О можно определить количество теплоты Q icon

О можно определить количество теплоты Q




НазваО можно определить количество теплоты Q
Сторінка1/3
Дата22.06.2012
Розмір0.54 Mb.
ТипДокументи
  1   2   3


После того как получено распределение температур в пластине , для каждого значения FО можно определить количество теплоты Q, воспринятое или отданное пластиной во внешнюю среду:

;

;

,

где А – площадь пластины; – среднеобъемная температура пластины.

Аналогичное решение задач теплопроводности существует также для тел имеющих форму бесконечно длинного цилиндра и шара.


    1. ^ Численные методы решения задач теплопроводности


Явные и неявные конечно-разностные аппроксимации. При наличии внутренней и внешней нелинейностей получение решения уравнения теплопроводности (особенно многомерного) с помощью точных аналитических методов становится невозможным. В таких случаях используются приближенные методы решения уравнений типа (3.8), в первую очередь, метод конечных разностей, когда дифференциальное уравнение заменяется его конечно-разностным аналогом. После этого приближенное численное решение (в некотором конечном множестве точек) сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений.

^ Явные конечно-разностные уравнения. При разностном решении
одномерного дифференциального уравнения теплопроводности , входящие в него производные приближенно аппроксимируются производными в конечных разностях. При этом разностный аналог дифференциального уравнения принимает вид

(3.38)

В этом уравнении частные производные от температуры ^ Т по времени  и от температуры по координате x заменены их приближенными значениями, а соответствующие дифференциалы конечными приращениями. В частности x и  – это малые приращения (шаги) соответственно по координате и по времени. Аппроксимация производной выполнена по следующей схеме:

.

При решении уравнения (3.38) температуры определяются в точках
i = 1, 2, 3,....., n, лежащих на оси x. При этом предполагается, что в каждый момент времени  распределение температуры в промежутках между соседними точками является линейным. При решении многомерных задач эти точки обычно называются узлами пространственной сетки. Интервалы между ними в простейшем случае одинаковы и равны x.

Разностное уравнение (3.38) следует рассматривать как систему линейных алгебраических уравнений, число которых равно числу неизвестных температур. Индексы К и (К + 1) обозначают моменты времени, которым соответствуют значения температуры: ТК – температура в момент времени , ТК+1 – температура в момент времени + . В процессе вычисления неизвестных температур система, состоящая из n алгебраических уравнений, последовательно решается для каждого шага по времени. При этом решение повторяется столько раз, столько шагов (слоев) в расчетном промежутке времени.

Правильный выбор x и  при решении системы явных конечно-разностных уравнений имеет важное значение. Сравнение точного и численного решений показывает, что вычисления с приводят к вполне удовлетворительным результатам, в то время как при в процессе решения появляется неустойчивость. Значение  следует выбирать таким, чтобы оно удовлетворяло условиям устойчивости.

Разностное уравнение (3.38) может быть представлено в форме

, (3.39)

где ; .

Для двумерной задачи правая часть уравнения (3.39) содержит пять различных температур, а для трехмерной – семь.

Для простоты рассуждений примем, что все значения Т > 0. В общем случае среди известных значений , и найдется по одному наибольшему и одному наименьшему. Если теперь предположить, что – наибольшее значение, а – наименьшее, и учесть, что A+B+C = 1, то, поскольку = B() – C( ) и = +
+ A() + B() при положительных A, B и С, значение определяемой температуры будет удовлетворять условию <
< и будет заведомо ограничено. Коэффициенты A и C из физических соображений не могут быть меньше нуля, поэтому, чтобы исключить неограниченный рост в процессе решения, при выборе  необходимо выполнять условие устойчивости системы разностных уравнений: или , т.е. максимально допустимый шаг по времени .

С помощью аналогичной системы неравенств можно вывести условия устойчивости для решения многомерных задач по рассмотренной выше явной схеме, а также найти условия устойчивости разностных уравнений, соответствующих узлам, лежащим на границах тела. Так, одномерное разностное уравнение, приближенно выражающее условие теплового баланса для граничного узла 1 (рис. 3.2) разностной сетки

(3.40)

Здесь первое слагаемое левой части выражает плотность теплового потока, переносимого путем конвекции от среды с температурой ТСР1 к поверхности неограниченной плоской стенки, второе – плотность теплового потока, переносимого путем теплопроводности от граничного узла 1 к узлу 2 твердого тела. Правая часть уравнения (3.40) учитывает изменение энтальпии массы тела, соответствующей толщине слоя стенки , за малый промежуток времени.

После приведения уравнения (3.40) к (3.39) из неравенств, выражающих условия устойчивости, можно получить . Для граничного узла сетки наибольший допустимый шаг по времени зависит не только от величин x и , но и от коэффициентов теплоотдачи 1 и теплопроводности .

В качестве примера моделирования температурного поля в двумерной области можно привести программу (приложение А), реализующую алгоритм условно устойчивой явной конечно-разностной схемы. Программа позволяет моделировать нестационарные температурные поля для стыка двух трехслойных ограждающих конструкций в зоне наружного угла.





Рисунок 3.2 – Плоская пластина
с нанесенной конечно-разностной сеткой
^ Неявные конечно-разностные уравнения. Для повышения точности решения значение x следует выбирать достаточно малыми, а значения  должны быть пропорциональны (x)2, что следует из условия устойчивости. Однако при этом для завершения процесса решения может потребоваться чрез­мерно большое число шагов по времени, в связи с чем решение окажется практически невыполнимым. В этих случаях используются неявные конечно-разно­стные уравнения вида

(3.41)

Разности по времени в системе уравнений (3.38) и (3.41) вычисляются соответственно вперед и назад относительно момента времени, для которого составлены пространственные разности.

Система (3.41) безусловно устойчива, но процедура решения неявных разностных уравнений осложняется тем, что каждое из них (за исключением уравнений для границ) содержит три неизвестных температуры , и и все n уравнений должны решаться совместно. Поскольку система уравнений (3.41) имеет трехдиагональную матрицу, составленную из коэффициентов при неизвестных, каждое уравнение содержит не более трех неизвестных функций, и для получения решения может быть применен метод разностной факторизации или прогонки

. (3.42)

Линейная зависимость от может быть выражена соотношением

, (3.43)

где EI и FI – некоторые пока неизвестные коэффициенты.

Аналогично получаем . Подставим значение в уравнение (3.42) тогда

. (3.44)

Сравнение выражений (3.44) и (3.43) показывает, что

(3.45)

Решение поставленной задачи состоит в последовательном вычислении коэффициентов прогонки EI и FI с E1 и F1 по EN и FN с определением неизвестных температур по уравнению (3.43) в обратном порядке. Например, если необходимо определить температурное поле в неограниченной плоской стенке, состоящей из слоя изоляции () и тонкого металлического слоя (М), при переменных граничных условиях третьего рода, то систему неявных конечно-разностных уравнений можно представить в виде

(3.46)

(3.47)

(3.48)

(3.49)

где 1 и ТСР1 – коэффициент теплоотдачи и температура жидкости или газа со стороны теплоизоляции; 2 и ТСР2 – то же со стороны металлического слоя; – коэффициент температуропроводности слоя теплоизоляции; N – число узлов; .

Распределение температур в стенке в начальный момент задано. Разностные уравнения (3.46) и (3.49), соответствующие граничным узлам, составлены из условия теплового баланса (см. уравнение (3.40)). При составлении уравнения (3.49) к узлу N отнесли слой изоляции толщиной и металлический слой толщиной (М).

Если не требуется высокой точности, то для простоты решения стенку можно разбить на три узла (1, 2, 3). Приводя систему уравнений (3.46) - (3.49) к виду (3.42) и учитывая, что N = 3, получим

(3.50)

(3.51)

, (3.52)

где

Сопоставим уравнение (3.50) - (3.52) с уравнением (3.42) и определим коэффициенты AI, BI, CI и DI. Тогда в соответствии с формулами (3.45)











В обратном порядке вычисляем неизвестные температуры , и в узлах сетки для (К+1)-го момента времени: = F3; =
= E2 + F2; = E1 + F1. Однотипные операции выполняются для каждого шага (слоя) по времени до тех пор, пока не будут определены температуры в узлах сетки в заданный момент времени. Как и в явных схемах при выполнении первого шага по времени температуры , и , входящие DI, задаются начальными условиями. При выполнении последующих шагов значения температур с верхним индексом К берутся из предыдущего слоя по времени, т.е. значение становится в последующем слое.

В неявных абсолютно устойчивых разностных схемах рассмотренного типа допустимый шаг по времени выбирается только из соображения требуемой точности, причем погрешность аппроксимации как явной, так и неявной схемы пропорциональна  и (x)2. Однако в частных случаях, когда  и x выбраны так, что /(x)2 = 1/6, эта погрешность существенно уменьшается и становится пропорциональной ()2 и (x)4.

Явную (3.38) и неявную (3.41) схемы можно объединить:



Тогда при = 0 получится система явных, а при = 1 система неявных конечно-разностных уравнений. Рациональный выбор весового множителя  при автоматизированном расчете позволяет решить задачу по той схеме, которая в данных условиях потребует минимальных затрат машинного времени. Можно показать, что при 0   0,5 эта схема устойчива при условии . В интервале 0,5   1 никаких ограничений на устойчивость не наложено. При погрешность аппроксимации этой схемы пропорциональна 0 [()2] + 0 [(x)4]. При этом наибольшая степень точности будет получена, если .


^ 3.4. Конвективный теплообмен


Виды конвективного теплообмена и факторы, определяющие его

Процесс теплообмена между движущейся средой (рабочим телом), под которым будем понимать жидкость или газ, и стенкой, которую эта среда омывает, называется конвективным теплообменом или процессом теплоотдачи. В этом процессе теплота передается одновременно теплопроводностью и конвекцией. Поэтому теплоотдача представляет собой сложный процесс, который зависит от большого числа факторов по сравнению с процессом чистой теплопроводности.

При неизотермическом движении среды процесс конвекции всегда сопровождается теплопроводностью, определяемой характером течения и свойствами среды (жидкости или газа). Процесс теплоотдачи может происходить при естественной (свободной) и вынужденной конвекции.

Естественная конвекция возникает под действием неоднородного поля внешних массовых сил (сил гравитационного, инерционного, магнитного и электрического поля), приложенных к частицам жидкости внутри системы. Естественная конвекция, например, воздуха в помещении сопровождается его нагревом от радиатора системы отопления. Свободное движение воздуха вызывается подъемной силой, обусловленной разностью плотностей холодных и нагретых его частиц. В общем случае интенсивность свободного движения зависит от вида рабочего тела, разности температур между отдельными его частицами и объема пространства, в котором протекает процесс.

Вынужденная конвекция возникает под действием внешних поверхностных сил, приложенных на границах системы, или под действием однородного поля массовых сил, действующих в жидкости внутри системы; может также осуществляться за счет запаса кинетической энергии, полученной жидкостью вне рассматриваемой системы. Вынужденная конвекция, например, при движении нагретой жидкости под действием разности давлений на концах трубы сопровождается ее охлаждением.

Таким образом, вынужденная конвекция или вынужденное движение рабочего тела обусловлено работой внешних агрегатов (насоса, вентилятора и т.д.). Движущая сила при этом движении возникает вследствие разности давлений на входе и выходе из канала, по которому перемещается рабочее тело. Если скорость вынужденного движения небольшая и имеется разность температур между отдельными частицами, то наряду с вынужденным движением может наблюдаться и свободное движение. Следовательно, в общем случае вынужденная конвекция может протекать вместе с естественной (смешанная конвекция). Процесс теплоотдачи определяется многими факторами, в частности: видом конвекции (свободная, вынужденная); режимом течения жидкости (газа); физическими свойствами среды (, , с, – динамической вязкостью, – коэффициентом объемного расширения); формой, размерами и состоянием теплоотдающей и тепловоспринимающей поверхности обтекаемого средой тела (стенки). Остановимся на основных из них более подробно.

  1   2   3

Схожі:

О можно определить количество теплоты Q iconИсточники низкопотенциальной теплоты
С, а так же горные породы (грунт). Источником низкопотенциальной теплоты могут служить слабоминерализованные геотермальные воды,...
О можно определить количество теплоты Q iconОбщее количество теплоты
Атэц оказываются более высокими, чем при раздельной выработке тепловой и электрической энергии
О можно определить количество теплоты Q icon1 Информационный обзор
Для www, интерактивный интерфейс можно определить как последовательность html-документов, реализующих интерфейс пользователя. Можно...
О можно определить количество теплоты Q iconПонятие интеграции
Центральным понятием в интегрированных асу есть понятие «интеграция». Интеграцию можно определить как способ организации отдельных...
О можно определить количество теплоты Q iconЛекция №3 Интегрированные системы управления
Центральным понятием в интегрированных асу есть понятие «интеграция». Интеграцию можно определить как способ организации отдельных...
О можно определить количество теплоты Q iconКиевский институт инвестиционного менедмента теория игр составил: Василевич Л. Ф. Киев 1998
Пособие представляет собой конспект лекций. Кроме того, оно содержит большое количество тестов и задач, которые можно использовать...
О можно определить количество теплоты Q iconКиевский институт инвестиционного менедмента теория игр составил: Василевич Л. Ф. Киев 1998
Пособие представляет собой конспект лекций. Кроме того, оно содержит большое количество тестов и задач, которые можно использовать...
О можно определить количество теплоты Q iconУдк 621. 313. 333. 02 К определению параметров асинхронных двигателей при разночастотном тестовом напряжении
Т-образной схемы замещения при питании низкочастотным напряжением. Введено понятие функции чувствительности, и указан диапазон частот...
О можно определить количество теплоты Q iconПрактикум Практическая работа №2. Тема: составление контрольных карт
Для определения контрольных границ (или контрольных нормативов) необходимо собрать большое количество данных, которые называют предварительными....
О можно определить количество теплоты Q iconСтабильность признак мастерства количество и качество
За следующие три года было зарегистрировано около 50 страховых компаний. Таким образом, в Украине на 01. 10. 99 г существовало 259...
Додайте кнопку на своєму сайті:
Документи


База даних захищена авторським правом ©zavantag.com 2000-2013
При копіюванні матеріалу обов'язкове зазначення активного посилання відкритою для індексації.
звернутися до адміністрації
Документи