Харківської обласної ради прикладна спрямованість icon

Харківської обласної ради прикладна спрямованість




Скачати 375.6 Kb.
НазваХарківської обласної ради прикладна спрямованість
Сторінка1/3
Дата28.07.2012
Розмір375.6 Kb.
ТипДокументи
  1   2   3




МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ


ХАРКІВСЬКИЙ ЛІЦЕЙ МІСЬКОГО ГОСПОДАРСТВА

ХАРКІВСЬКОЇ ОБЛАСНОЇ РАДИ


ПРИКЛАДНА СПРЯМОВАНІСТЬ


Третякова А.І., вчитель математики


Харків - 2006


В роботі розкриваються можливості зв’язку математичної та професійної підготовки за допомогою запропонованих задач.

Значна увага приділяється тому, як навчити учнів складати математичні моделі реальних ситуацій, будувати гіпотези, перевіряти їх, робити висновки та узагальнення.

Робота буде корисною для вчителів математики загальноосвітніх шкіл, ліцеїв та гімназій.


Перед нами виникає загадка,

яка хвилювала дослідників усіх часів.

Чому можлива така чудова відповідність

математики і дійсних предметів,

якщо сама вона є витвором людської думки,

незалежним від усякого досвіду?

Чи в змозі людський розум без будь-якого

досвіду, шляхом тільки одних

міркувань відкрити основу існуючих речей?

А. Ейнштейн


В педагогічних дослідженнях прикладну спрямованність математики розуміють як змістовний та методологічний зв’язок шкільного курсу з практикою, що обумовлює формування в учнів навичок, необхідних для розв’язування засобами математики практичних задач. А оскільки в основі їх розвитку лежить математичне моделювання, то для реалізації прикладної спрямованності необхідно організувати навчання ліцеїстів елементам моделювання, що з дидактичної точки зору є навчальними діями, які виконуються в процесі виконання задач.

Процес математичного моделювання складається з трьох етапів: 1) формалізації, переведення запропонованої задачі з звичайної мови на мову математичних термінів тобто побудова математичної моделі задачі; 2) розв’язування задачі усередені моделі; 3) інтерпретація одержанного розв’язку, тобто переведення одержаного результату (математичного розв’язування) на мову, на якій була сформульована дана задача.

Значну роль в успішності роботи по математичному моделюванню відіграє виявлення елементів математичного моделювання. В.А.Стукалов виявляє слідуючі елементи: заміна вихідних термінів вибраними математичними еквівалентами; оцінка повноти вихідної інформації та введення при необхідності числових данних, яких не вистачає; вибір точності числових значень, які відповідають змісту задачі; виявлення можливості одержання даних для розв’язуванні задач на практиці.

При математичному моделюванні відсторонюються від якісної різнорідності моделі та об’єкта, від належності їх до різних форм руху матерії. Це узагальнення приймає форму теорії ізоморфізма систем, що набуває характеру математичної подібності. Суть цієї подібності пояснюється тотожністю математичної форми законів природи, що конкретно виражається : фізичні закони математично подібних систем різні, але математична форма їх прояву одна і та (мал. 1)



Це означає, що сучасна математика вивчає не об’єкти в їх конкретному вигляді, а структуру відношень, в яких вони виступають. Тому доведені теореми виражають деякі властивості, які присутні в об’єктах різної природи, тільки б ці об’єкти мали тотожню структуру відношень. Концепція ізоморфізма спонукала до життя задачу вивчення загальних властивостей довільних множин – теорію множин.

Структура взаємно-ізоморфних сукупностей з точки зору даної системи аксіом буде тотожною, і будь-які відношення, одержані з цих аксіом для об’єктів першої сукупності , автоматично переносяться і на відповідні об’єкти другої.

Таким чином, в поняття ізоморфізма вкладена дуже плідна ідея, яка розширяє границі нашого пізнання, оскільки вона дозволяє вивчення великого числа взаємно ізольованих сукупностей заміною вивчення тільки однієї із них.

Обов’язковою умовою можливості перенесення інформації з моделі на об’єкт є наявність геометричної, фізичної та математичної подібності. Це перенесення має достатню велику степінь ймовірності.

Поняття про степінь схожості моделі та оригіналу можна одержати з такого простого прикладу: коли кажуть, що площа деякої ділянки землі 20 га, то нехтують тим, що реальна ділянка має невеликі впадини та узгір’я, та визначають його площу множенням довжини на ширину так, нібито ця ділянка зовсім плоска, тобто замінюють реальну поверхню з складною формою ділянки площею плоского прямокутника.

Наведемо приклад того, як поняття, які на перший погляд здаються абстрактними, виражають нерідко не пов’язані між собою закономірності реального світу.

^ При вивченні лінійної функції у=kx+b доцільно показати учням, що вона може описувати залежність між довжиною стержня та температурою нагрівання: l=l0(1+at), між об’ємом газу та його температурою при сталому тиску: V=V0(1+at) (закон Гей-Люссака), тиском та температурою газу при сталому об’ємі: p=p0(1+bt) (закон Шарля), швидкістю та часом в рівноприскоренному русі: v=v0+at і т.д. При цьому учням доцільно розповісти, що в курсі фізики кожна з названих залежностей та їх властивості розглядаються самостійно, оскільки фізика має своєрідне відображення реальної дійсності (кожна із закономірностей виводиться з експерименту), в математиці відповідні закономірності та їх властивості вивчаються одночасно.

^ При вивченні функції у=ax2 можна привести приклади залежності шляху від часу при рівноприскоренному русі S=at2/2, формулу потужності електричного струму P=l2R при сталому опору та інші формули, які пов’язують різні фізичні величини.

Ще більш узагальненним поняттям, що відображає багатограні процеси реального світу, є поняття похідної функції, яке повино бути розглянуте в плані загальної задачі математичного аналізу – дослідження процесу зміни функції. В фізиці похідна розглядається як миттєва швидкість прямолінійного руху, як сила струму в ланцюгу, лінійна густина неоднорідного стержня, в хімії швидкість хімічної реакції і т.д. Особливе місце при вивченні похідної надається дослідженню функції за допомогою похідної, розв’язуванню задач на екстремуми, наближеним обчисленням.

Широта відображення матеріального світу математикою також може бути розкрита в курсах геометрії. Наприклад, в означенні поняття “циліндр” включені властивості нескінченної множини предметів, які нас оточують і мають форму циліндра. Розкривши зміст поняття циліндра, знаходимо властивості його елементів та залежності між ними, застосовуючи їх для кожного предмета, який має форму циліндра. Наприклад, вияснивши, що об’єм циліндра V дорівнює добутку площі основи S на висоту h, узнаємо, як знайти об’єм будь-якого предмету циліндричної форми. На практичних заняттях учням пропонується обчислити об’єми деталей, заготовок, предметів домашнього побуту, які мають форму циліндра (незалежно від кольору, матеріалу), за однією і тією формулою V=Sh.

Заслуговує уваги в цьому плані властивість піраміди: при перетині піраміди площиною, яка паралельна основі, одержуємо переріз, площа якого прямо пропорційна квадрату його відстані від вершини. Ця обставина є теоретичним поясненням залежності між яскравістю поверхні, що світиться, та відстанню від джерела світла. Дійсно, якщо представити собі, що в вершині піраміди знаходиться джерело світла, то світловий потік, який перехвачується паралельними перерізами піраміди, розподіляється по її поверхні. При віддаленні площадки від вершини на відстань, вдвічі більше, площа її збільшується в чотири рази, а сила світла, яка приходиться на одиницю площі, стане вчетверо меншою. Отже, освітленість поверхні, що освітлюється, обернено пропорційна квадрату відстані від її джерела світла.

Користуючись цим законом, сучасна астрономія визначила відстань до найвіддаленіших об’єктів Всесвіту – позагалактичних туманностей, до яких промінь світла доходить за багато сотень тисячоліть.

Залежність яскравості освітлення від положення джерела світла є важливим фактором у проведенні багатьох хімічних реакцій. Розглянемо таку задачу: на якій висоті над центром круглого стола, радіус якого дорівнює R, слід підвісити лампу, щоб освітленість на краях стола була найбільшою? За допомогою похідної знайти максимум функції (залежність між освітленістю та відстанню), одержимо шукану відстань: R

Необхідно також звернути увагу на предмети, що мають форму найпростіших геометричних фігур, та на їх важливі властивості: рівномірну кривизну круга, “жорсткість” трикутника, осьову та центральну симетрію прямокутника та інше. Дуже добре, коли ці властивості сприймаються учнями конкретно, знаходять підтвердження на практиці. Для того, щоб одержати переконливі відповіді на питання: ”Чому колеса роблять круглими, а стропила даху в вигляді трикутника? Чому зошити та книги мають форму прямокутника?, достатньо спробувати зробити колесо не круглим, побудувати модель стропил в вигляді чотирикутника або спробувати зробити зошит з листка трикутної форми.

^ Природа також вирішує проблему оптиміцації. Виявляється, що форма шестигранних чарунок у бджолиних стільниках обрана не випадково. Саме завдяки їй бджоли досягають найбільшої місткості стільників при найменших витратах „будівельного матеріалу”. Дослідженням природи бджолинного стільника займалося багато вчених різних часів.

З усіх правильних многокутників тільки трикутниками, квадратами і шестикутниками можна заповнити площину без пропусків та накладень. Тому бджоли повині були „вибрати” одну з цих фігур. Порівнюючи периметри цих многокутників, запишемо Р3 : Р4 : Р6 ≈ 4,6 : 4 : 3,7.

Отже, бджоли, не вивчаючи математику, вірно „визначили”, що правильний шестикутник має найменший периметр серед фігур рівної площі.

Знайомлячи учнів на уроках геометрії з абстрактними поняттями, необхідно показати їм конкретні об’єкти, співвіднести їх один з одним: плоска поверхня стола, класної дошки, дзеркала і крива поверхня м’яча, електричної лампи; туго натягнута нитка та нитка, що закріплена в двох точках і вільно висить та інше. Такі співвідношення допомагають установити причино-наслідкові зв’язки вивчаємих явищ.

Також можна дати поняття і про деякі співвідношення між геометричними образами (поняття паралельності, перпедикулярності, рівності, подібності, симетрії). Виховання у учнів звички бачити геометричні фігури в оточуючих предметах має дуже важливе значення, оскільки в результаті діти вчаться знаходити залежності між геометрією та практичною діяльністю людей, визначають джерела розвитку наукового знання.

Особливе місце займає в курсі геометрії перетворення, зокрема паралельне перенесення, при вивченні якого необхідно нагадати учням про поступальний рух в фізиці. Наприклад, переміщення повзунка, який рухається в прямолінійних пазах. За допомогою властивостей паралельного перенесення можна розв’язувати значну кількість практичних задач.

Вивчаючи чотирикутник, необхідно вказати на одну цікаву властивість, що має практичне значення: рівними чотирикутниками довільної форми можна повністю покрити площину (тобто можна зробити паркет, плитки якого будуть рівними між собою чотирикутниками).

^ Властивості вписаних кутів знаходять застосування при визначенні положення точки за відомим її напрямком на три інші точки, положення яких уже дано. Розв’язування цієї математичної задачі дає змогу визначити, наприклад, положення корабля на морі або літака в повітрі за допомогою радіолокації. Радіостанції (так звані радіомаяки) посилають сигнали визначенної довжини хвилі. Приймальний пристрій на кораблі (рамочна антена) дає можливість визначити напрямок на передавальну радіостанцію. Якщо відомі положення трьох таких маяків і напрямок на них, то існує можливість визначити положення корабля.

Необхідно добиватися, щоб учні пізнавали через можливо як найбільший круг проявів конкретного. Корисно, наприклад, звернути увагу учнів на те що ознака рівності трикутників визначає властивості “жорсткості”. Спочатку учням нагадують різні застосування цієї властивості в будівництві та в побуті, а потім узнають, що в побуті та в техніці враховується і відсутність ”жорсткості”(наприклад, рухомість паралелограма).

Перші уроки стереометрії, як правило, складні бо перехід від плоских (двохмірних) образів до просторових (тримірних) потребує великої роботи уявлення. Тому увесь час необхідно звертатися до реальних образів оточуючого світу, а також до моделювання.

Відомо, що креслення – мова техніки, тому учні повинні оволодіти вмінням будувати точні, наочні креслення, вміти їх читати та розуміти, а в простих випадках за кресленням представляти відповідні просторові фігури.

Своєрідність відображення дійсності математикою не можна розуміти вузько, тільки як звернення безпосередньо до речей оточуючої нас дійсності і відношенням між ними. Широті розуміння можуть допомогти різного виду моделі, креслення – всі матеріальні реалізації, а також ідеальні образи, зв’язок яких з дійсністю вже зрозумілий учням.

Виключна широта застосування математичної теорії до вивчення реальних явищ пояснюється тим, що самі ці теорії та поняття, що вивчаються, виникли в результаті відсторонення від деяких властивостей реальних об’єктів.

Визначні відктриття в природознавстві часто й були результатом дослідження не самих явищ, а їх математичних моделей. Чудовим прикладом щедрості і водночас обмеженості найдовершеніших математичних моделей є закон всесвітнього тяжіння Ньютона:

F = G *(m1m2) / r2

Спостереження за рухом супутників Юпітера дало вченим можливість на практиці перевірити дію закону Ньютону. З’ясувалося, що супутники з’являються в розрахункових місцях (згідно із законом) або на 8 хвилин раніше, або на 8 хвилин запізнюються. Вони випереджали графік, коли Юпітер наближався до Землі, і запізнювалися, коли планети розходилися. Датський астроном Оле Ремер (1644-1710), глибоко переконаний у правильності закону Ньютона, пояснив це віддаленістю Юпітера від Землі і скінченною швидкістю світла. Ми бачимо супутники не там, де вони перебувають у данний час, а там де вони були тоді, коли від них відбилися світлові промені, що доходять до нас в момент спостереження. Так математична модель фундаментального закону природи допомогла відкрити інший фундаментальний закон природи – скінченність швидкості світла. У 1676 р. Ремер обчислив, що вона становить 226 000 км/с. Вимірювання 1972 р. показали, що швидкість світла в вакуумі 299792456,2 + 1,1 м/с.

Відхилення від розрахункової траєкторії Урана ніби давало ще один привід піддати сумніву закон Ньютона. Але й цього разу він витримав випробування і подарував світу черговий тріумф математичного природознавства. Франзуцький астроном У. Левер’є (1811-1877) і англієць Дж. Адамс (1819-1892) майже одночасно прийшли до висновку, що рух Урана збурює зауранова планета. Глибока переконаність у неспростовності обчислення координат цієї планети відчувається в кожному слові листа У. Левер’є, якого він надіслав 1841р. Берлінському астрономові Галле (1812 - 1910): „Спрямуйте ваш телескоп у точку екліптики в сузір’ї Водолія на довготі 326о і ви знайдете в межах 1о від цього місця нову планету з помітним диском, яка має вигляд зірки приблизно дев’ятої величини”. Планету було знайдено в 52від указаного місця. Пізніше з’ясувалося, що одного Нептуна не досить, щоб пояснити виявлені візуально збурення траєкторії Урана. На основі математичних розрахунків у 1915 р. було доведено існування в Сонячній системі дев'ятої планети й розраховано її орбіту. Цю найвіддаленішу планету Сонячної системи – Плутон візуально відкрили в 1930 р.

І все-таки закон всесвітнього тяжіння був не всесильним. Вчені виявили „зайве” зміщення в русі перигелія Меркурія ( 38``,3 за сто років!), яке не вдалося пояснити на основі закону Ньютона. Висували гіпотези, що й рух Меркурія збурює невідома планета, яку навіть назвали Вулканом. Оскільки її не вдавалося виявити візуально, пропонували ряд уточнень формули F = G *(m1m2) / r2 . Але цього разу причина була глибшою. Світобудова виявилася складнішою, ніж думали навіть учені XIX ст. І „незаконні” 38``,3, як і інші непередбачені явища в Сонячній системі, сигналізували про те, що наука в своєму розвитку наблизилася до вивчення таких явищ, пояснити які великий закон Ньютона був неспроможний. При цьому його обмеженість виявилася не менш продуктивною, ніж універсальність. З цього приводу американський фізик Р. Фейнман писав: „Те саме стосується й інших наших законів – вони не точні. Десь на краю їх завжди лежить таємниця, завжди є над чим поламати голову”. Отже, вихід із ситуації полягав не в уточнені фундаментального закону класичної фізики, а в створенні нової фізики, яка пов’язана з ім’ям А. Ейнштейна. Хоча в математичному природознавстві експериментальні факти часто й уточнюються в процесі створення нових і, як правило, складніших математичних моделей досліджуваних явищ.

ГЕОМЕТРІЯ

Периметр та площа геометричних фігур.

1.В спортивному залі розміщені баскетбольна та волейбольна площадки, які мають форму прямокутників. Сторони баскетбольної площадки 14м та 26м, а волейбольної 9м та 18м? Для того щоб провести лінію довжиною 1м, необхідно 40 грам фарби. Скільки фарби потребується для наведення лінії по периметру обох площадок?

Відповідь: 134м.

2.Учнівській бригаді доручили пофарбувати паркан на спортивній площадці. Висота паркану 1м, а довжина 240 м.За день бригада може пофарбувати 96 м2. Скільки днів знадобиться бригаді для виконання роботи за умови, що паркан треба фарбувати з двох сторін.


АЛГЕБРА

^ Застосування властивостей квадратичної функції в будівництві та архітектурі.

Ще в 1931 р. видатний математик, механік, кораблебудівник Олексій Миколайович Крилов (1863-1945) писав: “Тепер математика так проникла в техніку всіх галузей будівельної справи, всіх галузей машинобудування, суднобудування, побудови літальних апаратів, артилерійської справи, електротехніки, оптики й ін., що не можна собі уявити жодної споруди, яку не було б попередньо розраховано”.



1.На малюнку зображено міст, опорна арка якого має форму параболи. Скласти рівняння цієї параболи, якщо висота арки h=5м і найбільша ширина її l = 20 м.

Відповідь: у=-0,05х2



2. Ланцюги, які підтримують міст, що висить, мають форму параболи АСВ. Кінці ланцюгів закріплено в точках А і В на опорах АА` і ВВ` висотою 30 метрів. Довжина прогону А`В`=200м. Найменша висота ланцюгів над мостом ОС=5м. Знайти довжину підвісних тросів (вертикальних стержнів, що з’єднують міст з ланцюгами), якщо відомо, що вони розташовані на однаковій відстані один від одного.

Відповідь: 6,56 м; 11,25 м; 19,06 м.



3.На малюнку зображена мостова ферма, у якої лінія АСВ – дуга параболи з вершиною С. Довжина прогону АВ=84 м, ОС=12 м; прогін поділено на 6 рівних частин. Знайти довжини вертикальних стояків ферми і довжини розкосів між стояками.

Відповідь: 10, 67 м; 6,67 м; 17,6 м.

^ АРИФМЕТИЧНА ПРОГРЕСІЯ

1. На малюнку зображено шків для вивчення швидкості обертання шпинделя токарного верстата. Знайти діаметр кожного шківа, якщо діаметр найменшого 120 мм, а найбільшого 240 мм.



Відповідь: а1=120мм, а2=160мм, а3=200мм, а4=240мм.

2. Облицювання першого поверху багатоповерхового будинку коштує 100 грн., а кожного наступного на 60 грн. дорожче, ніж попереднього. Скільки коштує облицювання 10 поверху ?

Відповідь: а10=640 грн.

Скільки коштує облицювання 10 поверхів?

Відповідь: S10=3700 грн.

3. При вільному падінні тіло проходить за першу секунду 4,9 м, а за кожну наступну на 9,8 м більше. Знайти глибину шахти, якщо камінець досягне її через 8 сек після початку падіння.

Відповідь: а1=4,9; d=9,8; n=8; S8=*314 м.

4. Відпочиваючий, виконуючи настанови лікаря, почав знаходитися на сонці в середньому 5 хв першого дня, збільшуючи час перебування на сонці кожний день на 5 хв. В який день тижня час перебування на сонці досягне 40 хв?

Відповідь: N=8 (на восьмий день)

5. Курс повітряних процедур починають з 15 хв в перший день і збільшують кожного дня на 10 хв. Скільки днів необхідно приймати повітряні процедури за вказаним режимом, щоб досягти їх максимальної довготи 1год.45хв (дана процедура назначається пацієнтам за температурою не менше 200С)

Відповідь: n=10 дн.

6. Для глядачів циркових вистав крісла в одному із секторів розставлені так, що кожен слідуючий ряд містить на одне місце більше, ніж попередній. Скільки місць установлено в секторі якщо в першому ряду 8 кресел, а всього рядів 22?

Відповідь: S22=407м.

^ Геометрична прогресія

У знайдених під час розкопок папірусах, яким налічується більше 2000 років, виявлені задачі на прогресії. Це наштовхує на думку про те, що прогресії люди знали ще з давніх часів і використовували їх для розв’язування практичних задач.

Геометрична прогресія і в наш час має широке застосування в різних галузях людської діяльності.

^ Геометрична прогресія в токарному цеху.

Зайдемо в токарний цех шкільної майстерні і подивимося на токарний верстат. На ньому прикріплено табличку, де позначено швидкість обертання шпинделя для різних положень ручки. На перший погляд, ці числа здаються випадковими. Серед них є парні (20 і 40), непарні (25 і 63) і навіть дробові (31,5). Виконавши ділення кожного числа таблички на попереднє, дістанемо одне й те саме число 1,26. Виявляється, шпиндель обертається не з випадковими швидкостями, а цілком закономірно. Цей ряд чисел (швидкостей) – геометрична прогресія.

Коли конструктори-верстатобудівники ще не знали такої властивості, то, вибираючи проміжні ступені швидкості шпинделя, воничасто були безпорадними. Одні встановлювали ці ступені на однакових відрізках один від одного, інші – на нерівних без усякої закономірності. Проте жоден із способів не давав позитивного результату приексплуатації верстата. Крім того, довільно складені швидкості утруднювали конструюваня коробки передач і ускладнювали обслуговуваня верстатів.

У 1876 році академік А.В.Гадолін на підставі точних математичних розрахунків довів, що верстати слід будувати зі ступенями швидкостей, які утворюють геометричну прогресію.

  1   2   3

Схожі:

Харківської обласної ради прикладна спрямованість iconМіністерство освіти І науки україни головне управління освіти І науки харківської обласної державної адміністрації харківський ліцей міського господарства харківської обласної ради

Харківської обласної ради прикладна спрямованість iconОбдаровані діти
Харківської обласної ради вступають учні, які поставили свідомо мету – мати якісні знання з базових предметів та вступити до Харківської...
Харківської обласної ради прикладна спрямованість iconІ. із досвіду роботи з обдарованими дітьми
Харківської обласної ради вступають учні, які поставили свідомо мету – мати якісні знання з базових предметів та вступити до Харківської...
Харківської обласної ради прикладна спрямованість iconІ. із досвіду роботи з обдарованими дітьми
Харківської обласної ради вступають учні, які поставили свідомо мету – мати якісні знання з базових предметів та вступити до Харківської...
Харківської обласної ради прикладна спрямованість iconХарківської обласної ради шляхи подальшого розвитку творчої ініціативи
Л. Українка. Життєвий І творчий шлях
Харківської обласної ради прикладна спрямованість iconХарківської обласної ради
«Педагогічний вісник «Умови успішного розвитку дитини». Розвиток навичок самостійної діяльності учнів на уроках історії та в позаурочний...
Харківської обласної ради прикладна спрямованість iconХарківської обласної ради шляхи подальшого розвитку творчої ініціативи
Особливості проведення вступного уроку з всесвітньої історії в 10-му класі до розділу „Тоталітарний І диктаторський режими”
Харківської обласної ради прикладна спрямованість iconХарківський ліцей міського господарства харківської обласної ради ковирягіна Н.І. – учитель хімії Харків – 2007
Самостійна робота учнів здійснюється з метою набування знань та вмінь без безпосередньої участі вчителя
Харківської обласної ради прикладна спрямованість iconХарківської обласної ради програма «Ліцей І здоров’я»
Гусь Ірини Миколаївни – директора ліцею, вчителя фізики, спеціаліста вищої кваліфікаційної категорії, вчителя-методиста, відмінника...
Харківської обласної ради прикладна спрямованість iconХарківської обласної ради творчий портрет природничо-наукової кафедри
И вот прошло три года. Можно подвести итоги работы кафедры по основным направлениям работы кафедры
Додайте кнопку на своєму сайті:
Документи


База даних захищена авторським правом ©zavantag.com 2000-2013
При копіюванні матеріалу обов'язкове зазначення активного посилання відкритою для індексації.
звернутися до адміністрації
Документи