Міністерство освіти І науки україни Національна металургійна академія україни icon

Міністерство освіти І науки україни Національна металургійна академія україни




НазваМіністерство освіти І науки україни Національна металургійна академія україни
Сторінка1/6
Дата01.06.2012
Розмір0.54 Mb.
ТипДокументи
  1   2   3   4   5   6


Міністерство освіти І науки україни

Національна металургійна академія україни


Т.М.КАДИЛЬНИКОВА, О.Є.ЗАПОРОЖЧЕНКО, Т.П.БАС


пОСІБНИК-ДОВІДНИК


з дисципліни “Вища математика”

для студентів заочної форми навчання

( І семестр, I курс)


Затверджено

на засіданні Вченої Ради

академії

протокол № від 2010 р.


Дніпропетровськ НМетАУ 2010


УДК 517(07)

Кадильникова Т.М., Запорожченко О.Є., Бас Т.П.Вища математика в прикладах та задачах. Частина I : Навч. посібник.- Дніпропетровськ: НМетАУ, 2010.- 92 с.

Наведені докладні розв’язання типових задач з додатковии поясненнями теоретичних положень.

Посібник призначений для студентів всіх форм навчання.

Друкується за авторською редакцією.


Відповідальний за випуск А.П.Павленко, д-р. фіз.-мат. наук, професор.

Рецензенти: Т.С.Кагадій, докт. фіз.-мат. наук, проф. ( НГУ);

Ю.Я.Годес, канд. фіз.-мат. наук, доц. (ДНУ).


Національна металургійна академія

України, 2010

Вступ


Розв’язання задач з вищої математики часто пов’язано з багатьма складностями. Відомо, що при самостійному розв’язуванні задач студентам потрібні постійні консультації щодо способів їх розв’язування, оскільки знайти шлях до розв’язування задачі без допомоги викладача або відповідного підручника студентові не під силу. Допомогти студентам заочної форми навчання подолати ці складності, навчити їх застосовувати теоретичні знання до розв’язування задач - основне призначення цього методичного видання.

Метою видання є надання допомоги студентам у отриманні навичок з розв’язування типових задач, користуючись наведеними теоремами та формулами, а також детально розібраними прикладами. Там, де це можливо, задачі класифікувалися за темами. До кожного нового типу подано задачі з розв’язуванням і кілька задач того самого типу для самостійного опрацювання.


  1. Матриці і операції над ними. Визначники матриць. Властивості визначників. Обернена матриця.

Матрицею розміру називається сукупність елементівaij, розміщених у вигляді прямокутної таблиці, що має m рядків і n стовпців:

або .

Перший індекс кожного елемента вказує на номер рядка, в якому цей елемент розміщений, другий – на номер стовпця. Матриці позначають прописними буквами латинського алфавіту: А, В, C,….Уживають також більш компактний запис А=(аij)mn.

Матриця називається числовою, якщо її елементи аij – числа; функціональною, якщо аijфункції. Ми будемо розглядати, в основному, числові матриці.

Кажуть, що матриці А і В мають однакові розміри, якщо у них однакова кількість рядків і однакова кількість стовпців. Матриці А і В вважаються рівними між собою, якщо вони мають однакові розміри, а їхні елементи, що знаходяться на однакових місцях, рівні між собою.

Матриця, у якої кількість рядків дорівнює кількості стовпців (тобто m = n), називається квадратною матрицею порядку n. Квадратна матриця порядку n має вигляд:

.

Елементи а11, a22,…,ann утворюють головну діагональ матриці, а елементи a1n, a2(n-1),…,an1побічну.

Деякі квадратні матриці мають власні назви. Зокрема, до них відносяться нульова, діагональна та одинична матриці.

Нульовою називається матриця, всі елементи якої - нулі.

Якщо всі елементи матриці, окрім розташованих на головній діагоналі, дорівнюють нулю, то в цьому випадку матриця називається діагональною.

Якщо всі елементи діагональної матриці дорівнюють одиниці, то вона називається одиничною матрицею. Одинична матриця має вигляд:

.

Матрицю, яку одержують із матриці А заміною її рядків відповідними стовпцями, називають транспонованою і позначають АТ. Транспонована матриця має вигляд:

.

Сумою (різницею) матриць А і В називається матриця С, елементи якої сij=aij+bij (сij=aij-bij), де aij і bijвідповідно елементи матриць А і В. При цьому пишуть С = А + В.

Додавати або віднімати можна тільки матриці однакових розмірів.

Добутком матриці А на число ? називається матриця С такого ж розміру, елементи якої сij= ? aij, де aij – елементи матриці А, тобто при множенні матриці на число (числа на матрицю) треба всі елементи матриці помножити на це число. При цьому пишуть С = ? А.

Для довільних матриць А, В, С однакових розмірів і довільних чисел ? та ? справджуються рівності:

А + В = В + А;

(А + В) +С = А + (В + С);

?(А + В) = ?А + ?В;

(? + ? )А = ? А + ? А;

(? ? )А = ? (? А).

Добутком матриці на матрицю називається матриця , елементи якої, де aik, bkj – елементи матриць А і В. Зауважимо, що перемножувати можна тільки ті матриці, в яких кількість стовпців першої матриці дорівнює кількості рядків другої. З існування добутку АВ не означає, що існує добуток ВА.

Якщо АВ = ВА , то матриці А і В називаються комутативними.

Визначником другого порядку квадратної матриці називається число

Визначником третього порядку квадратної матриці називається число:



Д


ля обчислення визначників третього порядку існує правило трикутника, яке схематично можна зобразити так:

Аналогічно для квадратної матриці А n-го порядку можна розглянути її визначник n-го порядку. Визначник матриці А часто позначають det A.

Мінором Мij елемента аij називається визначник, який дістають з визначника матриці А викреслюванням i-го рядка та j-го стовпця.

Алгебричним доповненням Аij елемента аij називається відповідний мінор, взятий зі знаком «плюс», якщо сума його індексів парна, і зі знаком «мінус», якщо сума його індексів непарна .

Визначник вищого порядку можна обчислити за допомогою визначників нижчого порядку розкладом за елементами якогось рядка або стовпця. Зокрема, для визначників третього порядку маємо:

.

Визначник дорівнює сумі добутків елементів деякого рядка ( стовпця ) на їх алгебричні доповнення.

^ Основні властивості визначників.

  1. Значення визначника не змінюється, якщо його рядки замінити відповідними стовпцями, а стовпці – рядками.

  2. Перестановка двох рядків (стовпців) визначника рівносильна множенню його на –1.

  3. Якщо визначник має два однакових рядка (стовпця), то він дорівнює нулю.

  4. Якщо всі елементи якого-небудь рядка (стовпця) визначника містять спільний множник, то його можна винести за знак визначника.

  5. Якщо всі елементи деякого рядка (стовпця) визначника дорівнюють нулю, то і сам визначник дорівнює нулю.

  6. Якщо відповідні елементи двох рядків (стовпців) визначника пропорційні, то визначник дорівнює нулю.

  7. Якщо кожний елемент деякого рядка (стовпця) визначника є сумою двох доданків, то визначник дорівнює сумі двох визначників, у яких один у згаданому рядку (стовпці) має перші з заданих доданків, а інший – другі; елементи, що знаходяться на решті місць, у всіх трьох визначниках одні й ті самі. Записується ця властивість таким чином:

.

  1. Якщо до елементів деякого рядка (стовпця) визначника додати відповідні елементи іншого рядка (стовпця), помножені на довільний спільний множник, то значення визначника при цьому не зміниться.

Матриця А-1 називається оберненою до квадратної матриці А, якщо добуток цих матриць дорівнює одиничній матриці, тобто АА-1-1А=Е.

Обернена матриця існує для всякої квадратної матриці А, яка є невиродженою, тобто коли визначник матриці detA ? 0.

Алгоритм знаходження оберненої матриці:

  1. Обчислити визначник матриці А. Якщо detA ? 0, то матриця А має обернену, в іншому випадку оберненої матриці не існує.

  2. Обчислити алгебричні доповнення Аij елементів матриці А.

  3. Визначити обернену матрицю за формулою:

.

Зразки розв’язування задач.

1.Знайти матрицю С=2А-3В, якщо і .


Розв’язання:

Користуючись означеннями операцій множення матриці на число та додавання матриць, послідовно знаходимо:


, ,


2.Для матриць і обчислити АТТ.


Розв’язання:

, ,

.
^

3.Для заданих матриць обчислити АВ і ВА, якщо це можливо:

  1. , ; б) , .


Розв’язання:

а) Оскільки задано матриці А2Ч2 і В2Ч2, то можна визначити добутки АВ та ВА. Отже,

;

;

АВ=ВА.

б) Оскільки кількість стовпців матриці А не дорівнює кількості рядків матриці В то добутку АВ не існує. Проте можна обчислити добуток ВА.

.
^

4.Обчислити визначники:


а) ; б) ; в) .

Розв’язання:

а


) Використовуючи формулу для обчислення визначника другого порядку, маємо:

б) .

в) Користуючись правилом трикутника, знаходимо


^

5.Обчислити визначник , розклавши його за елементами першого рядка.


Розв’язання:


^

6.Обчислити визначник, спочатку спростивши його: .


Розв’язання:

Додамо перший рядок до третього рядка , потім помножимо перший рядок на –2 і додамо його до другого рядка і отримаємо визначник, в якому елементи . Отриманий визначник розкладаємо за елементами першого стовпця:


7.Знайти матрицю, обернену до матриці і перевірити, чи справджуються рівності .


Розв’язання:

Знайдемо визначник матриці: .Оскільки , обернена матриця існує. Знаходимо алгебричні доповнення :А11 = 3, А12= -1, А21 = -2, А22 = 1. Тоді обернена матриця буде мати вигляд:

.


Перевіримо, чи виконуються рівності :

;


.

Отже .

Завдання для самостійної роботи.

1.Для матриць і обчислити АТ-3В, АВ, ВА, АВ+Е.

^

2.Обчислити визначники:


а) , б) , в) , г).
^

3.Обчислити визначник матриці, яка є добутком двох заданих матриць:


, .
^

4.Серед заданих матриць знайти невироджену:


а) , б) , в) .
^

5.Для заданої матриці знайти обернену: .

  1   2   3   4   5   6

Схожі:

Міністерство освіти І науки україни Національна металургійна академія україни iconІнформація про застосування процедури закупівлі в одного учасника Замовник: > Найменування. Національна металургійна академія України Міністерства освіти І науки, молоді та спорту України Ідентифікаційний код за єдрпоу
Найменування. Національна металургійна академія України Міністерства освіти і науки, молоді та спорту України
Міністерство освіти І науки україни Національна металургійна академія україни iconІнформація про застосування процедури закупівлі в одного учасника Замовник: Найменування. Національна металургійна академія України Міністерства освіти І науки, молоді та спорту України Ідентифікаційний код за єдрпоу
Найменування. Національна металургійна академія України Міністерства освіти і науки, молоді та спорту України
Міністерство освіти І науки україни Національна металургійна академія україни iconІнформація про застосування процедури закупівлі в одного учасника Замовник: > Найменування. Національна металургійна академія України Міністерства освіти І науки, молоді та спорту України Ідентифікаційний код за єдрпоу
Найменування. Національна металургійна академія України Міністерства освіти і науки, молоді та спорту України
Міністерство освіти І науки україни Національна металургійна академія україни iconІнформація про застосування процедури закупівлі в одного учасника Замовник: > Найменування. Національна металургійна академія України Міністерства освіти І науки, молоді та спорту України
Найменування. Національна металургійна академія України Міністерства освіти і науки, молоді та спорту України
Міністерство освіти І науки україни Національна металургійна академія україни iconІнформація про застосування процедури закупівлі в одного учасника Замовник: > Найменування. Національна металургійна академія України Міністерства освіти І науки, молоді та спорту України
Найменування. Національна металургійна академія України Міністерства освіти і науки, молоді та спорту України
Міністерство освіти І науки україни Національна металургійна академія україни iconІнформація про застосування процедури закупівлі в одного учасника Замовник: > Найменування. Національна металургійна академія України Міністерства освіти І науки, молоді та спорту України
Найменування. Національна металургійна академія України Міністерства освіти і науки, молоді та спорту України
Міністерство освіти І науки україни Національна металургійна академія україни iconІнформація про застосування процедури закупівлі в одного учасника Замовник: > Найменування. Національна металургійна академія України Міністерства освіти І науки, молоді та спорту України
Найменування. Національна металургійна академія України Міністерства освіти і науки, молоді та спорту України
Міністерство освіти І науки україни Національна металургійна академія україни iconІнформація про застосування процедури закупівлі в одного учасника Замовник: Найменування. Національна металургійна академія України Міністерства освіти І науки, молоді та спорту України
Найменування. Національна металургійна академія України Міністерства освіти і науки, молоді та спорту України
Міністерство освіти І науки україни Національна металургійна академія україни iconІнформація про застосування процедури закупівлі в одного учасника Замовник: > Найменування. Національна металургійна академія України Міністерства освіти І науки, молоді та спорту України
Найменування. Національна металургійна академія України Міністерства освіти і науки, молоді та спорту України
Міністерство освіти І науки україни Національна металургійна академія україни iconІнформація про застосування процедури закупівлі в одного учасника Замовник: > Найменування. Національна металургійна академія України Міністерства освіти І науки, молоді та спорту України
Найменування. Національна металургійна академія України Міністерства освіти і науки, молоді та спорту України
Міністерство освіти І науки україни Національна металургійна академія україни iconМіністерство освіти і науки України Національна металургійна академія України Кафедра

Додайте кнопку на своєму сайті:
Документи


База даних захищена авторським правом ©zavantag.com 2000-2013
При копіюванні матеріалу обов'язкове зазначення активного посилання відкритою для індексації.
звернутися до адміністрації
Документи