4 Похідна від булевої функції icon

4 Похідна від булевої функції




Скачати 366.01 Kb.
Назва4 Похідна від булевої функції
Сторінка1/5
Дата22.06.2012
Розмір366.01 Kb.
ТипДокументи
  1   2   3   4   5

4.6. Похідна від булевої функції


У класичній математиці для з'ясування характеру зміни функції використовують поняття похідної. У дискретній математиці, що оперує логічними функціями змінних, котрі, як і самі функції, мають значення 0 або 1, поняття похідної вводиться в такий спосіб.

Визначення 4.17. Одиничною залишковою функцією змінної називається функція, одержувана шляхом надання змінній значення одиниця:



Визначення 4.18. Нульовою залишковою функцією змінної називається функція, одержувана шляхом надання змінній значення нуль:

.

Визначення 4.19. Похідна першого порядку від булевої функції змінних є функція, одержувана додаванням за модулем 2 одиничних і нульових залишкових функцій змінної :

.

Дотримуючись визначення 4.19, для знаходження похідної від булевой функції необхідно скласти одиничну і нульову залишкові функції, додати їх за модулем 2 і, використовуючи основні еквівалентності булевих функцій або таблиці істинності, по можливості спростити отримані вираження.

Приклад 4.23. Маємо функцію трьох змінних . Знайти , , .

Рішення: ;

;

.

Для спрощення отриманих виражень, складемо їхні таблиці істинності:

























0

0

0




0

0

1




0

0

1

0

1

0




0

1

0




0

1

0

1

0

0




1

0

1




1

0

1

1

1

1




1

1

1




1

1

1

Остаточно маємо: , , .

Приклад 4.24. Маємо функцію . Знайти .

Рішення: За умовою змінна є фіктивною. Тому і одинична, і нульова залишкові функції змінної будуть однакові і збіжаться з . Оскільки , одержимо

.

Отже, похідна від булевої функції за фіктивною змінною тотожно дорівнює нулю.

^ Похідні вищих порядків від булевої функції знаходять як і похідні першого порядку відповідно до визначення 4.19, але послідовно, де в якості наступної функції виступає вже знайдене і спрощене вираження попередньої похідної.

Приклад 4.25. Маємо функцію трьох змінних . Знайти , , , , , , .

Рішення: ;

;

.

Спростимо отримані вираження за допомогою їх таблиць істинності:

























0

0

0




0

0

0




0

0

1

0

1

0




0

1

0




0

1

1

1

0

1




1

0

1




1

0

0

1

1

0




1

1

1




1

1

0

Отже, використовуючи таблиці істинності, можемо записати ЗДНФ отриманих функцій:

, , .

Знайдемо похідні вищих порядків:

, тому що у функції змінна фіктивна;

;

;

.


Вправи:

1. Знайти похідні першого порядку , , від булевих функцій трьох змінних :

а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) ; е) ;

ж) ; з) ;

и) ; к) .

Спростити отримані вираження.

2. Знайти похідні , , , , , , від булевих функцій трьох змінних :

а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) ; е) .

ж) ; з) ;

и) ; к) .

Спростити отримані вираження.


^ 4.7. Комутаційні схеми


В 1938 р. Клод Шеннон помітив зв'язок між таблицями істинності логічних функцій і електричних ланцюгів. Розглянемо найпростіші електричні ланцюги, що складаються із джерела живлення, електричної лампочки, і двох перемикачів, увімкнутих в електричний ланцюг послідовно (рис. 4.1,а) і паралельно (рис. 4.1,б).



(а) (б)

Рис. 4.1.

Привласнимо значення 1 перемикачам, коли вони з’єднані і 0, якщо роз’єднані. Електричній схемі привласнимо значення 1, коли лампочка горить (тобто через неї проходить електричний струм), і 0, коли лампочка не горить, тобто електричний струм через неї не проходить. Домовимося, що при описуванні комутаційних схем символи (, , ~) замінимо символами (◦, +, ') відповідно.

Очевидно, що при послідовному з'єднанні перемикачів лампочка горить тільки тоді, коли з’єднані обидва перемикачі. Тобто електричній схемі привласнюється значення 1 тільки тоді, коли і приймають значення 1. Отже, така електрична схема відповідає висловленню , а сама схема називається схемою логічного множення або логічним елементом p і q. Цей логічний елемент надалі будемо зображувати символом, поданим на рис. 4.2,а.

При паралельному з'єднанні перемикачів лампочка горить в тому випадку, якщо з’єднати хоча б один перемикач. Тобто електричній схемі привласнюється значення 1 тільки тоді, коли або , або приймають значення 1. Отже, така електрична схема відповідає висловленню , а сама схема називається схемою логічного додавання або логічним елементом p або q. Цей логічний елемент надалі будемо зображувати символом, поданим на рис. 4.2,б.

Припустимо, що існує схема, з одним перемикачем , що володіє наступною властивістю: лампочка горить тоді і тільки тоді, коли перемикач розімкнуто. Тобто електричній схемі привласнюється значення 1, коли приймає значення 0, і, навпаки, електричній схемі привласнюється значення 0, коли приймає значення 1. Отже, така електрична схема відповідає висловленню , а сама схема називається інвертором або логічним елементом не p. Цей логічний елемент надалі будемо зображувати символом, поданим на рис. 4.2,в.




(а) (б) (в)

Рис. 4.2.


Приклад 4.26. Побудувати комутаційну схему, що відповідає булевому вираженню .

Рішення: Шукана схема являє собою заперечення (інверсію) логічного додавання елементів і . Вона має вигляд:



Приклад 4.27. Побудувати комутаційну схему, що відповідає булевому вираженню .

Рішення: Шукана схема містить з'єднання логічних елементів і і не . Вона має вигляд:



Приклад 4.28. Побудувати комутаційну схему, що відповідає булевому вираженню .

Рішення: Шукана схема має вигляд:



Звернувшись до табл. 4.2, можемо помітити, що логічна функція   штрих Шеффера має ту ж таблицю істинності, що і функція , тому її використовують як логічне зв'язування не-і; а логічна функція   стрілка Пірса має ту ж таблицю істинності, що і функція , тому її використовують як логічне зв'язування не-або. Логічний елемент не-і будемо зображувати символом, поданим на рис. 4.3,а; а логічний елемент не-або будемо зображувати символом, поданим на рис. 4.3,б.



(а) (б)

Рис. 4.3.

Використання цих символів найчастіше спрощує запис комутаційних схем. Так, замість схеми, розглянутої в прикладі 4.26, можна використати символьний запис, представлений на рис. 4.3,б.

Приклад 4.29. Запишіть булеву формулу, що відповідає комутаційній схемі:



Рішення: булева формула, що відповідає представленій комутаційній схемі має вигляд .

Для скорочення запису комутаційних схем можна також використати наступний символьний запис. Для позначення булевої формули замість схеми, представленої на рис. 4.4,а можна використати схему, представлену на рис. 4.4,б; а для запису булевої формули замість схеми на рис. 4.4,в, можна використати схему на рис. 4.4,г.



(а) (б) (в) (г)

Рис. 4.4.

Приклад 4.30. Побудувати комутаційну схему, що відповідає булевому вираженню .

Рішення: Використовуючи наведені на рис. 4.4 спрощення, зобразимо шукану схему:



Вправи:

1. Побудуйте комутаційну схему, що відповідає булевому вираженню:

а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) ; е) ;

ж) ; з) ;

и) ; к) .


2. Приведіть булеву формулу, що відповідає комутаційній схемі:

а)



б)



в)



г)



д)



е)




ж)



з)



і)



к)



  1   2   3   4   5

Схожі:

4 Похідна від булевої функції icon6. Похідна неявно чи параметрично заданої функції
Похідна неявно чи параметрично заданої функції похідна функції, яка задана неявно рівнянням, дорівнює
4 Похідна від булевої функції iconПохідна функції дорівнює

4 Похідна від булевої функції iconТема 1 Похідна. Механічний та геометричний зміст похідної
Розглянемо поняття похідної. Нехай задана функція в околі точки х0 Різниця х – х0 = х – приріст аргумента, ( “еф від ікс мінус еф...
4 Похідна від булевої функції iconНазва модуля: Вища математика Ч. 1 Код модуля
Аналітична геометрія на площині та в просторі. Лінійний n-вимірний простір та лінійний оператор. Квадратична форма. Границя послідовності...
4 Похідна від булевої функції iconПерелік дисциплін, які виносяться
Закони булевої алгебри. Логічні функції. Базиси логічних функцій. Форми зображення логічних функцій. Карти Карно. Досконала диз’юнктивна...
4 Похідна від булевої функції iconПерелік дисциплін, які виносяться
Закони булевої алгебри. Логічні функції. Базиси логічних функцій. Форми зображення логічних функцій. Карти Карно. Досконала диз’юнктивна...
4 Похідна від булевої функції iconПерелік дисциплін, які виносяться
Закони булевої алгебри. Логічні функції. Базиси логічних функцій. Форми зображення логічних функцій. Карти Карно. Досконала диз’юнктивна...
4 Похідна від булевої функції iconЛекція 8 Функції Функції користувача Стандартні процедури та функції Рекурсія Функції користувача
А отже, функцію, на відміну від процедури, можна викликати у виразах. Наприклад, вираз sin(5)+l є коректним у тому разі, коли sin(X)...
4 Похідна від булевої функції iconНазва модуля: Математичний аналіз, ч. 1
Границя функції в точці. Важливі границі. Неперервність функції в точці. Точки розриву І їх класифікація. Диференціальне числення...
4 Похідна від булевої функції iconТип модуля: обов'язковий Семестр: І, ІІ обсяг модуля
Сі; оператори, функції та директиви мови Сі. Принципи ооп; глобальні функції; перевантаження функції; об‘єкти та операції над ними;...
Додайте кнопку на своєму сайті:
Документи


База даних захищена авторським правом ©zavantag.com 2000-2013
При копіюванні матеріалу обов'язкове зазначення активного посилання відкритою для індексації.
звернутися до адміністрації
Документи