, канд техн наук; В. Г. Неня, канд техн наук iconПо делам строительства москва разработан министерством промышленности строительных материалов СССР исполнители
В. А. Лопатин, канд техн наук; Н. Н. Бородина, канд техн наук; Т. А. Мелькумова; В. И. Голикова; Л. Г. Грызлова, канд техн наук;...
Течений жидкости в лопастных гидромашинах а. Н. Кочевский, канд техн наук; В. Г. Неня, канд техн наук iconГосударственный стандарт союза сср трубы чугунные канализационные и фасонные части к ним сортамент гост 6942. 1-80
О. П. Михеев, канд техн наук (руководитель темы); В. И. Фельдман, канд., техн наук; В. Н. Бехалов, канд техн наук
Течений жидкости в лопастных гидромашинах а. Н. Кочевский, канд техн наук; В. Г. Неня, канд техн наук iconГосударственный стандарт союза сср трубы чугунные канализационные и фасонные части к ним. Муфты конструкция и размеры гост 6942. 22-80
О. П. Михеев, канд техн наук (руководитель темы); В. И. Фельдман, канд техн наук; В. Н. Бехалов, канд техн наук
Течений жидкости в лопастных гидромашинах а. Н. Кочевский, канд техн наук; В. Г. Неня, канд техн наук iconГосударственный стандарт союза сср трубы чугунные канализационные и фасонные части к ним общие технические условия гост 6942. 0-80
О. П. Михеев, канд техн наук (руководитель темы); В. И. Фельдман, канд техн наук; В. Н. Бехалов, канд техн наук
Течений жидкости в лопастных гидромашинах а. Н. Кочевский, канд техн наук; В. Г. Неня, канд техн наук iconТрубы чугунные канализационные и фасонные части к ним. Раструбы и хвостовики фасонных частей типы, конструкции и размеры гост 6942. 2-80
О. П. Михеев, канд техн наук (руководитель темы); В. И. Фельдман, канд техн наук; В. Н. Бехалов, канд техн наук
Течений жидкости в лопастных гидромашинах а. Н. Кочевский, канд техн наук; В. Г. Неня, канд техн наук iconГосударственный стандарт союза сср трубы чугунные канализационные и фасонные части к ним. Патрубки конструкция и размеры гост 6942. 4-80
О. П. Михеев, канд техн наук (руководитель темы); В. И. Фельдман, канд техн наук; В. Н. Бехалов, канд техн наук
Додайте кнопку на своєму сайті:
Документи


База даних захищена авторським правом ©zavantag.com 2000-2013
При копіюванні матеріалу обов'язкове зазначення активного посилання відкритою для індексації.
звернутися до адміністрації
Документи