Городского хозяйства теория математической обработки геодезических измерений часть Теория погрешностей измерений icon

Городского хозяйства теория математической обработки геодезических измерений часть Теория погрешностей измерений




НазваГородского хозяйства теория математической обработки геодезических измерений часть Теория погрешностей измерений
Сторінка4/9
Дата23.06.2012
Розмір0.91 Mb.
ТипДокументи
1   2   3   4   5   6   7   8   9
^

3. Количественные критерии оценки точности измерений

3.1. Модели распределения случайных погрешностей


В п.2.1 было отмечено, что случайная погрешность — следствие воздействия на результат измерения различных случайных связей между факторами измерений. Она представляет собой алгебраическую сумму множества элементарных случайных погрешностей.

Проанализируем процесс формирования случайных погрешностей на примере измерения превышения при геометрическом нивелировании. Для этого рассмотрим случайные погрешности округления отсчета, взятого по рейке с точностью до 1 мм. Все возможные значения погрешностей округления (u) укладываются в десять фиксированных равновероятных интервалов:


  1. –0.5 -0.4; 6. 00.1;

  2. –0.4 -0.3; 7. 0.10.2;

  3. –0.3 -0.2; 8. 0.20.3;

  4. –0.2 -0.1; 9. 0.30.4;

  5. –0.1 -0; 10. 0.40.5.


Графически это показано на рис. 3.1.

В
ероятность попадания ?(u) в любой из интервалов, представленных на рис. 3.1, равна 0.1.

Такое распределение случайных элементарных погрешностей в теории вероятностей называют равномерным распределением в интервале: -0.5 ч +0.5.

Заметим, что точно так же будут распределены элементарные погрешности округления отсчетов по горизонтальному и вертикальному кругу теодолита, отсчетов по рейке при определении расстояний нитяным дальномером, отсчетов счетного механизма планиметра и в других случаях геодезической практики.

Как известно, превышение равно разности отсчетов h=uз-uп. Все возможные значения погрешностей округления ?(h) вычисленного превышения приведены в табл.3.1.

Таблица 3.1.

?ок

?ок

-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

+0.1

+0.2

+0.3

+0.4

+0.5

-0.5

0

-0.1

-0.2

-0.3

-0.4

-0.5

-0.6

-0.7

-0.8

-0.9

-1.0

-0.4

+0.1

0

-0.1

-0.2

-0.3

-0.4

-0.5

-0.6

-0.7

-0.8

-0.9

-0.3

+0.2

+0.1

0

-0.1

-0.2

-0.3

-0.4

-0.5

-0.6

-0.7

-0.8

-0.2

+0.3

+0.2

+0.1

0

-0.1

-0.2

-0.3

-0.4

-0.5

-0.6

-0.7

-0.1

+0.4

+0.3

+0.2

+0.1

0

-0.1

-0.2

-0.3

-0.4

-0.5

-0.6

0

+0.5

+0.4

+0.3

+0.2

+0.1

0

-0.1

-0.2

-0.3

-0.4

-0.5

+0.1

+0.6

+0.5

+0.4

+0.3

+0.2

+0.1

0

-0.1

-0.2

-0.3

-0.4

+0.2

+0.7

+0.6

+0.5

+0.4

+0.3

+0.2

+0.1

0

-0.1

-0.2

-0.3

+0.3

+0.8

+0.7

+0.6

+0.5

+0.4

+0.3

+0.2

+0.1

0

-0.1

-0.2

+0.4

+0.9

+0.8

+0.7

+0.6

+0.5

+0.4

+0.3

+0.2

+0.1

0

-0.1

+0.5

+1.0

+0.9

+0.8

+0.7

+0.6

+0.5

+0.4

+0.3

+0.2

+0.1

0


Всего возможно 121 значение погрешностей округления ?(h), которые можно объединить в 21 группу равных значений. Эти группы не будут равновероятны, как это можно видеть на рис. 3.2. и в табл. 3.2. (левая часть). Такое распределение случайных погрешностей получило название треугольного распределения Симпсона.






Таблица 3.2.

Значение середины интервала


Диапазон значений в интервале

Вычисленное превышение на станции

Среднее превышение на станции

Кол-во случаев h

Вероятность

Кол-во случаев h

Вероятность

-1.0

-1.05-0.95

1

0.0083

3

0.002

-0.9

-0.95-0.85

2

0.0165

22

0.0015

-0.8

-0.85-0.75

3

0.0248

73

0.0050

-0.7

-0.75-0.65

4

0.0331

172

0.0117

-0.6

-0.65-0.55

5

0.0413

335

0.0229

-0.5

-0.55-0.45

6

0.0496

576

0.0393

-0.4

-0.45-0.35

7

0.0579

879

0.0600

-0.3

-0.35-0.25

8

0.0661

1198

0.0818

-0.2

-0.25-0.15

9

0.0744

1485

0.1014

-0.1

-0.15-0.05

10

0.0826

1612

0.1156

0

-0.050.05

11

0.0909

1771

0.1210

0.1

0.050.15

10

0.0826

1692

0.1156

0.2

0.150.25

9

0.0744

1485

0.1014

0.3

0.250.35

8

0.0661

1198

0.0818

0.4

0.350.45

7

0.0579

879

0.0600

0.5

0.450.55

6

0.0496

576

0.0393

0.6

0.550.65

5

0.0413

335

0.0229

0.7

0.650.75

4

0.0331

172

0.0117

0.8

0.750.85

3

0.0248

73

0.0050

0.9

0.850.95

2

0.0165

22

0.0015

1.0

0.951.05

1

0.0083

3

0.0002







121

1.0001

14641

0.9998






Рис. 3.3


При геометрическом нивелировании превышение на станции измеряют два раза, по основной (черной) и смещенной (красной) сторонам рейки. За окончательный результат измеренного превышения принимают среднее значение. Для среднего превышения h возможно N=1212=14641 вариантов случайной элементарной погрешности округления. Все множество значений можно объединить в 21 интервал группирования, как это показано в правой части табл. 3.2. Из рис. 3.3., где графически представлено распределение погрешностей ?, соответствующее данным табл. 3.2, можно видеть, что распределение этой случайной погрешности описывается кривой линией, выражающей некоторую функцию f(?). Внешне кривая напоминает колокол в разрезе.

Отметим очевидные свойства функции f(? ):

  1. Функция всегда положительна и симметрична относительно оси f(?), т.е. положительные и отрицательные значения ? равновероятны.

  2. Функция имеет максимум в точке ?=0, где производная f '(?)=0.

  3. С увеличением абсолютной величины ? функция f(?) асимптотически приближается к оси ?.

  4. Положительным значениям ? соответствуют отрицательные значения f '(?), а отрицательным ? - положительные значения f '(?), т.е. имеет место неравенство f '(?)·?<0.

  5. Представленные в правой части таблицы вероятности исчерпывают все возможные значения f(?). Следовательно, площадь фигуры, ограниченной осью ? и кривой должна быть равна единице.

Всем перечисленным выше условиям отвечает функция, уравнение которой

f(?) = . (3.1)

Параметр ? в (3.1) представляет стандарт, определенный нами в п.2.2. Чем меньше ?, тем теснее группируются значения ? относительно оси f(?).

Распределение случайных погрешностей, представленное функцией (3.1), называют нормальным распределением.

Подводя итог приведенным выше рассуждениям, можно заключить, что нормальное распределение случайных погрешностей — продукт алгебраического суммирования некоторого числа (не менее трех) элементарных погрешностей.

В рассмотренном выше примере мы исследовали только один источник формирования случайных погрешностей — погрешности округления отсчета. Однако известно, что на точность измерения превышения методом геометрического нивелирования помимо погрешностей округления влияют также погрешности, обусловленные случайными колебаниями визирной оси прибора, колебаниями изображения рейки вследствие рефракции и др. факторами. Суммирование этих элементарных погрешностей, как это мы уже видели, неизбежно должно привести к нормальному распределению.

Аналогичная картина имеет место и в других видах геодезических измерений — горизонтальных и вертикальных углов и направлений, длин линий и т.д. Все это дает нам основание рассматривать нормальное распределение (3.1.) как универсальный закон вероятностного распределения случайных погрешностей.
^

3.2. Модели распределения систематических погрешностей


Систематические погрешности, имеющие место при измерениях, очень разнообразны. Распределение ряда систематических погрешностей, вызываемых тем или иным источником, происходит по своему, присущему этому источнику погрешностей, закону.

Рассмотрим некоторые из них:

        1. ^ Постоянные систематические погрешности

Во всех результатах измерений погрешности имеют одинаковую величину и знак. Классический пример такой погрешности — отклонение стрелки от нулевой отметки перед взвешиванием у весов со стрелочной индикацией.

В практике геодезических измерений это погрешности координат и высот опорных точек, погрешность определения места нуля вертикального круга при тахеометрической или мензульной съемке.

Повышая точность измерений, при определении опорных точек и более тщательно определяя место нуля, мы можем свести постоянные систематические погрешности до пренебрегаемо малых величин по сравнению с погрешностями случайными.

При точных угловых измерениях определяют элементы отклонения прибора и визирных целей от центров знаков и вводят соответствующие поправки (за центровку и редукцию) в результаты измерений.

        1. ^ Переменные систематические погрешности, зависящие от величины измеряемого объекта и внешних условий измерений

Рассмотрим примеры такого рода погрешностей. Если длина ленты или рулетки отклоняется от номинального значения на величину ?, то результат измерения линии будет отягощен систематической погрешностью

?к=n?, (3.2)

где n — число отложений мерного прибора вдоль измеряемой линии.

Для устранения этой погрешности необходимо ленту или рулетку перед началом работы прокомпарировать, определить величину ? и вводить во все результаты измерений поправки, определяемые выражением (3.2). Эта поправка имеет знак «+», если ?>0, и знак «-», если ?<0.

Другой пример. Компарирование ленты или рулетки осуществляется при определенной температуре t0. Реальные измерения производят при температуре t. Вследствие этого возникает систематическая погрешность, обусловленная изменением длины прибора,

?t=?(t0-t)D (3.3)

где ? — коэффициент линейного расширения материала, из которого изготовлен мерный прибор; ^ D — длина измеренной линии. Измерив температуру t, можно вычислить величину ?t и ввести в результат измерения поправку, равную – ?t.

        1. ^ Периодические систематические погрешности

Это инструментальные погрешности, обусловленные эксцентриситетом алидады горизонтального или вертикального круга теодолита. Они имеют периодический характер с периодом, равным 360є. Уравнение этой погрешности имеет вид

?э=е·sin(u-ue), (3.4)

где e — линейный элемент эксцентриситета; ue – отсчет по лимбу, соответствующий диаметру, совпадающему с элементом e; u – произвольный отсчет по лимбу. Эксцентриситет алидады поддается исследованию. По опытным данным составляется уравнение (3.4) и в случае необходимости в измеренные направления вводят соответствующие поправки.


^ 4. Односторонние действующие систематические погрешности

Такого рода погрешности имеют место:

вследствие случайных отклонений мерного прибора от створа линии при измерении длин линий мерной лентой или рулеткой;

вследствие случайных отклонений рейки от вертикального положения при геометрическом нивелировании.

Какими бы ни были величины и знак этих отклонений, в том и другом случае они неизбежно увеличивают длину измеряемой линии или отсчет по рейке. Определить величину такого рода погрешностей не представляется возможным. Для ослабления их влияния применяют более точные методы укладки мерного прибора в створе линии в первом случае или используют рейки, снабженные круглым уровнем, во втором.

Определенный эффект получают, если плавно покачивать рейку и брать минимальный отсчет.
^

3.3. Количественные критерии оценки точности ряда равноточных измерений одной величины


Итак, мы установили, что результаты геодезических измерений и их погрешности — случайные величины. Для суждения о надежности этих величин и возможном разбросе их значений используют количественные критерии, которые принято называть оценками.

В теории вероятностей и математической статистике используют два вида оценок: интервальные и точечные.

1.^ Интервальная оценка. О точности измерений судят по тому, как далеко могут уклониться при данных условиях измерений их результаты от истинного или действительного значения измеряемой величины. Пределы этого уклонения, принимая во внимание (2.1), можно записать в виде уравнения

P (a<

которое следует понимать так: вероятность того, что абсолютное значение погрешности ? заключено в интервале [a,b] равна Q, где Q ? достаточно высокая вероятность, например 0,90; 0,95; 0,99.

В геодезической практике интервальные оценки используют крайне редко, из-за того, что, как это следует из (2.2), погрешность ? является суммой двух составляющих, систематической и случайной, подчиняющихся (как это мы видели в 3.1, 3.2) разным законам распределения.

2. Точечная оценка. Точность ряда равноточных измерений характеризуется только одной величиной.

В геодезии, в частности в различных нормативных документах, регламентирующих точность отдельных видов геодезических работ, используют три вида точечных оценок. Рассмотрим каждую из них.

Исходя из свойства рассеивания случайных погрешностей, выраженного пределом (2.7), наилучшим точечным критерием мог бы быть стандарт ?. Но это только в теории, так как для получения величины ? необходимо реализовать бесконечный ряд измерений. На практике число измерений всегда ограничено, и значение ? остается неизвестным. Вот почему вместо стандарта ? в геодезии используют его приближенное значение, получившее название средней квадратической погрешности, которая вычисляется по формуле

m = . (3.6)

Если мы имеем конечный ряд погрешностей ?1, ?2, ?n, на сумму [?2] преобладающее влияние будут оказывать погрешности, большие по абсолютной величине. Следовательно, чем точнее выполнены измерения, тем меньшим как это видно из (3.6), будет значение m.

Далее на основании (2.7), (3.6) можем записать

. (3.7)

Из (3.7) следует, что оценка m в пределе стремится к стандарту ?. Оценки, обладающие таким свойством, называют состоятельными.

Далее из (3.6) следует, что если результаты измерений не содержат систематических погрешностей, то и величина m не будет смещена в сторону увеличения. Оценки, обладающие таким свойством, называют несмещенными.

Следовательно, средняя квадратическая погрешность m — состоятельная и несмещенная оценка стандарта ?.

Другой точечной оценкой является предельная погрешность, установленная в п.2.2 неравенством (2.3).

Предельная погрешность , как и стандарт ?, зависит только от условий измерений. Следовательно, между этими величинами должна существовать некоторая зависимость.

В теории вероятностей установлено, что, если случайные погрешности распределены по нормальному закону, выраженному формулой (3.1), то вероятность того, что

<2 ? = 0.9544

<3 ? = 0.9974.

Это значит, что абсолютная величина случайной погрешности может быть больше 2? лишь в 5 случаях из 100 возможных, а больше 3? только в 3 случаях из 1000 возможных.

Исходя из этих соображений, а также принимая во внимание, что вместо неизвестного стандарта используется средняя квадратическая погрешность, в геодезии принято в качестве предельной погрешности принимать величины

?пр=2? ? 2m (3.8)

при относительно небольшом количестве измеряемых величин или при особо ответственных измерениях. Во всех остальных случаях

?пр=3? ? 3m . (3.9)

Следовательно, если какой-либо результат измерений имеет погрешность, большую чем предельная, то такой результат содержит грубую погрешность и поэтому должен быть исключен из дальнейшей обработке и заменен новым, полученным из повторных измерений.

Иногда вместо средней квадратической погрешности используют еще одну точечную оценку среднюю погрешность, вычисляемую по формуле

?=. (3.10)

В теории вероятностей доказано, что между величинами m и ? существуют зависимости

? =0.7979 m,

m =1.2533 ?. (3.11)

Таким образом, все точечные оценки, так или иначе, связаны со средней квадратической погрешностью. В свою очередь, величина m является приближенным значением стандарта.

Правомерным будет вопрос, насколько и как скоро значение m, зависящее от числа измерений, приближается к ?. Исследуем это на частном примере из практики геодезических измерений.

В табл. 3.3 приведены значения m, вычисленные последовательно по первым пяти погрешностям ?i , затем по 10, 15… 60 погрешностям, т.е. каждый раз добавлялось по 5 погрешностей, полученных как разность между измеренным и действительным значением горизонтального угла Измерение выполнено теодолитом 2Т30М в условиях, которым соответствует ? = 30''.


Таблица 3.3

n

5

10

15

20

30

35

40

45

50

55

60

mсек

35

31

29

28

29

28

29

29

29

32

30


Как видим, при n>5 значение m достаточно быстро сходится к пределу (3.7). И все же m остается хотя и устойчивой, но тем не менее, случайной величиной, т.е. есть содержит некоторую погрешность. Поэтому можно поставить вопрос об оценке точности и надежности величины m. Такой оценкой будет средняя квадратическая погрешность mm самой средней квадратичеcкой погрешности m, которую вычисляют по приближенной формуле

mm=. (3.12)

Как следует из (3.12), mm – убывающая функция от n. О скорости этого убывания можно судить по данным табл.3.4 , где приведены значения относительной погрешности

, (3.13)

выраженные в процентах.


Таблица 3.4.

n

2

3

4

5

6

7

8

9

10

15

20

25

30

mm%

50

41

35

32

29

27

25

24

22

18

16

14

13


Таким образом, при малом числе измерений, как это бывает в большинстве случаев геодезической практики, средняя квадратическая погрешность имеет не более одной - двух значащих цифр.

В заключение рассмотрим пример оценки точности угловых измерений по невязкам треугольников, т.е. истинным погрешностям, для 31 треугольника триангуляции 1 класса, которые приведены в табл. 3.5.

Таблица 3.5.

№ тр.

Невязка ?

№ тр.

Невязка ?

№ тр.

Невязка ?

№ тр.

Невязка ?

1

-0.34

9

-1.99

17

-0.67

25

+1.21

2

+0.74

10

+0.88

18

-0.20

26

-0.11

3

-0.29

11

-0.66

19

+1.00

27

+1.89

4

+0.69

12

-0.40

20

-1.46

28

-1.37

5

+0.90

13

+0.08

21

-0.35

29

+0.90

6

-1.99

14

+0.82

22

-1.44

30

+0.23

7

+2.53

15

-1.18

23

+1.76

31

-0.70

8

-1,97

16

+2.15

24

+0.47







1. Среднее квадратическое значение невязки

m=.

2. Средняя квадратическая погрешность величины m

mm= или 12%.

3. Средняя невязка

или v= 0.79m = 0.95''.

4. Предельная невязка ?пр=2m=2.4''.


Проверим некоторые свойства случайных погрешностей:

  1. свойство ограниченности. Наибольшая по абсолютному значению невязка, равная 2.53'', только в одном случае из 31 больше 2m;

  2. с
    войство компенсации. Среднее значение невязки



оказывается очень малой величиной.
1   2   3   4   5   6   7   8   9

Схожі:

Городского хозяйства теория математической обработки геодезических измерений часть Теория погрешностей измерений iconГеодезических измерений
Теория математической обработки геодезических измерений. Часть 2 Способ наименьших квадратов. Учебно-методическое пособие (для студентов...
Городского хозяйства теория математической обработки геодезических измерений часть Теория погрешностей измерений iconНовая стратегия измерений
Ключевые слова: метрология, стратегия, прямые и избыточные измерения, интеллектуальные методы измерений
Городского хозяйства теория математической обработки геодезических измерений часть Теория погрешностей измерений iconВ. В. Теория игр и модели математической экономики. М.: Макс пресс, 2005 г. 272 с. Воробьев Н. Н. Теория игр лекции
Васин А. А., Морозов В. В. Теория игр и модели математической экономики. М.: Макс пресс, 2005 г. 272 с
Городского хозяйства теория математической обработки геодезических измерений часть Теория погрешностей измерений iconГост р исо 5725-3-2002 государственный стандарт российской федерации точность (правильность и прецизионность) методов и результатов измерений часть 3 Промежуточные показатели прецизионности стандартного метода измерений госстандарт россии москва
Госстандарта России (вниимс), Всероссийским научно-исследовательским институтом стандартизации (вниистандарт), Всероссийским научно-исследовательским...
Городского хозяйства теория математической обработки геодезических измерений часть Теория погрешностей измерений iconГост р исо 5725-4-2002 государственный стандарт российской федерации точность (правильность и прецизионность) методов и результатов измерений часть 4 Основные методы определения правильности стандартного метода измерений госстандарт россии москва
Госстандарта России (вниимс), Всероссийским научно-исследовательским институтом стандартизации (вниистандарт), Всероссийским научно-исследовательским...
Городского хозяйства теория математической обработки геодезических измерений часть Теория погрешностей измерений iconГост р исо 5725-5-2002 государственный стандарт российской федерации точность (правильность и прецизионность) методов и результатов измерений часть 5 Альтернативные методы определения прецизионности стандартного метода измерений госстандарт россии москва
Госстандарта России (вниимс), Всероссийским научно-исследовательским институтом стандартизации (вниистандарт), Всероссийским научно-исследовательским...
Городского хозяйства теория математической обработки геодезических измерений часть Теория погрешностей измерений iconМетодология преподАвания основ измерений в нанотехнологиях Постановка проблемы
Удачно выбранная система отсчета, тип координат и единицы измерений играют важную роль не только в получении и осмыслении научных...
Городского хозяйства теория математической обработки геодезических измерений часть Теория погрешностей измерений iconКонтрольные вопросы по дисциплине «Экономическая теория» для специальности «Судовождение»
Экономическая теория и политическая экономия: проблемы взаимосвязи. Позитивы и нормативная экономическая теория
Городского хозяйства теория математической обработки геодезических измерений часть Теория погрешностей измерений iconКонтрольные вопросы по дисциплине «Экономическая теория»
Экономическая теория и политическая экономия: проблемы взаимосвязи. Позитивы и нормативная экономическая теория
Городского хозяйства теория математической обработки геодезических измерений часть Теория погрешностей измерений iconПравила выполнения измерений элементы заводского изготовления гост 26433. 1-89 государственный строительный комитет СССР москва государственный стандарт союза сср
Настоящий стандарт устанавливает правила выполнения измерений линейных и угловых размеров, отклонений формы и взаимного положения...
Додайте кнопку на своєму сайті:
Документи


База даних захищена авторським правом ©zavantag.com 2000-2013
При копіюванні матеріалу обов'язкове зазначення активного посилання відкритою для індексації.
звернутися до адміністрації
Документи