1. теорія множин icon

1. теорія множин




Назва1. теорія множин
Сторінка1/6
Дата07.06.2012
Розмір0.7 Mb.
ТипДокументи
  1   2   3   4   5   6

1. ТЕОРІЯ МНОЖИН


    1. Поняття множини


Визначення 1.1. Множиною є сукупність визначених об'єктів, різних між собою, об’єднаних за певною ознакою чи властивістю.

Визначення 1.2. Якщо один з об'єктів множини , то говорять, що   елемент множини , або належить .

Домовимося позначати множини рядковими латинськими літерами , а елементи множини – прописними латинськими літерами

Способи завдання множин:

  перерахуванням, тобто списком всіх своїх елементів. Такий спосіб завдання прийнятний тільки при завданні кінцевих множин. Позначення списку – у фігурних дужках. Наприклад, множина, що є з перших п'яти простих чисел . Множина спортсменів університетської хокейної команди: ;

  процедурою, що породжує і описує спосіб одержання елементів множини із уже отриманих елементів або з інших об'єктів. Наприклад, множина усіх цілих чисел, що є степенями двійки , де   множина натуральних чисел, може бути представлена породжуючою процедурою, заданою двома правилами, названими рекурсивними: а) ; б) якщо , тоді ;

  описом характеристичних властивостей, якими повинні володіти елементи множини. Так, множина , що складається з таких елементів, які мають властивість , позначимо в такий спосіб:

.

Так, розглянута вище множина всіх цілих чисел, що є степенями числа 2 може бути записана як . До А ще треба додати 1.

Якщо елемент належить множині , то пишуть . Якщо не є елементом множини , то пишуть . Наприклад, , але . Якщо , то , а .

Визначення 1.3. Множина називається підмножиною (або включенням) множини , якщо кожен елемент множини є елементом множини , тобто, якщо , то .

Якщо й , то називається строгою підмножиною й позначається .

Визначення 1.4. Дві множини рівні , якщо всі їхні елементи збігаються. Множини і рівні, якщо і .

Множина, яка містить скінченну кількість елементів, називається скінченною, у протилежному випадку – нескінченною. Кількість елементів у скінченій множині називається потужністю множини і позначається .

Визначення 1.5. Множина, що не містить елементів, називається порожньою множиною, і позначається . Порожня множина є підмножиною будь-якої множини. Універсальна множина є множина, що володіє такою властивістю, що всі розглянуті множини є його підмножинами.

Варто розрізняти поняття належності елементів множини і включення! Так, наприклад, якщо множина , те, , але , у той час як .

Приклад 1.1. Які з наведених визначень множин є коректними:

а) , б) , в) , г) ?

Чи належить число 5 множині ?

Рішення:

а) визначення множини перерахуванням елементів коректно.

б) відповідно до визначення множин, елементи її повинні бути різні, тому при перерахуванні елементів множини не слід указувати той самий елемент кілька разів. Коректне визначення множини виглядає в такий спосіб: .

в) визначення множини описом характеристичної властивості коректно.

г) визначення списком множини коректно: елементами множини є множини і , . Однак , тому що даний елемент не перерахований у списку.

Визначення 1.6. Множина всіх підмножин, що складаються з елементів множини , називається булеаном .

Приклад 1.2. Нехай . Визначити булеан множини . Яка потужність множини ?

Рішення:

.

Потужність .


Вправи

  1. Задати різними способами множину натуральних чисел, кратних 3 і не перевищуючих 100.

  2. Задати різними способами множину обласних центрів України.

  3. Перелічите елементи множини .

  4. Перелічите елементи множини .

  5. Перелічите елементи множини .

  6. Опишіть множину за допомогою характеристичної властивості.

  7. Опишіть множину за допомогою характеристичної властивості.

  8. Опишіть множину за допомогою характеристичної властивості.

  9. Перелічите підмножини множини .

  10. Перелічите підмножини множини .

  11. Перелічите підмножини множини .

  12. Визначте булеан множини . Яка потужність множини :

а) ; б) ;

в) ; г) .

  1. Використовуючи результати попередніх чотирьох прикладів, визначте потужність множини, що має елементів.

  2. Визначте істинність або хибність кожного з наступних висловлень:

а) ; б) ; в) ; г) ; д) , де   довільна множина.

  1. Визначте істинність або хибність кожного з наступних висловлень:

а) ; б) ;

в) ; в) .

  1. Визначте кількість елементів у кожній множині:

а) ; б) ;

в) ; г) .



    1. Операції над множинами


Визначення 1.7. Об'єднанням множин і називається множина, що складається із всіх тих елементів, які належать хоча б однієї з множин або . Об'єднання множин і позначається . Це визначення рівносильне наступному: .

Приклад 1.3. Нехай , . Знайти .

Рішення: .

Визначення 1.8. Перетинанням множин і називається множина, що складається із всіх тих елементів, які належать і множині й множині . Перетинання множин і позначається . Це визначення рівносильне наступному: .

Приклад 1.4. Нехай , . Знайти .

Рішення: .

Визначення 1.9. Доповненням (або абсолютним доповненням) множини називається множина, що складається із всіх елементів універсальної множини, які не належать . Доповнення множини позначається . Це визначення рівносильне наступному: .

Визначення 1.10. Різницею множин й (або відносним доповненням) називається множина, що складається із всіх елементів множини, які не втримуються в. Різницю множин і позначають . Це визначення рівносильне наступному: .

Приклад 1.5. Нехай , . Знайти .

Рішення: .

Визначення 1.11. Симетричною різницею множин і називається множина, що складається з об'єднання всіх елементів, що належать множині і не містяться в , і елементів, що належать множині і не містяться в . Симетрична різниця множин і позначається . Це визначення рівносильне наступному: .

Визначення 1.12. Операції, які виконують над однією множиною, називають унарними. Операції, які виконують над двома множинами, називають бінарними. Прикладом унарної операції є знаходження доповнення. Прикладами бінарних операцій є об'єднання, перетинання, різниця, симетрична різниця.

Приклад 1.6. Нехай , . Знайти .

Рішення: .

Приклад 1.7. Нехай , ; . Знайти , , , , .

Рішення: Зобразимо задані множини на числовій вісі







Тоді шукані множини будуть мати вигляд (рис. 1.1):



;



;



;



;



.

Рис. 1.1.


    1. Діаграми Венна


Для графічної ілюстрації відносин між множинами даної універсальної множини використають діаграми Венна. Діаграма Венна – це зображення множини у вигляді геометричної множини, наприклад, кола. При цьому універсальну множину зображують у вигляді прямокутника. На рис. 1.2 зображені діаграми Венна для розглянутих операцій над множинами.













Рис. 1.2.


Теорема 1. Для будь-яких підмножин універсальної множини справедливо наступне:

а) закони ідемпотентності ; ;

б) подвійне доповнення ;

в) закони де Моргана ; ;

г) властивості комутативності ; ;

д) властивості асоціативності

; ;

е) властивості дистрибутивності

; ;

ж) властивості тотожності ; ;

з) властивості доповнення ; .

Пріоритет операцій: 1. ; 2. ; 3. ; 4. ; 5. .

Приклад 1.7. Покажіть, що .

Рішення. Доведемо цю властивість асоціативності, скориставшись діаграмами Венна (рис. 1.3):











Рис. 1.3.


Як бачимо з рис. 1.3 , що й треба було довести.

  1   2   3   4   5   6

Схожі:

1. теорія множин iconФормат опису модуля
Булева логіка, логіка предикатів, теорія множин, теорія відношень, основи комбінаторики, теорія графів, теорія дерев
1. теорія множин iconПротокол №9) Програма вступних фахових випробувань для вступників на навчання для здобуття окр магістра (спеціаліста)факультет прикладної математики та інформатики
Теорія множин. Точна верхня та нижня межі множини. Числові послідовності та підпослідовності. Границя числової послідовності. Часткові...
1. теорія множин iconПротокол №19) Програма вступних фахових випробувань для вступників на навчання для здобуття окр магістра (спеціаліста) на факультет прикладної математики та інформатики
Теорія множин. Точна верхня та нижня межі множини. Числові послідовності та підпослідовності. Границя числової послідовності. Часткові...
1. теорія множин iconПротокол №9) Програма вступних фахових випробувань для вступників на навчання для здобуття окр магістра (спеціаліста) на факультет прикладної математики та інформатики
Теорія множин. Точна верхня та нижня межі множини. Числові послідовності та підпослідовності. Границя числової послідовності. Часткові...
1. теорія множин iconПротокол №19) Програма вступних фахових випробувань для вступників на навчання для здобуття окр магістра (спеціаліста) на факультет прикладної математики та інформатики
Теорія множин. Точна верхня та нижня межі множини. Числові послідовності та підпослідовності. Границя числової послідовності. Часткові...
1. теорія множин iconПротокол №19) Програма вступних фахових випробувань для вступників на навчання для здобуття окр магістра (спеціаліста)факультет прикладної математики та інформатики
Теорія множин. Точна верхня та нижня межі множини. Числові послідовності та підпослідовності. Границя числової послідовності. Часткові...
1. теорія множин iconПротокол №9) Програма вступних фахових випробувань для вступників на навчання для здобуття окр магістра (спеціаліста) на факультет прикладної математики та інформатики
Теорія множин. Точна верхня та нижня межі множини. Числові послідовності та підпослідовності. Границя числової послідовності. Часткові...
1. теорія множин iconПрограма вступних фахових випробувань для вступників на навчання для здобуття окр магістра (спеціаліста)факультет прикладної математики та інформатики Напрям підготовки: інформатика Математичний аналіз
Теорія множин. Точна верхня та нижня межі множини. Числові послідовності та підпослідовності. Границя числової послідовності. Часткові...
1. теорія множин iconПрограма вступних фахових випробувань для вступників на навчання для здобуття окр магістра (спеціаліста) на факультет прикладної математики та інформатики Напрям підготовки: прикладна математика Математичний аналіз
Теорія множин. Точна верхня та нижня межі множини. Числові послідовності та підпослідовності. Границя числової послідовності. Часткові...
1. теорія множин iconПрограма вступних фахових випробувань для вступників на навчання для здобуття окр магістра (спеціаліста) на факультет прикладної математики та інформатики Напрям підготовки: системний аналіз Математичний аналіз
Теорія множин. Точна верхня та нижня межі множини. Числові послідовності та підпослідовності. Границя числової послідовності. Часткові...
Додайте кнопку на своєму сайті:
Документи


База даних захищена авторським правом ©zavantag.com 2000-2013
При копіюванні матеріалу обов'язкове зазначення активного посилання відкритою для індексації.
звернутися до адміністрації
Документи