Числовые и алгебаические преобразования основные понятия icon

Числовые и алгебаические преобразования основные понятия




Скачати 191.34 Kb.
НазваЧисловые и алгебаические преобразования основные понятия
Дата02.06.2012
Розмір191.34 Kb.
ТипДокументи

ГЛАВА 3. ЧИСЛОВЫЕ И АЛГЕБАИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

3.1. Основные понятия

Определение. Выражения, состоящие из действительных чисел, знаков действий и скобок, называются числовыми выражениями.

Например: 3 + 5,7; 7 ∙ 103 + 5 ∙102 - ; .

Определение. Математические выражения, в которых над числами и буквами, входящими в выражения, выполняются дей­ствия сложения, вычитания, умножения, деления, возве­дения в натуральную степень и извлечения арифметиче­ского корня, называются алгебраическими выражениями.

Например, алгебраическими являются выражения: 3x2-7y+1, 3x-5; .

Значения величин x, y, …,z, при которых выполнимы все действия, указанные в выражении A(x, y, …, z ), называются допустимыми значениями. Они образуют область определения или область допустимых значений (сокращено ОДЗ) выражения А.

При совместном рассмотрении нескольких алгебраических выражений нужно брать общую часть их областей определения. Например,

и . ОДЗ: x?-1, x?0, у?-2.

Алгебраические выражения подразделяются на рациональные и иррациональные.

Алгебраическое выражение называется рациональным, если относительно переменных (букв), которые в него входят, выполняются только действиями сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в нату­ральную степень.

Например: ; ; .

Алгебраическое выражение называется иррацио­нальным, если в нем выполняются действия извлечения арифметического корня из букв (переменных) или вы­ражений, содержащих буквы (переменные).

Например: ; ; .

Последнее выражение иррациональное относительно х и рациональное относительно у.

^ 3.2. Отношение чисел и однородных величин. Проценты. Пропорции

3.2.1 Отношение чисел и однородных величин. Проценты

Отношением числа а к числу b называется частное чисел a и b.

Например, отношение 12 к 10 равно 1,2, так как 12 : 10 = 1,2; отношение 3 к 7 равно , так как 3:7=.

Отношением называют не только результат деления одного числа на другое, но и само выражение. Например, отношения 12 : 10, 3 : 7. Числа, входящие в отношение, называют членами отношения.

Отношение двух положительных чисел часто выражают в сотых долях. В этом случае сотую долю числа называют процентом.

Например, отношение 4 : 5 = 0,8; 0,8 равно 80 сотым. Данное отноше­ние составляет 80 процентов. Если слово "процент" непосредственно идет после числа, то вместо него ставят знак %. Отсюда 4:5 = 0,8 или 80%.

Говорят, что число 4 составляет 80 % от числа 5.

Чтобы выразить отношение двух чисел в процентах, надо значение этого отношения умножить на ^ 100.

Пусть отношение числа а к числу b равно r (%). Тогда

Рассмотрим три основные задачи на проценты.

Задача 1. Нахождение процентов отношения чисел.

Из группы в 25 человек на занятиях присутствовало 22 человека. Сколько процентов учащихся группы присутствовало на занятиях?

Решение. Так как a = 22, b = 25, то 88 (%).

Задача 2. Нахождение числа, составляющего процент от данного числа.

При перегонке нефти получается 30 % керосина. Сколько керосина получается при перегонке 360 т нефти?

Решение. Используем формулу . Так как r= 30, b = 360, то , отсюда: а = 108 (т).

Задача 3. Нахождение числа по его процентам.

За один час машина прошла 48 км, что составляет 12% всего пути. Каков весь путь?

Решение. Используем формулу Так как r =12, а =48, то ; отсюда: b = 400 (км).

3.2.2. Пропорции

Пропорцией называется верное равенство , (4.2.1)

где числа а, b, с, d не равны нулю.

Числа а и d называются крайними членами пропорции, а числа b и c– её средними членами.

Основное свойство пропорции: произведение крайних членов пропорции равно произведению ее средних членов. Это означает, что если , то ad = bс.

Из основного свойства пропорции следует, что: и ;

Крайний член пропорции равен произведению средних членов, деленному на известный крайний член пропорции; и , средний член пропорции равен произведению крайних членов, деленному на известный сред­ний член пропорции.

Пусть дана пропорция (4.2.1.), тогда верна производная пропорция вида

, (4.2.2)

где а ?0, b?0, c ?0, d ?0, та + nb ? 0, mс + nd ? 0, ka + lb ? 0, kc+ld ? 0.

Справедливо также свойство равных отношений (равных дробей):

из этих равенств следуют равенства:

. (4.2.3)

(4.2.4)

Кроме того, из равенств (4.2.3) следуют равенства:

(4.2.5)

Задача 1. Из 2000 зерен пшеницы взошло 1800 зерен. Чему равен процент всхожести семян?

Решение. Пусть всхожесть семян равна r (%). Тогда один процент всхожести семян можно найти так: разделить 1800 на r или2000 на 100. Отсюда 1800: r = 2000 : 100. Найдем неизвестный средний член этой про­порции:



Задача 2. Чертеж составлен в масштабе ^ 2:5. Чему будет равна длина болта на чертеже, если в натуре длина болта 60 мм?

Решение. Пусть х (мм) - длина болта на чертеже. Так как масштаб показывает отношение длины отрезка на чертеже к длине отрезка в нату­ре, то получим пропорцию х : 60 = 2:5. Найдем неизвестный крайний член этой пропорции:

^ 3. 2.3. Упражнения

  1. Найти 3,2% от 1,5.

  2. Найти число, если 5% его равны 18.

  3. К 80 г 15 – процентного раствора соли влили 20 г воды. Определить концентрацию получившегося раствора.

  4. За первый месяц завод выполнил 30% квартального плана. Число машин, выпущенных за второй и третий месяцы, оказалось пропорционально числам 19 и 20. Определить перевыполнение квартального плана в процентах, если во втором месяце завод дал продукции на % больше, чем в первый.

  5. Трое изобретателей получили премию в размере 1410 грн., причём, второй получил % того, что получил первый, и ещё 60 грн., а третий получил % денег второго и ещё 30 грн. Какую премию получил каждый?

  6. На вступительном экзамене по математике 15% поступающих не решили ни одной задачи, 144 человека решили задачи с ошибками, а число верно решивших все задачи относится к числу не решивших вовсе, как 5 : 3. Сколько человек экзаменовалось по математике в этот день?

^ 3.3 Тождественные преобразования выражений

Определение. Два выражения с переменными называются тождест­венно равными на множестве, если их соответствующие значения совпадают при всех значениях переменных, которые принадлежат этому множеству.

Пример. Выражения 5 (х + 2) и 5х + 10 – тождественно равные на множестве всех чисел; выражения и x-y – тождественно равные на множестве всех чисел, кроме нуля; выражения а2- b2 и (а + b) ∙ (а - b) – тож­дественно равные на множестве всех пар чисел.

Определение. Тождественным преобразованием выражения назы­вается замена выражения тождественно равным ему.

Равенство, в котором правая и левая части – тожде­ственно равные выражения на определенном множестве, называется тождеством на этом множестве.

^ 3.3.1 Тождественные преобразования целых вы­ражений

Определение. Рациональное выражение называется целым, если оно не содержит действия деления на переменную (бу­кву) или на выражение, содержащее переменную. На­пример, целыми являются выражения 3,25+5,5a-7b, .

Определение. ^ Вы­ражения, не содержащие других действий, кроме дейст­вий умножения и возведения в натуральную степень, называют одночленами.

3.3.2 Одночлены

Произведение нескольких чисел, обозначенных цифрами или буквами, называют одночленом.

Степень числа с натуральным показателем и произведение степеней чи­сел с натуральными показателями также называют одночленами, так как в виде степени можно записать произведение равных множителей.

^ Стандартный вид одночлена – это такая запись одночлена, в которой есть только один числовой множитель, стоящий на первом месте, а затем различные буквенные множители или их степени с натуральными показателями.

В стандартном виде одночлена нет одинаковых букв. Любой одночлен можно записать в стандартном виде. Для этого нужно умножить все числовые множители и поставить их произведение на первое место, а затем произведения одинаковых буквенных множителей записать в виде степени. Числовой множитель одночлена, записанного в стандартном виде, называется коэффициентом этого одночлена.

Например, приведем к стандартному виду одночлен 2bc2· (-2ab2c)3 . По свойствам степени с натуральным показателем получим 2 bc2·(-2)3a3 (b2)3c3 =3а22·(-8)а3b6с3. Теперь, используя переместительное и сочетательное свойства умноже­ния, а также свойство степени с одинаковыми основаниями, получим -24a5b7c5.

Одночлены называются подобными, если они одинаковы или отличаются только коэффициентами.

Приведем основные правила действий над одночленами.

1. Чтобы сложить одночлены, достаточно записать их один за другим и привести подобные члены, если они есть.

2. Чтобы вычесть одночлен из одночлена достаточно прибавить вычитаемое к уменьшаемому с противоположным знаком.

3. Чтобы умножить одночлен на одночлен, надо перемножить их коэффициенты и к полученному коэффициенту приписать множителем каждую букву из перемножаемых одночленов с показателем, равным сумме показателей этой буквы в сомножителях.

Например, .

4. Деление одночлена на одночлен основывается на правилах деления степеней, т.е. чтобы разделить одночлен на одночлен, надо разделить коэффициент делимого на коэффициент делителя и к полученному результату приписать множителем каждую входящую букву с показателем, равным разности показателей этой буквы в делимом и делителе.

Например, .

5. Для возведения одночлена в степень с натуральным показателем нужно возвести в эту степень каждый его множитель.

При умножении одночленов или возведении в степень с натуральным показателем снова получается одночлен.

Степенью одночлена называется сумма показателей степеней его буквенных множителей. Если одночленом является число, то степень такого одночлена считается равной нулю.

Например, 2одночлен второй степени, 3y2z – одночлен шестой степени, 5 –одночлен нулевой степени.

3.3.3 Многочлены

Многочленом называется алгебраическая сумма нескольких одночленов, т.e. алгебраическое выражение, представляющее собой сумму или разность двух или нескольких одночленов.

Каждый одночлен, входящий в многочлен, называют членом много­члена.

Если все члены многочлена записать в стандартном виде и привести подобные члены, то получится многочлен стандартного вида.

Например, приведем к стандартному виду многочлен

(-2ху2) + 4х 5ху2 -(5ху2)2 + 8х2y4.

Для этого надо записать все одночлены в стандартном виде и привести подобные члены:

3х∙ (-2ху2) + 4х∙ 5ху2 -(5ху2)2 + 8х2y4=14x2y2-17x2y4.

В зависимости от числа членов многочлены называют двучленами, трех­членами и т.д. Одночлен также можно рассматривать как многочлен, сос­тоящий из одного члена.

^ Степенью многочлена называют наибольшую степень одночлена, входя­щего в этот многочлен.

Например, в многочлене 2у + 5x4y3 - ху + 6 наибольшую степень, равную 7, имеет одночлен 4у3. Значит, степень этого многочлена тоже равна 7.

1. При сложении и вычитании нескольких многочленов надо привести подобные члены. В результате снова получается многочлен.

2. Чтобы умножить многочлен на многочлен, нужно умножить каждый член одного многочлена на каждый член другого многочлена. В результате снова получается многочлен; его нужно записать в стандартном виде.

Например: (3х-2у +z)·(5х-2z)=15х2-6xz-10ху+4yz+5xz-2z2=15х2-xz-10ху+4yz-2z2.

В результате сложения, вычитания, умножения и возведения в степень с натуральным показателем нескольких одночленов и многочленов снова получается многочлен.

3^ . Чтобы разделить многочлен на одночлен, нужно каждый член многочлена разделить на этот одночлен и полученные результаты сложит.

Например: (45х2у4-36х3у3):3х2у3=(45x2y4):(3x2y3)+ (-36х3у3):(3х2у3)=15у-12х.

4. Разделить многочлен на многочлен – значит найти новый многочлен, умножив который на делитель, получим делимое. Чтобы разделить многочлен на многочлен, нужно:

а) расположить многочлены по убывающим степеням буквы, относительно которой производится деление;

б) разделить первый член делимого на первый член делителя (это будет первый член частного);

в) умножить первый член частного на делитель и подписать полученное произведение под делимым;

г) вычесть из делимого подписанный под ним результат. Полученную разность назовем первым остатком. Если первый остаток равен нулю, то деление закончено, если же не равен нулю и степень его выше степени делителя, то разделить первый член первого остатка на первый член делителя (это будет второй член частного).

В дальнейшем действия повторяются до тех пор, пока какой-либо остаток не будет равен нулю или пока степень остатка не окажется меньше степени делителя.

В первом случае многочлен делится на многочлен без остатка.


Пример 1. Разделить 6x3-x2+5x-7 на 2x2+x+3.

Решение. 1-е действие: ;

2-е действие: 3х(2х2 + х + 3)= 6х3 + 3х2 + 9х;

3-е действие: вычитание из первой строки второй, причем степени с одинаковыми показателями располагают друг под другом.

4-е действие: сравнивают старшую степень полученного остатка со старшей степенью делителя. Если старшая степень 1-го остатка меньше старшей степени делителя, то деление закончено; если же больше или равна, то деление продолжается.

Второе действие для приведенного примера – деление старшего члена остатка на старший член делителя, т.е. . 2-й остаток (окончательный, т.к. его старший член (-2х) имеет степень меньшую, чем степень в старшем члене делителя 2).


6x3- x2 + 5x - 7



6x3+3x2 + 9x

2x2 + x + 3

^ 3х – 2 частное




- 4x2 - 4x - 7



- 4x2 - 2x - 6

- 2x - 1

остаток от

деления

Деление закончено.

Частное двух данных многочленов записывают в виде суммы целого и дроби, в числителе которой остаток, а в знаменателе многочлен-делитель.

В случае нашего примера:

или другая форма записи:.

Замечание. Процесс деления считается завершенным, когда остаток по старшей степени ниже делителя.


Пример 2. (x5+1):(x+1)=?

Решение. Продемонстрируем правило «деление в столбик»

x5+1 |x+1

-x5+x4 |x4-x3+x2-x+1

-x4+1

--x4-x3

x3+1

- x 3+x2

-x2+1

-x2-x

x+1

-x+1

Деление выполнено нацело, т.к. остаток равен 0.

Результат можно записать в виде: .


Пример 3. x4+2x3-3 : x-1=?

Решение.



Результат запишем в виде: x4+2x3-3 = (x-1)(x3+x2+3x+3).

^ 3.3.4. Формулы сокращенного умножения

1. Квадрат суммы: (а + b)2 =a 2 + 2ab + b2.

2. Квадрат разности: (а   b)2 = а2   2ab + b2.

3. Куб суммы: (а + b)3 = а3 + 3a2b + 3ab2 + b3.

4. Куб разности: (a   b)3 =a3 -3a2b + 3ab2 - b3.

5. Разность квадратов: (а + b) (a   b) =a2   b2.

6. Сумма кубов: (а + b) (a2 -ab + b2) =а3 +b3.

7. Разность кубов: (а   b) (a2 +ab + b2) =а3   b3.


Пример. Вывести тождества для .

Решение:

Пользуясь формулами для квадрата суммы и квадрата разности, получим:

(а - b + с)2 = а2 + b2 + с2 - 2ab + 2ac - 2bc;

Аналогично:

(a + b + c + d)22 +b22 +d2 + 2ab + 2ас + 2ad + 2bc + 2bd + 2cd.

Формулы сокращенного умножения часто применяются для упрощения выражений.

Пример: (а + 1)(а  - 1) (а42 + 1) + (а2   а + 1)(а + 1) =

= (а2   1)(а42+ 1) + (а+1)(а2   a+1) = (а6   1) + (а3 + 1) = а63.

Здесь последовательно использовались формулы для разности квадратов, разности и суммы кубов.

^ 3.3.5. Разложение многочлена на множители

Определение. Преобразование многочлена к виду произведения двух или нескольких многочленов ненулевой степени называется разложением многочлена на множители. Например: x2 – a2= (x – a)(x + a).

Рассмотрим различные приемы разложения многочленов на множители.

1) ^ Способ гpyппировки и вынесение общего множителя за скобки.

При использовании этого способа иногда целесообразно применить "искусственные" преобразования — разбить отдельные члены на подобные слагаемые или ввести взаимно уничтожающиеся члены.

Пример 1. Разложить на множители многочлен a2 -2bc + 2ac - ab.

Решение. а2 – 2bс + 2ас   ab= (а2 + 2ас)   (2bс + ab) =

=a (а + 2с) –b(2с + а) = (a + 2с)(a   b).

Пример 2. Разложить на множители многочлен: х2   3х + 2.

Решение.

х2   3х + 2 = х2 – х   2х + 2 = (х2   х)  - (2х   2) = х(х   1)   2(х   1) = (х   1)(х   2).

2) Применение формул сокращенного умножения. С помощью формул сокращенного умножения часто значительно облег­чается разложение на множители.

Пример 3. Разложить на множители многочлен: 5a5x3 + 5а2х9.

Решение. Сначала вынесем за скобки общий множитель 5a2х3, а затем применим формулу для суммы кубов:

5a5х3 + 5а2 х9 = 5а2х33 + х6) = 5a2х3 (a3 + (х2)3) = 5a2x3(a+x2)(a2   ax2 +x4).

Пример 4. Разложить на множители многочлен Р(х) = х3 - 3х - 2.

Решение. Р(х) =х3   3х   2 = х3   х   2х   2 = (х3   х)   (2х+ 2) =

= х(х2   1)   2(х+1) =х(х + 1)(х   1)   2(х + 1) = (х + 1)(х2 – х   2). Так как,

х2   х   2 = х2   х   1   1 = (х2   1)   (х + 1) = (x+1)(x   1)   (x+1)=(x+1)(x   2),

то P(x)=(x+1)2(x   2).

Иногда полезно выделение полного квадрата.

Пример 5. Разложить на множители х4+ 4.

Решение.

х4 + 4 = х4 + 4х2 + 4   4х2 = (х2 +2)2 - (2х)2 = (х2 +2х + 2)(х2   2х + 2).

Для разложения на множители оказалось удачным выделение полного квадрата в выражении х4+4=(х2)2 + 22 (использована формула a2 + b2 = (а + b)2   2ab.

3) Разложение квадратного трёхчлена на множители.

ах2 + bх + с = а(х – х0)(x   х2); (а?0,D = b2   4ac?0), где x1 и х2 – корни трехчлена ах2 + bх + с.

4) Разложение многочлена n-ой степени относительно х на множители.

Многочлен n-й степени относительно х имеет вид

Р(х) = аохп +a1xn-1 +...+аn-1x+аn,

где а0 ? 0, n ? 0 – целое число, а0,, a1,..., аnпостоянные (коэффициенты многочлена), буква (величина) х может принимать любые числовые значения. Многочлен Р(х) записан в стандартном виде по убывающим степеням х.

Два многочлена Р(х) и P1(х) считаются равными: Р(х) = Р1(х),если при всех значениях х они принимают одинаковые значения.

Теорема Безу. При делении многочлена Рn(х) на двучлен (х-х0) получаем остаток R, равный значению многочлена при х =x0, т.е. R=Pn(x0).

Рn(x)=(х - х0 )Qn-1 (х) + P(x0).

Следствия из теоремы Безу:

1. Если Рn(х) делится на (х   х0) без остатка, т.е. R = 0, то х = х0 – корень многочлена Рn(x), т.е. Рn(x0) = 0.

2. Если х = х0 корень многочлена Рn(x), т.е. Рn0) = 0, то Рn(х) делится на (х–х0) без остатка, т.е. Рn(x)=(х   х0 )Qn-1 (х)).

Обобщая, получим: Рn(x)=a0(х – х1) (x - x2)…(x   xn), где x1, x2, …,xn корни многочлена.

Пример 6. Разложить на множители многочлен

Р(х) = (х2 + х + 1)(х2 + х + 2) - 12.

Решение.

Р(х) = (х2 + х + 1)((х2 +х + 1) + 1)   12 = (х2 +x + 1)2 + (х2 + х + 1) - 12.

Пусть x2 + х + 1=у. Тогда имеем у2 + y   12 = (у + 4) (у   3), так как корни трехчлена у2 + у   12 равны   4 и 3. Переходя от у к x, получаем

Р(х) = (х2 + х + 5) (х2 +x   2). Так как трехчлен x2 + х   2 = (х   1) (х + 2),

то Р(х) = (х   1) (х + 2) (х2 + х + 5).

^ 3.3.6. Алгебраические дроби

Выражение вида , где Р(х) и Q(х) – многочлены, называется алгебраической дробью, причем многочлен Р(х) называется числителем алгебраической дроби, а многочлен Q (х) – её знаменателем.

Дробь рассматривается только при допустимых значениях входящей в нее величины (буквы) х, т.е. Q(x). Например, для дроби считаем, что х2   1 ?0, т.е. х ? 1, х ?   1.

Определение. Алгебраические дроби и считаются равными: =, если выполняется равенство Р(х)∙Q1(x) = Q(x)∙P1(x).

Например, . Т.к. (x+1)∙(x   1)=(x2   1), то ОДЗ: x?1, x?   1.

Из определения равенства дробей вытекает, что алгебраическая дробь не изменится, если числитель и знаменатель умножить на один и тот же многочлен К(х) : (Q(x)?0, K(x)?0) (основное свойство алгебраической дроби).

Используя основное свойство дроби, можно сокращать алгебраическую дробь на общий множитель (многочлен, входящий в разложение числителя и знаменателя одновременно) и приводить дроби к общему знаменателю.

Например, . ОДЗ: (x?1).

Сложение и умножение алгебраических дробей определяются по следующим правилам:

+=, =,

где Q(x)?0, Q1(x)?0.

Вычитание и деление алгебраических дробей определяются как действия, обратные соответственно сложению и умножению. Из этого определения выводятся правила вычитания и деления:

  =, :=,

где Q(x)?0, Q1(x)?0.

Кроме того, во втором случае деления Р1(х) ? 0.

Практически для выполнения сложения или вычитания дроби приводят к общему знаменателю. Разложив знаменатели дробей на множители, принимают за общий знаменатель произведение всех полученных множителей, взятых в наибольшей степени, в которой они входят в знаменатели данных дробей.

Рассмотрим примеры на действия с алгебраическими дробями.

Пример 1. Выполнить действия:

.

Решение. Сначала выполним действия в скобках:

;

.

Затем умножим полученные дроби:

.

Допустимые значения: x ? y, x ? -y, x ? 0, 2x-y ? 0.

Пример 2. Упростить выражение: .

Решение. Порядок выполнения действий над алгебраическими дробями такой же, как для действий над числами: сначала выполняют возведение в степень, затем – умножение и деление и, наконец, сложение и вычитание; при наличии скобок прежде всего выполняют действие в скобках. В данном примере:

.

Использовано тождество a3 +b3 = (a + b) (a2 -ab + b2) и сокращение дроби.

;

;

.

Полученные результаты справедливы для всех значений х, удовлетворяющих условиям х3+8 ?0, х   2?0, т.е. x?   2, x?2.

Пример 3. Сократить дробь: .

Решение. Разложим числитель и знаменатель на множители:

,



Поэтому данная дробь равна дроби: где a?2.

^ 3.3.7. Иррациональные выражения

Алгебраическое выражение называется иррациональным, если оно содержит какую-нибудь величину (букву) под знаком корня.

Пусть S –данное выражение, содержащее корни.

Определение. ^ Сопряженным множителем относительно S называется всякое выражение К, не равное тождественно нулю, такое, что выражение S К не содержит корней.

Знание сопряженного множителя позволяет представить выражение в виде выражения, не содержащего корней либо в числителе, либо в знаменателе: где К1сопряженный множитель числителя Р, К2сопряженный множитель знаменателя Q. Это преобразование и называется уничтожением иррациональности (соответственно в числителе или в знаменателе).

Рассмотрим важные частные случаи отыскания сопряженного множителя.

1. Для выражения вида

где p,q,... ,l– натуральные числа, меньшие п (п? 2) , сопряженный множитель К есть так как SK = XY...Z.

2. Для выражения вида , сопряженный множитель есть так как

Аналогично, для выражения вида: сопряженный множитель  

3. Для выражения вида сопряженный множитель так как для любых X и Y.

4. Для выражения вида сопряженный множитель так как для любых X и Y.

Пример 1. Выполнить действия: .

Решение. Сначала освободимся от иррациональности в знаменателе, для этого умножим числитель и знаменатель каждой дроби на выражение, сопряженное знаменателю. Для сопряженным множителем будет , для сопряженный множитель есть , а для сопряженный множитель равен .

==.


Пример 2. Освободиться от иррациональности: .

Решение. Сопряженный множитель для выражения равен

. Используем тождество (a-b)(a2+ab+b2)= a3+b3 .

= = = .

3.4 Упражнения

I. Разложить на множители:

  1. (a2 + 6ab)2 – 81b4;

  1. (x2 – 20xy)2 – 104y4;

  1. 16x2 – 25y2 – 24ax + 9a2;

  1. 1 – x2 – 8xy – 16y2;

  1. (x2 +xy + y2)2 – (x3 – y3)2;

  1. x3 + x2z + xyz – y2z + y3;

  1. a2 – b2 + x2 – y2 + 2ax + 2by;

  1. a2 + x2 – a2x2 + 4ax – 1;

  1. a2 + 2a(b + c) + (b + c)2;

  1. (3a – 5b)2 – 6a(3a – 5b) + 9a2;

  1. b2 + 6b + 9 – 25c2.






II. Сократить дробь:

1.



2.



3.



4.



5.



6.



7.



8.



9.




III. Упростить выражение и найти его значение:

  1. при y = 0,5;

  2. при c = 1/2; x = -0,5;

  3. при n = 4/9; m = 16/81;

  4. при a = 16/9;

  5. при m = 25/4;

  6. при a = 18; m = 1;

  7. при a = -0,25; b = 23;

  8. при x = 9;

  9. при y = -1/3;

  10. при a=1,2; b=.


IV. Упростить выражение.















V. Упростить выражения:

1. ; 2. ;

3. ; 4. .

VI. Упростить выражения:

  1. 2. ;

3. 4. .




Схожі:

Числовые и алгебаические преобразования основные понятия iconОсновные понятия об эргономике, дизайне, художественном проектировании
Основные виды соответствий между человеком и техникой, учитываемые при проектировании автомобилей
Числовые и алгебаические преобразования основные понятия icon1 Основные понятия 2 Классификация и возможные пересечения энергии

Числовые и алгебаические преобразования основные понятия iconМетод, Способ, методика, технология как педагогические понятия
При этом в данной системе предусматривается возможность выражения одного понятия через другое, или же другие понятия. Основываясь...
Числовые и алгебаические преобразования основные понятия iconКонтрольные вопросы по дисциплине «Эксплуатация специализированных судов»
Основные понятия и составляющие транспортно-технологических систем морских перевозок грузов
Числовые и алгебаические преобразования основные понятия icon? Введение. Основные понятия, методы и гипотезы сопротивления материалов
Сопротивление материалов – наука о прочности, жесткости и устойчивости элементов сооружений и машин
Числовые и алгебаические преобразования основные понятия iconА. В. Рудакова Когнитология и когнитивная лингвистика Издание 2-е, исправленное Воронеж
В брошюре рассматривается становление когнитологии и выделение из нее когнитивной лингвистики, а также основные понятия и методы...
Числовые и алгебаические преобразования основные понятия iconТемы рефератов по дисциплине «Основы экологии и охрана окружающей среды» для 1-го курса заочной формы обучения специальности «Эксплуатация судовых энергетических установок»
Основные понятия экологии. Строение биосферы. Учение В. И. Вернадского о биосфере
Числовые и алгебаические преобразования основные понятия iconВысоцкий А. Ю. Легитимность: анализ понятия // Грані. – Д., 2003. №1 (27). – С. 109-113
А значит, изучение и концептуализация данного понятия имеет несомненное мировоззренческо-методологическое значение
Числовые и алгебаические преобразования основные понятия iconИндивидуальное задание по курсу альтернативные источники энергии на тему: "Возобновляемые источники энергии. Солнечная энергия. Общие понятия"
В данном реферате был проведен анализ традиционных источников энергии, были рассмотрены системы солнечного теплоснабжения, рассмотрен...
Числовые и алгебаические преобразования основные понятия iconСписок литературы по курсу: Абрамович Г. Л. Введение в литературоведение. М., 1975. Берков П. Н. Введение в технику литературоведческого анализа. Л., 1976
Введение в литературоведение: Литературное произведение: Основные понятия и термины. – М., 1999
Додайте кнопку на своєму сайті:
Документи


База даних захищена авторським правом ©zavantag.com 2000-2013
При копіюванні матеріалу обов'язкове зазначення активного посилання відкритою для індексації.
звернутися до адміністрації
Документи