Зміс т розділ 1 Визначений інтеграл icon

Зміс т розділ 1 Визначений інтеграл




НазваЗміс т розділ 1 Визначений інтеграл
Сторінка2/6
Дата01.06.2012
Розмір0.51 Mb.
ТипДокументи
1   2   3   4   5   6

^ Обчислити інтеграли.


1. .


Зробимо заміну . Тоді , .

Визначимо нові межі інтегрування. Якщо , то , при .

Отримаємо:


.


2. .


Використаємо властивість 4 і змінюємо межі інтегрування:


.


3. .


4..


5.=



.


6.



.

7. .


Оскільки підінтегральна функція є раціональною відносно , зробимо заміну .

Тоді =


= .


8. .


Перетворимо вираз : .

Інтеграл набуває вигляду:


.

.


9. .

Підінтегральний вираз містить . Зробимо заміну , . Тоді . Щоб знайти нові межі інтегрування, виразимо через : .

Отже, при ,

при .


Будемо мати: .

Щоб проінтегрувати парну степінь , скористуємось двічі формулою пониження степеня:






.


Тобто





.


10. .


Застосуємо для інтегрування тригонометричну підстановку . Тоді , .


Межі інтегрування: , тому при ,

при .

Отже,


.


Отриманий інтеграл не є табличним. Для його обчислення необхідно скористатися ще однією заміною.

Позначимо , звідки , .

При , при .


Тоді

.


Завдання для самостійної роботи


Обчислити інтеграли:


1. ;


2. ;


3. ;


4. ;

5. ;


6. ;


7. .



1.2.3 Формула інтегрування частинами у визначеному інтегралі


Якщо функції і - неперервно диференційовні на відрізку , то справедлива формула:



Схема використання цієї формули співпадає із обчисленням невизначених інтегралів цим методом.


Зразки розв’язування задач


Обчислити інтеграли.


1. .

Покладемо , ; тоді , . Отримаємо:



.


2.





.


3.







.


4.





.


5. .


Для обчислення отриманого інтегралу використаємо метод інтегрування частинами ще раз.






.


Після двократного інтегрування частинами ми прийшли до вихідного інтегралу. Позначимо . Тоді

, звідки , .

Таким чином отримали:


.


6. .


Перший доданок можна обчислювати, а до другого знову застосуємо метод інтегрування частинами:








.

Завдання для самостійної роботи


Обчислити інтеграли:


1. ;


2. ;


3. ;


4. ;

5. .



Розділ 2

^ НЕВЛАСНІ ІНТЕГРАЛИ


2.1. Невласні інтеграли першого роду (з нескінченими межами)


Як відомо, ми розглядали визначений інтеграл на скінченному відрізку . Проте у ряді задач стає потреба розглядати інтеграли на нескінченних проміжках , , . Безпосередньо поширити поняття визначеного інтеграла на ці випадки не можна. Тому введемо нові означення. Отже, нехай функція визначена на проміжку і є неперервною на будь-якому відрізку де > . Тоді існує визначений інтеграл , який є функцією своєї верхньої межі.

Означення 1. Невласним інтегралом першого роду функції на проміжку називають границю і записують


. (2.1)


У цьому випадку інтеграл називають збіжним (якщо границя скінченна) і розбіжним (якщо границя не існує або нескінченна), а підінтегральну функцію – інтегровною на проміжку .

Нехай тепер функція визначена на проміжку і є неперервною на будь-якому відрізку , де < . Тоді визначений інтеграл є функцією своєї нижньої межі.

Означення 2. Невласним інтегралом першого роду функції на проміжку називають границю і записують


. (2.2)


Збіжність (розбіжність) цього інтеграла й інтегровність функції на відповідному проміжку визначають так само, як і для інтеграла (2.1).

Якщо функція визначена на проміжку і неперервна на будь-якому відрізку , то можна означити інтеграл


, (2.3)


де - довільне дійсне число.

Інтеграл


(2.4)


називається також невласним інтегралом першого роду функції на проміжку .

При цьому, якщо обидва інтеграли в правій частині рівності (2.3) збігаються, то невласний інтеграл називають збіжним. Якщо хоча б один з інтегралів правої частини рівності (2.3) розбігається, то невласний інтеграл називають розбіжним.

Варто відзначити, що іноді питання про збіжність (розбіжність) невласного інтеграла можна вирішити не обчислюючи його. При цьому користуються так званими ознаками збіжності невласних інтегралів. Розглянемо їх детальніше.


^ Ознаки збіжності невласних інтегралів першого роду


1. Ознака порівняння.

Якщо на проміжку функції і - неперервні і задовольняють умову , то із збіжності інтеграла випливає збіжність інтеграла , а із розбіжності інтеграла випливає розбіжність інтеграла .


2. Гранична ознака порівняння.

Якщо існує границя , < < , > > , то інтеграли і або одночасно обидва збігаються, або одночасно розбігаються.

Наслідки . а) Якщо , то із збіжності випливає збіжність ;

б) Якщо , то із розбіжності випливає розбіжність .


3. Якщо інтеграл збігається, то збігається і інтеграл , причому в цьому випадку він називається абсолютно збіжним.

Зауваження. Найчастіше при дослідженні інтегралів першого роду для порівняння використовують функції , оскільки відомо, що інтеграл > збігається при > і розбігається при < .


Зразки розв’язування задач

1   2   3   4   5   6

Схожі:

Зміс т розділ 1 Визначений інтеграл iconПояснювальна записка до вступних випробувань з математики для економістів
«Визначений інтеграл. Подвійний інтеграл», «Звичайні диференціальні рівняння. Основні поняття», «Числові ряди». Програма з математики...
Зміс т розділ 1 Визначений інтеграл iconЗміс т розділ 1 Застосування диференціального числення для дослідження функцій
Література
Зміс т розділ 1 Визначений інтеграл iconЗміс т розділ 1 Застосування диференціального числення для дослідження функцій
Література
Зміс т розділ 1 Визначений інтеграл iconНазва модуля: Вища математика Ч. 2 Код модуля
Невизначений та визначений інтеграл. Застосування визначеного інтегралу до задач геометрії та фізики. Границя, неперервність та диференційованість...
Зміс т розділ 1 Визначений інтеграл iconМетодичні рекомендації до самостійної роботи з вищої математики з виконання типового розрахунку №5 (невизначений та визначений інтеграл) за структурно-модульною схемою навчання і рейтинговою системою оцінки знань
Текст] : для студентів денної та заочної форм навчання спец. 050106, 050202, 050206, 091902, 010100, 091901 / В. С. Шебанін, І. П....
Зміс т розділ 1 Визначений інтеграл iconЗ курсу “Вища математика”
Всього по модулю: 1818Модуль зневизначений інтеграл, його властивості та обчислення. 88Визначений інтеграл та його застосування....
Зміс т розділ 1 Визначений інтеграл iconЗміст розділ загальні положення 2 розділ 2 виробничі та трудові відносини 3 розділ 3 відпустки 7 розділ 4 забезпечення продуктивної зайнятості 9 розділ 5 оплата праці 11 розділ 6 охорона праці 15
Додаток 2 Положення про порядок обрання та прийняття на роботу науково-педагогічних працівників Доннту
Зміс т розділ 1 Визначений інтеграл icon30. Інтегрування тригонометричних виразів Розглянемо деякі підстановки, що раціоналізують інтеграл від тригонометричного виразу
Розглянемо деякі підстановки, що раціоналізують інтеграл від тригонометричного виразу
Зміс т розділ 1 Визначений інтеграл iconQ14 Невизначений інтеграл дорівнює

Зміс т розділ 1 Визначений інтеграл icon29. Продовження
Розглядаючи інтеграл від дробу типу ІІІ, виділимо із тричлена у знаменнику повний квадрат
Додайте кнопку на своєму сайті:
Документи


База даних захищена авторським правом ©zavantag.com 2000-2013
При копіюванні матеріалу обов'язкове зазначення активного посилання відкритою для індексації.
звернутися до адміністрації
Документи