Загальні вказівки при вивченні спецкурсу з теоретичної механіки «Основи теорії механічних коливань І удару» icon

Загальні вказівки при вивченні спецкурсу з теоретичної механіки «Основи теорії механічних коливань І удару»




НазваЗагальні вказівки при вивченні спецкурсу з теоретичної механіки «Основи теорії механічних коливань І удару»
Сторінка1/7
Дата24.06.2012
Розмір0.67 Mb.
ТипДокументи
  1   2   3   4   5   6   7

ЗАГАЛЬНІ ВКАЗІВКИ


При вивченні спецкурсу з теоретичної механіки «Основи теорії механічних коливань і удару» особливо важливим для бакалаврів і фахівців охорони праці в будівництві є питання захисту робочих місць і вузлів устаткування від шкідливого впливу вібрацій. Одним з методів захисту від вібрацій є динамічне гасіння коливань. Моделлю елементів будівельних споруд можна розглядати як тверді тіла, що здійснюють при коливанні поступальний рух (в певних умовах устаткування, фундаменти споруд та ін.), так і пружні стержні (колони, балки перекриттів будинків, підкранові балки мостових кранів, елементи рамних конструкцій, наземних трубопроводів та ін.).

Питанням захисту від вібрацій і дослідженню властивостей коливань пружних стержнів присвячена ця розрахунково-графічна робота, що складається з двох завдань: «Розрахунок параметрів динамічного гасителя і визначення власних частот і форм коливань механічної системи з двома ступенями вільності» і «Визначення власних частот та форм поперечних коливань пружного стержня». Терміни здачі й номери варіантів вказуються викладачем у плані-графіку виконання самостійної роботи.

При виконанні другого завдання зручно використати ПЕОМ. Методика і приклади розв΄язання задач за допомогою програми MS Excel наведені в додатках А і Б.


^ 1. РОЗРАХУНОК ПАРАМЕТРІВ ДИНАМІЧНОГО ГАСИТЕЛЯ І ВИЗНАЧЕННЯ ВЛАСНИХ ЧАСТОТ ТА ФОРМ КОЛИВАНЬ МЕХАНІЧНОЇ СИСТЕМИ З ДВОМА СТУПЕНЯМИ ВІЛЬНОСТІ


1.1. Вільні коливання системи з двома ступенями вільності

Розглянемо консервативну систему з голономними і стаціонарними в'язями, яка має два ступеня вільності. Положення системи будемо визначати узагальненими координатами q1, q2, що відлічуються від положення стійкої рівноваги.

1). Кінетична енергія системи матиме вигляд

, (1.1)

де для малих коливань





.

При цьому оскільки T > 0 ( тобто T є додатньо визначеною квадратичною формою ), то згідно з критерієм Сільвестра повинно виконуватись співвідношення

a11 > 0, a11a22 - a122 > 0 .

2). Потенційна енергія для малих коливань визначається за формулою

. (1.2)

Вважаючи, що положення рівноваги стійке, за критерієм Сільвестра має бути

с11 > 0, c11c22 - c12 > 0 .


3). Складемо рівняння Лагранжа 2-го роду:


(1.3)

які, враховуючи формули (1.1) і (1.2), набудуть вигляд



Перенесемо шукані функції часу в ліву частину рівнянь і зважимо на симетрію узагальнених коефіцієнтів інерції і жорсткості ():

(1.4)

Рівняння (1.4) називаються диференціальними рівняннями малих вільних коливань консервативної системи з двома ступенями вільності навколо положення стійкої рівноваги. Це - система двох звичайних лінійних однорідних диференціальних рівнянь із сталими коєфіцієнтами.

4). Розв΄язок системи (1.4) будемо шукати у вигляді

(1.5)

де A,B,?,? - невідомі сталі величини.

Підставимо (1.5) у (1.4):



відкинемо множник ( для довільного t він не дорівнює 0 ) і згрупуємо доданки відносно величин A і B :

(1.6)

Як відомо з курсу математики, щоб рівняння (1.6) мали не рівний нулю розв΄язок (що є випадком спокою, а не руху), визначник цієї системи повинен дорівнювати нулю:

(1.7)

Рівняння (1.7) відбиває умову існування відмінного від нуля розв΄язку для величин А і В.

Розкриваючи визначник (1.7), отримаємо

(1.8)

Рівняння (1.8) називається частотним рівнянням. Його корені і

( при цьому завжди будемо меншому за інший кореню давати індекс 1 ) визначають кругові частоти вільних коливань, або власні частоти і .

Обидва корені і повинні бути додатними, інакше координати і будуть необмежено зростати, чого не може бути при малих коливаннях навколо положення стійкої рівноваги.

Примітка. Якщо для системи то вона розпадається на два незалежних рівняння, для яких відповідні частоти будуть

(1.9)

Частоти і називаються парціальними частотами відповідних систем з одним ступенем вільності. Можна показати, що в загальному випадку парціальні частоти розташовуються усередині відрізка частот між першою і другою власними частотами системи з двома ступенями вільності, яка складена з двох систем з одним ступенем вільності:

.

5). Кожному кореню і ( беремо тільки додатні корені ) відповідатиме один частинний розв΄язок (1.5) зі своїми значеннями величин A,B,?.

Загальний розв΄язок системи (1.4) отримаємо як лінійну комбінацію незалежних частинних розв΄язків (1.5):

(1.10)

Коливання, що відповідають частотам і , називаються головними. Менша частота називається основною і відповідне головне коливання - основним.

Якщо в рівняння (1.6) підставити знайдені і , то визначник (1.7) буде дорівнювати нулю. У цьому разі в системі рівнянь (1.6) незалежним буде тільки одне рівняння. Візьмемо, наприклад, перше і знайдемо з нього відношення амплітуд частинних розв΄язків:

(1.11)

Коефіцієнти називаються коефіцієнтами форми (розподілу амплітуд) коливань. Вони дорівнюють відношенням амплітуд узагальнених координат у кожному з головних коливань і показують, у скільки разів амплітуда коливань в одній з координат () більша за амплітуду коливань в іншій координаті (). За допомогою коефіцієнтів форм будується форма коливань - розподіл амплітуд переміщень точок системи у відповідному головному коливанні.

З рівнянь (1.11) виходить, що . Підставимо ці співвідношення у (1.10):

(1 .12)

де довільні сталі визначаються за допомогою початкових умов.

Рівняння (1.12) є рівняннями малих вільних коливань системи з двома ступенями вільності навколо положення стійкої рівноваги.

Висновки

1. Якщо система виконує одне з головних коливань ( наприклад у випадку ), то обидві узагальнені координати змінюються з однаковою частотою і фазою , тобто координати змінюються синхронно.

2. Власні частоти і , а також коефіцієнти форми не залежать від початкових умов, а визначаються тільки параметрами механічної системи і є основними характеристиками малих вільних коливань механічної системи.

3. Кожне з головних коливань є гармонійним, але результуюче не є гармонійним. Воно утворюється накладанням одне на одне головних незалежних коливань з різними частотами і .

4. У випадку малого опору розв΄язок (1.12) матиме вигляд

(1.13)

де - дійсні й уявні частини комплексних коренів частотного рівняння типу (1.8). Таким чином, малі коливання при наявності опору будуть затухаючими.


^ 1.2. Вимушені коливання системи з двома ступенями вільності

Нехай до консервативної системи, що рухається поблизу положення стійкої рівноваги, прикладені збурюючі сили . Нехай відповідні їм узагальнені збурюючі сили є гармонійними, мають однакову кругову частоту , але різні амплітуди і :

(1.14)

Складаючи рівняння Лагранжа 2-го роду, отримаємо диференціальні рівняння руху системи, ліві частини яких є рівняннями (1.4) :

(1.15)

Рівняння (1.15) називаються диференціальними рівняннями малих вимушених коливань консервативної системи з двома ступенями вільності навколо положення стійкої рівноваги. Це - система двох звичайних лінійних неоднорідних диференціальних рівнянь із сталими коефіцієнтами.

Загальний розв΄язок системи (1.15) складається із загального розв΄язку (1.12) відповідної однорідної системи рівнянь і частинного розв΄язку даної неоднорідної системи. Будемо шукати частинний розв΄язок у вигляді

. (1.16)

Підставляючи функції (1.16) і їх другі похідні за часом у систему (1.15) і скорочуючи на множник , отримаємо систему алгебраїчних рівнянь

(1.17)

Розв΄язок неоднорідної системи алгебраїчних рівнянь має вигляд

,

де ? - визначник системи (1.17), ?1 ,?2 - визначники, в яких відповідно перший і другий стовпці замінені на стовпець правої частини системи (1.17). Розкриваючи визначники, отримаємо:

(1.18)

Зважаючи на те, що визначник ? є багаточленом відносно p2 виду (1.8), його коренями будуть власні частоти і . У такому разі визначник ? можна записати у формі



і формули (1.18) - у вигляді

(1.19)

Тоді, з урахування (1.12) і (1.19), загальний розв΄язок системи (1.15) буде:

(1.20)

Рівняння (1.20) є рівняннями малих вимушених коливань системи з двома ступенями вільності навколо положення стійкої рівноваги.

Висновки

1. Перші два додатки у рівняннях системи (1.20) описують власні коливання, що відбуваються з частотами і . Власні частоти , , а також коефіцієнти форми не залежать від початкових умов, а визначаються тільки параметрами механічної системи. Амплітуди і зсуви фаз визначаються за допомогою початкових умов, тобто залежать від них. При наявності опору вільні коливання з часом затухають.

2. Останні додатки у рівняннях системи (1.20) описують чисто вимушені коливання, що відбуваються з частотою збурюючих сил . Амплітуди вимушених коливань не залежать від початкових умов, а визначаються параметрами механічної системи і збурюючих сил. При або амплітуди вимушених коливань необмежено зростають, тобто виникає явище резонансу.



^ 1.3. Динамічний гаситель коливань

Розглянемо випадок, коли одна із збурюючих сил дорівнює нулю: ( тобто ). У цьому разі формули (1.18) набувають вигляду

(1.21)

Якщо буде виконуватись рівність , тобто при

, (1.22)

формули для амплітуд вимушених коливань (1.21) матимуть вигляд

(1.23)

Висновок

При виконанні умови (1.22) вимушені коливання, що відповідають першій узагальненій координаті, погашаються ( ). На цьому принципі заснована теорія динамічних гасителів коливань: якщо до тіла з пружною в’язью ( системи з одним ступенем вільності ), яке здійснює вимушені коливання в області резонансу ( тобто при ), приєднати друге тіло з пружною в’язью і підібрати його параметри так, щоб виконувалась умова (1.22), то вимушені коливання першого тіла повністю погашаються.

  1   2   3   4   5   6   7

Схожі:

Загальні вказівки при вивченні спецкурсу з теоретичної механіки «Основи теорії механічних коливань І удару» iconМетодичні вказівки
Методичні вказівки для виконання розрахунково-графічної роботи із спецкурсу теоретичної механіки (для студентів 2 курсу денної форми...
Загальні вказівки при вивченні спецкурсу з теоретичної механіки «Основи теорії механічних коливань І удару» iconПроректор з навчальної роботи
Політична теорія, політична детермінанта, політичний детермінізм. Основи вивчення політичної теорії. Прояв політичної теорії в політичній...
Загальні вказівки при вивченні спецкурсу з теоретичної механіки «Основи теорії механічних коливань І удару» iconРобоча програма з дисципліни Історія зарубіжних політичних вчень для студентів спеціальності
Політична теорія, політична детермінанта, політичний детермінізм. Основи вивчення політичної теорії. Прояв політичної теорії в політичній...
Загальні вказівки при вивченні спецкурсу з теоретичної механіки «Основи теорії механічних коливань І удару» iconРозгорнута базова програма з теоретичної механіки І. Вступ до механіки

Загальні вказівки при вивченні спецкурсу з теоретичної механіки «Основи теорії механічних коливань І удару» icon«Гібридні асимптотичні методи та техніка їх застосування»
Показано, яким чином гібридні асимптотичні методи можуть бути застосовані для розв’язання детерміністичних та стохастичних задач...
Загальні вказівки при вивченні спецкурсу з теоретичної механіки «Основи теорії механічних коливань І удару» iconЗміст та методика вивчення кінематики гармонічних коливань
У цій статті йдеться про удосконалення змісту і методики вивчення кінематики механічних коливань, яка є основою для подальшого вивчення...
Загальні вказівки при вивченні спецкурсу з теоретичної механіки «Основи теорії механічних коливань І удару» iconМетодичні вказівки до самостійного вивчення курсу " Основи теорії цифрових автоматів " для студентів-заочників спеціальності 091400
Задачі дисципліни формуються, виходячи з того, що по її вивченні студенти повинні
Загальні вказівки при вивченні спецкурсу з теоретичної механіки «Основи теорії механічних коливань І удару» iconФормат опису модуля
Основи математичної логіки. Основи теорії нечітких множин. Відношення та їх властивості. Види відношень. Основи комбінаторики та...
Загальні вказівки при вивченні спецкурсу з теоретичної механіки «Основи теорії механічних коливань І удару» iconСекція кафедри експериментальної І теоретичної фізики та астрономії
Фізичні закономірності, які використовуються при вивченні теми „Вимірювання часу„
Загальні вказівки при вивченні спецкурсу з теоретичної механіки «Основи теорії механічних коливань І удару» iconМіністерство освіти І науки україни херсонський економічно-правовий інститут кафедра загальноюридичних дисциплін методичні вказівки до самостійної роботи студентів при вивченні дисципліни
Методичні вказівки до самостійної роботи студентів при вивченні дисципліни «Банківське право»”/ Укл. А. А. Башинський – Херсон: хепі,...
Додайте кнопку на своєму сайті:
Документи


База даних захищена авторським правом ©zavantag.com 2000-2013
При копіюванні матеріалу обов'язкове зазначення активного посилання відкритою для індексації.
звернутися до адміністрації
Документи