Міністерство освіти І науки україни Національна металургійна академія україни icon

Міністерство освіти І науки україни Національна металургійна академія україни




НазваМіністерство освіти І науки україни Національна металургійна академія україни
Сторінка2/6
Дата01.06.2012
Розмір0.54 Mb.
ТипДокументи
1   2   3   4   5   6



2. Системи лінійних рівнянь. Формули Крамера. Розв’язування систем лінійних рівнянь матричним методом

Системою m лінійних рівнянь з n змінними x1, x2, …, xn називається система, яка має наступний вигляд:

де аij – коефіцієнти при змінних; bi - вільні члени,

Упорядкована сукупність чисел , називається розв’язком системи, якщо при заміні х1 на а1 , х2 на а2 , … , хn на аn у кожному рівнянні системи дістанемо n правильних числових рівностей.

Система, що має розв’язок, називається сумісною. Система, яка не має жодного розв’язку, називається несумісною. Система з єдиним розв’язком називається визначеною, а з більшим числом розв’язків – невизначаною.

Система двох лінійних рівнянь з двома змінними має вигляд:

(2.1)

а систему трьох лінійних рівнянь з трьома змінними записують у вигляді: (2.2)

Метод Крамера. Цей метод розв’язування систем лінійних рівнянь зводиться до обчислення визначників. Так, розв’язок системи (2.1) можна знайти за формулами Крамера:



де за умови, що


- називається визначником системи (2.1), а - визначники, які дістають з визначника заміною першого, другого стовпців відповідно стовпцем вільних членів.

Формули Крамера для системи (2.2) мають вигляд:

,

де - визначник системи (2.2) , а

визначники, які дістають з визначника заміною першого, другого і третього стовпців відповідно стовпцем вільних членів.

Системи (2.1) і (2.2) мають:

а) єдиний розв’язок, коли ;

б) безліч розв’язків, коли

в) не мати жодного розв’язку, коли і хоча б один із визначників відмінний від нуля.

Матричний метод роз’язання лінійних систем.

Нехай дано систему:

Розглянемо три матриці:




Перша матриця називається матрицею симтеми, друга матрицею-стовпцем змінних, третя – матрицею-стовпцем вільних членів. Тоді систему можна записати у матричному вигляді: . Якщо матриця системи рівнянь невироджена , то розв’язок системи знаходимо у вигляді , або



Зразки розв’язування задач.
^

1.Розв’язати системи рівнянь за формулами Крамера:




Розв’язання:

  1. Заходимо визначник системи

, тому система має єдиний розв’язок . Знаходимо .

За формулами Крамера , маємо:



б) Знаходимо визначник системи:



Система має єдиний розв’язок. Знаходимо



За формулами Крамера, маємо:


^

2.Дослідити на сумісність системи лінійних рівнянь та знайти їх розв’язок у випадку сумісності:


а) б)

Розв’язання:

  1. Обчислемо визначник системи:



Визначник системи дорівнює нулю. Система або має безліч розв’язків, або не має жодного розв’язку. Знаходимо






Оскільки, , то система сумісна і невизначена. Для знаходження всіх розв’язків, відкидаємо третє рівняння, а рівняння , що залишилися, записуємо у вигляді:



Розв’язуємо отриману систему за формулами Крамера:





;



б) , тому що другий і третій рядки пропорційні.

Система або має безліч розв’язків, або не має жодного розв’язку.



Отже, задана система не має жодного розв’язку, тобто вона є несумісною.
^

3.Розв’язати систему лінійних рівнянь матричним методом:




Розв’язання:

Запишемо дану систему рівнянь у матричній формі: де



значить матриця А має обернену матрицю.

Знайдемо алгебричні доповнення елементів матриці А :





Скориставшись рівністю , знаходимо розв’язок системи:




- шуканий розв’язок.

Завдання для самостійної роботи.

  1. Розв’язати системи лінійних рівнянь за формулами Крамера:

а) б)

  1. Визначити, при яких значеннях а і b система



а) має один розв’язок;

б) має безліч розв’язків;

в) не має жодного розв’язку.

  1. Розв’язати системи лінійних рівнянь матричним методом:

а) б)


^ 3.Вектори в просторі. Основні поняття. Лінійні операції з векторами. Прямокутна система координат у просторі.

Розглянемо напрямлений відрізок , де А – початок, В – кінець. Будемо називати його вектором.
^

Довжину вектора будемо позначати таким чином:


.



  1. Додавання векторів.

Щ


Рис. 3.1

об побудувати суму даних векторів і , треба відкласти ці вектори від довільної точки та побудувати на них паралелограм. Сумою векторів буде діагональ, що виходить з початку векторів і (рис. 3.1).


Цей спосіб побудови називається правилом паралелограма.

Суму двох векторів можно побудувати ще й за правилом трикутника.

В


Рис. 3.2

ідкласти вектор від кінця вектора . Сумою векторів і буде вектор, що з’єднує початок з кінцем (рис. 3.2).


Щ


Рис. 3.3

об побудувати суму n даних векторів , треба від довільної точки відкласти , потім від його кінця відкласти і т.д., нарешті від кінця відкласти . Сумою векторів буде вектор, напрямлений від початку до кінця (рис. 3.3).



  1. Віднімання векоторів.

Щ


Рис. 3.4

об побудувати різницю векторів , треба відкласти ці вектори від довільної точки, з’єднати їх кінці та вибрати на цьому відрізку напрямок від кінця до кінця (рис. 3.4).


  1. Множення вектора на число.

Добутком ненульового вектора на число k називається вектор, який має напрям вектора , якщо , і протинапрям, якщо (при , ).

Ці три операції називаються лінійними операціями з векторами.

  1. Проекція вектора на вісь.

П


Рис. 3.5

роекцією вектора на вісь називається довжина направленого відрізка, початок якого є проекція початку вектора і кінець – проекція його кінця, яка береться із знаком плюс, якщо напрями відрізка і осі збігаються, і зі знаком мінус, якщо їх напрями протилежні (рис.3.5).

, .

Властивості проекції.

  1. ;

б) ;

в) .

  1. Прямокутна система координат.

Нехай у просторі задано три попарно перпендикулярні осі OX, OY, OZ. Координатами вектора на осі називаються проекції вектора на ці осі:

, , .

Якщо - одиничні вектори, що напрямлені по OX, OY, OZ, то .

Якщо , то координати вектора .

  1. Правила дій над векторами, заданими своїми координатами.

Якщо , , то

;

;

.

  1. ^ Довжина вектора. Напрямлені косинуси вектора.

;

; ; ,

де - кути між та осями OX, OY, OZ.

Для напрямлених конусів справедливо співвідношення:



  1. Поділ відрізка в даному відношенні.

Нехай точки А, В мають координати , .

Якщо відрізок АВ поділимо точкою М у відношенні: , то координати точки М знаходять за формулами:

; .

Якщо , то отримуємо формули для знаходження координат середини відрізка.

Зразки розв’язування задач.




Задача 1
. Дано ненульові вектори і . Побудувати вектори , .


Розв’язання. Знайдемо суму за правилом трикутника :

і






різницю :

З


адача 2
. Вектори , - діагоналі паралелограма ABCD. Запишіть вектори ,, і через і .

Розв’язання.

За означенням суми і різниці векторів маємо: , . Додавши ці рівності, дістанемо . Далі знайдемо ; , .

Задача 3. Дано: ; . Обчислити: 1); 2).

Розв’язання. Використавши властивості проекцій, дістанемо:

  1. .

  2. .

Задача 4. Знайти проекції вектора на вісь l, яка утворює з вектором кут: 1) 450, 2) 1200, 3) 1500, якщо довжина вектора дорівнює 4.

Розв’язання.

  1. ;

  2. ;

  3. .

Задача 5. Знайти периметр трикутника, вершинами якого є точки , , .

Розв’язання. Знайдемо координати векторів, що створюють трикутник, та їх довжини:

, ;

, ;

, ;

;

;

.

Тоді периметр трикутника .

Задача 6. Обчислити довжину вектора , якщо , .

Розв’язання. Знайдемо координати векторів:

, ;

, ;

, .

Тоді довжина шуканого вектора дорівнює:

.

Задача 7. Відрізок АВ, де , . , поділений точкою М у відношенні . Знайти координати точки М.

Розв’язання.

; ;

.

Отже, .

Задача 8. Відрізок з кінцями і , ділиться в точці М навпіл. Знайдіть довжину відрізка МК, де .

Розв’язання. Знайдемо координати точки М за формулами:

; ; ;

.

Тоді координати вектора , .

Довжина вектора .

Задача 9. Точки , , є вершинами паралелограма, причому А і С – протилежні вершини. Знайдіть четверту вершину D.




Розв’язання
.


Позначимо координати точки , тоді , . Оскільки , їх координати рівні:

; ; ;

; ; .

Четверта вершина паралелограма – точка .

Задача 10. Знайти напрямні косинуси вектора , а також кути, що утворює вектор з осями координат, якщо .

Розв’язання. Знайдемо координати вектора та його довжину .

Напрямні косинуси дорівнюють:

; ; .

Тоді ; ; .

Завдання для самостійної роботи.

Задача 1. У трикутнику АВС проведено медіану АМ. Доведіть, що .

Задача 2. Дано вектори , , . Знайти довжини векторів 1) , 2) .

Задача 3. Точки , , є вершинами паралелограма, причому А і С – протилежні вершини. Знайдіть четверту вершину D, а також периметр паралелограму.

Задача 4. Дано: , , кути між віссю l дорівнюють 600 і 1200. Обчислити .

Задача 5. Відрізок АВ задано координатами своїх кінців і . Знайти довжину вектора , де С – середина відрізка АВ, D – точка, яка ділить АВ у відношенні .


^ 4. Скалярний, векторний, мішаний добутки векторів. Застосування в задачах геометрії. Умови перпендикулярності та компланарності векторів.

  1. Скалярним добутком векторів називається число, що дорівнює добутку довжин векторів на косинус кута між ними:



Якщо вектори задані своїми координатами: , , то скалярний добуток обчислюють за формулою:

.

Кут між векторами обчислюють за формулою:

.

Умова перпендикулярності векторів і має вигляд:

.

Скалярний квадрат вектора дорівнює:

.

Проекція вектора на напрям вектора :

.

  1. ^ Векторним добутком двох векторів і називається третій вектор , який задовольняє умові:

  1. ;

  2. , ;



1   2   3   4   5   6

Схожі:

Міністерство освіти І науки україни Національна металургійна академія україни iconІнформація про застосування процедури закупівлі в одного учасника Замовник: > Найменування. Національна металургійна академія України Міністерства освіти І науки, молоді та спорту України Ідентифікаційний код за єдрпоу
Найменування. Національна металургійна академія України Міністерства освіти і науки, молоді та спорту України
Міністерство освіти І науки україни Національна металургійна академія україни iconІнформація про застосування процедури закупівлі в одного учасника Замовник: Найменування. Національна металургійна академія України Міністерства освіти І науки, молоді та спорту України Ідентифікаційний код за єдрпоу
Найменування. Національна металургійна академія України Міністерства освіти і науки, молоді та спорту України
Міністерство освіти І науки україни Національна металургійна академія україни iconІнформація про застосування процедури закупівлі в одного учасника Замовник: > Найменування. Національна металургійна академія України Міністерства освіти І науки, молоді та спорту України Ідентифікаційний код за єдрпоу
Найменування. Національна металургійна академія України Міністерства освіти і науки, молоді та спорту України
Міністерство освіти І науки україни Національна металургійна академія україни iconІнформація про застосування процедури закупівлі в одного учасника Замовник: > Найменування. Національна металургійна академія України Міністерства освіти І науки, молоді та спорту України
Найменування. Національна металургійна академія України Міністерства освіти і науки, молоді та спорту України
Міністерство освіти І науки україни Національна металургійна академія україни iconІнформація про застосування процедури закупівлі в одного учасника Замовник: > Найменування. Національна металургійна академія України Міністерства освіти І науки, молоді та спорту України
Найменування. Національна металургійна академія України Міністерства освіти і науки, молоді та спорту України
Міністерство освіти І науки україни Національна металургійна академія україни iconІнформація про застосування процедури закупівлі в одного учасника Замовник: > Найменування. Національна металургійна академія України Міністерства освіти І науки, молоді та спорту України
Найменування. Національна металургійна академія України Міністерства освіти і науки, молоді та спорту України
Міністерство освіти І науки україни Національна металургійна академія україни iconІнформація про застосування процедури закупівлі в одного учасника Замовник: > Найменування. Національна металургійна академія України Міністерства освіти І науки, молоді та спорту України
Найменування. Національна металургійна академія України Міністерства освіти і науки, молоді та спорту України
Міністерство освіти І науки україни Національна металургійна академія україни iconІнформація про застосування процедури закупівлі в одного учасника Замовник: Найменування. Національна металургійна академія України Міністерства освіти І науки, молоді та спорту України
Найменування. Національна металургійна академія України Міністерства освіти і науки, молоді та спорту України
Міністерство освіти І науки україни Національна металургійна академія україни iconІнформація про застосування процедури закупівлі в одного учасника Замовник: > Найменування. Національна металургійна академія України Міністерства освіти І науки, молоді та спорту України
Найменування. Національна металургійна академія України Міністерства освіти і науки, молоді та спорту України
Міністерство освіти І науки україни Національна металургійна академія україни iconІнформація про застосування процедури закупівлі в одного учасника Замовник: > Найменування. Національна металургійна академія України Міністерства освіти І науки, молоді та спорту України
Найменування. Національна металургійна академія України Міністерства освіти і науки, молоді та спорту України
Міністерство освіти І науки україни Національна металургійна академія україни iconМіністерство освіти і науки України Національна металургійна академія України Кафедра

Додайте кнопку на своєму сайті:
Документи


База даних захищена авторським правом ©zavantag.com 2000-2013
При копіюванні матеріалу обов'язкове зазначення активного посилання відкритою для індексації.
звернутися до адміністрації
Документи