Зміс т розділ 1 Визначений інтеграл icon

Зміс т розділ 1 Визначений інтеграл




НазваЗміс т розділ 1 Визначений інтеграл
Сторінка4/6
Дата01.06.2012
Розмір0.51 Mb.
ТипДокументи
1   2   3   4   5   6

^ Дослідити на збіжність інтеграли.


9. .


Підінтегральна функція має на проміжку інтегрування особливу точку . Розглянемо .

Виберемо для порівняння функцію , інтеграл від якої збігається . Згідно з ознакою порівняння, заданий інтеграл також збігається.


10. .


Підінтегральна функція має особливу точку . Розглянемо .

Виберемо для порівняння функцію , інтеграл від якої розбігається . Знову застосовуючи ознаку порівняння, робимо висновок, що наш інтеграл також розбігається.


11. .


Маємо, що - особлива точка для підінтегральної функції.

Розглянемо і оберемо для порівняння функцію . Застосуємо граничну ознаку порівняння, а саме:

, а інтеграл збігається . Згідно граничній ознаці порівняння, так само збігається.


12. .


Підінтегральна функція має особливу точку . Дослідимо інтеграл на абсолютну збіжність:

. Маємо .

Порівняємо функцію правої частини нерівності із функцією , після чого застосуємо граничну ознаку порівняння:

.

Границя скінченна і дорівнює нулю. Оскільки інтеграл збігається , за граничною ознакою порівняння інтеграл також збігається. Тоді за ознакою порівняння збігається і інтеграл . Отже, на підставі третьої ознаки збіжності, вихідний інтеграл абсолютно збігається.


Завдання для самостійної роботи


Дослідити на збіжність (розбіжність) і обчислити інтеграли:


1. ;


2. ;

3. ;

4. ;


5. ;


6. ;


7. ;


8. ;


9. ;


10. ;


Дослідити на збіжність інтеграли:


11. ;


12. ;


13. ;


14. ;



Розділ 3

^ ЗАСТОСУВАННЯ ВИЗНАЧЕНОГО ІНТЕГРАЛА

ДО ЗАДАЧ ГЕОМЕТРІЇ


3.1. Обчислення площ плоских фігур


Визначений інтеграл від додатної неперервної функції , заданої на відрізку , чисельно дорівнює площі криволінійної трапеції, обмеженої графіком функції і прямими (рис. 3.1):


. (3.1)


В разі, коли на (рис.3.2)


. (3.2)


y

Рис. 3.2



Рис. 3.1

Якщо функція на відрізку скінчене число разів змінює знак, то

.

Площу фігури, обмеженої кривими та і прямими за умови, що (рис.3.3) знаходять за формулою


. (3.3)

У випадку, коли фігура обмежена кривою та прямими (рис.3.4), її площу знаходять за формулою

. (3.4)

Якщо крива задана параметричними рівняннями , де - неперервні функції, що мають неперервні похідні на відрізку , то площа криволінійної трапеції, обмеженої цією кривою, прямими та відрізком осі , визначається за формулою:


, (3.5)

де і - значення параметра , при яких .





Рис. 3.3

Рис. 3.4

У полярній системі координат площа криволінійного сектора, обмеженого неперервною кривою ,

та відповідними відрізками променів (рис. 3.5), дорівнює


. (3.6)


Рис. 3.5


Зразки розв’язування задач


Обчислити площі фігур, обмежених лініями.


1. .


Розв’язання


Побудуємо дані лінії і визначимо фігуру, площу якої треба знайти.




Площа визначається за формулою (3.1) :


x = 0


кв. од.


2. .


Розв’язання


Зобразимо фігуру, площу якої шукаємо.




Тоді



кв. од.


3. .


Розв’язання


Фігура обмежена параболою і прямою .

Щоб визначити межі інтегрування, знайдемо абсциси точок перетину ліній та :

, звідки.


Як бачимо, фігура симетрична відносно осі , тому обчислимо площу її правої половини, а загальний результат подвоємо.

Будемо мати: кв. од.


4. .

Розв’язання


Побудуємо дані лінії.

Фігура на відрізку обмежена зверху , знизу прямою . Її площу знайдемо за формулою (3.3):


кв. од.


5. .


Розв’язання


Побудуємо параболу . Приведемо рівняння до канонічного виду, виділивши повний квадрат:

.

Отже, парабола має вершину в точці і перетинає вісь в точках .

На відрізку функція має від’ємні значення. За формулою (3.2) шукана площа дорівнює:





кв. од.


6. .


Канонічний вид параболи :

тоді .

Парабола симетрична відносно прямої , має вершину .

Точки перетину з віссю :

, тоді

, звідки

, .

За формулою (3.4) знайдемо площу:



кв. од.


7. .

Розв’язання

Побудуємо дані гіперболу та пряму. Для знаходження абсцис точок перетину графіків розв’яжемо систему рівнянь:

, тоді , , , звідки .

Отже,


кв. од.

8. .

Розв’язання

Побудуємо дані лінії.


Точки перетину графіків:

, тоді , , звідки .


Як бачимо, фігура розташована у I чверті, тому оберемо . На відрізку фігура зверху обмежена спочатку графіком функції (якщо ), а потім графіком (якщо ). Тому площу всієї фігури знайдемо як суму двох площ, кожну з яких обчислимо за формулою (3.1).

А саме: ,

де кв. од., кв. од.

Отримаємо: кв. од.


Перейдемо до розглядання прикладів обчислення площ у параметричній системі координат для циклоїди та кардіоїди. Обидві ці криві мають механічне походження та описуються точкою кола радіуса , що котиться без ковзання по деякій лінії. Для циклоїди цією лінією буде пряма, а для кардіоїди – знов коло радіуса , що має із першим колом зовнішній дотик.


9. Знайти площу фігури обмеженої віссю та однією аркою циклоїди

.


Розв’язання


Поглянемо на вигляд цієї кривої.





Параметр буде змінюватися від до . Використавши формулу (3.5), маємо:








кв. од.

Таким чином, площа однієї арки циклоїди втричі більше площі кола, що котиться.


10. Знайти площу, обмежену кардіоїдою ,

.


Розв’язання


Наведемо вигляд цієї кривої.

Крива симетрична відносно осі . Обчислимо половину площі і подвоємо результат. Точкам та відповідають значення параметрів .

Для обчислення площі використаємо формулу (3.6).


Обчислимо : .

Тоді








.

Отримаємо: кв. од.


Тепер ознайомимося із цікавими кривими у полярній системі координат.


11. Обчислити площу, обмежену лемніскатою Бернуллі .


Розв’язання




Прослідкуємо, як змінюється кут , коли радіус-вектор точки на лемніскаті описує чверть шуканої площі.

При , . Визна-чимо, чому дорівнює кут , коли радіус-вектор дорівнюватиме . Підставляючи в рівняння кривої, отримаємо: , , , звідки .

Таким чином, на чверті площі полярний кут змінюється в межах від до . Тоді за формулою (3.6):

.

Вся площа кв. од.


12.Обчислити площу однієї пелюстки рози, яка задається рівнянням .


Зауваження. Зазначимо, що криві задані рівняннями (або ), де та - постійні величини, називаються розами. Якщо - парне число, то крива має - пелюсток, якщо - непарне число, то крива має - пелюсток.

Щоб знайти площу однієї пелюстки, визначимо, як змінюється полярний кут , коли радіус-вектор описує цю площу.

Нехай . Тоді , звідки .

При , при . Тобто кут змінюється від до.

Розв’язання




Повернемось до нашого прикладу: - 3-х пелюсткова роза.

Описуючи площу однієї пелюстки, радіус-вектор пробігає кут від до .

Тоді

кв. од.


13.Обчислити площу, обмежену петлею декартового листа, який визначається рівнянням .

Розв’язання


Для обчислення площі перейдемо до полярних координат, поклавши , .

Отримаємо: ,

,

.

Так як при заміні на , а на рівняння на змінюється, то крива симетрична відносно прямої . Тому шукану площу можна розглядати як подвоєну площу . При цьому радіус-вектор повертається від початкового положення на кут . Отже,

.

Винесемо в знаменнику за дужки:



.


Зробимо заміну , . Нові межі інтегрування: , .

Отже, .

Ще раз зробимо заміну , , , .

Тоді: .


Отримаємо: кв. од.

1   2   3   4   5   6

Схожі:

Зміс т розділ 1 Визначений інтеграл iconПояснювальна записка до вступних випробувань з математики для економістів
«Визначений інтеграл. Подвійний інтеграл», «Звичайні диференціальні рівняння. Основні поняття», «Числові ряди». Програма з математики...
Зміс т розділ 1 Визначений інтеграл iconЗміс т розділ 1 Застосування диференціального числення для дослідження функцій
Література
Зміс т розділ 1 Визначений інтеграл iconЗміс т розділ 1 Застосування диференціального числення для дослідження функцій
Література
Зміс т розділ 1 Визначений інтеграл iconНазва модуля: Вища математика Ч. 2 Код модуля
Невизначений та визначений інтеграл. Застосування визначеного інтегралу до задач геометрії та фізики. Границя, неперервність та диференційованість...
Зміс т розділ 1 Визначений інтеграл iconМетодичні рекомендації до самостійної роботи з вищої математики з виконання типового розрахунку №5 (невизначений та визначений інтеграл) за структурно-модульною схемою навчання і рейтинговою системою оцінки знань
Текст] : для студентів денної та заочної форм навчання спец. 050106, 050202, 050206, 091902, 010100, 091901 / В. С. Шебанін, І. П....
Зміс т розділ 1 Визначений інтеграл iconЗ курсу “Вища математика”
Всього по модулю: 1818Модуль зневизначений інтеграл, його властивості та обчислення. 88Визначений інтеграл та його застосування....
Зміс т розділ 1 Визначений інтеграл iconЗміст розділ загальні положення 2 розділ 2 виробничі та трудові відносини 3 розділ 3 відпустки 7 розділ 4 забезпечення продуктивної зайнятості 9 розділ 5 оплата праці 11 розділ 6 охорона праці 15
Додаток 2 Положення про порядок обрання та прийняття на роботу науково-педагогічних працівників Доннту
Зміс т розділ 1 Визначений інтеграл icon30. Інтегрування тригонометричних виразів Розглянемо деякі підстановки, що раціоналізують інтеграл від тригонометричного виразу
Розглянемо деякі підстановки, що раціоналізують інтеграл від тригонометричного виразу
Зміс т розділ 1 Визначений інтеграл iconQ14 Невизначений інтеграл дорівнює

Зміс т розділ 1 Визначений інтеграл icon29. Продовження
Розглядаючи інтеграл від дробу типу ІІІ, виділимо із тричлена у знаменнику повний квадрат
Додайте кнопку на своєму сайті:
Документи


База даних захищена авторським правом ©zavantag.com 2000-2013
При копіюванні матеріалу обов'язкове зазначення активного посилання відкритою для індексації.
звернутися до адміністрації
Документи