Тригонометрия определение основных тригонометрических функций icon

Тригонометрия определение основных тригонометрических функций




Скачати 165.31 Kb.
НазваТригонометрия определение основных тригонометрических функций
Дата02.06.2012
Розмір165.31 Kb.
ТипДокументи

ГЛАВА 5. ТРИГОНОМЕТРИЯ


5.1. Определение основных тригонометрических функций

5.1.1. Определение основных тригонометрических функций

острых углов

Основными тригонометрическими функциями являются: синус, косинус, тангенс и котангенс.




Рис. 5.1

Возьмём прямоугольный ?АВС, у которого : с – гипотенуза, а – катет, лежащий против угла (противолежащий катет); b – катет (прилежащий катет) (Рис. 5.1). Основные тригонометрические функции определяются как отношения сторон прямоугольного треугольника.


Таблица 1. Значения тригонометрических функций некоторых углов

Градусы

Аргумент



30°

45°

60°

90°

180°

270°

Радианы

0













Функция



0







1

0

-1



1







0

-1

0



0



1



Не сущ.

0

Не сущ.



Не сущ.



1



0

Не сущ.

0


Определение 1. Синусом острого угла называется отношение противолежащего катета к гипотенузе и обозначается .

Определение 2. Косинусом острого угла называется отношение прилежащего катета к гипотенузе и обозначается .

Определение 3. Тангенсом острого угла называется отношение противолежащего катета к прилежащему катету и обозначается .

Определение 4. Котангенсом острого угла называется отношение прилежащего катета к противолежащему катету и обозначается и обозначается . Отношения сторон , не зависят от длин сторон a,b,c прямоугольного треугольника с острым углом ?, а зависят лишь от величины угла ?.

^ 5.1.2. Соотношения между сторонами и углами в прямоугольном

треугольнике

Используя определения основных тригонометрических функций можно, зная одну из сторон прямоугольного треугольника и острый угол ?, найти две стороны; зная две стороны, находить острые углы (рис. 5.1). Тем самым получаем формулы для решения прямоугольных треугольников:

, . ,

(теорема Пифагора) ,

.

Обобщая понятие угла как меры вращения одного луча относительно другого, имеющих общее начало, дадим определения основных тригонометрических функций (не ограничиваясь острыми углами) как функций произвольного угла. Используем декартову систему координат и векторы на плоскости.


В


ектор , соединяющий начало координат с произвольно выбранной точкой плоскости М(х,y), называется радиус-вектором этой точки (Рис. 5.2).

Проекции радиус-вектора точки М на оси координат называются его координатами. Они совпадают с координатами точки М.

Длина радиус-вектора называется его модулем и находится по формуле , т.е. по теореме Пифагора.

^ 5.1.3. Определение основных тригонометрических функций

произвольных углов

Рассмотрим движение точки по окружности единичного радиуса (рис. 5.3), тогда координаты точки М(х, у) равны, соответственно, синусу и косинусу угла, который образует радиус-вектор точки с положительным направлением оси ОХ.

Радиус-вектор вращается вокруг начала координат. Если вращение проводится против часовой стрелки, то угол поворота считают положительным, по часовой стрелке – отрицательным.

Один полный оборот вокруг начала координат равен 360° или радианам. (Радиан – это величина центрального угла круга, опирающегося на дугу, длина которой равна радиусу этого круга).


Определение 1.^ Синусом угла , образованного радиус-вектором точки на единичной окружности с положительным направлением оси Ox, есть ордината этой точки, т.е.: .

Определение 2. ^ Косинусом угла , образованного радиус-вектором точки на единичной окружности с положительным направлением оси Ox, есть абсцисса этой точки: .

Синус и косинус определены для любого угла и связаны между собой (по теореме Пифагора)равенством: , которое называется основным тригонометрическим тождеством.

Определение 3. Отношение синуса угла к косинусу того же угла называется тангенсом угла : или .

Тангенс определен для всех углов, кроме k, где . Под понимаем множество целых чисел.

Определение 4. Отношение косинуса угла к синусу угла называется котангенсом угла : или .

Котангенс определён для всех углов, кроме , , где .

Из изложенных определений следует ряд соотношений:

; ; .

Кроме четырёх основных тригонометрических функций, иногда используют ещё две: секанс: и косеканс

Из рис.5.3. видно, что косинус угла – это проекция единичного радиус-вектора на оси Ох, которая называется осью косинусов (-1 ? ? +1); синус угла – проекция единичного радиус-вектора на ось Oy, которая называется осью синусов ( 1 ? ? +1).

Таблица 2. Знаки основных тригонометрических функций.

Четверть

Функция









I

+

+

+

+

II

+

 

 

 

III

 

 

+

+

IV

 

+

 

 


^ Тригонометрические функции – периодические:

а) ;

б); .

Тригонометрические функции обладают свойствами четных и нечетных. Так функции и являются четными, и , а функции являются нечетными .

Эти свойства легко усмотреть из рис. 5.3.

^ 5.1.4. Приведение тригонометрических функций к функциям

острого угла

Для вычисления значений тригонометрических функций любого угла нужно уметь свести эту задачу к вычислению тригонометрических функций соответствующего острого угла.

С этой целью необходимо:

1. Воспользоваться периодичностью тригонометрических функций и добавить (или вычесть) к аргументу функции целое число периодов, чтобы в результате под знаком функции оказался угол, меньший по модулю одного периода.

Пример. sin405°= sin (360° + 45°) = sin45° =

2. Воспользоваться свойствами четности или нечетности тригонометрических функций.

Пример. tg 863° = tg (5 · 180° - 37°) = tg(-37°) = -tg37°

Пример. cos1313° = cos (4 · 360° - 27°) = cos (-27°) = cos27°.

К острому углу можно перейти, пользуясь формулами приведения.

Определение: Формулами приведения называются формулы, выражающие тригонометрические функции углов 90° 180°, 270°, 360° через тригонометрические функции угла ?.

Углы 180°± ? и 360°± ? считают образованными отклонением ? от горизонтальной оси; а углы 90°± ? и 270°± ? – отклонением угла ? от вертикальной оси.

Правила приведения: В левой части формулы приведения стоит приводимая функция.

І. ^ Если угол образован отклонением от горизонтальной оси, т.е., то название функции не изменяется, а знак берётся тот, который имеет исходная функция в данной четверти.

Например, sin(180°-?) =sin ?, cos(180°-?) =-cos?.

II. Если угол образован отклонением от вертикальной оси, то название функции изменяется ( sin на cos, tg на ctg), а знак берётся тот, который имеет исходная функция в данной четверти.

Например, sin(90°)=cos?, cos(270°-?) =-sin?.

Примеры: Составить формулы приведения для 1) cos(360°-) и 2) ctg(90°+) на основании указанных правил.

1) Угол 360°- получен отклонением угла от горизонтальной оси, поэтому в правой части формулы приведения ставится исходная функция, т.е. со знаком «+» или « » . Если угол острый, то угол 360°- является углом четвертой четверти, в которой косинус положительный, следовательно, cos(360°-) = cos.

2) Угол 90°+ получен откладыванием угла от вертикальной оси, поэтому в формуле приведения функция ctg(90°+) перейдет в ко-функцию tg со знаком «+» или «-». Если угол – острый, то угол 90°+ есть угол второй четверти, в которой котангенс отрицательный, следовательно, ctg(90°+)=  tg.

Иногда удобнее пользоваться таблицей 3.


^ Таблица 3. Формулы приведения


Функция

Аргумент















sin

cos?

cos?

sin?

-sin?

-cos?

-cos?

-sin?

cos

sin?

-sin?

-cos?

-cos?

-sin?

sin?

cos?

tg

ctg?

-ctg?

-tg?

tg?

ctg?

-tg?

-tg?

ctg

tg?

-tg?

-ctg?

ctg?

tg?

-tg?

-ctg?

^ 5.1.5. Определение обратных тригонометрических функций

Определение 1. Обратной тригонометрической функцией =arcsin a называется величина (дуга, угол, число) , изменяющаяся в пределах , если sin =a.

Определение 2. Обратной тригонометрической функцией =arccos a называется величина (дуга, угол, число) , изменяющаяся в пределах , если cos=a.

Определение 3. Обратной тригонометрической функцией =arctg a называется величина (дуга, угол, число) , изменяющаяся в пределах , если tg=a.

Определение 4. Обратной тригонометрической функцией =arcctg a называется величина (дуга, угол, число) , изменяющаяся в пределах , если ctg =a.

Из определений следует:

1) sin(arcsin a)=a, cos(arccos a)=a при |a|?1;

2) tg(arctg a)=a, ctg(arccctg a)=a при любом a.

Пример 1. Вычислить arсcos(-1/2).

Согласно определению угол = arcos(-1/2) лежит между 0 и ? cos =-1/2. По формуле приведения cos =  sin, где . или . Следовательно, . Отсюда: arсcos(-1/2)= 2?/3.

Пример. Вычислить ctg(arcos(-1/3)).

Найдём котангенс угла = arсcos(-1/3). По определению арккосинуса запишем: cos=-1/3 и 0???. Но поскольку косинус угла отрицателен, то можно судить о величине угла более определённо — он удовлетворяет неравенству ?/2<. Задача свелась к следующей: Известно, что cos =-1/3 и ?/2<; найти ctg . Эта задача решается с помощью основных соотношений между тригонометрическими функциями. Действительно, (синус во второй четверти положителен), откуда .

Пример. Вычислить .

По формуле косинуса двойного угла () имеем: .

^ 5.2. Графики тригонометрических и обратных тригонометрических

функций

При построении графиков тригонометрических функций и обратніх тригонометрических функцій используется радианное измерение углов, периодичность, нечетность и чётность функции (рис. 5.4. 1) – 8)).

Радианная мера полной окружности или полного оборота равна ^ 2? радиана; полуокружности или развёрнутого угла – ? радиан (? ? 3,14), для четверти окружности или прямого угла – радиан (?1,57).

Радианные меры других углов: 300 = рад; 450 = ; 600 = рад; 2700=рад.

1)




2)




3)




4)



5)



6)



7)



8)



Рис. 5.4

^ 5.3. Основные тригонометрические формулы

Соотношения между тригонометрическими функциям

одного и того же аргумента:



^ Формулы сложения



Формулы двойного аргумента (?=?)




Формулы преобразования суммы и

разности тригонометрических функций в произведение




^ Формулы половинного угла



Формулы преобразования произведения тригонометрических функций в сумму




Формулы понижения степени



Формулы, выражающие тригонометрические функции через



Пример 1. Доказать тождество:

Решение. Преобразуем левую часть:



Перейдем к формулам повышения степени:



Пример 2. Найти sin(600-?), если и 18000.

Решение: sin(600-?)=sin600cos? - cos600sin?;



Откуда:

^ 5.4. Тригонометрические уравнения

Определение: Тригонометрическим называется уравнение, в котором неизвестные находятся под знаком тригонометрических функций.

Простейшими тригонометрическими уравнениями называют уравнения вида:

sinx=a, cosx=a, tgx=a, ctgx=a.

^ 5.4.1 Решение простейших тригонометрических уравнений

Решить простейшее тригонометрическое уравнение – значит найти множество всех углов (дуг), имеющих данное значение тригонометрической функции.

  1. sinx=a, xR, |a| ?1, x=Arcsina=(-1)narcsina+?n, n Z.

Замечание. Здесь и ниже бесконечное множество углов обозначается символом ^ Arc. Но среди всех углов, входящих в это множество, есть один, который лежит в соответствующем промежутке, называется главным значением и обозначается arc.

Частные случаи:





  1. cosx=a, xR, |a| ?1, x=Arccosa=arccosa+2?n, nZ.

Частные случаи:





  1. tgx=a, aR , x??/2+k?, kZ; x=Arctga=arctga+?n, nZ.

Частные случаи:





  1. ctgx=a, aR, x?k?, kZ; x=Arccctga=arcctga+?n, nZ.

Частные случаи:




^ 5.5. Тригонометрические неравенства

Общий вид простейших тригонометрических нестрогих неравенств: sinxVa, sinxVa, cosxVa, cosxVa, tgxVa, tgxVa, ctgxVa, ctgVa. Где символ V один из знаков ?; ?; < и >.

Для решения простейших тригонометрических неравенств используют свойство периодичности тригонометрических функций и характер их изменения на промежутке равном периоду Т: Tsinx= Tcosx=2?, Ttgx= Tctgx=?.

Произвольные неравенства надо привести к простейшим.


Таблица 4 Решение простейших тригонометрических неравенств в общем виде

sinx?a

-arcsina+?(2n-1) ? x ? arcsina+2?n,

xR



|a|?1

a?1

a<  1

sinx?a

arcsina+2?n ? x ? -arcsina+?(2n+1)

xШ

xR

|a|?1

a>1

a?1

cosx?a

arccosa+2?n ? x ? -arccosa+2?(n+1)

xШ

xR

|a|?1

a?1

a<   1

cosx?a

-arccosa+2?n ? x ? arccosa+2?n

xШ

xR

|a|?1

a>1

a?  1

tgx?a


tgx?a


ctgx?a

ctgx?a





arctga+?n ? x ? ?+?n

?n < x ? arctga+?n

aR


nZ


Пример 1. Решить неравенство:;

Решение. по табл. имеем: . Т.е. . По табл. 4, находим:

, kZ.


5.6. Упражнения

I. Найти:

1. tg ?, если sin ? = 9/41 и ; 2. sin ? если ctg ? = 1/3 и .


II. Найти значение выражения

1. если ; 2. если sin?+cos?=1;

3. если tg?+ctg?=5; 4. если ;

5. sin 2?, если и .


III. Сократить дробь

a) ; b) .


IV. Представить в виде произведения:

  1. sin 40° + sin 16°;

  1. cos 46° - cos 74°;






V. Найти значение тригонометрического выражения при заданном значении одной из тригонометрических функций.

    1. Дано : ctg ? = 2. Найти .

    2. Дано : tg ? = 2. Найти .

    3. Дано : ctg ? = - 0,75; . Найти .

    4. Дано : tg ? = - 4/3; Найти .

    5. Дано: sin ? = - 8/17; ? – угол III четверти. Найти .

    6. Дано: cos ? = 5/13; ? – угол IV четверти. Найти .


VI. Вычислить:

  1. 2 sin 75° cos 75°; 2. 2 cos2 15° - 2 sin2 15°.


VII. С помощью преобразования суммы тригонометрических функций в произведение разложите на множители выражение :

  1. sin 3? + sin ? ;

  1. sin ? - sin 5?.


VIII. Вычислить по данному значению одной из тригонометрических функций значения остальных :

    1. cos ? = - 3/5; ;

    1. sin ? = - 7/25; ;

    1. cos ? = 3/4; ;

    1. ctg x = - 3/4; .


IX. Определить знаки разности :

  1. cos 212° - cos 213°;

  1. sin 23° - sin 36°.


X. Найти наибольшее и наименьшее значения выражения:

  1. sin ? - cos ? ;

  1. sin ? + cos ?;

  1. 2sin ? - 3cos ? ;

  1. 1- (cos2 ? – sin2 ?);

  1. cos2 ? tg2 ? + 5 cos2 ? – 1.





XI. Упростить выражение:

  1. sin2 ? + 2cos2 ? – 1;

  1. (1 - sin ?) (1 + sin ?);











XIІ. Доказать тождество.

1. 2. ;

3. ; 4..


XІІІ.Вычислить:

  1. ;

  2. ;

  3. .

XІV. Решить уравнения:

1. ; 2. ;

3. ; 4. ;

5. ; 6. .

XV. Решить неравенства:

1. ; 2. .




Схожі:

Тригонометрия определение основных тригонометрических функций iconПрактическая работа № Тема: ms excel. Использование основных финансовых и текстовых функций, функций даты и времени. Цель: Научиться выполнять вычисления с использованием функций
Тема: ms excel. Использование основных финансовых и текстовых функций, функций даты и времени
Тригонометрия определение основных тригонометрических функций iconПрактическая работа № Тема: ms excel. Использование основных математических, статистических и логических функций. Цель: Научиться выполнять вычисления с использованием функций
Тема: ms excel. Использование основных математических, статистических и логических функций
Тригонометрия определение основных тригонометрических функций iconТема Природа и состав функций менеджмента Понятие и классификация функций управления
В целом область деятельности, называемая менеджментом фирмы, может быть разделена на отдельные функции, которые сосредоточены в трех...
Тригонометрия определение основных тригонометрических функций iconПрактическая работа №10. Тема: ms excel
Тема: ms excel. Использование основных финансовых и текстовых функций, функций даты и времени
Тригонометрия определение основных тригонометрических функций iconОпределение основных параметров бегункового инерционного вибратора из условия его контактной прочности хабло Г. П., Вакуленко Р. А
Определение основных параметров бегункового инерционного вибратора из условия его контактной прочности
Тригонометрия определение основных тригонометрических функций iconДифференцированность элементарных функций
В предыдущем параграфе рассмотрены правила вычисления производных для функций одной переменной. Они разрешают находить производные...
Тригонометрия определение основных тригонометрических функций iconДифференцированность элементарных функций
В предыдущем параграфе рассмотрены правила вычисления производных для функций одной переменной. Они разрешают находить производные...
Тригонометрия определение основных тригонометрических функций iconИсследование выпрямительных диодов
Экспериментальное исследование и определение основных параметров схемы однополупериодного выпрямления
Тригонометрия определение основных тригонометрических функций iconПрактическая работа № Тема: ms excel
Тема: ms excel. Использование основных математических, статистических и логических функций
Тригонометрия определение основных тригонометрических функций iconЗадача по расширению круга поддерживаемых устройств для проекта upnp gps
Разработка демонстрационного приложения RemotePod для тестирования основных функций работы с upnp
Додайте кнопку на своєму сайті:
Документи


База даних захищена авторським правом ©zavantag.com 2000-2013
При копіюванні матеріалу обов'язкове зазначення активного посилання відкритою для індексації.
звернутися до адміністрації
Документи