Моделирование нелинейной динамики пучка заряженных частиц в аксиально-симметричном электростатическом поле методом матрицантов и. Г. Игнатьев*, канд физ мат наук, доц.; Д. В. Магилин**, асп icon

Моделирование нелинейной динамики пучка заряженных частиц в аксиально-симметричном электростатическом поле методом матрицантов и. Г. Игнатьев*, канд физ мат наук, доц.; Д. В. Магилин**, асп




Скачати 89.03 Kb.
НазваМоделирование нелинейной динамики пучка заряженных частиц в аксиально-симметричном электростатическом поле методом матрицантов и. Г. Игнатьев*, канд физ мат наук, доц.; Д. В. Магилин**, асп
Дата16.07.2012
Розмір89.03 Kb.
ТипДокументи

УДК 537.533.3 + 621.3


МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕЛИНЕЙНОЙ ДИНАМИКИ ПУЧКА ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ В АКСИАЛЬНО-СИММЕТРИЧНОМ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОМ ПОЛЕ МЕТОДОМ МАТРИЦАНТОВ


И.Г. Игнатьев*, канд.физ.-мат.наук, доц.; Д.В. Магилин**, асп.;

А.Г. Пономарев**, канд.физ.-мат.наук;

В.И. Мирошниченко**, д-р.физ.-мат.наук

*СумГУ

**Институт прикладной физики Национальной академии наук Украины


Оптика электростатических линз с аксиальной симметрией достаточно хорошо изучена [1]. Разработаны как аналитические, так и численные методы расчета динамики заряженных частиц в ионно-оптических системах, состоящих из такого рода линз, с учетом нелинейных эффектов. При этом энергия частиц в таких системах ~100 кэВ. Для того чтобы ускорить непрерывный пучок заряженных частиц до энергий в несколько МэВ, применяются электростатические ускорители, где основным ионно-оптическим элементом является ускоряющая трубка, состоящая из набора диафрагм, каждая из которых находится под определенным потенциалом, создающим постоянный градиент поля вдоль оптической оси. Первые несколько электродов определяют сильную линзу, так как энергия пучка на входе ~10 кэВ. Последние электроды трубки также образуют линзу, однако ее действие слабо влияет на пучок вследствие его большой энергии.

Основной задачей ускорителей является получение пучков с необходимой энергией, поэтому в расчете нелинейных эффектов, связанных с аберрациями в ускорительных трубках, не было необходимости. В настоящее время разрабатываются зондоформирующие системы для ионных микропучков МэВ энергий, когда ускорительная трубка включена в процесс формирования зонда. В связи с этим появилась потребность расчета аберраций ускорительной трубки. Так, в работе [2] предлагается аналитический метод расчета аберраций в ускоряющих трубках, при этом за малый параметр, по которому производится разложение нелинейных дифференциальных уравнений движения, принимается отношение ширины краевого поля к ширине поля с постоянным градиентом. В случае, если внутри трубки имеются вставки, нарушающие однородность поля, этот метод не применим. Стоит отметить работу [3], в которой проводится расчет параметров пучка частиц в линейном приближении для случая кусочно-линейной аппроксимации распределения потенциала на оси трубки.

В данной работе для моделирования нелинейной динамики пучка заряженных частиц в электростатических полях, имеющих аксиальную симметрию, применен метод матрицантов [4]. Для расчета движения пучка необходимо найти решение уравнений движения частиц и уравнения Лапласа, которое определяет электростатический потенциал u(x, y, z) в области прохождения пучка.

Решение уравнения Лапласа в декартовой системе координат (xyz) представляется в виде ряда [5]:


(1)


где U(z) – потенциал электростатического поля на оптической оси z; x, y – поперечные координаты точки в декартовой системе координат.

Из (1) запишем выражения для составляющих , , поля ускоряющей структуры с точностью до 3-го порядка разложения по поперечным координатам x, y, из условия, что :


(2)


Уравнения движения заряженных частиц в осесимметричном электростатическом поле имеют вид


(3)


где q – заряд; m – масса, p – импульс частицы.

Подставив (2) в (3), получим уравнение движения заряженной частицы, выраженное через потенциал и его производные на оси z:


(4)


Координата z является независимой координатой, характеризующей осевую траекторию пучка, а координаты x и y определяют отклонение частиц пучка от осевой траектории.

Кинетическая энергия частицы определяется из выражений


(5)


где V – скорость;  – начальный разброс по импульсу; – начальный импульс отдельной частицы; – средний начальный импульс; – средняя начальная энергия частиц всех частиц пучка.

Определим функцию


, (6)


подставив в первое равенство (5) выражения (1) и (6), отбросив слагаемые, содержащие и при за их малостью, получим


. (7)


Подставив (7) в (4), учтя, что и , получим


,

(8)


где фазовые координаты частицы, определяющие ее положение и направление движения соответственно в плоскости x.

Уравнение движения в направлении y можно получить из (8) заменой x <=> y.

Нелинейные траекторные уравнения движения заряженной частицы (8) в фазовом пространстве записаны в приближении с третьим порядком малости по фазовым координатам и вторым порядком малости в сочетании с разбросом частиц пучка по импульсу .

Если определить нормализованное пространство фазовых моментов в таких видах:

моментов первого порядка


,


второго порядка


,


третьего порядка





где,

тогда уравнения (8) в нормализованном пространстве фазовых моментов будут линейными:


(9)


где ; ;








все остальные элементы вектора равны нулю;.

Аналогичные выражения можно записать для и.

Для того чтобы уравнения (9) были замкнутыми, необходимо провести формальную процедуру погружения уравнений (8) в нормализованное пространство фазовых моментов [4], суть которой заключается в переходе от описания состояния частицы в обычном фазовом пространстве к описанию в расширенном фазовом пространстве – пространстве фазовых моментов. Тогда анализ нелинейных уравнений динамики пучков заряженных частиц сводится к рассмотрению системы линейных дифференциальных уравнений в нормализованном пространстве фазовых моментов:


(10)


Квадратная матрица имеет блочный верхнетреугольный вид





Ее элементами являются функции от распределения потенциала и его первых четырех производных по z. Аналитический вид элементов матрицы не приводится из-за известных ограничений на объем статьи.

Таким образом, с помощью процедуры погружения в нормализованное пространство фазовых моментов от исходной системы нелинейных дифференциальных уравнений (8) перешли к системе линейных дифференциальных уравнений (10).

Если известны координаты частицы при z=z0, т.е.


(11)


тогда в этом случае мы имеем задачу Коши для уравнения (10). Решение уравнения (10) с начальным условием (11) будем искать в виде


(12)


Подставляя (12) в (10), получим дифференциальное уравнение для матричной функции , которая имеет название матрицант [4]:


(13)


Элементы матрицанта R находятся численно методом челнок-сумм [6, 7]. Для численного решения уравнений движения заряженных частиц в ускоряющей электростатической структуре на языке C++ была написана программа Acc_tube. Для расчета распределения потенциала и его четырех производных по оси симметрии применялся код «Laplas» [8], реализующий метод интегральных уравнений (зарядовых плотностей) [9]. Данный метод предпочтительнее метода конечных разностей и конечных элементов при расчете поля на оси симметрии системы, так как в нем существенно выше точность нахождения производных потенциала на оси.

Далее представлены результаты исследования огибающих пучков в ускорительной трубке электростатического ускорителя ЭГП-10 ФГУП РФЯЦ-ВНИИЭФ (г. Саратов).

Ускоряющие трубки ЭГП-10 осесимметричные, длиной 4 м каждая, с шагом по изоляторам 25 мм, количество электродов каждой трубки N=156 (рис. 1).





^ Рисунок 1 - Расчетная схема ускоряющей структуры ЭСУ ЭГП-10, начало ускоряющей структуры


Расчетная схема включает в себя:

  1. Ускоряющий электрод источника ионов (1) с фокусирующим электродом (2), находящимся под потенциалом четвертого электрода трубки (первые 4 электрода на рис.1 не показаны). Т.е., если разность потенциалов между соседними электродами трубки ?U, то потенциал цилиндрического фокусирующего электрода 4?U.

  2. Верхнюю ускоряющую трубку со всеми 152 электродами (3) с заданным на них линейным распределением потенциала от 4?U до UMAX - потенциала кондуктора.

  3. Ионопровод, содержащий перезарядную камеру, находящийся под потенциалом кондуктора.

  4. Нижнюю ускорительную трубку со всеми 156 электродами с заданным на них линейным распределением потенциала от UMAX до 0.

  5. Ионопровод системы нижняя трубка – анализирующий магнит (находится под потенциалом земли).

Потенциал кондуктора варьировался в пределах UMAX = 0,4–7 МВ, что соответствует диапазону энергий частиц на выходе из ускорителя E =0,8 - 14 МэВ.

На выходе из источника ионов задавался эмиттанс пучка, при этом предполагалось, что кроссовер находится перед выходным отверстием ускоряющего электрода. Были приняты следующие значения параметров: полуширина пучка в кроссовере 0,5 мм, половина угла расходимости 20 мрад, что соответствует номинальным значениям для источников данного типа [10].

На рис. 2 представлены огибающие пучка в ускоряющей структуре при энергии пучка 14 МэВ и разных начальных энергиях на выходе из источника ионов E0.





^ Рисунок 2 - Огибающие пучка ионов в ускоряющей структуре при E=14МэВ


Точка старта ионов с энергией E0 соответствует z=0 (выход источника); конец верхней ускорительной трубки - координата z=447см; начало нижней ускорительной трубки – z=567см, конец - z=967см; выходной эмиттанс вычислялся в точке z=1170 см (вход в анализирующий магнит).

На основе анализа огибающих r(z) пучков ионов в ускорительной структуре могут быть сделаны следующие выводы. В заданном диапазоне энергий частиц рекомендуются следующие максимальные начальные энергии ионов: E=14 МэВ , E0=10 кэВ; E=7 МэВ , E0=5 кэВ; E=0,8 МэВ, E0=0,5 кэВ. Промежуточные значения E и E0 могут быть получены простой линейной интерполяцией, что соответствует принципу пропорциональности для движения заряженных частиц в электростатическом поле [5]. Данные значения выбраны из условия прохождения пучка по ионному тракту. Сильное ограничение накладывает трубка перезарядной камеры, радиус которой составляет 3мм (положение на графиках огибающих центра мишени z=5,075 м). Т.о., в заданных диапазонах начальных и конечных энергий пучок пройдет через перезарядную мишень с некоторым "запасом", его радиус не превысит r=2 мм.

Результаты расчетов огибающих r(z) сравнивались с результатами, полученными траекторными методами. Расхождение составило не более 1%. Но по сравнению с траекторными методами метод матрицантов требует меньших затрат на время вычислений, т. к. для всего множества начальных координат частиц матрицант вычисляется только один раз. Кроме того, примененный метод челнок-сумм является консервативным по отношению к фазовому объему пропускаемого пучка.

SUMMARY


Technique of modeling of nonlinear dynamics of a beam of the charged particles in axial electrostatic field by a method of matrizant is developed. Code calculating matrizant of axial electrostatic field and allowing is written to expect parameters of a beam. Results of account bending around of a beam in the electrostatic accelerator EGP-10 are submitted.


^ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ


  1. Баранова Л.А., Явор С.Я. Электростатические электронные линзы. -М.: Наука, 1986.– 192 с.

  2. Yavor M.I., Weick H., Wollnik H. Fringing-field effect in acceleration columns.// Nucl. Instr. And Meth. A 427, 1999, pp. 79-85.

  3. George H. Gillespie, Thomas A. Brown. Optics elements for modeling electrostatic lenses and acceleration components. II. Acceleration columns. Nucl. Instr. And Meth. A 427. –1997. pp. 315-320.

  4. Dymnikov A., Helborn R. Matrix theory of the motion of a charget particle beam in curvilinear space-time. Part I. General theory // Nucl. Instr. and Meth. in Phys Res. – 1993. - A330. – P. 323-342.

  5. Силадьи М. Электронная и ионная оптика.- М.: Мир, 1990.-639с.

  6. Dymnikov A.D. The methods shutle-sums and of shutle-integrals in ion optics. Nucl. Instr. and Meth. in Phys Res.–1995. – A363. –P. 435-439.

  7. Дымников А.Д. Матричные и рекурсивные методы в теории управления движением заряженных частиц.- ОИЯИ, Б1-10427, Дубна, 1977. – 205 c.

  8. Игнатьев И.Г., Пономарев А.Г. Расчет электростатического поля в высоковольтных структурах электростатического ускорителя: Препр./ИМФ АН УССР; 12-90. – Киев, 1990.-14 с.

  9. Иванов В.Я. Методы автоматизированного проектирования приборов электроники.- Новосибирск : Ин-т математики СО АН СССР, 1986.-194 с.

  10. Электростатические ускорители // Сб. статей / Под ред. А.К. Вальтера. – М.: Госатомиздат, 1963.-302с.



Поступила в редколлегию 4 марта 2003 г.

Схожі:

Моделирование нелинейной динамики пучка заряженных частиц в аксиально-симметричном электростатическом поле методом матрицантов и. Г. Игнатьев*, канд физ мат наук, доц.; Д. В. Магилин**, асп iconОсобенности решения обратной задачи в спектроэллипсометрических исследованиях в. Д. Карпуша, канд физ мат наук, доц.; У. С. Швец, асп
Целью настоящей работы является изучение особенностей применения метода спектральной эллипсометрии в исследовании оптических свойств...
Моделирование нелинейной динамики пучка заряженных частиц в аксиально-симметричном электростатическом поле методом матрицантов и. Г. Игнатьев*, канд физ мат наук, доц.; Д. В. Магилин**, асп iconТурбомашины для перекачивания газожидкостных смесей евтушенко А. А., канд техн наук, доц.; Колисниченко Э. В., асп.; Сапожников С. В., канд техн наук
Евтушенко А. А., канд техн наук, доц.; Колисниченко Э. В., асп.; Сапожников С. В., канд техн наук
Моделирование нелинейной динамики пучка заряженных частиц в аксиально-симметричном электростатическом поле методом матрицантов и. Г. Игнатьев*, канд физ мат наук, доц.; Д. В. Магилин**, асп iconЕлектрофізичні властивості та кристалічна структура плівок алюмінію а. Г. Басов, здобувач; А. О. Степаненко, аспірант; А. М. Чорноус, канд фіз мат наук, доц
А. Г. Басов, здобувач; А. О. Степаненко, аспірант; А. М. Чорноус, канд фіз мат наук, доц
Моделирование нелинейной динамики пучка заряженных частиц в аксиально-симметричном электростатическом поле методом матрицантов и. Г. Игнатьев*, канд физ мат наук, доц.; Д. В. Магилин**, асп iconЕлектрофізичні властивості та кристалічна структура плівок алюмінію а. Г. Басов, здобувач; А. О. Степаненко, аспірант; А. М. Чорноус, канд фіз мат наук, доц
А. Г. Басов, здобувач; А. О. Степаненко, аспірант; А. М. Чорноус, канд фіз мат наук, доц
Моделирование нелинейной динамики пучка заряженных частиц в аксиально-симметричном электростатическом поле методом матрицантов и. Г. Игнатьев*, канд физ мат наук, доц.; Д. В. Магилин**, асп iconПрограма вступного випробування з фізики для вступників на освітньо-кваліфікаційний рівень бакалавр
...
Моделирование нелинейной динамики пучка заряженных частиц в аксиально-симметричном электростатическом поле методом матрицантов и. Г. Игнатьев*, канд физ мат наук, доц.; Д. В. Магилин**, асп iconНаукові записки
Филипчук С. В., канд. іст наук, ст викл.; Цолін Д. В., канд філол наук, доц.; Шанюк В. І., канд філол наук, доц.; Шаправський С. А.,...
Моделирование нелинейной динамики пучка заряженных частиц в аксиально-симметричном электростатическом поле методом матрицантов и. Г. Игнатьев*, канд физ мат наук, доц.; Д. В. Магилин**, асп iconСумського державного педагогічного університету
Корнус А. О., канд геогр наук., доц. (відповідальний секретар); Нешатаєв Б. М., докт геогр наук, проф.; Злобін Ю. А., докт біол наук,...
Моделирование нелинейной динамики пучка заряженных частиц в аксиально-симметричном электростатическом поле методом матрицантов и. Г. Игнатьев*, канд физ мат наук, доц.; Д. В. Магилин**, асп iconМетод сингулярных интегральных уравнений в задачах дифракции упругих волн на цилиндрических включениях а. М. Назаренко, доц., Б. Е. Панченко, канд физ мат наук, А. М. Ложкин, студ
Проблема концентрации динамических напряжений вблизи цилиндрической поверхности разрыва в упругой среде при прохождении плоских волн...
Моделирование нелинейной динамики пучка заряженных частиц в аксиально-симметричном электростатическом поле методом матрицантов и. Г. Игнатьев*, канд физ мат наук, доц.; Д. В. Магилин**, асп iconМетод сингулярных интегральных уравнений в задачах дифракции упругих волн на цилиндрических включениях а. М. Назаренко, доц., Б. Е. Панченко, канд физ мат наук, А. М. Ложкин, студ
Проблема концентрации динамических напряжений вблизи цилиндрической поверхности разрыва в упругой среде при прохождении плоских волн...
Моделирование нелинейной динамики пучка заряженных частиц в аксиально-симметричном электростатическом поле методом матрицантов и. Г. Игнатьев*, канд физ мат наук, доц.; Д. В. Магилин**, асп iconО. Крамар, канд фіз мат наук; Ю. Скоренький, канд фіз мат наук; Ю. Довгоп’ятий

Додайте кнопку на своєму сайті:
Документи


База даних захищена авторським правом ©zavantag.com 2000-2013
При копіюванні матеріалу обов'язкове зазначення активного посилання відкритою для індексації.
звернутися до адміністрації
Документи