Теоретична механіка icon

Теоретична механіка




НазваТеоретична механіка
Сторінка5/32
Дата23.06.2012
Розмір1.21 Mb.
ТипДокументи
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   32

Рис. 3.1


.

Одержаний таким чином многокутник має назву многокутника сил, або силового многокутника, замикальна сторона якого виявляється рівнодійною силою системи.

Таким чином, теорему доведено.

Доведена теорема дозволяє розв’язувати задачу приведення систем збіжних сил до рівнодійної сили графічно (нею зручно користуватись у разі плоскої довільної системи сил).

Рівнодійну можна визначити також аналітично за її проекціями на осі прямокутної системи координат методами векторної алгебри. У даному випадку рівнодійну представляють так:

, (3.1)

де ; ; ; - проекції сил системи на відповідні осі координат; - координатні складові рівнодійної.

Величина (модуль) і напрямні косинуси рівнодійної сили визначають, враховуючи (3.1), за наступними формулами:

; (3.2)

; ; .

Визначивши проекції або величину і напрямні косинуси рівнодійної, можна побудувати і сам вектор у заданій системі координат для подальшого розв’язання задачі рівноваги тіла.

Розглянемо, наприклад, задану в площині хОу (рис. 3.2,а) систему двох збіжних сил Н, Н. Визначимо рівнодійну системи методом


а б

Рис. 3.2



додавання векторів початкових сил за правилом паралелограма, а також методом додавання координатних складових рівнодійної за правилом прямокутника (плоска система сил) або паралелепіпеда (просторова система) чи за правилом “модуль-кут”.

У першому випадку будуємо на силах , як на сторонах, паралелограм (рис. 3.2,а), діагональ якого буде шуканою рівнодійною . Величину (модуль) рівнодійної визначаємо за теоремою косинусів:

(Н).

У другому випадку отримаємо: проекції рівнодійної

(Н),

(Н),

координатні складові рівнодійної:

.

Вектори і будуємо на рис. 3.2,б. Склавши їх за правилом прямокутника, отримаємо шукану рівнодійну .

За правилом “модуль-кут” визначаємо величину рівнодійної

(Н), її напрямний косинус

і кут . Будуємо в площині хОу лінію дії а-а рівнодійної (рис. 3.2,б), враховуючи визначений кут між нею і віссю Ох. Далі на лінії дії а-а будуємо вектор рівнодійної, який починається в полюсі О системи координат і має величину (довжину) (Н).

^ 3.2. Умови рівноваги системи збіжних сил


Відповідно до теореми про рівнодійну будь-яка система збіжних сил зводиться до прикладеної у точці О збігу сили , рівної геометричній сумі сил системи. За правилом многокутника сила складає його замикальну сторону.

Під дією лише однієї сили, згідно з аксіомою 1 статики про двійку сил, тіло перебуватиме в рівновазі. Умови його рівноваги формулюються так: для рівноваги системи збіжних сил необхідно і достатньо1, щоб рівнодійна сила дорівнювала нулю:

. (3.3)

Це геометрична (векторна) умова рівноваги.

Необхідність умови (3.3) очевидна, бо якщо вона не виконується, то тіло знаходиться під дією рівнодійної сили й не перебуватиме у рівновазі. Достатність цієї умови доведемо так. Якщо рівнодійна системи діючих на тіло сил дорівнює нулю, то за визначенням вона є зрівноваженою (еквівалентною нулю), а тіло під дією такої системи знаходиться у стані спокою безумовно.

Слід зазначити, що з умови = 0 випливає замкненість многокутника сил: кінець останньої сили повинен збігатися з початком першої (точкою О на рис. 3.1,в).

Векторна рівність (3.3) перетворюється, з урахуванням формули (3.1), у аналітичну (алгебраїчну) форму рівноваги просторової системи збіжних сил:

(3.4)

Аналітична форма рівноваги формулюється наступним чином: для рівноваги просторової системи збіжних сил необхідно і достатньо, щоб суми проекцій цих сил на кожну з трьох координатних осей дорівнювали нулю.

Якщо система збіжних сил є плоскою, то з трьох умов рівноваги (3.4) залишаються лише дві, наприклад,

; . (3.5)

Отримані умови рівноваги у випадку, коли деякі сили в рівностях (3.4), (3.5) є реакціями в’язей, перетворюються в рівняння відносно цих реакцій. При цьому кількість невідомих реакцій в’язів, якщо задача статично визначена, не повинно перевищувати числа рівнянь.


^ 3.3. Теорема про три непаралельні сили


Теорему про рівновагу трьох непаралельних сил застосовують в тих випадках, коли треба знайти дві невідомі сили (реакції в’язів), які зрівноважують третю відому силу (наприклад, силу ваги тіла), якщо відомо точку прикладання однієї з невідомих сил і лінію дії іншої.

Теорема. Якщо тіло перебуває в рівновазі під дією трьох непаралельних сил, з яких принаймні дві лежать в одній площині, то лінії дії всіх трьох сил перетинаються в одній точці, а вектори сил утворюють замкнений трикутник.





С

Рис. 3.3

Доведення. Нехай тіло перебуває в рівновазі під дією трьох непаралельних сил з яких і лежать в одній площині (рис. 3.3). Продовжимо лінії дії сил , і знайдемо їх точку перетину О. Перенесемо сили і вздовж їх ліній дії в точку О і знайдемо

їх рівнодійну . Замінивши сили і їх рівнодійною ,

одержимо, що дане тіло перебуває в рівновазі під дією тільки двох сил і .

Це можливо, враховуючи аксіому 1 про дві сили, тільки якщо сили і мають спільну лінію дії, тобто коли лінія дії сили проходить через точку О. Теорему доведено.

Зауважимо, що доведена теорема визначає необхідну, але не достатню умову рівноваги тіла під дією трьох сил. Дійсно, тіло під дією трьох сил, лінії дії яких перетинаються в одній точці, може і не перебувати в рівновазі, а здійснювати поступальний рівномірний рух, відповідно до першого закону Ньютона.

Застосувавши до заданої системи трьох сил геометричну умову рівноваги, дістаємо також, що трикутник сил буде замкнений: кінець третьої сили буде збігатися з початком першої сили .

Приклад. Розглянемо, наприклад, зображену на рис. 3.4,а механічну схему, що складається з бруса вагою Р, який спирається кінцем на прямокутний виступ Д і закріплений в точці А з підлогою через нерухому шарнірну опору. Визначимо реакції опор, якщо .




б


а Рис. 3.4

Розв’язання. Лінії дії сили ваги і реакції в’язі у точці D відомі. Через точку О їх перетину, відповідно до теореми про три сили, повинна проходити невідома лінія дії реакції . Будуємо її на схемі. З урахуванням визначених ліній дій реакції , і відомої сили будуємо замкнений силовий трикутник (рис. 3.4,б) , який подібний трикутнику на рис. 3.4,а. Силовий трикутник дозволяє визначити не тільки напрями реакцій , , але і їх величини. Для цього треба використати умови пропорційності сторін подібних трикутників , а також теорему косинусів .


4. момент сили відносно точки та осі.

складання паралельних сил.

пара сил, теореми про пари


^ 4.1. Момент сили відносно точки


Силовий фактор, під дією якого тіло може здійснювати обертальний рух, називається моментом сили відносно точки (полюса). Це фізичне поняття.

З математичної точки зору момент сили відносно точки О (рис. 4.1) визначається вектором , який дорівнює векторному добутку радіуса-вектора точки А прикладання сили на її вектор :


z
. (4.1)




Рис. 4.1

Отже, враховуючи поняття і визначення векторної алгебри, отримаємо наступні властивості моменту сили відносно точки:

- момент сили відносно точки ^ О є зв’язаним у точці вектором, який напрямлений перпендикулярно до площини S, що проходить через точку О і лінію дії а-а сили , у той бік, звідки обертання тіла під дією сили навколо точки видно проти ходу стрілки годинника;

- в координатній формі момент сили обчислюється так:

(4.2)

де ; ; M0х; M0y; M0z – проекції моменту сили відносно точки О на осі системи координат (рис. 4.1);

- основною одиницею вимірювання моменту сили відносно точки є 1 Нм;

- за величиною момент сили дорівнює модулю вектора :

,

або , (4.3)

де - плече сили відносно точки О, тобто довжина перпендикуляра, який опущено (рис. 4.1) з точки О на лінію дії а-а сили ;

- відповідно до формули (4.3) момент сили відносно полюса дорівнює нулю, якщо лінія дії сили проходить через даний полюс (при цьому плече сили );

- момент сили відносно точки умовимося вважати додатним (вектор моменту сили на рис. 4.2,а спрямуємо перпендикулярно до горизонтальної площини S вертикально догори) у випадку, якщо сила намагається викликати обертання тіла (або плеча h навколо точки) проти ходу стрілки годинника, і від’ємним – навпаки (рис. 4.2,б).








а) б)

Рис. 4.2


^ 4.2. Момент сили відносно осі


Момент сили відносно осі характеризує обертальну дію сили навколо даної осі. Ним називається проекція на цю вісь вектора моменту сили відносно точки О, що лежить на цій осі (рис. 4.1).

Відповідно до схеми на рис. 4.1 і виразу (4.2) моменти сили відносно координатних осей і Oz будуть визначитися так:

; ;

або ; ; .

На практиці момент сили відносно осі звичайно визначають за наступними правилом:

- проводять площину S, перпендикулярну до осі , і знаходять точку О перетину осі з площиною (рис. 4.3);

- проектують задану силу на зазначену площину, отримуючи силу ;

- обчислюють момент сили відносно точки О перетину площини S з віссю , враховуючи наведені в розд. 4.2 його властивості: ;

- момент заданої сили відносно осі Оz визначають за формулою

.




Рис. 4.3


На рис. 4.3 момент - координатна складова вектора моменту сили відносно точки О, який згідно з (4.2) дорівнює: .

Момент сили відносно осі дорівнює нулю, якщо:

- сила паралельна осі (в цьому випадку проекція сили на площину S дорівнює нулю: );

- лінія дії сили перетинає вісь (при цьому плече ).

^ 4.3. Алгебраїчний момент сили відносно точки


При розв’язанні задач статики у площині при складанні рівнянь моментів використовують поняття алгебраїчного моменту сили відносно точки.

^ Алгебраїчним моментом сили відносно точки називається взятий з відповідним знаком добуток плеча на модуль сили. Береться знак “+”, якщо сила намагається повернути плече проти ходу стрілки годинника.

Таким чином, для визначення алгебраїчного моменту сили відносно точки треба виконати такі дії (рис. 4.4,а,б):

1) провести лінію дії сили;

2) з вибраної точки опустити перпендикуляр до лінії дії сили (довжина перпендикуляра h – плече сили);

3) скласти добуток плеча на модуль сили;

4) взяти знак “+”, якщо сила намагається повернути плече відносно вибраної точки проти ходу стрілки годинника (рис. 4.4,а) і знак “-“ – за ходом стрілки годинника (рис. 4.4,б).







а





б





в

Рис. 4.4


Окремий випадок (рис. 4.4,в): алгебраїчний момент сили відносно точки дорівнює нулю, якщо лінія дії сили проходить через цю точку (тут плече ).

Зрівнюючи правила визначення алгебраїчного моменту сили відносно точки і моменту сили відносно осі, робимо висновок, що алгебричний момент сили відносно точки є не чим іншим, як моментом сили відносно осі, яка проходить через точку перпендикулярно до площини рисунка і напрямлена до спостерігача.


^ 4.4. Складання паралельних сил


Прикладами паралельних сил є сили ваги вузлів машини, трамваю (рис. 4.5,а), реакції поверхні шляху на коток (рис. 4.5,б) та ін.





а





б

Рис. 4.5


4.4.1. Складання двох сил, напрямлених в один бік

Розглянемо тверде тіло, на яке в точках А і В діють дві паралельні сили і (рис. 4.6). Приведемо вихідну систему паралельних сил до еквівалентної системи збіжних сил і . для цього прикладемо в точках А і В дві зрівноважені, довільні за величиною сили і = -) і складемо їх за правилом паралелограма. Одержані сили і перенесемо до точки О перетину їх ліній дії. Після цього кожну з сил і розкладемо на дві складові, кожна з яких дорівнює аналогічним складовим сил і у точках А і В. За побудовою і визначенням отримані складові сили і складуть двійку сил, тому їх можна відкинути (закреслено на рис. 4.6). Залишені сили і , за побудовою, будуть мати загальну лінію дії. Тому перенесемо їх у точку С перетину зазначеної лінії дії з відрізком АВ. У точці С їх складемо і замінемо рівнодійною:

.

Для визначення положення точки С на відрізку АВ розглянемо трикутники ОАС, Oak, OВС, Obm. Вони подібні за побудовою, тому будуть виконуватись наступні пропорційні співвідношення їх сторін:

(4.4)


P1 O P2


Q1 Q2

F1

а k F2


m b


C B P2 = - P1


R F2 Q2


1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   32

Схожі:

Теоретична механіка iconТеоретична механіка
Теоретична механіка: (Навчально-методичний посібник І завдання для контрольних робіт студентів факультету післядипломної освіти І...
Теоретична механіка iconМіністерство освіти І науки україни харківська національна академія міського господарства о.І. Рубаненко, В. П. Шпачук теоретична механіка. Спецкурс
Теоретична механіка. Спецкурс: Конспект лекцій (для студентів денної І заочної форм навчання бакалаврів за напрямом 060101 “Будівництво”)....
Теоретична механіка iconТеоретична механіка
На її законах базуються такі загально інженерні дисципліни, як опір матеріалів, будівельна механіка, прикладна механіка, деталі машин,...
Теоретична механіка iconТеоретична механіка

Теоретична механіка iconТа робоча програма навчальної дисципліни "теоретична механіка (спецкурс)"
На механіка (спецкурс)" (для слухачів другої вищої освіти заочної форми навчання за напрямом підготовки 0921– Будівництво спеціальності...
Теоретична механіка icon«теоретична механіка»
«Гідротехніка (водні ресурси)», 070101 «Транспортні технології (за видами транспорту)»)
Теоретична механіка iconВ. П. Шпачук, М. С. Золотов, О.І. Рубаненко, А. О. Гарбуз, В. О. Скляров теоретична механіка кінематика
Конспект лекцій для студентів денної І заочної форм навчання бакалаврів за напрямами 092100 “Будівництво”
Теоретична механіка iconТип модуля: обов’язковий Семестр: ІV обсяг модуля
Автомобілі”, “Вступ до фаху”, “Теорія машин І механізмів”, «Опір матеріалів», “Основи теплотехніки”, “Теоретична механіка”
Теоретична механіка iconНових надходжень до бібліотеки квітень
Федорченко, А. М. Теоретична фізика [Текст] : Підручник т. 1 : Класична механіка І електородинаміка / А. М. Федорченко. – У 2-х т....
Теоретична механіка iconМіністерство освіти І науки україни харківська національна академія міського господарства теоретична механіка статика
Конспект лекцій для студентів 1і 2 курсу денної І заочної форм навчання бакалаврів за напрямами 060101 “Будівництво”
Додайте кнопку на своєму сайті:
Документи


База даних захищена авторським правом ©zavantag.com 2000-2013
При копіюванні матеріалу обов'язкове зазначення активного посилання відкритою для індексації.
звернутися до адміністрації
Документи