Степени степень с натуральным показателем icon

Степени степень с натуральным показателем




Скачати 60.04 Kb.
НазваСтепени степень с натуральным показателем
Дата02.06.2012
Розмір60.04 Kb.
ТипДокументи

ГЛАВА 2. СТЕПЕНИ


2.1. Степень с натуральным показателем


Определение. Степенью числа а с натуральным показателем n(n>1) называется произведение n сомножителей, каждый из которых равен а. , а1=а.

Свойства степеней с натуральным показателем:

  1. ;




4.






5. ;

  1. ;




6.


Пример 1. Вычислить: .

Решение.

Пример 2. Найти значение выражения: .

Решение.

Пример 3. Выполнить действия: .

Решение.

Пример 4. Расположить в порядке возрастания следующие числа:



Решение.

Отсюда:

^ 2.2. Степень с целым показателем

Обобщая понятие степени с натуральным показателем, введем степени с нулевым и целым отрицательным показателями.

Определение: Если a?0, то a0=1. Выражение 00 не имеет смысла.

Определение: Если a?0, и n– натуральное, то

Выражение 0-n не имеет смысла.

Свойство 2 степени с натуральным показателем можно теперь, используя понятие степени с нулевым и целым отрицательным показателем, записать в виде: Остальные свойства имеют ту же запись.

Пример 1. Вычислить: ;

Решение.

Пример 2. Найти значение выражения: .

Решение.

Пример 3. Упростить: .

Решение. .

^ 2.3. Арифметический корень n-й степени

Определение: Корнем п-й степени из числа называется число, п-я степень которого равна а.

Если n=2, то имеем квадратный корень. Если n=3 , то корень называется кубическим.

Если а>0 и b–корень чётной n-й степени (n=2k), то и (-b) также является корнем n-й степени из числа а, т.к. (-b)n=(-b)2k=(b)2k=(b)n=a.

Действие нахождения корня n-й степени из числа называется извлечением корня n-й степени. Это действие является обратным к возведению в n-ю степень.

Если a<0 , то корень чётной n-й степени из числа а не существует (на множестве действительных чисел).

Определение: ^ Арифметическим корнем n-й степени из неотрицательного числа называется неотрицательное число b, n-степень которого равна а.

Например, числа 3 и -3 являются корнями четвёртой степени из числа 81. При этом число 3 – арифметический корень четвёртой степени из числа 81, а число -3 не является арифметическим корнем.

Арифметический корень n-й степени из числа обозначается так:; а называется подкоренным числом, а натуральное число n (n?2) – показателем корня.

Если n=2, показатель корня не пишется. Например, вместо , пишут .

Теорема. Из любого действительного числа а?0 можно извлечь арифметический корень n-й степени и притом только один.

Корень чётной степени из отрицательного числа не существует.

^ Корень нечётной степени из отрицательного числа – число отрицательное..

Этот корень единственный и обозначается так же, как и арифметический.

.

Корень нечётной n-й степени из отрицательного числа а связан с арифметическим корнем из числа -а=|а| следующим равенством:

, где a<0, n-нечётное натуральное число (n?3).

В дальнейшем запись вида будет означать арифметический корень, когда а?0, или корень нечётной степени из отрицательного числа, когда а<0.


Свойства арифметического корня:

  1. Основное свойство арифметического корня: величина арифметического корня не изменится, если показатель корня умножить на любое натуральное число k и одновременно подкоренное выражение возвести в степень с тем же показателем k : .

  2. При умножении арифметических корней с одинаковыми показателями подкоренные выражения перемножаются, а показатель корня остаётся прежним: .

  3. При делении арифметических корней с одинаковыми показателями подкоренные выражения делятся, а показатель корня остаётся прежним: .

  4. При возведении арифметического корня в степень с натуральным показателем возводится в эту степень подкоренное выражение, а показатель корня остаётся прежним, .

  5. При извлечении корня из корня перемножаются показатели корней, а подкоренное выражение остаётся прежним: . .

  6. Сравнение арифметических корней основано на следующем свойстве:

если a>b>0, то , и обратно: если ( a>0, b>0), то a>b.

Доказать: . Для доказательства применим основное свойство арифметического корня и приведём корни к общему показателю 6 (наименьшему общему кратному показателю данных корней): Так как , то по свойству сравнения арифметических корней получим: .

Замечание: Для корня нечётной степени из отрицательного числа справедлива формула: .

С помощью этой формулы можно показать, что свойства 2ч 5 арифметических корней справедливы также и для корней нечётной степени из отрицательного числа.

В общем случае, когда в преобразованиях участвуют как арифметические, так и корни нечётной степени из отрицательного числа, эти свойства неверны.

Например, для произведения применение свойств 1. и 2. приведёт к неверному результату: .

Правильное решение: .

В случае арифметического квадратного корня было доказано, что для любого действительного числа а. Аналогично:



Например, в преобразованиях:



Пример 1. Внести множитель под знак корня в выражении: .

Решение. Так как , то

Пример 2. Вынести множитель из-под знака корня в выражении: , где а<0.

Решение. , то .

Пример 3. Выполнить действия: .

Решение. ; .

Отсюда: .

^ 2.4. Степень с рациональным показателем

Понятия и свойства степени с любым целым показателем были рассмотрены выше.

Введём теперь в рассмотрение степень с дробным показателем.

Определение. Если a>0 и x– рациональное число, представленное дробью , где m – целое, и n?2 – натуральное число, то: ; если а0 и x>0, то ax 0.

Например, при а?0; или при b>0.

Рациональное число представляется в виде дроби неоднозначно, так как при любом натуральном k.

Покажем, что: . В самом деле: (использовано основное свойство арифметического корня).

^ Свойства функции с целым показателем распространяются на степень с любым рациональным показателем и положительным основанием, например: ap∙aq=ap+q (a>0).

^ 2.5. Примеры вычисления арифметических выражений со степенями

Пример 1. Вычислить: .

Решение. ; ;

. Отсюда: .

Пример 2. Выполнить действия: .

Решение.

; .

Отсюда: 53∙24+5=(5∙2)3∙2+5=2000+5=2005.

Пример 3. .

Пример 4. .

Пример 5. .

Пример 6. .

Пример 7. Освободиться от иррациональности в знаменателе дроби:

.

2.6. Упражнения

Вычислить:

  1. 3,20 + 641/6 – 0,23 ·0,2-2 – 53 : 5;

  2. 271/3 – 4,80 – 1,53 –1,5-2 + 22 : 2-3;

3. 52 : 5-1 + - 42 · 4-3 – 272/3.

Упростить иррациональные выражения:





3.

4. ;







  1. ;











  1. ;

  2. .







Схожі:

Степени степень с натуральным показателем iconИнформационное письмо о проведении Международной петербургской олимпиады по русскому языку и культуре для школьников из стран СНГ и Балтии (2011 год)
Победителям вручают дипломы первой степени, второй степени и третьей степени. Всем участникам Олимпиады выдается сертификат участника...
Степени степень с натуральным показателем icon“Препарирование зубов под металлическую штампованную коронку”
Положение зуба в зубном ряду, степень его разрушения, взаимосоотношение с зубами-антаногистами, степень выраженности экватора, плотность...
Степени степень с натуральным показателем iconАвтор1 И. О., ученая степень, Автор 2 И. О., ученая степень
Резюме пишется по-русски, если статья написана на украинском языке. Если статья написана на русском языке, то резюме должно быть...
Степени степень с натуральным показателем iconНейросонографические данные у новорожденных с гипоксически-ишемической энцефалопатией средней степени тяжести в динамике неонатального периода попов С. В., проф кафедры педиатрии №1 СумГУ
Таким образом, первым и наиболее частым методом исследования, используемым для диагностики степени тяжести и характера гипоксического...
Степени степень с натуральным показателем iconMailto: helengromova
Для снижения степени риска при принятии инвестиционного решения необходимо объективно оценить предстоящий проект, т е учесть всю...
Степени степень с натуральным показателем iconКонкурс на получение стипендий для обучения в магистратуре для студентов, которые имеют значительные успехи и достижения в обучении
Ии, кандидат должен быть уже обладателем степени в иностранном университете, квалификация которого должна приравниваться к степени...
Степени степень с натуральным показателем iconКонспект лекций по дисциплине „Локальные информационные сети для студентов специальности 090803
Охватывают только два нижних уровня семиуровневой модели osi — физический и канальный. Это связано с тем, что именно эти уровни в...
Степени степень с натуральным показателем icon8 Степень устойчивости склонов в зависимости от

Степени степень с натуральным показателем iconЗаявка на участие в конференции
Научная степень и ученое звание
Степени степень с натуральным показателем iconГост 20763-85 межгосударственный стандарт электронасосы центробежные погружные для загрязненных вод основные параметры ипк издательство стандартов москва межгосударственный стандарт
К (0°С) до 308 к (35°С), с водородным показателем в пределах 5-10 рН, плотностью до 1100 кг/м3, при содержании твердых механических...
Додайте кнопку на своєму сайті:
Документи


База даних захищена авторським правом ©zavantag.com 2000-2013
При копіюванні матеріалу обов'язкове зазначення активного посилання відкритою для індексації.
звернутися до адміністрації
Документи