Про науково-дослідну роботу реконструкція моделей динамічних систем за їх часовими рядами icon

Про науково-дослідну роботу реконструкція моделей динамічних систем за їх часовими рядами




Скачати 314.04 Kb.
НазваПро науково-дослідну роботу реконструкція моделей динамічних систем за їх часовими рядами
Сторінка1/3
Дата15.07.2012
Розмір314.04 Kb.
ТипРеферат
  1   2   3



УДК 530.1

КП

N держрегістрації 0109U004115

Інв. N


Міністерство освіти і науки України

Сумський державний університет

(СумДУ)

40007, м. Суми, вул. Римського-Корсакова, 2, тел. (0542)33-41-08

e-mail: info@nis.sumdu.edu.ua


ЗАТВЕРДЖУЮ

Проректор з наукової

роботи, д.ф.-м.н., проф.

______________А.М.Чорноус

2010.12.23


ЗВІТ

ПРО НАУКОВО-ДОСЛІДНУ РОБОТУ

Реконструкція моделей динамічних систем за їх часовими рядами


Застосування отриманих результатів у практичних задачах захисту інформації при передачі її у мультиплікативних каналах зв'язку (заключний)


Начальник НДЧ,

к.т.н., доцент В.А. Осіпов


Керівник НДР,

к.ф.-м.н. І.О. Князь


2010


Рукопис закінчено 20 грудня 2010 року

Результати цієї роботи розглянуто науковою радою СумДУ

протокол №6 від 2010.12.23

^ СПИСОК АВТОРІВ


Керівник НДР, к.ф.-м.н.

2010.12.20

І.О. Князь


РЕФЕРАТ


Звіт про НДР: 33 с., 10 рис., 54 джерела.

Об’єкт дослідження – нестаціонарні часові ряди.

Мета дослідження – пошук оптимальних алгоритмів аналізу часових рядів з метою реконструкції модельних рівнянь та керування динамікою системи.

Методи дослідження: методи математичної та статистичної фізики.

У роботi запропонованi методи реконструкцiї рiвнянь за вiдомим розв'язком, який являє собою часовий ряд вимiряних значень сигналу. У роботi дiстали подальший розвиток методи: математичного конструювання феноменологiчних рекурентних диф. рiвнянь, аналiзу та розв'язку нелiнiйних диф. рiвнянь, комп'ютерного моделювання та передбачення еволюцiї системи у часi. Розв’язана задача захисту інформації при передачі декількох корисних сигналів мультиплікативними каналами зв'язку. Розвинена методика кластерізації нестаціонарних часових рядів з метою виділення квазістаціонарних ділянок, яка забезпечує динамічний аналіз часової реалізації без реконструкції модельних рівнянь. Розв’язана задача керування хаосом у двовимірній системі нелінійних осциляторів. Показано можливість стабілізації руху на нестійкому циклі за рахунок серії послідовних керованих впливів на елементи системи.

Результати НДР можуть бути застосовані при аналізі систем або об’єктів, математична модель руху яких є частково або повністю невідомою.

Прогнозні припущення щодо розвитку об`єкта дослідження – пошук отимальних методів для оптимізації процесу реконструкції математичних моделей динамічних систем.

^ ЧАСОВИЙ РЯД, ДИНАМІЧНА СИСТЕМА, РЕКОНСТРУУКЦІЯ МОДЕЛЬНИХ РІВНЯНЬ, ХАОТИЧНА ДИНАМІКА, КЕРУВАННЯ ХАОСОМ.

ЗМІСТ



ВСТУП 5

^ 1 СТАБІЛІЗАЦІЯ ТРАЄКТОРІЇ СИСТЕМИ НА НЕСТІЙКОМУ ГРАНИЧНОМУ ЦИКЛІ, ЩО ВБУДОВАНИЙ В ХАОТИЧНИЙ АТРАКТОР 9

2 КОМП’ЮТЕРНИЙ АНАЛІЗ НЕСТАЦІОНАРНИХ ЧАСОВИХ РЯДІВ 15

^ 3 РЕКОНСТРУКЦІЯ МОДЕЛЬНИХ РІВНЯНЬ СИСТЕМ ІЗ ЗАПІЗНЕННЯМ 19

4 ВІДНОВЛЕННЯ КОЕФІЦІЄНТІВ МОДЕЛЬНИХ РІВНЯНЬ ДИНАМІЧНИХ СИСТЕМ ВИГЛЯД ФУНКЦІОНАЛЬНОЇ ЧАСТИИ ЯКИХ Є АПРІОРНО ВІДОМИМ 26

ВИСНОВКИ 30

ПереЛІК ПОСИЛАНЬ 31

ВСТУП


Одним із напрямків у сучасній нелінійній динаміці є розв’язок задач обробки складних сигналів із широким спектром, у тому числі, хаотичних, найчастіше нестаціонарних, з метою оцінки параметрів (або знаходження наближеної форми) рівнянь, що їх описують. Поширення комп’ютерної обробки інформації визначило представлення часових залежностей у вигляді дискретної послідовності відліків – часових рядів. Такий вид мають сигнали на виході аналого-цифрових перетворювачів, цифрових вимірювальних приладів і т.п. Обробка таких часових залежностей може виконуватися безпосередньо – візуально, як оцінюють кардіо- та енцефалограми лікарі-діагности, на основі розрахунків класичних статистичних характеристик (Фур'є- та вейвлет- спектри, функцій кореляції й ін.), а також – розвинутих у рамках теорії коливань і нелінійної динаміки (якісний аналіз портретів і оцінки різних кількісних характеристик атракторів у фазовому просторі,). Це дозволяє вирішувати задачі кластеризації сигналів, оцінювати взаємозв'язок між їхніми джерелами та ін.

Окремою задачею у контексті даного напрямку є задача реконструкції математичних моделей за часовими рядами, які генеруються системами, модельні рівняння яких апріорно (частково або повністю) невідомі. Наявність математичної моделі дозволяє вирішувати задачі прогнозу подальшого поводження системи у часі або при зміні її параметрів, оцінки адекватності уявлень про об'єкт, спостереження величин, недоступних прямому вимірові. Маючи у своїй передісторії класичну задачу апроксимації точок на площині гладкою кривою, завдяки розвитку обчислювальної техніки, досягненням нелінійної динаміки, зокрема, формуванню концепції динамічного хаосу, у даний час мова йде про реконструкції моделей у вигляді диференціальних і різницевих рівнянь.

У даній роботі було розглянуто три різних постановки задачі реконструкції: послідовно від більш простої до складної у відповідності з наступною ієрархією.

1) ^ Реконструкція динамічної системи за траєкторією нерегулярного атрактору та пов’язана з нею проблема керування хаосом. Як було показано в останні роки, хаос не тільки не заважає, а, скоріше, є обов’язковою умовою працездатності складних систем [1, 2]. Тільки завдяки наявності хаотичного атрактора, який містить, як правило, нескінченну кількість нестійких періодичних циклів, можна досягти якісної зміни динаміки системи (переходячи із околу одного циклу до іншого) за рахунок малих збурень системних параметрів. У зв’язку з цим окремою є задача стабілізації апріорі заданих траєкторій хаотичних динамічних систем, розв’язання якої дуже часто пов’язане із проблемою відновлення диференціальних рівнянь на основі заданої множини точок у фазовому просторі, які належать атрактору системи. Отже проблеми керування хаосом і реконструкції модельних рівнянь є взаємозв’язаними, належать до одного класу задач теорії нелінійних систем, що і знайшло відображення у даній роботі. На відміну від тривіального випадку однорідної системи, ми розглядаємо розподілену у просторі систему, що складається із нелінійних хаотичних осциляторів, пов’язаних у двовимірну гратку. Для стабілізації руху осциляторів на заданій траєкторії у роботі використано відомий метод Отта-Гребоджи-Йорке [3–5]. Метод розвинуто на випадок багатовимірних систем, а його працездатність підтверджується чисельним експериментом.

2)^ Оцінка параметрів. Структура рівнянь відома, невідомі параметри модельних рівнянь. Для відновлення фазового портрету ми використовуємо метод послідовного диференціювання часового ряду [6, 7]. Основна ідея методу реконструкції полягає у наступному: фазовий портрет атрактора динамічної системи може бути відновлений за скалярним часовим рядом, якщо у якості відсутніх координат вектора стану використовувати той самий часовий ряд, узятий з деяким запізненням. Практичним застосуванням запропонованої методики є передача корисного сигналу за рахунок модуляції певних параметрів системи інформаційними сигналами. При цьому по лініям зв’язку передається змінна, що описує стан системи (хаотичний сигнал). Як зазначалося у ряді робіт, вилучення сигналу можливе лише за умови наявності (у одержувача) інформації про модель та параметри, що модулюються інформаційними сигналами [8].

У даній роботі покладається, що усі компоненти вектору стану системи передаються по лініям зв’язку. Ми представляємо функціональну частину диференціальних рівнянь у вигляді розкладання по стандартному базису і чисельно визначаємо коефіцієнти розкладання за методом найменших квадратів. Оскільки у даному випадку практично завжди виникає ситуація, коли виникають ненульові параметри при комбінаціях змінних що відсутні у вихідній системі, у роботі пропонується статистична (комп’ютерна) обробка отриманих часових рядів. Це дозволяє виділити саме ті параметри, що моделюються інформаційними сигналами. Запропонований у даній роботі підхід був успішно використаний для розшифрування замаскованих сигналів, що генеруються за допомогою відомої моделі генератора динамічного хаосу – моделі Лоренца.

3) ^ Реконструкція у випадку відсутності апріорної інформації про вигляд модельних рівнянь. Як показує досвід, використання універсальних конструкцій (наприклад, апроксимація нелінійних функцій у рівняннях поліномами), не враховуючих особливостей об'єкта, як правило, не дає гарних результатів через громіздкість отриманих розв’язків. Крім того, для такої моделі, у багатьох випадках, не притаманна властивість глобальної стійкості, вона є придатною лише для короткочасового прогнозу, її параметрам важко надати фізичного сенсу. На гарний результат можна розраховувати лише при використанні спеціальних технологій, орієнтованих на використання для досить вузьких класів об'єктів [9-11]. Серед задач даного класу окреме місце займають задачі реконструкції систем із запізненням. Системи із затримкою широко поширені в природі. Зокрема, динаміка зміни сполуки крові, електричні сигнали мозку, коливання в багатьох радіофізичних і оптичних системах і ряді інших явищ можуть бути описані з використанням рівнянь із затримкою [12-16].

У даній роботі ми розвиваємо методику реконструкції параметрів систем із запізненням за їх часовими рядами. При цьому вигляд моделі є апріорно невідомим, але, покладається, що функціональна частина рівнянь має поліноміальний вигляд. Наукова новизна роботи полягає у розвиненні підходу до комп’ютерного аналізу часового ряду систем із зворотним зв’язком з метою визначення часу запізнення та параметрів моделі. Розроблена методика була апробована на декількох моделях, при цьому результати реконструкції з достатньою точністю співпали з вихідними параметрами.

4) ^ Комп'ютерний аналіз нестаціонарних часових рядів з метою виділення квазістаціонарних ділянок. У рамках теорії випадкових процесів під нестаціонарністю процесу розуміється зміна його багатомірних функцій розподілу на інтервалі спостереження. Під динамічною нестаціонарністю розуміють ситуацію, коли вихідний об'єкт може бути описаний диференціальними рівняннями із змінними параметрами. При цьому на практиці досить часто виникає задача більш точного виявлення моменту зміни параметрів системи, ніж за статистичними характеристиками. Якщо при зміні параметрів існуючий динамічний режим системи втратив стійкість, система може ще деякій час залишатися у вихідній області фазового простору. Статистичні властивості ряду, що спостерігається, при цьому сильно не змінюються, а, отже, момент зміни параметрів системи буде визначено з великою похибкою. Ця ситуація є критичною, наприклад, для практичних задач аналізу ЕКГ [17-18]. Основна ідея дослідження подібних процесів складається у поділі вихідного ряду на окремі сегменти, на яких динаміка системи вважається стаціонарною. Потім проводиться реконструкція поліноміальних рівнянь по кожному з цих сегментів окремо, визначаються коефіцієнти полінома у кожному сегменті і порівнюються сегменти по близькості значень коефіцієнтів. Далі уводиться відстань між сегментами і складається матриця відстаней. По величині цих відстаней судять про стаціонарність процесу [18, 19]. Недоліком вказаного підходу є значні затрати машинного часу на реконструкцію рівнянь, що значно знижує ефективність методики при його застосуванні для практичних задач.

Основна ідея нашого підходу складається у комп'ютерному аналізі кількості відвідувань системою різних областей фазового простору в рамках кожного із сегментів. Момент зміни кожного з параметрів системи відображається різкою зміною на побудованій діаграмі відхилень. Запропонований підхід був успішно опрацьований на відомій моделі Лоренца. У роботі показано можливі сценарії переходу між динамічними режимами, наприклад, перехід хаос – стійкий граничний цикл, що відрізняється досить довгим перехідним процесом. Запропонована методика дозволила підвищити швидкість розрахунків без значної втрати точності локалізації моменту зміни параметрів моделі.

Виходячи із вищенаведеного, метою НДР є:

  1. Дослідження можливості стабілізації траєкторії системи зв’язаних хаотичних осциляторів за рахунок зовнішнього впливу на елементи підсистеми.

  2. Дослідження можливості відновлення сигналів, що реалізують параметричну модуляцію генератора хаосу, за його часовою реалізацією.

  3. Розвинення методики реконструкції модельних рівнянь систем із запізненням з метою підвищення точності визначення часу запізнення.

  4. Розвинення методики аналізу нестаціонарних часових рядів з метою виділення квазістаціонарних ділянок.



^ 1 СТАБІЛІЗАЦІЯ ТРАЄКТОРІЇ СИСТЕМИ НА НЕСТІЙКОМУ ГРАНИЧНОМУ ЦИКЛІ, ЩО ВБУДОВАНИЙ В ХАОТИЧНИЙ АТРАКТОР




Розглянемо модель нелінійної автономної системи, що описується рівнянням


, (1.1)


де – керуючий параметр. Нехай нестійкий граничний цикл є шуканим розв’язком рівняння (1.1), який при має регулярний або сингулярний атрактор. Побудуємо перетин Пуанкаре , що проходить через точку циклу . Розглянемо відображення Пуанкаре , в якому є точка першого повернення на поверхню траєкторії системи (1.1), що починається у точці при значенні параметру . Застосовуючи послідовність таких відображень, отримаємо дискретну динамічну систему


, (1.2)


де , – момент часу -го перетину поверхні , а – значення керуючого параметру на проміжку та . Замінимо відображення (1.2) лінеаризованим у точці відображенням


, , , (1.3)


де , . Для лінійної системи (1.3) виберемо керуючий вплив у вигляді лінійного оберненого зв’язку . Для стабілізації траєкторії керуючий вплив вибирається таким чином ( – малий параметр):




Стабілізація нерухомої точки Пуанкаре досягається малими керуючими впливами у дискретні моменти часу. Зазначимо, що метод може бути застосований лише для систем, що мають хаотичний атрактор, у тому сенсі, що він є замкненням усіх періодичних траєкторії, що містяться у ньому. Тобто застосування запропонованої методики припускає виконання наступної умови: будь яка траєкторія з будь якою початковою умовою з часом обов’язково потрапить у малу околицю шуканого циклу.

Розглянемо дискретну модель просторово-розподіленої системи:


, (1.4)


де – індекси, що визначають просторове положення вузла гратки, – дискретний час, - коефіцієнт зв’язку. Граничні умови є періодичними. У вузлах гратки розташовані ідентичні дисипативні осцилятори, що синфазно збуджуються періодичною зовнішньою силою. Елементи гратки є нелінійними, здатні здійснювати регулярні та хаотичні коливання. Зв’язок між елементами є симетричним та локальним, елементи взаємодіють лише з сусідами. У якості придатної моделі, що описує часову динаміку окремого осцилятора ми вибрали мультимодальне багатопараметричне відображення, запропоноване у [20]:


, (1.5)


де та – амплітуда та частота зовнішнього впливу, – дисипація, – нелінійність. Динаміка відображення (1.5) детально досліджувалися у роботі [20]. Знайдені значення параметрів за яких динаміка зазначеної системи стає хаотичною; атрактори, що відповідають таким станам, містять у собі безліч періодичних орбіт, що можуть бути стабілізовані за рахунок впливу на параметри системи.

Слідуючи запропонованому підходу керуючий вплив здійснювався за рахунок корекції керуючого параметра кожного із осциляторів. Таким чином, параметр залежить від моменту часу та номера осцилятора і може бути представлений у вигляді

, (1.6)

де – стала, – корегувальний вплив. Корегувальний вплив застосовується у випадку коли динамічна змінна входить в околицю стану, що стабілізується. Таким станом є нерухома точка відображення (1.5). Тоді при потраплянні в околицю точки можна записати

, , (1.7)

де , – малі збурення. Враховуючи рівняння для нерухомої точки

, (1.9)


підставляємо (1.5), (1.6) та (1.7) в (1.4) та лінеаризуємо отримане рівняння для збурення . У результаті знаходимо значення , за якого це збурення дорівнює нулю:





Корегувальний вплив здійснюється за умови .

Розглянемо керований перехід із режиму просторово-часового хаосу до просторово-однорідного режиму у випадку коли відображення (1.5) має одну нерухому точку (рис. 1.1). Нерухома точка визначалася чисельно шляхом розв’язку рівняння (1.5) за методом поділу відрізка навпіл. За допомогою корегувальних впливів за описаною схемою можна стабілізувати орбіту періоду 1, що входить до хаотичного атрактору (рис 1.2). Зазначимо, що за у
мови малості корегувальних впливів (малих ) стабілізація просторово-однорідного режиму можлива лише за умови слабкого зв’язку між елементами гратки. Пояснення дуже просте: чим сильнішим є зв’язок між елементами ґратки, тим менше часу проводить елемент, на який подають корегувальний вплив в околі нестійкого стану, що стабілізується. У результаті зменшується ймовірність утворення кластерів. Величина керуючого впливу, що подається на окремі осцилятори, зменшується з часом. Ясно, що при збільшенні вікна по підвищується неточність при обчисленні величини керуючого впливу і стабілізація стає неможливою.

Ситуація принципово змінюється при підсиленні зв’язку між осциляторами (рис. 1.3). У такому випадку значні корегувальні впливи грають роль направленого шуму. При цьому коливання усіх елементів ґратки переводяться в околицю нерухомої точці і у подальшому стабілізуються на нестійкому циклі за рахунок малих корегувальних впливів. Сильний зв’язок між елементами ґратки у такому випадку, навпаки, грає роль стабілізуючого фактору, збільшуючи ймовірність утворення кластерів в околі нерухомої точки. Як видно з рисунку 1.2, стабілізація просторово-однорідного стану за великих значень параметру досягається за дуже короткий проміжок часу.

У роботі розв’язана задача стабілізації просторово-однорідного стану у двовимірній системі зв’язаних нелінійних дисипативних осциляторів. Показано, що потрібний результат може бути отриманий за рахунок серії незначних збурень траєкторії кожного із осциляторів. При правильному виборі збурень це дозволяє розв’язати задачу не уводячи траєкторію з хаотичного аттрактору. Таким чином, система осциляторів демонструє одночасно і керованість і




пластичність: система реагує на зовнішні впливи, при цьому зберігає тип руху. Показана можливість стабілізації траєкторій за умови як слабкого так і сильного зв’язку між елементами ґратки. Перспективами роботи є вирішення задач керування хаосом за умови наявності бістабільності у елементах ґратки і співіснуванні декількох хаотичних атракторів.

Результати роботи, наведені у даному розділі, опубліковані в роботах [21,22].


^ 2 КОМП’ЮТЕРНИЙ АНАЛІЗ НЕСТАЦІОНАРНИХ ЧАСОВИХ РЯДІВ


Переважна більшість сигналів у природі, у тому числі фізіологічні дані, є нестаціонарними. Нестаціонарність може виникати у результаті впливу процесів, характерний часовий масштаб впливу яких більше, ніж час їхнього візуального спостереження, або в результаті зовнішніх впливів, що викликають зміни в динаміці, перехідні процеси і відхилення параметрів системи. Проблеми виявлення таких ситуацій і розробка методів для їх аналізу є важливими питаннями в різних областях науки, серед яких окремо виділяються практичні задачі аналізу електроенцефалографічних (ЕЕГ) часових рядів. Записи ЕЕГ є яскравим прикладом нестаціонарних часових рядів. Зміни в ЕЕГ сигналах відбуваються безупинно у зв'язку з різними психічними станами; особливо чітко вони проявляються під час епілептичних припадків. Період, протягом якого властивості сигналу ЕЕГ (зокрема, спектральні властивості) можна вважати постійною величиною, досить малий, у рамках від 4 секунд до 1 хвилини. Іншим прикладом є проблема прогнозування біфуркації, що знаходить застосування в аналізі динаміки озонової діри.

Задача сегментації нестаціонарних тимчасових рядів з наступною класифікацією квазістаціонарних сегментів уперше була вирішена в роботах [23]-[25]. Один з підходів до розв’язку цієї задачі полягає в статистичній перевірці часових рядів на нестаціонарність. Для виявлення динамічної нестаціонарності часових рядів з наступним її аналізом часовий ряд поділяється на досить короткі відрізки, такі, що оператор еволюції в кожному з них можна вважати сталою величиною. Тоді різниця в динаміці між кожною парою сегментів знаходиться через матрицю відхилень. Серед різних підходів до виміру відхилень між сегментами, що були запропоновані на сьогоднішній день, найбільш часто використовуються різні міри розходження між розподілами точок часового ряду у фазовому просторі: наприклад, відхилення, -критерій та інші. Однак такі методи, дають подвійний результат: вони вказують, чи відбулися зміни в системі, але не подають інформацію про момент (час) переходу. Існують методи кількісної оцінки відхилення, що показують розходження між еволюційними операторами. Серед них: нелінійна крос-помилка прогнозу [23] та евклідова відстань між векторами коефіцієнтів динамічних моделей, побудованих для різних сегментів часового ряду [18]. Недоліками вказаних підходів є потреба у реконструкції рівнянь за кожним сегментом, що приводить до, можливо, невиправданих витрат машинного часу.

Таким чином, традиційні нелінійні міри характеризують глобальні властивості нелінійної динаміки, однак не відображають з достатньою точністю, різницю між динамічними режимами. Це стосується і інших “глобальних” індикаторів, як фрактальна вимірність, показники Ляпунова та ін. Це пов’язано з тим, що традиційні міри базуються на усередненні або проінтегрованих властивостях атрактора, що дає лише глобальну картину довгострокової динамічної поведінки. Подальша диференціація потребує більш детального аналізу динаміки системи.

Суть розглянутого в даній роботі методу складається у розбитті фазового простору на сегменти (комірки) та обчисленні відвідуваності фазової траєкторії системи цих сегментів. Таким чином, у фазовому просторі розглядається вимірний гіперкуб. Далі для визначення динамічних змін необхідно скласти матрицю відхилень між комірками гіперкуба (розмірність якого визначається кількістю параметрів системи, обраних для аналізу), елементи якої (покладаємо що кожна комірка матриці нумерується одним індексом) обчислюються за наступною формулою:


, , (2.1)


де кількість інтервалів, p – кількість точок часового ряду, - кількість відвідувань -го сегмента -го інтервалу. Для динамічного аналізу ми оцінюємо матрицю відхилень між попередніми та наступним інтервалом у динамічному режимі та виводимо результат на матрицю повернень. Момент зміни будь якого параметра моделі відображається різкою зміною на діаграмі повернень.

У якості тестового прикладу, розглянемо застосування даного підходу для визначення моменту зміни одного з параметрів у системі Лоренца, при переході від хаотичної динаміки до стійкого граничного циклу. Зазначимо, що цей перехід відрізняється достатньо довгим перехідним процесом, що значно ускладнює точність розрахунків.

Модель Лоренца у знерозміреному вигляді має вигляд


(2.2)


Хаотичний режим реалізується за умови , , . Чисельно інтегруючи систему (2.2), у момент часу t=1000 збільшуємо значення параметра r, при цьому траєкторія системи через певний проміжок часу лягає на граничний цикл (рис. 2.1). Як показано на рис. 2.3 зміна динамічного режиму візуально простежується лише через значний проміжок часу після зміни параметра r.

Для індикації моменту зміни у динамічному режимі у роботі проведено комп’ютерне моделювання. Система Лоренца чисельно розв’язувалася за допомогою метода Рунге-Кутта 4-го порядку. Кількість інтервалів, на які розбивається часова вісь дорівнювала 10. Кількість точок на кожному інтервалі – 1000. У динамічному режимі будується матриця відхилень, яку у наочному представляється градаціями сірого кольору у залежності від величини Lij, що розраховується за формулою (2.1).







Велика темна область на такій діаграмі означає квазістаціонарний сегмент, а границі між двома темними областями – момент зміни властивостей сигналу, що впливають на величину відстані (рис. 2.4). Аналізуючи рисунок бачимо, що зміна параметру системи відбулася у момент часу t=1000.

Зазначимо, що величина відхилень розраховувалася за усіма координатами x, y, z, з наступним усередненням за кількістю точок. Як показують експерименти, включення у розгляд лише однієї координати значно знижує точність розрахунків, при цьому границя між двома областями на діаграмі відхилень сильно розмивається.

У якості висновку зазначимо, що виділення квазістаціонарних ділянок має цінність і для побудови моделі. При моделюванні бажано використовувати увесь наявний часовий ряд, щоб одержати більш точні оцінки параметрів, але у випадку нестаціонарності модель з постійними параметрами є неадекватною. Потрібно будувати її з використанням квазістаціонарних ділянок максимальної довжини. Отже виникає потреба проаналізувати увесь часовий ряд, побудувати діаграму відхилень та визначити найбільший квадрат одного кольору, розташований на діагоналі. До нього можна додати схожі на нього сегменти з інших часових відрізків і побудувати модель повторно по отриманому максимально довгої квазістаціонарної ділянки.

Результати роботи, наведені у даному розділі, представлені у роботі [26].


^ 3 РЕКОНСТРУКЦІЯ МОДЕЛЬНИХ РІВНЯНЬ СИСТЕМ ІЗ ЗАПІЗНЕННЯМ


В основі запропонованого методу визначення часу запізнення лежить дослідження відгуку системи із запізнюванням на зовнішній вплив [27-30]. Достатньо сильний зовнішній вплив приводить до виникнення перехідного процесу; у результаті, рух системи проходить у більш широкій області фазового простору, що дозволяє одержати додаткову інформацію про динаміку системи і може допомогти відновити її параметри. Однак у багатьох випадках сильний вплив на систему є небажаним, оскільки може привести до її руйнування або істотної зміни поведінки. У цих випадках більш корисним є вплив слабким, наприклад, періодичним сигналом. У даній роботі пропонується методика оцінки характеристик автоколивальних систем із запізнюванням, що полягає у послідовному впливі на систему періодичними сигналами різної амплітуди та частоти.

Р
озглянемо кільцеву систему із зворотним зв'язком, що складається із пристою затримки та нелінійного елемента, стан якої визначається змінною x(t) (рис 3.1). Будемо впливати на систему зовнішнім сигналом y(t). Вид модельного рівняння, що описує таку систему, визначається параметрами елементів і тим, у якій точці зовнішній сигнал вводиться у кільцеву систему із запізнюванням.

Розглянута автоколивальна система описується диференціальним рівнянням першого порядку


(3.1)


де - час запізнювання, - параметр, що характеризує інерційні властивості системи, - нелінійна функція.

Впливаємо на систему сигналом де - амплітуда коливань зовнішнього впливу, - частота коливань.

Як видно з рівняння (3.1), результат впливу проявиться у поведінці системи тільки через час . Аналогічно, припинення зовнішнього впливу позначиться на поведінці системи лише через час після нього. Очевидно, якщо вплив включається у моменти часу і закінчуються у момент часу , траєкторія стає збуреною при . Далі будується кореляційна функція сигналів впливу і відгуку системи :

  1   2   3

Схожі:

Про науково-дослідну роботу реконструкція моделей динамічних систем за їх часовими рядами iconПоложення про науково-дослідну роботу студентів (ндрс)» та «Положення про студентське наукове об’єднання»
Загородньому А. Г. та директору інституту імфн проф. Каленюку П.І. до 1 червня 2011 року розробити та подати на розгляд Вченої ради...
Про науково-дослідну роботу реконструкція моделей динамічних систем за їх часовими рядами iconЗвіт про науково дослідну роботу еколого-збалансований розвиток територіальних, соціально-економічних систем (заключний) Начальник ндч к т. н., доцент В. А. Осіпов Керівник ндр
Мета роботи – розвиток науково-методичних основ формування екологічно-збалансованих територіальних соціально-економічних систем
Про науково-дослідну роботу реконструкція моделей динамічних систем за їх часовими рядами iconНаказ №897/06 Про нагородження підрозділів Донну за вагомий внесок у науково-дослідну роботу за 2009-2010 роки
За підсумками наукової роботи за 2009-2010 рр окремі підрозділи (факультети, кафедри, відділи) зробили значний внесок у науково-дослідну...
Про науково-дослідну роботу реконструкція моделей динамічних систем за їх часовими рядами iconНаказ №897/06 Про нагородження підрозділів Донну за вагомий внесок у науково-дослідну роботу за 2009-2010 роки
За підсумками наукової роботи за 2009-2010 рр окремі підрозділи (факультети, кафедри, відділи) зробили значний внесок у науково-дослідну...
Про науково-дослідну роботу реконструкція моделей динамічних систем за їх часовими рядами iconЗвіт про науково дослідну роботу теоретичні І методичні питання оцінки І прогнозування економічного потенціалу соціально-економічних систем (заключний) Начальник ндч к т. н., доцент В. А. Осіпов
Результати цієї роботи розглянуто науковою радою Сумду протокол №12 від 2010. 06. 24
Про науково-дослідну роботу реконструкція моделей динамічних систем за їх часовими рядами iconДо звіту про науково-дослідну роботу кафедри входить
Витяг з протоколу засідання кафедри про показники науково-дослідної роботи за 2011 р
Про науково-дослідну роботу реконструкція моделей динамічних систем за їх часовими рядами iconВідомості про науково-дослідну роботу та інноваційну діяльність студентів, молодих учених

Про науково-дослідну роботу реконструкція моделей динамічних систем за їх часовими рядами iconЗвіт про науково дослідну роботу електрофізичні властивості багатокомпонентних плівок на основі fe І pd, Ag, Au та ge Етап 1 електрофізичні властивості плівкових систем на основі fe І pd (проміжний)
Мета роботи – вивчення фазових перетворень при термовідпалюванні одношарових плівок Pd І fe та багатошарових плівкових систем Fe/Pd,...
Про науково-дослідну роботу реконструкція моделей динамічних систем за їх часовими рядами iconЗвіт з наукової та науково-технічної діяльності кафедри загальної екології, педагогіки та психології за 2012 навчальний рік
Відомості про науково-дослідну роботу та інноваційну діяльність студентів, молодих учених
Про науково-дослідну роботу реконструкція моделей динамічних систем за їх часовими рядами iconПоложення про науково-дослідну роботу студентів у Національному університеті харчових технологій
move to 1192-20738
Додайте кнопку на своєму сайті:
Документи


База даних захищена авторським правом ©zavantag.com 2000-2013
При копіюванні матеріалу обов'язкове зазначення активного посилання відкритою для індексації.
звернутися до адміністрації
Документи