Зміс т розділ 1 Визначений інтеграл icon

Зміс т розділ 1 Визначений інтеграл




НазваЗміс т розділ 1 Визначений інтеграл
Сторінка3/6
Дата01.06.2012
Розмір0.51 Mb.
ТипДокументи
1   2   3   4   5   6

^ Дослідити на збіжність (розбіжність) і обчислити інтеграли.


1. .

Згідно з формулою (2.1) матимемо:


. Границя, нескінченна, отже інтеграл розбігається.


2. .



. Границя скінченна, заданий інтеграл збігається.

3. .




. Границя скінченна, інтеграл збігається.


4. .


Згідно з формулою (2.2) будемо мати:



.

Границя скінченна, інтеграл збігається.


5. .




. Границя нескінченна, отже інтеграл розбігається.


6. .

.

Як бачимо, визначений інтеграл не є табличним, тому обчислимо його окремо, розглядаючи як невизначений.


.


Повертаємось до границі:



.

Границя нескінченна, тому інтеграл розбігається.


7. .


Згідно з формулою (2.3) розіб’ємо наш невласний інтеграл на суму двох невласних інтегралів, а саме:



.

Обчислимо окремо невизначений інтеграл

.

Повертаємось до границь:





.

Границя скінченна, наш інтеграл збігається.


Зауваження. При обчисленні границь слід мати на увазі, що .

8. .


.

Обчислимо невизначений інтеграл:

.

Це інтеграл від правильного раціонального дробу, тому, по-перше, розкладемо дріб на суму простих дробів.

Будемо мати:

.

З рівняння тотожних многочленів чисельників лівого та правого дробу отримаємо систему рівнянь для знаходження невідомих коефіцієнтів .

Отже, .





Розглядаючи два останніх рівняння та підставляючи в них значення коефіцієнтів , отримаємо:


, звідки , тоді .

Отже, усі коефіцієнти знайдені і наш інтеграл зведеться до суми наступних інтегралів:





Повертаючись до границі, будемо мати:





.

При обчисленні враховано, що

, .

Тобто границя скінченна, інтеграл збігається.


9. .


.

Обчислимо інтеграл , як інтеграл від іраціональної функції, за допомогою тригонометричної підстановки .

Отримаємо :

.

Тепер

, оскільки при , а .

Границя нескінченна, отже інтеграл розбігається.


Перейдемо до розглядання прикладів, які пов’язані з використанням ознак збіжності невласних інтегралів.

Дослідити на збіжність інтеграли.


10. .


Підінтегральна функція задовольняє нерівність

.

Розглянемо інтеграл , тому він збігається. Користуючись першою ознакою порівняння, стверджуємо, що теж збігається.


11. .


Підінтегральна функція неперервна і додатна при , причому справджується така нерівність:

.

Розглянемо інтеграл - він розбігається , тому за ознакою порівняння, отримаємо, що інтеграл теж розбігається.

12. .


Для підінтегральної функції справджується тотожність:

.

Тепер інтеграл збігається , тоді так само збігається. За третьою ознакою збіжності робимо висновок, що вихідний інтеграл теж збігається, причому абсолютно.


13. .


У цьому прикладі вже не просто вибрати для порівняння таку функцію, щоб можна було застосувати першу ознаку збіжності . Тому застосуємо граничну ознаку порівняння, вибравши для порівняння функцію , інтеграл від якої збігається .

Одержимо:

.


Границя скінченна, тоді так само буде збігатися.


Зауваження. Для розкриття невизначеності було використано правило Лопіталя.


Завдання для самостійної роботи


Дослідити на збіжність (розбіжність) і обчислити інтеграли:


1. ;


2. ;


3. ;


4. ;


5. ;

6. ;


7. ;


8. ;

9. .


Дослідити на збіжність інтеграли:


10. ;


11. ;


12. ;

13. ;


14. .


2.2. Невласні інтеграли другого роду (від необмежених функцій)


Як відомо, необхідною умовою інтегровності функції на відрізку є її обмеженість. Проте є задачі, що приводять до розгляду інтеграла від функції, яка майже на всьому відрізку обмежена і стає необмеженою поблизу деякої точки, наприклад, поблизу однієї чи обох меж. Тоді природньо поширити поняття визначеного інтеграла і на такі функції, ввівши при цьому додаткові означення.

Отже, нехай функція задана на відрізку , крім, можливо, кінців, і є необмеженою, наприклад, поблизу точки , зокрема на відрізку , де . Нехай є обмеженою і інтегровною на будь-якому відрізку . Точку при цьому називають особливою точкою функції .


Означення 1. Невласним інтегралом другого роду функції на проміжку називається границя і позначають


. (2.5)


Якщо ця границя скінченна, то інтеграл називається збіжним. Якщо границя нескінченна, або взагалі не існує, тоді інтеграл називається розбіжним. Функція при цьому називається інтегровною на данному проміжку.

Нехай тепер функція є обмеженою і інтегровною на будь-якому відрізку , і не є інтегровною на відрізку .


Означення 2. Невласним інтегралом другого роду функції на проміжку називається границя і позначають


. (2.6)


У цьому випадку точка вважається особливою точкою функції .

Збіжність (розбіжність) інтеграла й інтегровність функції на відповідному проміжку визначають так само, як і для інтеграла (2.5). Інші можливі випадки можуть бути зведені до вже розглянутих.

Розглянемо випадок, коли особливими точками функції є одночасно точки й . Це означає, що функція необмежена на та на , а на будь-якому відрізку вона є інтегровною .

Тоді покладають , де - довільна точка інтервалу .

В цьому разі . (2.7)


Іноді може трапитися випадок, коли підінтегральна функція є необмеженою поблизу точки , яка знаходиться всередині відрізка . В інших частинах відрізка функція інтегровна. Тобто точка є особливою точкою функції .

Тоді покладають , але тепер у цій рівності обидва інтеграла правої частини означаються формулами (2.5) та (2.6). Позначають: . (2.8)

Висновок про збіжність інтеграла у формулах (2.7) та (2.8) роблять тільки в тому випадку, коли обидві границі правих частин цих формул, знайдені незалежно одна від одної, існують і скінченні. Інтеграл розбігається, якщо хоча б одна з цих границь нескінченна або взагалі не існує.

Зауважимо, що ознаки збіжності невласних інтегралів другого роду аналогічні подібним ознакам для інтегралів першого роду. При дослідженні на збіжність інтегралів, де особливою точкою є точка , для порівняння використовують функції , інтеграл від яких збігається, якщо і розбігається, якщо. Якщо особливою точкою функції є точка , використовують функції , інтеграл від яких так само збігається при і розбігається при .


Зразки розв’язування задач


Дослідити на збіжність (розбіжність) і обчислити інтеграли.


1.

. Границя існує і скінченна, отже інтеграл збігається.


2.

, оскільки перша границя нескінченна (при ). Тобто наш інтеграл розбігається.


3.

.

Обчислимо інтеграл окремо:



.

Повертаючись до границь, отримаємо:





. Оскільки обидві границі нескінченні, то інтеграл розбігається.


4.





. Обидві границі скінченні, інтеграл збігається.


5. .

Обчислимо інтеграл окремо:

.

Тоді , бо при .

Отже наш інтеграл розбігається.


6. .


Обчислимо інтеграл, застосовуючи метод інтегрування частинами:



.

Повертаючись до границі, отримаємо:



(при обчисленні границі застосовано правило Лопіталя).

Як бачимо,границя скінченна, наш інтеграл збігається.


7. .


Обчислимо інтеграл окремо, застосовуючи тригонометричну підстановку:








.

Тоді будемо мати:





.

При обчисленні границь враховано, що , .

Тобто наш інтеграл збігається.


8. .


Для обчислення інтеграла застосуємо універсальну підстановку:



.

Тоді , бо якщо . Границя скінченна, інтеграл розбігається.

1   2   3   4   5   6

Схожі:

Зміс т розділ 1 Визначений інтеграл iconПояснювальна записка до вступних випробувань з математики для економістів
«Визначений інтеграл. Подвійний інтеграл», «Звичайні диференціальні рівняння. Основні поняття», «Числові ряди». Програма з математики...
Зміс т розділ 1 Визначений інтеграл iconЗміс т розділ 1 Застосування диференціального числення для дослідження функцій
Література
Зміс т розділ 1 Визначений інтеграл iconЗміс т розділ 1 Застосування диференціального числення для дослідження функцій
Література
Зміс т розділ 1 Визначений інтеграл iconНазва модуля: Вища математика Ч. 2 Код модуля
Невизначений та визначений інтеграл. Застосування визначеного інтегралу до задач геометрії та фізики. Границя, неперервність та диференційованість...
Зміс т розділ 1 Визначений інтеграл iconМетодичні рекомендації до самостійної роботи з вищої математики з виконання типового розрахунку №5 (невизначений та визначений інтеграл) за структурно-модульною схемою навчання і рейтинговою системою оцінки знань
Текст] : для студентів денної та заочної форм навчання спец. 050106, 050202, 050206, 091902, 010100, 091901 / В. С. Шебанін, І. П....
Зміс т розділ 1 Визначений інтеграл iconЗ курсу “Вища математика”
Всього по модулю: 1818Модуль зневизначений інтеграл, його властивості та обчислення. 88Визначений інтеграл та його застосування....
Зміс т розділ 1 Визначений інтеграл iconЗміст розділ загальні положення 2 розділ 2 виробничі та трудові відносини 3 розділ 3 відпустки 7 розділ 4 забезпечення продуктивної зайнятості 9 розділ 5 оплата праці 11 розділ 6 охорона праці 15
Додаток 2 Положення про порядок обрання та прийняття на роботу науково-педагогічних працівників Доннту
Зміс т розділ 1 Визначений інтеграл icon30. Інтегрування тригонометричних виразів Розглянемо деякі підстановки, що раціоналізують інтеграл від тригонометричного виразу
Розглянемо деякі підстановки, що раціоналізують інтеграл від тригонометричного виразу
Зміс т розділ 1 Визначений інтеграл iconQ14 Невизначений інтеграл дорівнює

Зміс т розділ 1 Визначений інтеграл icon29. Продовження
Розглядаючи інтеграл від дробу типу ІІІ, виділимо із тричлена у знаменнику повний квадрат
Додайте кнопку на своєму сайті:
Документи


База даних захищена авторським правом ©zavantag.com 2000-2013
При копіюванні матеріалу обов'язкове зазначення активного посилання відкритою для індексації.
звернутися до адміністрації
Документи