Міністерство освіти І науки України icon

Міністерство освіти І науки України




Скачати 267.59 Kb.
НазваМіністерство освіти І науки України
Сторінка1/3
Дата23.06.2012
Розмір267.59 Kb.
ТипДокументи
  1   2   3

Міністерство освіти і науки України


Харківська національна академія міського господарства


Методичні вказівки

до контрольної роботи

з дисципліни “Математичні задачі електроенергетики”

(для студентів 3 курсу заочної форми навчання

спец. 7.09.06.03 “Електротехнічні системи електроспоживання”)



Харків - ХНАМГ - 2005



Методичні вказівки до контрольної роботи з дисципліни “Математичні задачі електроенергетики” (для студентів 3 курсу заочної форми навчання із спец. 7.09.06.03 “Електротехнічні системи електроспоживання”). Укл. П.П. Рожков, С.Е. Рожкова. – Харків: ХНАМГ,2005. – 37 с.

^


Укладачі: П.П. Рожков,


С.Е. Рожкова


Рецензент: І.Г. Абраменко


Рекомендовано кафедрою електропостачання міст,

протокол № 2 від 07.10.2005 р.





Характерною рисою курсу «Математичні задачі електроенергетики» є широке різноманіття розділів математики, окремі частини якої використовуються для вирішення задач електроенергетики. Серед розділів у першу чергу слід назвати наступні: лінійна алгебра; теорія графів; диференціальні рівняння; операторні перетворення; теорія оптимізації; чисельні методи. У зв’язку з тим, що в курсі «Вища математика» ці розділи викладаються в скороченому обсязі або зовсім не викладаються був введений курс «Математичні задачі електроенергетики».Теоретичні відомості і приклади з вказаних розділів математики наведені в цих методичних вказівках.

Одним з основних видів занять студентів заочної форми навчання з курсу «Математичні задачі електроенергетики» є виконання контрольної роботи. Метою її є перевірка засвоєння студентами відповідних розділів курсу.

Приступати до виконання роботи слід після вивчення необхідного матеріалу за рекомендованою літературою. При оформленні задачі треба наводити вихідну схему з прийнятими позначеннями та числовими значеннями вихідних даних відповідно до варіанта. Рисунки, схеми й графіки мають бути виконані акуратно, бажано за допомогою комп'ютера.

При оформленні контрольної роботи треба вказати необхідні розрахункові формули. Кожний етап вирішення задачі повинен мати пояснення. Результати обчислення необхідно подати в зручному для читання форматі. У ході вирішення треба давати короткі текстові пояснення, обов'язково наводити розмірність усіх знайдених при розрахунку значень. На титульному аркуші контрольної роботи слід указати назву академії та факультету, прізвище, ініціали та шифр – номер залікової книжки студента. У кінці роботи необхідно навести список використаної літератури.

Контрольна робота розрахована на 50 варіантів. Варіант визначається двома останніми цифрами шифру студента. Якщо дві останні цифри більші за 50, то для визначення номера варіанта треба відняти 50. Якщо передостання цифра шифру – нуль, то студент виконує варіант, який визначається останньою цифрою свого шифру.





Завдання

Для електричного кола, схема якого зображена на рис. 1-50 додатку А, за даними табл.1 визначити струми в гілках лінійного електричного кола постійного струму за матричним методом контурних струмів і скласти баланс потужностей. Для цього потрібно:

  • побудувати граф електричної схеми, що розглядається, і позначити на ньому головні контури, за якими складається матриця головних контурів, та хорди;

  • скласти топологічну матрицю інциденцій та вузлову матрицю;

  • скласти топологічну матрицю головних контурів.



Вказівки ДО виконання контрольного завдання
^
Теоретичні відомості




1. Елементи лінійної алгебри

Поняття матриці

Матрицею A розміром mn чи просто (mn) – матрицею називається таблиця, що містить m рядків і n стовпчиків, елементами якої є речовинні чи натуральні числа, що має вигляд:


.


Якщо m=n, то матриця називається квадратною; при m=1 матриця перетворюється у вектор-рядок:


,


а при n=1 матриця - у вектор стовпець


,


які, таким чином, є окремими випадками матриць.

Дві матриці A=[aij] і B=[bij] рівні одна одній (A=B) у тому і тільки в тому випадку, якщо вони мають той самий розмір і aij=bij для усіх i,j


^ 1.1 Операції над матрицями

Множення матриці на число

Для того, щоб помножити матрицю на число, необхідно всі її елементи помножити на це число:


.


^ Сума матриць

При додаванні двох матриць однакового розміру вийде нова матриця того ж розміру, елементи якої дорівнюють сумі елементів матриць, що складаються:


.


З цього випливає, що


.


^ Добуток матриць

Для того, щоб помножити матрицю a розміром nr на матрицю B розміром rm, необхідно перемножити елементи i-го рядка матриці A на елементи j-го стовпця матриці B відповідно і скласти ці добутки. Результат відповідатиме значенню елемента Cij матриці C:


,

.


Можливість виконання операції множення існує, коли матриці погоджені між собою в тому відношенні, що число стовпців матриці A повинне дорівнювати числу рядків матриці В. Для квадратної матриці АВ=ВА.

Для добутку матриць залишаються в силі наступні алгебраїчні закони:


^ (A+B)C = AC+BC,

C(A+B) = CA+CB,

(AB)C = A(BC).


Транспонування матриць

Нехай A=[aij] - матриця розміром mn. Матриця розміром nm, рядки якої є стовпцями матриці A, а стовпці – рядками матриці A, називається транспонованою до матриці A:


.


Для транспонованих матриць справедливі співвідношення


,

.


1.2 Особливості квадратних матриць

Квадратна матриця [aik] порядку n називається:

  • верхньою трикутною матрицею, якщо aik=0 для всіх i>k:

  • нижньою трикутною матрицею, якщо aik=0 для всіх i

  • діагональною матрицею, якщо aik=0 для всіх i=k;

  • одиничною матрицею , якщо ;

- нульовою матрицею, якщо все її елементи рівні 0.

Елементи aii, тобто елементи, розміщені в таблиці на діагоналі квадрата, що проходить з лівого верхнього кута в правий нижній, - на головній діагоналі матриці, називаються головними діагональними елементами чи просто діагональними елементами.


^ Визначник квадратної матриці

Визначником квадратної матриці A=[aik] називається визначник, складений з елементів aik цієї матриці і що позначається det A

Визначник det A має наступні властивості:

  1. при множенні на будь-якого стовпця матриці A визначник det A збільшується у разів;

  2. зміна місцями двох сусідніх стовпців змінює знак det A на протилежний;

  3. якщо будь-які два стовпці матриці A рівні між собою, то det A = 0;

  4. додавання до будь-якого стовпця матриці A будь-якого іншого стовпця, помноженого на довільний скалярний множник, залишає det A незмінним;

  5. якщо стовпці матриці A лінійно залежні, то det A = 0;

  6. визначник не змінить свого значення, якщо поміняти в ньому місцями рядки і стовпці, тобто транспонувати визначник. Тому всі властивості, сформульовані для стовпців, вірні і для рядків;

  7. для квадратних матриць A і B рівних розмірів det(AB)=det*det B. Визначник позначається також ,.

Якщо D=|aik| - визначник порядку n, то мінором Mik елемента aik називають визначник порядку n-1, що виходить з D “викреслюванням” i-го рядка і k-го стовпця. Під алгебраїчним заповненням Aik елемента aik розуміють мінор Mik, помножений на :








Теорема розкладання. Якщо D=|aik| - визначник n- го порядку, то


,


тобто сума добутків всіх елементів якого-небудь рядка (чи стовпця) на відповідні їм алгебраїчні доповнення дорівнює значенню визначника


,




.


Для обчислення визначника високого порядку визначник n-го порядку зводять до визначника (n-1)-го порядку, останні – до визначника (n-2)-го порядку і т.д. доти, поки не одержать визначники 3-го і 2-го порядку. В основі цього принципу “поступового зниження порядку” лежить теорема розкладання.


^ Побудова зворотної матриці

Якщо задатися питанням про існування матриці , зворотної для квадратної матриці A порядку n стосовно множення, тобто такої, що , то внаслідок властивості 7 невиродженість матриці A є необхідною умовою існування зворотної матриці, тому що у разі виродженості A було б


.


Якщо A – матриця n-го порядку, то її невиродженість є необхідною умовою існування матриці такої, що . При цих умовах матриця , зворотна для A, визначена однозначно. Крім того,


Обчислення зворотної матриці.


,


де Aik – алгебраїчне доповнення елемента aik матриці A.

Наприклад,


.


1.3 Вирішення системи лінійних рівнянь

Система n лінійних рівнянь з n невідомими x1, x2,…,Xn записується у вигляді


.


Система лінійних рівнянь може бути просто описана за допомогою матриць


.


, .


Тоді в матричному вигляді можна записати


.


Коли припустити, що визначник матриці не дорівнює 0, det A=0, і існує зворотна матриця , то вирішення системи рівнянь можна знайти у формі


,


,


де Aik – алгебраїчне доповнення елемента матриці A. знаходяться за формулою


,


де визначник , що стоїть в чисельнику, виходить з визначника D=detA заміною i-го стовпця на стовпець b.


Приклад. Дано систему лінійних рівнянь.





Знайти значення невідомих x1, x2, x3 .


Рішення.


, .


.








.








;


;


;




.


^ 2. Чисельні методи вирішення системи лінійних рівнянь


2.1 Метод простих ітерацій

Розглянемо систему n лінійних алгебраїчних рівнянь з n невідомими


.


Вирішення цієї системи методом ітерацій (чи простих ітерацій) означає наступне. Невідомим надають деякі значення і називають цю впорядковану сукупність чисел нульовим (початковим) наближенням шуканого рішення . Як нульове наближення можна взяти сукупність вільних членів, тобто покласти

Підставляючи ці значення невідомих у праві частини системи рівнянь одержують перше наближення шуканого рішення. Аналогічно знаходять друге наближення (це результат підстановки значень у праві частини системи рівнянь), третє наближення

За формулами




визначають k-те наближення, якщо відоме (k-1)-е наближення.

Якщо кожна з послідовностей наближень





має межу , то сукупність чисел є рішенням системи рівнянь. У цьому випадку говорять, що процес ітерацій сходиться.


^ Ознака збіжності.

Якщо найбільша (по рядках) сума модулів коефіцієнтів при невідомих у лівій частині якого з рівнянь системи менше одиниці, тобто


,


то процес ітерацій сходиться при будь-якому виборі нульового наближення .


Приклад. Вирішити систему рівнянь


,

,

.


Перетворимо систему до необхідного вигляду


,

,

.


Перевіримо умову збіжності:


,

,

,


- умова збіжності виконується.

Як нульове наближення візьмемо вільні члени


.


Підставляючи ці значення в праві частини рівнянь, одержимо перше наближення:

,

,

.


Аналогічно знаходимо друге наближення:


,

,

,

,

,

.


2.2 Метод Зейделя

Метод Зейделя також належить до числа ітераційних методів. Він заснований на формулах


,

,

,



,



.


При обчисленні використовується не , а вже обчислене значення ; при визначенні використовується не , а вже обчислені .

Ітераційний процес, здійснюваний за цими формулами, буде сходитися при умові збіжності, яка була визначена для метода простих ітерацій.

Приклад. Методом Зейделя вирішити систему рівнянь


,

,

.


Вирішимо кожне рівняння цієї системи щодо відповідної змінної:


,

,

.


Перевіримо умову збіжності рішення

.

Для першого рядка .

Для другого рядка .

Для третин рядка .


Звідси можна зробити висновок

.


Це означає, що ітераційний процес сходиться.

Як нульове наближення візьмемо


.


Підставляючи ці значення в праву частину першого рішення, одержуємо

.

Цим значенням скористаємося при перебуванні

.

Значення і використовуємо при обчисленні

.


Перейдемо до наступного етапу.


,

,

.

Аналогічно знаходимо наступні наближення. Результати наведені в таблиці, з якої видно, що система має рішення Таблиця 1

k







0

0

0

0,03

1

0.4225

-0,3975

0,08719

2

0,29453

-0,38878

0,05628

3

0,31216

-0,4038

0,05628

4

0,30714

-0,40329

0,05762

5

0,30787

-0,40385

0,05774

6

0,30767

-0,40382

0,05769

7

0,03077

-0,40384

0,05769



^ 3. Оптимізація процесів в електроенергетиці

3.1 Режим оптимальної передачі потужності від джерела ЕРС до приймача

Розглянемо умови передачі максимальної потужності приймачу. Як простий приклад такої передачі візьмемо споживання приймача з опором rн від джерела енергії з ЕРС Е і внутрішнім опором гвн приймача, що знаходиться на деякій відстані від джерела енергії, і з'єднаного з приймачем двопровідною лінією із загальним опором проводів rп (рис. 3.1).





Рис.3.1 - Схема електричного кола.

Позначимо суму внутрішнього опору rвн джерела енергії й опори проводів rп через r, тобто r = rвн + rп . За законом Ома струм у розглянутому колі і потужність приймача (за законом Джоуля - Ленца) :

.


При двох граничних значеннях опору rн=0 і rн = потужність приймача дорівнює нулю, тому що в першому випадку рівна нулю напруга між затискачами приймача, а в другому випадку – струм у ланцюзі, отже деякому значенню rн відповідає найбільш можливе (при заданих E і r) значення потужності приймача. Щоб знайти цю величину опору rн, дорівняємо нулю першу похідну від потужності Pн по rн :


.


Оскільки знаменник цього вираження не дорівнює нулю, то


,


звідки випливає, що потужність приймача буде максимальною за умови rн = r.

Ця максимальна потужність дорівнює


.


Оцінимо ККД передачі


.

Звідси видно, що ККД 1 , якщо rн.

У режимі максимальної потужності .

Такий низький ККД зовсім неприйнятний для електроенергетичних систем, де втрати енергії при передачі не перевищують приблизно 10% енергії, вироблюваної джерелом.


^ 3.2 Загальна постановка задачі оптимізації

У загальній задачі оптимізації потрібно знайти вектор із припустимої області X, що перетворює в мінімум цільову функцію g(x), тобто такий вектор , для якого виконується умова для всіх .

Якщо такий вектор існує, то він визначає глобальний мінімум. Оскільки максимум g(x) дає мінімум – g(x), то надалі розглядається задача мінімізації.

Хоча метою задачі оптимізації є одержання глобального мінімуму цільової функції, однак при її рішенні важливе значення має поняття локального чи відносного мінімуму.

Якщо функція диференційована, то задача відшукання локальних мінімумів зводиться до перебування стаціонарних точок, у яких обертаються в нулі часткових похідних функції :


, i=1,…...,n.

Слід зазначити, що вирішення цієї системи рівняння може визначити не тільки точку відносного мінімуму, але і сідлову точку, в якій не досягається відносний мінімум, ні відносний максимум.

У наведеному прикладі пошуку опору навантаження, при якому досягається максимум споживаної потужності, як цільова функція g(x) виступає залежність


,


а вектор складається з одного параметра rн

Однак у більшості задач оптимізації кількість параметрів більше одного, крім того на їхню величину накладається обмеження. У цьому випадку застосовуються більш складні методи оптимізації.

Допустимо, що має місце оптимізація функції g(x) з обмеженнями вигляду


, i=1…m, m

Тоді мінімум функції g(x) називають умовним мінімумом.

Класичний спосіб рішення даної задачі полягає в тому, що останні рівняння використовуються для виключення з розгляду m перемінних. При цьому умови функції приводяться до виду


,


де через y,…,позначено не виключені змінні. Завдання полягає тепер у встановленні значень y,…,, які перетворюють у мінімум функцію g1 і на які не накладено ніяких обмежень.

Приклад. Для двовимірної змінної з одним обмеженням і цільовою функцією необхідно знайти точку екстремуму.

Вирішення. З рівняння обмеження виразимо v і підставимо його в цільову функцію:


,

.


Диференціюючи цей вираз по u, приходимо до рівняння


,


що має єдиний дійсний корінь . При цьому


.


Якби не було обмеження , то мінімум цільової функції g(x) досягався б у точці x=(1,0) і дорівнювався 0.

Якщо рівняння мають складний вид, то виключення з їх допомогою m перемінних з функції g(x) складає значні труднощі. У зв'язку з цим велике практичне значення одержав метод зведення задачі на умовний екстремум до задачі на безумовний екстремум, заснований на використанні функції Лагранжа.


3.3 Функція Лагранжа

Введемо в розгляд вектор і досліджуємо властивості функції

. (3.1)

Функція називається функцією Лагранжа, а величини – множниками Лагранжа. Функція є функцією n+m змінних

Розглянемо стаціонарні точки функції які одержимо, дорівнявши нулю часткові похідні по і по


(3.2)

(3.3)

Видно, що рівняння (2) збігається з обмеженням і, як випливає з (1), при їхньому виконанні має місце . Тому якщо в стаціонарній точці функція досягає мінімуму, то забезпечує і мінімум функції g(x) при виконанні обмежень, тобто дає вирішення задачі.


Приклад. Для попереднього прикладу функція Лагранжа дорівнює


,

,

,

.


Одержимо систему рівнянь


,

,

.


Одержимо її вирішення методом підстановок:


,

,

.


^ 4. Використання топологічних матриць для розрахунку електричних кіл


4.1 Топологічні поняття схеми електричного кола

Щоб зробити більш наочним зображення взаємних з'єднань елементів схеми, використовують топологічне представлення схеми електричного кола, що відбиває тільки структуру зв'язків між елементами, не відображаючи типу елементів. Такі схеми називають графами електричних схем. Наприклад, для електричної схеми, зображеної на рис.4.1, граф має вигляд (рис.4.2).




  1   2   3

Схожі:

Міністерство освіти І науки України iconПоложення про нагородження нагрудним знаком "А. С. Макаренко" Міністерства освіти І науки України
Міністерству освіти І науки України Міністерство освіти І науки Автономної Республіки Крим, управління освіти І науки обласних, Київської...
Міністерство освіти І науки України iconПоложення про нагородження нагрудним знаком "Василь Сухомлинський" Міністерства освіти І науки України
Міністерству освіти І науки України Міністерство освіти І науки Автономної Республіки Крим, управління освіти І науки обласних, Київської...
Міністерство освіти І науки України iconПоложення про нагородження нагрудним знаком "Софія Русова" Міністерства освіти І науки України
Міністерству освіти І науки України Міністерство освіти І науки Автономної Республіки Крим, управління освіти І науки обласних, Київської...
Міністерство освіти І науки України iconРішення про нагородження Нагрудним знаком ухвалюється Колегією Міністерства освіти І науки України, затверджується наказом Міністра І публікується в газеті "Освіта України"
Міністерству освіти І науки України Міністерство освіти І науки Автономної Республіки Крим, управління освіти І науки обласних, Київської...
Міністерство освіти І науки України iconРішення про нагородження Нагрудним знаком ухвалюється Колегією Міністерства освіти І науки України, затверджується наказом Міністра І публікується в газеті "Освіта України"
Міністерству освіти І науки України Міністерство освіти І науки Автономної Республіки Крим, управління освіти І науки обласних, Київської...
Міністерство освіти І науки України iconРішення про нагородження Нагрудним знаком ухвалюється Колегією Міністерства освіти І науки України, затверджується наказом Міністра І публікується в газеті "Освіта України"
Міністерству освіти І науки України Міністерство освіти І науки Автономної Республіки Крим, управління освіти І науки обласних, Київської...
Міністерство освіти І науки України iconМіністерство освіти І науки україни 01135, м. Київ, проспект Перемоги
Міністерства освіти і науки України від 17. 04. 2009 року №341 «Про затвердження Плану дій щодо вдосконалення викладання дисципліни...
Міністерство освіти І науки України iconПоложення про нагородження нагрудним знаком "Петро Могила" Міністерства освіти І науки України
Міністерство освіти І науки Автономної Республіки Крим, управління освіти І науки обласних, Київської І севастопольської міських...
Міністерство освіти І науки України iconМіністерство освіти І науки україни пр. Перемоги
Міністерство освіти і науки Автономної Республіки Крим, управління (департаменти) освіти і науки обласних, Київської і Севастопольської...
Міністерство освіти І науки України iconМіністерство освіти І науки україни пр. Перемоги
Міністерство освіти і науки, молоді та спорту Автономної Республіки Крим, управління (департаменти) освіти і науки обласних, Київської...
Міністерство освіти І науки України iconМіністерство освіти І науки україни пр. Перемоги
Міністерство освіти і науки, молоді та спорту Автономної Республіки Крим, управління (департаменти) освіти і науки обласних, Київської...
Додайте кнопку на своєму сайті:
Документи


База даних захищена авторським правом ©zavantag.com 2000-2013
При копіюванні матеріалу обов'язкове зазначення активного посилання відкритою для індексації.
звернутися до адміністрації
Документи