Міністерство освіти І науки, молоді та спорту україни національна металургійна академія україни icon

Міністерство освіти І науки, молоді та спорту україни національна металургійна академія україни




НазваМіністерство освіти І науки, молоді та спорту україни національна металургійна академія україни
Сторінка1/15
Дата01.06.2012
Розмір2.6 Mb.
ТипДокументи
  1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   15



МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ, МОЛОДІ ТА СПОРТУ УКРАЇНИ

НАЦІОНАЛЬНА МЕТАЛУРГІЙНА АКАДЕМІЯ УКРАЇНИ





Т.М. КАДИЛЬНИКОВА, I.В. ПАСІЧНИК,

Л.В. МАРИНЧУК, О.А. МЕЛЬНИК


ВИЩА МАТЕМАТИКА

В ПРИКЛАДАХ ТА ЗАДАЧАХ


Частина VІІ


Дніпропетровськ НМетАУ 2011


Міністерство освіти І науки, МОЛОДІ ТА СПОРТУ україни

Національна металургійна академія україни


Т.М. КАДИЛЬНИКОВА, ^ I.В. ПАСІЧНИК,

Л.В. МАРИНЧУК, О.А. МЕЛЬНИК


ВИЩА МАТЕМАТИКА

В ПРИКЛАДАХ ТА ЗАДАЧАХ


Частина VІІ


Затверджено на засіданні Вченої Ради академії

як навчальний посібник. Протокол №15 від 27.12.2010


Дніпропетровськ НМетАУ 2011


УДК 517(07)

Кадильникова Т.М., Пасічник І.В., Маринчук Л.В., Мельник О.А. Вища математика в прикладах та задачах. Частина VІІ: Навч. посібник.- Дніпропетровськ: НМетАУ, 2011.- 91 с.

Наведені докладні рекомендації до вивчення дисципліни «Вища математика», а саме, розділу «Математична статистика». Теоретичні положення супроводжуються необхідними поясненнями та ілюстраціями, а також розв’язуванням типових задач. Рекомендуються завдання для самостійної роботи.

Призначений для студентів технічних спеціальностей всіх форм навчання.


Іл. 24 . Бібліогр.: 8 найм.


Друкується за авторською редакцією.


Відповідальний за випуск А.В. Павленко, д-р фіз.-мат. наук, проф.


Рецензенти: Т.С. Кагадій, д-р фіз.-мат. наук, проф. ( НГУ)

А.В. Сясєв, канд. фіз.-мат. наук, доц. (ДНУ)


© Кадильникова Т.М., Пасічник І.В.,

Маринчук Л.В., Мельник О.А.

Національна металургійна академія

України, 2011

Вступ


Основна форма навчання студентів – самостійна робота над навчальним матеріалом, яка складається з вивчення теоретичних положень за підручником, розгляду прикладів і розв’язання задач. При вивченні матеріалу за підручником треба переходити до наступного питання тільки після правильного зрозуміння попереднього, виконуючи на папері усі обчислення, навіть і ті, які пропущені у підручнику. Розв’язання задач при вивченні дисципліни «Вища математика» часто пов’язано з багатьма складностями. Якщо складається скрутне становище при розв’язанні задачі, то треба вказати характер цього утруднення, привести припущення відносно плану розв’язку.

Відомо, що при самостійному розв’язуванні задач студентам потрібні постійні консультації щодо способів їх розв’язування, оскільки знайти шлях до розв’язування задачі без допомоги викладача або відповідного підручника студентові не під силу. Допомогти студентам технічних спеціальностей всіх форм навчання подолати ці складності, навчити їх застосовувати теоретичні знання до розв’язування задач – основне призначення цього навчального посібника.

У шостій частині навчального посібника викладено матеріал з таких розділів вищої математики: «Основні поняття математичної статистики», «Двовимірний статистичний розподіл вибірки», «Статистичні гіпотези» та «Елементи кореляційного та регресійного аналізу». Основні теоретичні положення, формули та теореми ілюструються докладним розв’язанням великої кількості задач різного рівня складності з їх повним аналізом. Для ефективності засвоєння матеріалу пропонуються завдання для самостійної роботи.

Розв’язання задач математичної статистики потребує великого обсягу обробки даних та обчислень. Відзначимо, що потужним інструментарієм статистичної обробки даних володіють електронні таблиці Microsoft Excel. Дуже корисним і простим є використання інших програм, наприклад: NUMERI, MATLAB, MathСad, STATISTIKA, STATGRAРHICS.

Автори сподіваються, що саме така побудова посібника надає студентові широкі можливості до активної самостійної роботи, яка, безумовно, сприятиме засвоєнню матеріалу при вивченні дисципліни «Вища математика».


Розділ 1

^ ОСНОВНІ ПОНЯТТЯ МАТЕМАТИЧОЇ СТАТИСТИКИ

1.1. Дискретний статистичний розподіл вибірки
та окремі її числові характеристики


Кількісні ознаки елементів генеральної сукупності можуть бути одновимірними і багатовимірними, дискретними і неперервними.

При реалізації вибірки кількісна ознака, наприклад Х, набуває конкретних числових значень (Х = хі), які називають варіантами.

Зростаючий числовий ряд варіант називають варіаційним рядом.

Кожна варіанта вибірки може бути спостереженою ni раз (ni  1 ), число ni називають частотою варіанти xi.

При цьому

, (1.1)

де k – кількість варіант, що різняться числовим значенням; n – обсяг вибірки.

Відношення частоти ni варіанти xi до обсягу вибірки n називають її відносною частотою і позначають через Wi , тобто

. (1.2)

Для кожної вибірки виконується рівність

. (1.3)

Перелік варіант варіаційного ряду і відповідних їм частот або відносних частот називають дискретним статистичним розподілом вибірки.

У табличній формі він має такий вигляд:


X = xi

x1

x2

x3



xk

ni

n1

n2

n3



nk

Wi

W1

W2

W3



Wk


Дискретний статистичний розподіл вибірки можна подати емпіричною функцією F (x).

Емпірична функція F (x) та її властивості. Функція аргументу х, що визначає відносну частоту події X < x, тобто

, (1.4)

називається емпіричною функцією.

Тут n – обсяг вибірки, nx – кількість варіант статистичного розподілу вибірки, значення яких менше за фіксовану варіанту х; – називають ще функцією розподілу відносних частот.

Властивості :

1) ;

2) , де xmin є найменшою варіантою варіаційного ряду;

3) , де xmax є найбільшою варіантою варіаційного ряду;

4)  є неспадною функцією аргументу х, а саме: F(x2)F(x1) при .

Полігон частот і відносних частот. Дискретний статистичний розподіл вибірки можна зобразити графічно у вигляді ламаної лінії, відрізки якої сполучають координати точок (xi; ni) або (xi; Wi).

У першому випадку ламану лінію називають полігоном частот, у другому – полігоном відносних частот.

Числові характеристики:

1) вибіркова середня величина . Величину, яка визначається формулою

, (1.5)

називають вибірковою середньою величиною дискретного статистичного розподілу вибірки.

Тут xi варіанта варіаційного ряду вибірки; ni частота цієї варіанти; n – обсяг вибірки (1.1);

2) мода (Mo). Модою дискретного статистичного розподілу вибірки називають варіанту, що має найбільшу частоту появи.

Мод може бути кілька. Коли дискретний статистичний розподіл має одну моду, то він називається одномодальним, коли має дві моди – двомодальним і т. д.;

3) медіана (Me). Медіаною дискретного статистичного розподілу вибірки називають варіанту, яка поділяє варіаційний ряд на дві частини, рівні за кількістю варіант;

4) розмах (R). Для грубого оцінювання розсіювання варіант відносно застосовується величина, яка дорівнює різниці між найбільшою xmax і найменшою xmin варіантами варіаційного ряду. Ця величина називається розмахом

. (1.6)


Зразки розв’язування задач


Приклад 1. За заданим дискретним статистичним розподілом вибірки потрібно: побудувати і зобразити її графічно; накреслити полігони частот і відносних частот:


X = xi

6

4

2

2

4

6

ni

5

10

15

20

40

10

Wi

0,05

0,1

0,15

0,2

0,4

0,1



Розв’язання. Згідно з означенням та властивостями має такий вигляд:



Графічне зображення подано на рис. 1.1.




Рис. 1.1

Полігони частот та відносних частот зображено на рис. 1.2, 1.3. Таким чином графіки відрізняються тільки масштабом за віссю Y .



Рис. 1.2




Рис. 1.3


Приклад 2. За заданим статистичним розподілом вибірки потрібно знайти Mo, Me :


X = xi

2,5

4,5

6,5

8,5

10,5

ni

10

20

30

30

10


Розв’язання. Обсяг вибірки ; Mo = 6,5; 8,5.

Отже, наведений статистичний розподіл вибірки буде двомодaльним. Me=6,5, оскільки варіанта х3=6,5 поділяє варіаційний ряд
2,5; 4,5; 6,5; 8,5; 10,5 на дві частини: 2,5; 4,5 і 8,5; 10,5, які мають однакову кількість варіант.

Розмах = 10,5 – 2,5 = 8.


Приклад 3. Вибірка, що зроблена випадковим способом, задається наведеними даними: 0,4; 0,4; 1,0; 0,3; 0,6; 0,9; 0,5; 0,4; 0,8; 0,6; 0,5; 0,5; 0,4; 0,8; 0,3; 0,3; 0,6; 0,7; 0,7; 0,3; 0,2; 0,1; 0,4; 0,5; 0,7; 0,2; 0,6; 0,5; 0,4; 0,9.

Потрібно: 1) знайти статистичний розподіл вибірки; 2) знайти Mo, Me;
3) побудувати полігон частот; 4) побудувати емпіричну функцію розподілу ; 5) побудувати графік емпіричної функції розподілу .

Розв’язання.

  1. Обсяг вибірки n = 30 ; xmax= 1,0; xmin= 0,1 ; розмах = 1,0 – 0,1 = 0,9.

Заповнюємо стовпці A, N від меншого до більшого значення та в стовпці В робимо відмітку ( І ) в відповідному рядку про те, що дане значення варіанти нам зустрічалося. У стовпці С підводимо підсумки про кількість відміток в даному рядку, тобто вказуємо частоти цих варіант. Стовпці таблиці А і С (А і за відносною частотою ) створюють шуканий статистичний розподіл.



N

A

B

C

С*

№ п/п

xi

ni

ni

ni/ n

1

0.1

І

1

1/30

2

0.2

І І

2

2/30

3

0.3

І І І І

4

4/30

4

0.4

І І І І І І

6

6/30

5

0.5

І І І І І

5

5/30

6

0.6

І І І І

4

4/30

7

0.7

І І І

3

3/30

8

0.8

І І

2

2/30

9

0.9

І І

2

2/30

10

1.0

І

1

1/30



----

----------

30

1



2) Mo=0,4 - варіанта, що має найбільшу частоту появи.

Отже, наведений статистичний розподіл вибірки буде одномодaльним.

Me = 0,5 і 0,6 - варіанти, які поділяють варіаційний ряд на дві частини, рівні за кількістю варіант.


  1. Для побудови полігону частот (відносних частот) на осі абсцис відкладають варіанти xi, на осі ординат – відповідні їм частоти ni ( відносні частоти Wi =). Точки (xi, ni) ((xi, ) – для відносних частот) сполучають відрізками прямих і одержують полігон частот (відносних частот).



ni/n


6/30


5/30


4/30


3/30


2/30


1/30


ni


6


5


4


3


2


1


























0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 Xi

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 Xi

Рис. 1.4. Полігон частот Рис. 1.5. Полігон відносних частот

Таким чином графіки відрізняються тільки масштабом за віссю Y .


4)




Найменше спостережне значення варіанти дорівнює 0,1, отже F*(x)= 0 при x0,1.

Значення x0,2, а значить x1=0,1, спостерігалося 1 раз, отже, F*(x)=1/30, якщо 0,1< x0,2.

Значення x0.3 спостерігалося 1+2=3 рази. Отже F*(x)=3/30, якщо
  1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   15

Схожі:

Міністерство освіти І науки, молоді та спорту україни національна металургійна академія україни iconІнформація про застосування процедури закупівлі в одного учасника Замовник: > Найменування. Національна металургійна академія України Міністерства освіти І науки, молоді та спорту України Ідентифікаційний код за єдрпоу
Найменування. Національна металургійна академія України Міністерства освіти і науки, молоді та спорту України
Міністерство освіти І науки, молоді та спорту україни національна металургійна академія україни iconІнформація про застосування процедури закупівлі в одного учасника Замовник: > Найменування. Національна металургійна академія України Міністерства освіти І науки, молоді та спорту України Ідентифікаційний код за єдрпоу
Найменування. Національна металургійна академія України Міністерства освіти і науки, молоді та спорту України
Міністерство освіти І науки, молоді та спорту україни національна металургійна академія україни iconІнформація про застосування процедури закупівлі в одного учасника Замовник: Найменування. Національна металургійна академія України Міністерства освіти І науки, молоді та спорту України Ідентифікаційний код за єдрпоу
Найменування. Національна металургійна академія України Міністерства освіти і науки, молоді та спорту України
Міністерство освіти І науки, молоді та спорту україни національна металургійна академія україни iconІнформація про застосування процедури закупівлі в одного учасника Замовник: > Найменування. Національна металургійна академія України Міністерства освіти І науки, молоді та спорту України
Найменування. Національна металургійна академія України Міністерства освіти і науки, молоді та спорту України
Міністерство освіти І науки, молоді та спорту україни національна металургійна академія україни iconІнформація про застосування процедури закупівлі в одного учасника Замовник: > Найменування. Національна металургійна академія України Міністерства освіти І науки, молоді та спорту України
Найменування. Національна металургійна академія України Міністерства освіти і науки, молоді та спорту України
Міністерство освіти І науки, молоді та спорту україни національна металургійна академія україни iconІнформація про застосування процедури закупівлі в одного учасника Замовник: Найменування. Національна металургійна академія України Міністерства освіти І науки, молоді та спорту України
Найменування. Національна металургійна академія України Міністерства освіти і науки, молоді та спорту України
Міністерство освіти І науки, молоді та спорту україни національна металургійна академія україни iconІнформація про застосування процедури закупівлі в одного учасника Замовник: > Найменування. Національна металургійна академія України Міністерства освіти І науки, молоді та спорту України
Найменування. Національна металургійна академія України Міністерства освіти і науки, молоді та спорту України
Міністерство освіти І науки, молоді та спорту україни національна металургійна академія україни iconІнформація про застосування процедури закупівлі в одного учасника Замовник: > Найменування. Національна металургійна академія України Міністерства освіти І науки, молоді та спорту України
Найменування. Національна металургійна академія України Міністерства освіти і науки, молоді та спорту України
Міністерство освіти І науки, молоді та спорту україни національна металургійна академія україни iconІнформація про застосування процедури закупівлі в одного учасника Замовник: > Найменування. Національна металургійна академія України Міністерства освіти І науки, молоді та спорту України
Найменування. Національна металургійна академія України Міністерства освіти і науки, молоді та спорту України
Міністерство освіти І науки, молоді та спорту україни національна металургійна академія україни iconІнформація про застосування процедури закупівлі в одного учасника Замовник: > Найменування. Національна металургійна академія України Міністерства освіти І науки, молоді та спорту України
Найменування. Національна металургійна академія України Міністерства освіти і науки, молоді та спорту України
Міністерство освіти І науки, молоді та спорту україни національна металургійна академія україни iconІнформації про результати проведення процедури закупівлі в одного учасника Замовник: > Найменування. Національна металургійна академія України Міністерства освіти І науки, молоді та спорту України
Головний розпорядник коштів (повне найменування та ідентифікаційний код за єдрпоу). Міністерство освіти І науки, молоді та спорту...
Додайте кнопку на своєму сайті:
Документи


База даних захищена авторським правом ©zavantag.com 2000-2013
При копіюванні матеріалу обов'язкове зазначення активного посилання відкритою для індексації.
звернутися до адміністрації
Документи