Зміс т розділ 1 Визначений інтеграл icon

Зміс т розділ 1 Визначений інтеграл




НазваЗміс т розділ 1 Визначений інтеграл
Сторінка1/6
Дата01.06.2012
Розмір0.51 Mb.
ТипДокументи
  1   2   3   4   5   6

З М І С Т


Розділ 1

Визначений інтеграл

1.1. Означення визначеного інтеграла як границі інтегральної суми.

Умови існування та властивості визначеного інтеграла……………………5

1.2. Обчислення визначених інтегралів……………………………………………8

1.2.1. Формула Ньютона-Лейбніца…………………………………………………8

1.2.2. Метод заміни змінної………………………………………………………..12

1.2.3. Інтегрування частинами……………………………………………………..19


Розділ 2

Невласні інтеграли

2.1. Невласні інтеграли першого роду (з нескінченними межами)……… ..23

2.2. Невласні інтеграли другого роду (від необмежених функцій)…………..33


Розділ 3

Застосування визначеного інтеграла

до задач геометрії

3.1. Обчислення площ плоских фігур…………………………………………. 43

3.2. Обчислення довжини дуги плоскої кривої………………………………. 56

3.3. Обчислення об’ємів тіл обертання………………………………………… 65

3.4. Обчислення площі поверхні тіл обертання……………………………… 73


ЛІТЕРАТУРА………………………………………………………………… 84


Вступ


Основна форма навчання студентів – самостійна робота над навчальним матеріалом, яка складається з вивчення теоретичних положень за підручником, розгляду прикладів і розв’язання задач. При вивченні матеріалу за підручником треба переходити до наступного питання тільки після правильного зрозуміння попереднього, виконуючи на папері усі обчислення, навіть і ті, які пропущені у підручнику. Розв’язання задач при вивченні дисципліни «Вища математика» часто пов’язано з багатьма складностями. Якщо складається скрутне становище при розв’язанні задачі, то треба вказати характер цього утруднення, привести припущення відносно плану розв’язку.

Відомо, що при самостійному розв’язуванні задач студентам потрібні постійні консультації щодо способів їх розв’язування, оскільки знайти шлях до розв’язування задачі без допомоги викладача або відповідного підручника студентові не під силу. Допомогти студентам технічних спеціальностей всіх форм навчання подолати ці складності, навчити їх застосовувати теоретичні знання до розв’язування задач - основне призначення цього навчального посібника.

У третій частині навчального посібника викладено матеріал з таких розділів вищої математики: «Визначений інтеграл», «Невласні інтеграли» та «Застосування визначеного інтеграла до задач геометрії». Основні теоретичні положення, формули та теореми ілюструються докладним розв’язанням великої кількості задач різного ступеня складності з їх повним аналізом. Для ефективності засвоєння матеріалу пропонуються завдання для самостійної роботи.

Автори сподіваються, що саме така побудова посібника надає студентові широкі можливості до активної самостійної роботи, яка, безумовно, сприятиме засвоєнню матеріалу при вивченні дисципліни «Вища математика».


Розділ 1

^ ВИЗНАЧЕНИЙ ІНТЕГРАЛ


1.1. Означення визначеного інтеграла як границі інтегральної суми. Умови існування та властивості визначеного інтеграла


Нехай функція визначена на відрізку , < . Розіб’ємо відрізок на довільних частин так, щоб


< < …< < < <…< .


Сукупність точок назвемо -розбиттям відрізка на частини. Для кожного з частинних відрізків визначимо його довжину та значення функції у довільній точці . Позначимо через - найбільшу довжину серед довжин частинних відрізків, тобто . Утворимо суму , яка називається інтегральною сумою функції на відрізку .


Означення 1. Якщо існує скінченна границя інтегральної суми при умові, що найбільша із різниць прямує до нуля, яка не залежить ані від способу розбиття відрізка на частинні відрізки, ані від вибору проміжних точок у кожному з частинних відрізків, то вона називається визначеним інтегралом функції на відрізку і позначається символом . Отже, згідно з означенням,


.


Числа і називають відповідно нижньою та верхньою межами інтегрування; функція називається підінтегральною функцією; - підінтегральним виразом; - змінною інтегрування, а відрізок - проміжком інтегрування.


Означення 2. Функція , для якої на відрізку існує визначений інтеграл, називається інтегровною на цьому відрізку.


Геометричний зміст визначеного інтеграла полягає в тому, що визначений інтеграл від невід’ємної та інтегровної на відрізку функції чисельно дорівнює площі криволінійної трапеції, обмеженої графіком функції , відрізками прямих , та віссю :




Рис.1.1


Необхідною умовою існування визначеного інтеграла є обмеженість функції на відрізку .

Достатньою умовою існування визначеного інтеграла є неперервність функції на цьому ж відрізку.


Розглянемо деякі властивості визначеного інтеграла:

1) Визначений інтеграл не залежить від позначення змінної інтегрування:

.


2) Визначений інтеграл з однаковими межами інтегрування дорівнює нулю:

.


3) Для будь-якого довільного сталого числа справджується рівність:

.

4) При переставленні меж інтегрування визначений інтеграл змінює знак, тобто

.


5) Якщо функції і - інтегровні на відрізку , то функція також є інтегровною на цьому відрізку, причому

.


6) Якщо функція - інтегровна на найбільшому з відрізків , , , то вона інтегровна і в двох інших і для будь-якого взаємного розташування точок має місце рівність

.


7) Якщо функція - інтегровна на відрізку < і всюди на цьому відрізку , то

.

Аналогічно маємо, що , якщо .


8) Якщо функції і - інтегровні на < і всюди на цьому відрізку , то

.


9) Якщо функція - інтегровна на < , то функція також інтегровна на цьому відрізку, причому

.


10) Якщо функція - інтегровна на < та і - відповідно її найменше і найбільше значення на цьому відрізку, то справджуються нерівності

.

11) Якщо функція - неперервна на , то існує точка така, що виконується рівність:

.


Це ствердження має назву теореми про середнє значення визначеного інтеграла.


^ 1.2. Обчислення визначених інтегралів


1.2.1 Формула Ньютона-Лейбніца

Для пошуку способу обчислення визначеного інтеграла встановимо зв’язок між невизначеним та визначеним інтегралами. Для цього розглянемо , де функція є неперервною на та інтегровною на ньому, - довільна фіксовна точка відрізка .

Цей інтеграл називають визначеним інтегралом із змінною верхньою межею. Очевидно, він є функцією від , тому позначимо його через .

Має місце наступна теорема Барроу:

Якщо функція - неперервна на , то функція - диференційовна на цьому відрізку, причому для усіх .


Тобто для всякої неперервної на функції завжди існує первісна, та однією з цих первісних є визначений інтеграл із змінною верхнею межею. Таким чином, встановлений зв’язок між невизначеним та визначеним інтегралами.

Ефективний і простий спосіб обчислення визначеного інтеграла дається формулою Ньютона-Лейбніца:


,

де - неперервна на , - яка-небудь її первісна.


Зразки розв’язування задач


Обчислити інтеграли.

1. .


Первісною від даної підінтегральної функції є . Обчислимо її значення при верхній границі , при нижній границі . За формулою Ньютона-Лейбніца значення інтегралу становить .

Розв’язування може бути подане у вигляді:


.


2. .


3.

.


4.

.


5.

.


6. .


Первісну можна знайти, використавши формулу пониження степеня: . Отримаємо:




.


7. .


Для знаходження первісної в знаменнику виділимо повний квадрат.






.


8. .


Знайдемо первісну функції. Для цього правильний дріб представимо у вигляді суми найпростіших дробів, а саме


.


Звільнившись від знаменника, маємо:


.




Отже, .


Тоді



.


Завдання для самостійної роботи


Обчислити інтеграли:


1. ;


2. ;

3. ;


4. ;

5. ;


6. ;

^ 1.2.2 Метод заміни змінної у визначеному інтегралі

Нехай треба обчислити інтеграл , де функція - неперервна на. Якщо виконуються умови:

  1. функція неперервна разом із своєю похідною на відрізку ;

  2. , ;

  3. при змінюванні на відрізку значення функції не виходять за межі відрізка , то справедлива формула заміни змінної (або підстановки) у визначеному інтегралі:


(1.1)

.


Треба відзначити, що іноді набагато зручніше замість підстановки використовувати так звану «обернену» підстановку , де функція є строго монотонною і неперервно диференційовною на відрізку , а множиною її значень є відрізок . Тоді для неї існує обернена функція , яка задовольняє переліченим вище умовам. Отже, в цьому випадку маємо:


(1.2)

.


Звернемо увагу на те, що на відміну від заміни змінної у невизначеному інтегралі, заміна змінної у визначеному інтегралі не потребує повернення до початкової змінної. Треба лише змінити межі інтегрування за формулами (1.1) або (1.2).


Зразки розв’язування задач

  1   2   3   4   5   6

Схожі:

Зміс т розділ 1 Визначений інтеграл iconПояснювальна записка до вступних випробувань з математики для економістів
«Визначений інтеграл. Подвійний інтеграл», «Звичайні диференціальні рівняння. Основні поняття», «Числові ряди». Програма з математики...
Зміс т розділ 1 Визначений інтеграл iconЗміс т розділ 1 Застосування диференціального числення для дослідження функцій
Література
Зміс т розділ 1 Визначений інтеграл iconЗміс т розділ 1 Застосування диференціального числення для дослідження функцій
Література
Зміс т розділ 1 Визначений інтеграл iconНазва модуля: Вища математика Ч. 2 Код модуля
Невизначений та визначений інтеграл. Застосування визначеного інтегралу до задач геометрії та фізики. Границя, неперервність та диференційованість...
Зміс т розділ 1 Визначений інтеграл iconМетодичні рекомендації до самостійної роботи з вищої математики з виконання типового розрахунку №5 (невизначений та визначений інтеграл) за структурно-модульною схемою навчання і рейтинговою системою оцінки знань
Текст] : для студентів денної та заочної форм навчання спец. 050106, 050202, 050206, 091902, 010100, 091901 / В. С. Шебанін, І. П....
Зміс т розділ 1 Визначений інтеграл iconЗ курсу “Вища математика”
Всього по модулю: 1818Модуль зневизначений інтеграл, його властивості та обчислення. 88Визначений інтеграл та його застосування....
Зміс т розділ 1 Визначений інтеграл iconЗміст розділ загальні положення 2 розділ 2 виробничі та трудові відносини 3 розділ 3 відпустки 7 розділ 4 забезпечення продуктивної зайнятості 9 розділ 5 оплата праці 11 розділ 6 охорона праці 15
Додаток 2 Положення про порядок обрання та прийняття на роботу науково-педагогічних працівників Доннту
Зміс т розділ 1 Визначений інтеграл icon30. Інтегрування тригонометричних виразів Розглянемо деякі підстановки, що раціоналізують інтеграл від тригонометричного виразу
Розглянемо деякі підстановки, що раціоналізують інтеграл від тригонометричного виразу
Зміс т розділ 1 Визначений інтеграл iconQ14 Невизначений інтеграл дорівнює

Зміс т розділ 1 Визначений інтеграл icon29. Продовження
Розглядаючи інтеграл від дробу типу ІІІ, виділимо із тричлена у знаменнику повний квадрат
Додайте кнопку на своєму сайті:
Документи


База даних захищена авторським правом ©zavantag.com 2000-2013
При копіюванні матеріалу обов'язкове зазначення активного посилання відкритою для індексації.
звернутися до адміністрації
Документи