Городского хозяйства теория математической обработки геодезических измерений часть Теория погрешностей измерений icon

Городского хозяйства теория математической обработки геодезических измерений часть Теория погрешностей измерений




НазваГородского хозяйства теория математической обработки геодезических измерений часть Теория погрешностей измерений
Сторінка5/9
Дата23.06.2012
Розмір0.91 Mb.
ТипДокументи
1   2   3   4   5   6   7   8   9
^

4. Оценка точности функций непосредственно измеренных величин

4.1. Основная теорема теории погрешностей


В геодезической практике мы, как правило, имеем дело не с непосредственно измеренными величинами, а с их функциями, т.е. косвенными измерениями.

Так, уклон линии определяют как отношение непосредственно измеренных превышения и длины линии. Длину линии, недоступной для непосредственного измерения, находят из решения треугольника, где непосредственно измерены базисная сторона и горизонтальные углы. Площадь земельного участка прямоугольной формы вычисляют как произведение непосредственно измеренных длины и ширины участка. Перечень подобных примеров можно продолжить. Отсюда возникает задача оценки точности функции измеренных величин по известным стандартам ? или средним квадратическим погрешностям m непосредственно измеренных аргументов. Для решения этой задачи докажем теорему:

^ Если дана непрерывная дифференцируемая по всем аргументам функция

y=f(x1, x2 … xt), (4.1)

аргументы которой x1, x2 … xt - независимые результаты непосредственных измерений некоторых величин x1,x2 … xt выполненных в условиях, характеризуемых стандартами, ?1, ?2 … ?t, то стандарт данной функции будет равен


, (4.2)


где - частные производные функции (4.1) по переменным x1, x2 … xt.

Доказательство. Как известно полный дифференциал функции (4.1) равен


. (4.3)

Предположим, что величины x1, x2 … xt измерены n раз. При этом результаты измерений содержат случайные погрешности






.................




Тогда полагая, что погрешности ?i по сравнению с xi – малые величины, на основании (4.3) можно записать


,

, (4.4)

………………………………………

.


Возведем левые и правые части (4.4) в квадрат, полученные равенства сложим и разделим почленно на n:






… … … … … … .. … …. …. … …. …. (4.5)



___________________________________________________________



Предполагая, что n? 0 , найдем пределы левой и правой части (4.5)

На основании свойства независимости (2.6) имеем:

(4.6)


Далее, на основании свойства рассеивания (2.7) можем записать:


, (i = 1,2…t). (4.7)

Подставляя (4.6) и (4.7) в (4.5) и извлекая квадратный корень из левой и правой части этого выражения, получим (4.2). Теорема доказана.

^

4.2. Применение основной теоремы для расчета предельно допустимых невязок


1. Расчет допустимой угловой невязки теодолитного хода


Будем полагать, что все углы теодолитного хода измерены равноточно техническим теодолитом в условиях, характеризуемых стандартом ??=30".

Как известно, угловая невязка вычисляется по формуле:

, (4.8)

где ?1, ?2, … ?n — независимые переменные величины, — для данного хода - величина постоянная.

Находим частные производные (4.8) по переменным ?i:

. (4.9)

Подставляем (4.9) в (4.2). Так как измерения равноточные, ?? можно вынести из под корня. В результате получим

.

Для расчета предельной невязки воспользуемся выражением (3.8):

(4.10)

Таким образом, мы получили известную из геодезии формулу предельно допустимой угловой невязки.


^ 2. Расчет допустимой невязки нивелирного хода


Предположим, нивелирный ход длиной L км проложен в равнинной местности, где на каждый километр хода приходится примерно одно и то же число станций при среднем расстоянии между рейками на одной станции . Следовательно, число всех станций в ходе будет близким к величине

. (4.11)

Измерения на станциях выполнены равноточно в условиях, характеризуемых стандартом ?ст.

Невязку нивелирного хода подсчитывают по формуле

, (4.12)

где, как и в (4.8), h1, h2, … hn — независимые переменные, — постоянная величина.

Находим частные производные функции (4.12) по переменным hi:

. (4.13)

Подставляем (4.13) в (4.2), выносим ?ст. из-под корня. В результате имеем


. (4.14)


Для расчета предельной невязки воспользуемся (3.9). Тогда с учетом (4.11) будем иметь

. (4.15)

Величины ?ст. для каждого класса нивелирования установлены нормативными документами, т.е. являются постоянными.

Введем обозначение



и подставим его в (4.15), получим известную из геодезии формулу

, (4.16)

где ? - коэффициент, зависящий от класса нивелирования. Для IV класса ?=20мм, для технического нивелирования ?=50мм.

^

4.3. Апостериорная оценка точности функций измеренных величин


На практике при апостериорной оценке точности функций измеренных величин неизвестные стандарты в (4.1) заменяют средними квадратическими погрешностями. Тогда

(4.17)

Расчеты выполняют в такой последовательности:

  1. функцию (4.1) записывают в явном виде;

  2. находят частные производные этой функции по всем независимым переменным;

  3. подставляем частные производные и средние квадратические погрешности в (4.17);

  4. выполняют необходимые математические преобразования и получают окончательный результат.

Рассмотрим это на конкретных примерах.

Пример 1. Найти среднюю квадратическую погрешность уклона линии АВ, если hАВ =12.6 м; mh=0.1 м; dAB=468 м; md=0.5 м.

Уклон линии .

Частные производные от i по переменным h и d:

; .

Делаем подставку в (4.17):

.

Второе слагаемое в подкоренной сумме на два порядка меньше первого, поэтому без ущерба для точности может быть отброшено. Тогда можно принять




Пример 2. На топографической карте измерены прямоугольные координаты x,y точек 1 и 2. Средние квадратические погрешности определения координат

По координатам вычислены длина d и дирекционный угол ? линии 1-2.

Необходимо определить средние квадратические погрешности md и m?.

Длину линии можно вычислить по формуле

.

Частные производные от d по переменным x1, x2, y1, y2 будут


,



,

.

Делаем подстановку в (4.17) и, так как измерения равноточные, выносим m из-под корня:



Дирекционный угол может быть вычислен по формуле

.

Для удобства дальнейшего решения функцию целесообразно сначала прологарифмировать:

.

Поскольку функция задана в неявном виде, вычисляем производную левой части этого уравнения:

.

Находим частные производные от ? по переменным x1, x2, y1, y2


,

,

,

.

Подставляем полученное значение в (4.17). Так как измерения равноточные, m выносим из-под корня. Из-под корня также выносим общий знаменатель d. Кроме того, для перехода от радианной меры к градусной необходимо умножить правую часть на величину ?=3438 (число минут в радиане):

.

Таким образом, погрешность дирекционного угла, вычисленного по координатам, обратно пропорционально длине линии.


Пример 3. Измерены длина a=59.85 и ширина b=20.10 земельного участка прямоугольной формы со средней квадратической относительной погрешностью 1:2000. Необходимо найти площадь участка и среднюю квадратическую относительную погрешность определения площади.

Площадь участка равна

F=ab=1203 м2

Прологарифмируем это выражение



и найдем полный дифференциал функции



Заменив в полученном выражении дифференциалы средними квадратическими погрешностями, на основании (4.17) получим

.

Но по условию задачи



Подставим эти значения, найдем

.

От относительной погрешности при необходимости можно перейти к абсолютной

.


В заключение рассмотрим вопрос о надежности апостериорной оценки точности по формуле (4.17), имея в виду, что входящие в нее средние квадратические погрешности m1, m2…mn — величины приближенные, полученные из небольшого числа измерений. Точная оценка надежности (4.17) представляет определенные трудности. Для приближенной оценки воспользуемся выражением (4.17), взяв в качестве независимых переменных среднее квадратические погрешности mi.

Дифференцируем (4.17 ) по переменным mi. И подставляем найденные значения в (4.17). В результате получим

. (4.18)


Однако согласно (3.12)



Подставляем это значение в (4.18), и получим зависимость величины от числа измерений:

. (4.19)

1   2   3   4   5   6   7   8   9

Схожі:

Городского хозяйства теория математической обработки геодезических измерений часть Теория погрешностей измерений iconГеодезических измерений
Теория математической обработки геодезических измерений. Часть 2 Способ наименьших квадратов. Учебно-методическое пособие (для студентов...
Городского хозяйства теория математической обработки геодезических измерений часть Теория погрешностей измерений iconНовая стратегия измерений
Ключевые слова: метрология, стратегия, прямые и избыточные измерения, интеллектуальные методы измерений
Городского хозяйства теория математической обработки геодезических измерений часть Теория погрешностей измерений iconВ. В. Теория игр и модели математической экономики. М.: Макс пресс, 2005 г. 272 с. Воробьев Н. Н. Теория игр лекции
Васин А. А., Морозов В. В. Теория игр и модели математической экономики. М.: Макс пресс, 2005 г. 272 с
Городского хозяйства теория математической обработки геодезических измерений часть Теория погрешностей измерений iconГост р исо 5725-3-2002 государственный стандарт российской федерации точность (правильность и прецизионность) методов и результатов измерений часть 3 Промежуточные показатели прецизионности стандартного метода измерений госстандарт россии москва
Госстандарта России (вниимс), Всероссийским научно-исследовательским институтом стандартизации (вниистандарт), Всероссийским научно-исследовательским...
Городского хозяйства теория математической обработки геодезических измерений часть Теория погрешностей измерений iconГост р исо 5725-4-2002 государственный стандарт российской федерации точность (правильность и прецизионность) методов и результатов измерений часть 4 Основные методы определения правильности стандартного метода измерений госстандарт россии москва
Госстандарта России (вниимс), Всероссийским научно-исследовательским институтом стандартизации (вниистандарт), Всероссийским научно-исследовательским...
Городского хозяйства теория математической обработки геодезических измерений часть Теория погрешностей измерений iconГост р исо 5725-5-2002 государственный стандарт российской федерации точность (правильность и прецизионность) методов и результатов измерений часть 5 Альтернативные методы определения прецизионности стандартного метода измерений госстандарт россии москва
Госстандарта России (вниимс), Всероссийским научно-исследовательским институтом стандартизации (вниистандарт), Всероссийским научно-исследовательским...
Городского хозяйства теория математической обработки геодезических измерений часть Теория погрешностей измерений iconМетодология преподАвания основ измерений в нанотехнологиях Постановка проблемы
Удачно выбранная система отсчета, тип координат и единицы измерений играют важную роль не только в получении и осмыслении научных...
Городского хозяйства теория математической обработки геодезических измерений часть Теория погрешностей измерений iconКонтрольные вопросы по дисциплине «Экономическая теория» для специальности «Судовождение»
Экономическая теория и политическая экономия: проблемы взаимосвязи. Позитивы и нормативная экономическая теория
Городского хозяйства теория математической обработки геодезических измерений часть Теория погрешностей измерений iconКонтрольные вопросы по дисциплине «Экономическая теория»
Экономическая теория и политическая экономия: проблемы взаимосвязи. Позитивы и нормативная экономическая теория
Городского хозяйства теория математической обработки геодезических измерений часть Теория погрешностей измерений iconПравила выполнения измерений элементы заводского изготовления гост 26433. 1-89 государственный строительный комитет СССР москва государственный стандарт союза сср
Настоящий стандарт устанавливает правила выполнения измерений линейных и угловых размеров, отклонений формы и взаимного положения...
Додайте кнопку на своєму сайті:
Документи


База даних захищена авторським правом ©zavantag.com 2000-2013
При копіюванні матеріалу обов'язкове зазначення активного посилання відкритою для індексації.
звернутися до адміністрації
Документи