3. логіка висловлень основні визначення icon

3. логіка висловлень основні визначення




Назва3. логіка висловлень основні визначення
Сторінка1/7
Дата07.06.2012
Розмір0.64 Mb.
ТипДокументи
  1   2   3   4   5   6   7

3. ЛОГІКА ВИСЛОВЛЕНЬ


3.1. Основні визначення


Визначення 3.1. Висловлення – це розповідне речення, про яке можна сказати, що воно істинно або хибно. Істинність або хибність, приписувані висловленню, називаються його істинностним значенням.

Наприклад, речення “Сонце – це зірка”, “Балаклея – обласний центр України” є висловленнями, причому перше – істинно, а друге – хибно. А речення “котра година?”, “вивчите вірш” не є висловленнями.

У математичних міркуваннях і повсякденній мові часто зустрічаються речення, утворені видозміною деякого речення за допомогою слова не, або складені із простих речень за допомогою сполучників: і, або, якщо … то, тоді і тільки тоді, коли. Які називаються сентенційними сполучниками. На відміну від повсякденної мови, у математичній логіці зміст таких висловлень може бути визначений однозначно.

Визначення 3.2. Висловлення, що не містить сполучників, називається простим; висловлення, що містить сполучники, називається складним.

Будемо позначати висловлення буквами латинського алфавіту , , , , ,

Візьмемо наступні прості висловлення:

я встаю рано”;

я йду на роботу”.

За допомогою п'яти сентенційних сполучників можна утворити наступні складні висловлення:

  заперечення – це речення, видозмінене за допомогою слова не; позначається як , . Наприклад,

я не підіймаюся рано”;

  кон’юнкція – це речення, яке утворено з'єднанням двох простих речень за допомогою слова і; позначається як . Наприклад,

я підіймаюсь рано і йду на роботу”;

  диз'юнкція   це речення, яке утворено з'єднанням двох простих речень за допомогою слова або; позначається як . Наприклад,

я підіймаюсь рано або не йду на роботу”;

  імплікація   це речення, яке утворено з'єднанням двох простих речень за допомогою слів якщо … то; позначається як . Наприклад,

якщо я підіймаюсь рано, то йду на роботу”;

  еквівалентність   це речення, утворене з'єднанням двох простих речень за допомогою слів тоді і тільки тоді, коли; позначається як . Наприклад,

я підіймаюсь рано тоді і тільки тоді, коли йду на роботу”.

Визначення 3.3. Символи називаються бінарними з'єднаннями, тому що вони з'єднують два висловлення, а символ ~   унарним з'єднанням, тому що застосовується тільки до одного висловлення.

Є ще одне бінарне з'єднання – що виключає або (нерівнозначність, додавання за модулем 2). Позначається як , читається як “або або ”. Висловлення істинно, коли істинностні значення і не збігаються, і хибно – у протилежному випадку.

Приклад 3.1. Представити логічними формулами наступні висловлення:

  1. “Сьогодні не світить сонце”;

  2. “Я піду гуляти або залишуся удома”;

  3. “Спортсмен здобув перемогу і одержав заслужену нагороду”;

  4. “Якщо цех перевиконає план, то робітники одержать премії”;

  5. “Родину варто створювати тоді і тільки тоді, коли між молодими людьми є почуття любові і поваги”;

  6. “На вулиці ясно або похмуро”;

  7. “Якщо парубок зневажає фізичними вправами або годинами сидить за комп'ютером, то це спричиняє погіршення його самопочуття і погану поставу”.


Рішення:

1) Висловлення “Сьогодні не світить сонце” утворено запереченням висловленню “Сьогодні світить сонце”. Останнє позначимо через , тоді початкове висловлення є складним представимо логічною формулою: .

2) Складне висловлення “Я піду гуляти або залишуся удома” утворено із двох простих, з'єднаних сполучником “або”:

  “Я піду гуляти”;

  “Я залишуся удома”. Отже, маємо логічну формулу .

3) Складне висловлення “Спортсмен здобув перемогу і одержав заслужену нагороду” утворено із двох простих, з'єднаних сполучником “і”:

  “Спортсмен здобув перемогу”;

  “Спортсмен одержав заслужену нагороду”. Отже, маємо логічну формулу .

4) Складне висловлення “Якщо цех перевиконає план, то робітники одержать премії”, утворено із двох простих, з'єднаних логічним сполучником “якщо … то”:

  “Цех перевиконає план”;

  “Робітники одержать премії”. Отже, маємо логічну формулу .

5) Складне висловлення “Родину варто створювати тоді і тільки тоді, коли між молодими людьми є почуття любові і поваги” утворено із трьох простих, які з’єднані логічним сполучником «тоді і тільки тоді» і сполучником «і»:

  “Родину варто створювати”;

  “Між молодими людьми є почуття любові”;

  “Між молодими людьми є почуття поваги”. Отже, маємо логічну формулу .

6) Складене висловлення “На вулиці ясно або похмуро” утворено із двох простих:

  “На вулиці ясно”;

  “На вулиці похмуро”, з'єднаних сполучником “або”, очевидно в розділовому змісті, тобто “що виключає або”   , тому що одночасно на вулиці не може бути і ясно, і похмуро. Отже, маємо логічну формулу: .

7) Складне висловлення “Якщо парубок зневажає фізичними вправами або годинами сидить за комп'ютером, то це спричиняє погіршення його самопочуття і погану поставу” розіб'ємо на прості:

  “Парубок зневажає фізичними вправами”;

  “Парубок годинами сидить за комп'ютером”;

  “Виникає погіршення самопочуття”;

  “Виникає погана постава”.

Логічна формула, що описує дане висловлення, буде мати вигляд:

.


Прості висловлення можуть бути істинними або хибними незалежно друг від друга, але вони визначають значення складного висловлення.

^ Таблиці істинності для розглянутих вище логічних формул дозволяють легко визначити значення складного висловлення.


Заперечення







Кон’юнкція

Диз'юнкція

Імплікація

Еквівалентність




















1

0




1

1

1

1

1

1

0

1




1

0

0

1

0

0










0

1

0

1

1

0










0

0

0

0

1

1



Висловлення істинно, коли висловлення   хибно, і хибно – у протилежному випадку. Наприклад, якщо   “сьогодні холодно”, то   “сьогодні не холодно”.

Висловлення істинно, коли обидва висловлення істинні, і хибно – у всіх інших випадках. Прикладом кон’юнкції може бути відповідь на питання: “При яких умовах учень, що закінчує школу, може бути студентом?”. Якщо прийняти за   “одержати атестат зрілості”, а за   “пройти конкурсний відбір у ВУЗ”, то учень буде студентом, коли одержить атестат зрілості і пройде конкурсний відбір

Висловлення хибно у випадку, коли обидва з простих висловлень хибні, і істинно   у всіх інших випадках. Як приклад розглянемо наступні висловлення:   “на вулиці йде дощ”,   “хтось забув виключити душ”. Тоді   “я чую шум, видаваний водою”. Це можливо, якщо на вулиці йде дощ, або якщо хтось забув виключити душ, або при виконанні двох цих умов.

Висловлення хибно, якщо   істинно, а   хибно; і істинно у всіх інших випадках. Висловлення “якщо … то” носити пояснюючий характер. Пояснюючий характер імплікації пов'язаний із причинно-наслідковим відношенням, при якому виступає в ролі заподій (посилки імплікації), а   наслідку (висновку). Якщо   “на вулиці йде дощ”, а   “над моєю головою розкрита парасолька”, тоді  “я залишуся сухим” буде помилковим тільки в тому випадку, якщо на вулиці йде дощ, а парасолька не розкрита .

Висловлення істинно, коли значення і збігаються, і хибно – у протилежному випадку. Тому що еквівалентність виражається через кон’юнкцію двох імплікацій , то це відношення виникає при одночасному виконанні двох умов: “із прямує ” і “із прямує ”.

Приклад. Привласнимо висловленням і значення 1, якщо і означають “дочка”, і 0, якщо і означають “син”. Тоді складне висловлення   “у родині одностатеві діти” істинно тоді і тільки тоді, коли або , або .

При запису складних висловлень у символічній формі часто виникає необхідність у використанні великої кількості дужок. Щоб усунути цю незручність вводять деякі угоди. Умовимося, що є найсильніше сполучення (тобто вона має найбільшу область дії), а за нею йде . Далі – рівні по силі і , а потім ~   найслабше сполучення. Необхідно пам'ятати, що спочатку виконуються більш слабкі сполучення, а потім - більш сильні.

Якщо істинностні значення простих компонентів відомі, то істинностне значення складного висловлення може бути визначене з використанням таблиць істинності.

Приклад 3.2. Визначити істинностне значення висловлення

,

якщо і   істинні , а   хибно .

Рішення: Визначення істинностного значення висловлення можна зробити швидко, якщо написати під кожним простим висловленням його істинностне значення, а істинностне значення кожного складного висловлення – під відповідним сполученням. Для зручності читання послідовні кроки можуть бути записані один під іншим:


А



В



С



А





В



С





































1




1




0




1







1




0

























0













1
















0






















0



















1



















0




















Звідси можемо зробити висновок: дане висловлення хибно.

Складне висловлення може приймати як істинне, так і хибне значення залежно від значень, приписуваним простим компонентам. Для того щоб однозначно вказати ті ситуації, коли складне висловлення є істинним, необхідно врахувати всі можливі ситуації. Із цією метою ми будемо будувати таблиці істинності складних висловлень, використовуючи таблиці істинності простих компонентів. Приведемо два еквівалентних способи побудови таблиці істинності складного висловлення. Перший полягає в тому, що складне висловлення ми розбиваємо на прості, і встановлюємо істинне значення кожного сполучення. А при другому способі ми записуємо істинностні значення під кожним сполученням. Проілюструємо обидва підходи на прикладі.


Приклад 3.3. Побудувати таблицю істинності висловлення .

Рішення: Побудуємо таблицю істинності двома способами:
























1

1

1

0

1

1




1

1

1

0 1 1

1

1

0

0

1

0




1

1

0

0 1 0

1

0

1

0

1

1




1

0

1

0 1 1

1

0

0

0

1

0




1

0

0

0 1 0

0

1

1

1

1

1




0

1

1

1 1 1

0

1

0

1

1

0




0

1

0

1 1 0

0

0

1

1

0

0




0

0

1

1 1 0

0

0

0

1

0

0




0

0

0

1 1 0


Необхідно відзначити важливість розходження між мовою і метаязиком, між об'єктними і суб'єктними висловленнями. Якщо зневажати цими розходженнями, то можна прийти до протиріччя, називаному логічним парадоксом. Приведемо приклад відомого парадокса. Англійський логік Бертран Рассел розглянув таку притчу: “В одному селі жив перукар. Він голив всіх тих жителів села, хто не голився сам”. Рассел задався питанням: чи може перукар поголити самого себе? Його міркування наступні: якщо перукар захоче поголити себе самого, то як житель цього села, що голиться сам, не вправі цього зробити; але якщо перукар не стане голитися, то вже як житель села, що не голиться сам, він буде зобов'язаний себе поголити.

Викладемо зміст цього протиріччя формальною мовою. Позначимо   перукаря, а   жителя села. Нехай висловлення означає “ голить ”. Тоді ситуація в селищі може бути описана двома метависловлюваннями:

  1. якщо , то ;

  2. якщо , то .

Коли перукар розглядається як рядовий житель села , то обидва метависловлювання стають внутрішньо суперечливими:

  1. якщо , то ;

  2. якщо , то .

Звідси ми можемо зробити висновок, що незважаючи на те, що , як і , є об'єктною змінною, її не можна ставити на один рівень із , тому що саме відносно були сформульовані всі метависловлювання. Як висловлення можна розглядати будь-які з відомих нам ситуацій: “ вчить ”; “ співає для ”; …, при цьому під розуміємо вчителя, артиста, і т.п.

  1   2   3   4   5   6   7

Схожі:

3. логіка висловлень основні визначення iconРобоча програма дискретна математика
Висловлення І логічні зв’язки. Умовні висловлення. Еквівалентні висловлення. Закони логіки висловлень. Аксіоматичні системи: логічний...
3. логіка висловлень основні визначення iconК. К. Вступ до сучасної логіки. К., 1992. Конверский А.Є. Логіка. К., 1999. Руденко К. П. Логіка К., 1976. Тофтул М. Г. Логіка. К., 2002. Кондаков Н. И. Логический словарь-справочник
Павлов В. П., Ишмуратов А. Т., Омельяник В. И. Модальная логика. К.: Выща школа, 1982
3. логіка висловлень основні визначення iconЗатверджено: Голова приймальної комісії
Основні поняття, терміни І визначення, що відносяться до обробки різанням. Предмет теорії обробки матеріалів. Основні поняття І визначення...
3. логіка висловлень основні визначення iconТема: Предмет І значення логіки
Співвідношення традиційної логіки га логіки сучасної. Співвідношення понять "традиційна логіка", ''сучасна логіка", "сучасна ло­гіка",...
3. логіка висловлень основні визначення iconПрограма Дисципліни Логіка
Логіка одна з найдавніших галузей наукового знання. Її роль у сучасному світі науки велика І багатопланова
3. логіка висловлень основні визначення iconЛогіка. Формальна логіка як навчальна дисципліна
Програма дисципліни структурована на 1 модуль. Обсяг навчального навантаження студентів описаний у кредитах естs
3. логіка висловлень основні визначення iconПрограма фахового вступного випробування для вступу на навчання за освітньо-кваліфікаційними рівнями «спеціаліст», «магістр» Спеціальність: 05050301, 05050301 Металорізальні верстати та системи. Донецьк, Доннту, 2013р. Теорія різання
Основні поняття, терміни і визначення, що відносяться до обробки різанням. Предмет теорії обробки матеріалів. Основні поняття і визначення...
3. логіка висловлень основні визначення iconІнституційні інвестори: підходи до визначення сутності та роль на фінансовому ринку
Аються основні підходи до визначення сутності інституційних інвесторів серед вітчизняних та зарубіжних науковців. На основі проведеного...
3. логіка висловлень основні визначення iconТема: Предмет, метод та значення логіки як науки
Логос" (давнього. Logos) "слово, "висловлювання", "закон", "смисл". Основні значення терміну "логіка" в даний час
3. логіка висловлень основні визначення iconЗмістовно-діяльнісна структура модулів навчальної дисципліни «Логіка (загальна та юридична)»
Предмет юридичної логіки. Історичні етапи розвитку логіки. Основні закони юридичного мислення
Додайте кнопку на своєму сайті:
Документи


База даних захищена авторським правом ©zavantag.com 2000-2013
При копіюванні матеріалу обов'язкове зазначення активного посилання відкритою для індексації.
звернутися до адміністрації
Документи